Эконометрические модели

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Эконометрика



Содержание

1. Эконометрические модели множественной регрессии и методы оценки их параметров

2. Системы эконометрических уравнений

3. Моделирование временных рядов

Литература



1. Эконометрические модели множественной регрессии и методы оценки их параметров

Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает задача исследования зависимости одной зависимой переменной от нескольких объясняющих переменных ,,…,. Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа.

Модель множественной линейной регрессии, в которой зависимая переменная, возмущения и объясняющие переменные удовлетворяют условиям Гаусса-Маркова и, кроме того, предпосылке о невырожденности матрицы (независимости столбцов) значений объясняющей переменной называется классической нормальной линейной моделью множественной регрессии. Предполагается, что объясняющие переменные некоррелированы друг с другом.

На основе наблюдений получают выборочное уравнение множественной линейной регрессии:

,

где -- оценки параметров уравнения множественной регрессии.

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии используется метод наименьших квадратов (МНК). Любая сумма квадратов связана с числом степеней свободы -- с числом независимого варьирования переменных. Введение в модель каждого нового параметра уменьшает на 1 число количество степеней свободы. Необходимым условием минимума суммы квадратов остатков является равенство нулю всех ее частных производных по коэффициентам уравнения регрессии . Такое условие приходит к системе из () линейного уравнения с () неизвестным, называемой системой нормальных уравнений.

Стандартной ошибкой регрессии, несмещенной оценкой дисперсии модели является величина S2 (остаточная дисперсия):

.

Если условия Гаусса-Маркова, определяющие возможность применения МНК, выполняются, то оценки параметров множественной регрессии являются несмещенными, состоятельными и эффективными.

Пусть в уравнении регрессии содержится k объясняющих переменных. Дисперсию зависимой переменной можно разложить на объясненную и необъясненную составляющие:

где -- остаток в i-м варианте реализации событий; -- значение зависимой переменной в i-м варианте реализации событий; -- среднее значение зависимой переменной; -- расчетное значение зависимой переменной в i-м варианте реализации событий, определяемое уравнением регрессии; -- число вариантов реализации событий, в каждом из которых при сочетании значений независимых переменных было получено значение зависимой переменной.

Значимость коэффициентов уравнения регрессии оценивается с помощью t-критерия. Порядок оценки по критерию Стьюдента следующий. Вычисляется наблюдаемое значение критерия . По таблице распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы находят критическое значение . Вычисленные критерии и сравниваются с критическим значением . Если , то соответствующий коэффициент уравнения регрессии значим и принимается. Если , то соответствующий коэффициент уравнения регрессии незначим, не отличается от нуля и не принимается. В эконометрике проверку гипотез осуществляют при 5%-м, реже на 10%-м уровне значимости. В первом случае стандартная ошибка коэффициента регрессии составляет примерно до половины его величины. Последовательный отсев несущественных факторов -- переменных, коэффициенты при которых оказались незначимы, составляет основу многошагового регрессионного анализа.

Для определения статистической значимости коэффициента детерминации используется F-статистика, рассчитываемая по формуле:

,

где -- число пар данных в выборке, использованных для получения уравнения регрессии; -- количество коэффициентов в уравнении регрессии.

Величина имеет распределение Фишера c степенями свободы. Вычисленный критерий сравнивается с критическим значением следующим образом: если , то считается незначимым, он не отличим от нуля; если , то считается значимым, и уравнение регрессии может использоваться для объяснения изменения переменной под влиянием изменения переменных . Величины критических значений критериев оценки значимости принимаются при 5%-м, реже 10%-м уровне значимости. Указанные уровни значимости соответствуют 95%-му и 90%-му доверительным интервалам соответственно.

Мультиколлинеарность - это коррелированность двух или нескольких объясняющих переменных в уравнении регрессии. При наличии мультиколлинеарности оценки, полученные методом наименьших квадратов, формально существуют, но обладают рядом недостатков: 1) небольшое изменение исходных данных приводит к существенному изменению оценок регрессии; 2) оценки имеют большие стандартные ошибки, малую значимость, в то время как модель в целом является значимой (высокое значение коэффициента детерминации ). Если при оценке уравнения регрессии несколько факторов оказались незначимыми, то нужно выяснить, нет ли среди них сильно коррелированных между собой. При наличии корреляции один из пары связанных между собой факторов исключается. Если статистически незначим лишь один фактор, то он должен быть исключен или заменен другим показателем. В модель регрессии включаются те факторы, которые более сильно связаны с зависимой переменной, но слабо связаны с другими факторами.

Построение эконометрической модели включает выбор объясняющих переменных -- составление их спецификации. Свойства оценок коэффициентов регрессии в значительной мере зависят от правильной спецификации модели.

Спецификация -- один из этапов построения эконометрической модели, на котором на основании предварительного анализа рассматриваемого экономического объекта или процесса в математической форме выражаются обнаруженные связи и соотношения, а значит параметры и переменные, которые на данном этапе представляются существенными для цели исследования. В эконометрических моделях производится также спецификация ошибки, т.е. выбор некоторого типа распределения для случайного элемента модели, подлежащего оцениванию. Ошибкой спецификации называются: неправильный выбор типа связей и соотношений между элементами модели, а также выбор, в качестве существенных, таких переменных и параметров, которые на самом деле таковыми не являются, и наконец, отсутствие в модели некоторых существенных переменных.

Предположим, что переменная y зависит от двух переменных. Однако в модель включили только одну независимую переменную :

.

В этом случае - не включения в модель переменной, которая должна быть включена, оценка и ее дисперсия являются смещенными. Смещенность оценки связана с тем, что если не учесть вторую переменную в регрессии, то переменная будет играть двойную роль: отражать свое прямое влияние и заменять переменную в описании ее влияния. Коэффициент детерминации для данной регрессии отражает общую объясняющую способность переменной х1 в обеих ролях и является завышенной оценкой. При включении в модель переменной, которая не должна быть включена, оценки коэффициентов регрессии и их дисперсии в этом случае являются несмещенными, но неэффективными. Практически обнаруживается, что коэффициенты при излишних переменных статистически незначимы, и эти переменные исключаются из модели.

При исследовании влияния качественных признаков в модель следует вводить фиктивные переменные, принимающие, как правило, два значения: 1, если данный признак присутствует в наблюдении; 0 -- при его отсутствии. Если включаемый в рассмотрение качественный признак имеет не два, а несколько значений, то используют несколько фиктивных переменных, число которых должно быть на единицу меньше числа значений признака. При назначении фиктивных переменных исследуемая совокупность по числу значений качественного признака разбивается на группы. Одну из групп выбирают как эталонную и определяют фиктивные переменные для остальных. Если качественный признак имеет 2 значения, то это можно отразить, введя 1 фиктивную переменную. Например, строится модель, характеризующая показатели организаций электросвязи и почтовой связи. Вводится фиктивная переменная, которой присваивается значение 0, если данные относятся к предприятиям электросвязи, и значение 1, если данные относятся к предприятиям почтовой связи. Если качественный признак имеет 3 значения, то это можно отразить, введя 2 фиктивных переменных. Например, строится модель, характеризующая показатели предприятий 3 регионов, вводится 1 фиктивная переменная, которой присваивается значение 0, если данные относятся к предприятиям первого региона, и значение 1, если данные относятся к предприятиям двух других регионов. Второй фиктивной переменной присваивается значение 0, если данные относятся ко второму региону, и 1, если данные относятся к первому и третьему регионам. Введение в регрессию фиктивных переменных существенно улучшает качество оценивания.

2. Системы эконометрических уравнений

При изучении сложных социально-экономических систем измерение тесноты связей между переменными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточны для описания таких систем и объяснения механизма их функционирования. При использовании отдельных уравнений регрессии, например, для экономических расчетов в большинстве случаев предполагается, что факторы можно изменять независимо друг от друга. Однако это предположение является очень грубым: практически изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности других. Ее изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков. Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Именно поэтому в экономических, биометрических и социологических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой одновременных уравнений или структурных уравнений. Например, если изучается модель спроса как соотношение цен и количества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозирования спроса необходима модель предложения товаров, в которой рассматривается также взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых благ. Это позволяет достичь равновесия между спросом и предложением. При оценке эффективности производства нельзя руководствоваться только моделью рентабельности. Она должна быть дополнена моделью производительности труда, а также моделью себестоимости единицы продукции.

В еще большей степени возрастает потребность в использовании системы взаимосвязанных уравнений, если мы переходим от исследований на микроуровне к макроэкономическим расчетам. Модель национальной экономики включает в себя следующую систему уравнений: функции потребления, инвестиций, заработной платы, тождество доходов и т.д. Это связано с тем, что макроэкономические показатели, являясь обобщающими показателями состояния экономики, чаще всего взаимозависимы. Так, расходы на конечное потребление в экономике зависят от валового национального дохода. Вместе с тем величина валового национального дохода рассматривается как функция инвестиций. Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному. Возможна система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов :

.



Набор факторов х, в каждом уравнении может варьировать. Модель вида

,

также является системой независимых уравнений, но набор факторов в ней видоизменяется в уравнениях, входящих в систему. Отсутствие того или иного фактора в уравнении системы, может быть следствием как экономической нецелесообразности его включения в модель, так и несущественности его воздействия на результативный признак (незначимо значение t-критерия или частного F-критерия для данного фактора).

Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется метод наименьших квадратов. По существу, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии. Поскольку никогда нет уверенности, что факторы полностью объясняют зависимые переменные, в уравнениях присутствует свободный член . Так как фактические значения зависимой переменной отличаются от теоретических на величину случайной ошибки, в каждом уравнении присутствует величина случайной ошибки ().

Если зависимая переменная одного уравнения выступает в виде фактора в другом уравнении, то модель может быть построена в виде системы рекурсивных уравнений. Примером такой системы может служить модель производительности труда и фондоотдачи:



,

где - производительность труда, - фондоотдача, - фондовооруженность труда, - энерговооруженность труда, - квалификация рабочих.

Каждое уравнение модели производительности труда и фондоотдачи может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются методом наименьших квадратов.

Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях -- в правую часть системы:

Система взаимозависимых уравнений получила название система совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК не применим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.

Примером системы одновременных уравнений может служить модель динамики цены и заработной платы:

,

где -- темп изменения месячной заработной платы; -- темп изменения цен; -- процент безработных; -- темп изменения постоянного капитала; -- темп изменения цен на импорт сырья.

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других -- как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия) входят в систему как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные). Так, потребление текущего года может зависеть не только от ряда экономических факторов, но и от уровня потребления в предыдущем году .

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных. Структурная форма модели в правой части содержит коэффициенты при эндогенных переменных, -- при экзогенных переменных, которые называются структурными коэффициентами модели. Все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня, т.е. под подразумевается (), а под -- соответственно (). Поэтому свободный член в каждом уравнении системы отсутствует. Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает, как принято считать в теории, смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

,

где - коэффициенты приведенной формы модели.

По виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным методом наименьших квадратов. Применяя МНК, можно оценить , а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

Эконометрические модели обычно включают в систему не только уравнения, отражающие взаимосвязи между отдельными переменными, но и выражения тенденции развития явления, а также разного рода тождества. Например, Т. Хаавелмо, исследуя линейную зависимость потребления () от дохода (), предложил одновременно учитывать тождество дохода. В этом случае модель имеет вид:

где и - параметры линейной зависимости от ; - инвестиции в основной капитал и в запасы экспорта и импорта.

Оценки параметров должны учитывать тождество дохода в отличие от параметров обычной линейной регрессии. В этой модели две эндогенные переменные -- и , и одна экзогенная переменная . Система приведенных уравнений составит:

Она позволяет получить значения эндогенной переменной через переменную . Рассчитав коэффициенты приведенной формы модели (), можно перейти к коэффициентам структурной модели и , подставив в первое уравнение приведенной формы выражение переменной из второго уравнения приведенной формы модели. Приведенная форма модели хотя и позволяет получить значения эндогенной переменной через значения экзогенных переменных, аналитически уступает структурной форме модели, так как в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными.

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация - это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида: 1) идентифицируемые; 2) неидентифицируемые; 3) сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т.е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема. Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели. Структурная модель в полном виде, содержащая эндогенных и предопределенных переменных в каждом уравнении системы, всегда неидентифицируема. Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых необходимо проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение. Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Для того, чтобы уравнение было идентифицируемо, нужно, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Если обозначить число эндогенных переменных в j -ом уравнении системы через , а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение, через , то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде правила: - уравнение идентифицируемо, - уравнение неидентифицируемо, - уравнение сверхидентифицируемо.

В эконометрических моделях часто наряду с уравнениями, параметры которых должны быть статистически оценены, используются балансовые тождества переменных, коэффициенты при которых равны . В этом случае, хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, поскольку коэффициенты при переменных в тождестве известны, в проверке на идентификацию собственно структурных уравнений системы тождества участвуют.

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели: 1) косвенный метод наименьших квадратов (КМНК); 2) двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК); 3) трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК); 4) метод максимального правдоподобия с полной информацией (ММПѓ); 5) метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (ММПs).

Косвенный метод наименьших квадратов используется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов работы:

* структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели;

* для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты ();

* коэффициенты приведенной формы модели трансформируются в параметры структурной модели.

Если система сверхидентифицируема, то КМНК не используется, ибо он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут применяться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и простым является двухшаговый метод наименьших квадратов. Основная идея ДМНК -- на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Метод получил название «двухшаговый метод наименьших квадратов», ибо МНК используется дважды: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных. Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов: 1) все уравнения системы сверхидентифицируемы; 2) система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифицируемые уравнения. Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.

Метод максимального правдоподобия рассматривается как наиболее общий метод оценивания, результаты которого при нормальном распределении признаков совпадают с МНК. Однако при большом числе уравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительным процедурам. Поэтому в качестве модификации используется метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (метод наименьшего дисперсионного отношения), разработанный Т. Андерсоном и Н. Рубиным. В отличие от метода максимального правдоподобия в данном методе сняты ограничения на параметры, связанные с функционированием системы в целом. Это делает решение более простым, но трудоемкость вычислений остается достаточно высокой. Сейчас он практически вытеснен двухшаговым методом наименьших квадратов в связи с гораздо большей простотой последнего. Этому способствовала также разработка Г. Тейлом семейства оценок коэффициентов структурной модели. В последнем случае решение структурной модели соответствует оценкам по ДМНК.

Развитием двухшагового метода наименьших квадратов является трехшаговый МНК (ТМНК), предложенный А. Зельнером и Г. Тейлом. Этот метод оценивания пригоден для всех видов уравнений структурной модели. Однако при некоторых ограничениях на параметры более эффективным оказывается ДМНК.

Экономически значимыми примерами систем одновременных уравнений являются:

1. Кейнсианская модель формирования доходов:

,

где , - соответственно представляют собой совокупный выпуск, объем потребления и инвестиций. Здесь рассматривается как экзогенная переменная, а -- как эндогенная. Такая модель описывает закрытую экономику без государственного вмешательства. Модель содержит одно поведенческое уравнение и одно тождество.

Очевидно, модель является идентифицируемой. Ее приведенная форма имеет вид:

Известна более поздняя модификация статистической модели Кейнса, включающая функцию сбережений:

,

где - сбережения.

Модель содержит три эндогенные переменные - и одну экзогенную переменную - . Система идентифицируема: в первом уравнении и , во втором и . - предопределенная переменная.

2. Динамическая конъюнктурная модель Клейна:

,

где - функция потребления в период ; - заработная плата в период ; - прибыль в период ; - прибыль в период ; - общий доход в период ; - общий доход в период ; - время; - чистые трансферты в пользу администрации в период ; - капиталовложения в период ; - спрос административного аппарата, правительственные расходы в период времени .

3. Модель формирования спроса и предложения, состоящая из трех уравнений (двух поведенческих и одного тождества):



,

где - предлагаемое количество благ (объем предложения),

- спрашиваемое количество благ (объем спроса),

- цена.

В этой системе 3 эндогенные переменные - . При этом, если переменные представляют собой эндогенные переменные исходя из структуры самой системы (они расположены в левой части), то является эндогенной переменной по экономическому содержанию (цена зависит от предлагаемого и спрашиваемого количества благ), а также в результате наличия тождества .

Рассматриваемая модель спроса и предложения не содержит экзогенной переменной. Для того, чтобы модель имела статистическое решение и можно было убедиться в ее справедливости, в модель вводятся экзогенные переменные. Одним из вариантов модели спроса и предложения является модель вида:

,

где - доход на душу населения,

- климатические условия (или другие факторы внешней среды).

Переменные и - экзогенные, введя их в модель, получим идентифицируемую структурную модель, оценки параметров которой могут быть даны с помощью КМНК.

Как уже отмечалось, не все эконометрические модели имеют вид системы одновременных уравнений. Так, широкий класс функций спроса на ряд потребительских товаров часто представляет собой рекурсивную систему, в которой с уравнениями можно работать последовательно и проблемы одновременного оценивания не возникают. В этом плане система одновременных уравнений -- лишь один из возможных вариантов построения экономических моделей.

3. Моделирование временных рядов

Эконометрическую модель можно построить, используя два типа исходных данных: 1) данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени; 2) данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени.

Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные по данным второго типа, называются моделями временных рядов.

Временной ряд -- это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов (периодов) времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы: 1) факторы, формирующие тенденцию ряда; 2) факторы, формирующие циклические колебания ряда; 3) случайные факторы.

При различных сочетаниях этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать разные формы. Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. По всей видимости, эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей зависит от времени года. При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, а также с фазой бизнес-цикла, с фазой, в которой находится экономика страны. Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклическую компоненту, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты.

Очевидно, что реальные данные не соответствуют полностью ни одной из описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты. В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда -- выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент, с тем чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

При наличии тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью парного линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называется лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило «максимальный лаг должен быть не больше n/4».

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции. Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и, таким образом, характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю. Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом они могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой. Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, следовательно, лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать предположение относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет структуру, сходную со структурой ряда, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты . Аналогично, если, например, при анализе временного ряда наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции второго порядка, ряд содержит циклические колебания с циклом, равным двум периодам времени, т.е. имеет пилообразную структуру.

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции: линейная, экспоненциальная, степенная функции, гипербола, парабола второго и более высоких порядков.

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время , а в качестве зависимой переменной -- фактические уровни временного ряда. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Известно несколько способов определения типа тенденции; к наиболее распространенным относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни и тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит линейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации. Реализация этого метода относительно проста при компьютерной обработке данных.

При наличии неявной нелинейной тенденции следует дополнять описанные выше методы выбора наилучшего уравнения тренда качественным анализом динамики изучаемого показателя, с тем, чтобы избежать ошибок спецификации при выборе вида тренда. Качественный анализ предполагает изучение проблем возможного наличия в исследуемом временном ряде поворотных точек и изменения темпов прироста, или ускорения темпов прироста, начиная с определенного момента (периода) времени под влиянием ряда факторов, и т.д. В случае, если уравнение тренда выбрано неверно при больших значениях , результаты анализа и прогнозирования динамики временного ряда с использованием выбранного уравнения будут недостоверными вследствие ошибки спецификации.

Известно несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания. Моделирование циклических колебаний в целом осуществляется аналогично моделированию сезонных колебаний, поэтому мы рассмотрим только методы моделирования последних. Простейший подход -- расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий:

.

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой , сезонной и случайной компонент. Общий вид мультипликативной модели выглядит так:

.

Данная модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой , сезонной и случайной компонент. Выбор одной из двух моделей проводится на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты. Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений , и для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной компоненты .

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной или в мультипликативной модели. |

4. Аналитическое выравнивание уровней или и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений или .

6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Еще одним методом моделирования временного ряда, содержащего сезонные колебания, является построение модели регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных. Количество фиктивных переменных в такой модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебаний. Например, при моделировании поквартальных данных модель должна включать четыре независимые переменные -- фактор времени и три фиктивные переменные. Каждая фиктивная переменная отражает сезонную (циклическую) компоненту временного ряда для какого-либо одного периода. Она равна единице для данного периода и нулю для всех остальных периодов.

Пусть имеется временной ряд, содержащий циклические колебания периодичностью . Модель регрессии с фиктивными переменными для этого ряда будет иметь вид:

,

где для каждого внутри каждого цикла; во всех остальных случаях.

Например, при моделировании сезонных колебаний на основе поквартальных данных за несколько лет число кварталов внутри одного года , а общий вид модели следующий:

,

где для первого квартала, во всех остальных случаях;

для второго квартала, во всех остальных случаях;

для третьего квартала, во всех остальных случаях.

Уравнение тренда для каждого квартала будет иметь следующий вид:

для первого квартала ,

для второго квартала ,

для третьего квартала ,

для четвертого квартала .

Таким образом, фиктивные переменные позволяют дифференцировать величину свободного члена уравнения регрессии для каждого квартала. Она составит для первого квартала , для второго квартала , для третьего квартала , для четвертого квартала - . Параметр в этой модели характеризует среднее абсолютное изменение уровней ряда под воздействием тенденции. В сущности, модель сезонных колебаний, построенная на основе поквартальных данных, представляет собой аналог аддитивной модели временного ряда, т.к. фактический уровень временного ряда - это сумма трендовой, сезонной и случайной компонент.

Основной недостаток модели с фиктивными переменными для описания сезонных и циклических колебаний - наличие большого количества переменных. Так, если строить модель для описания помесячных периодических колебаний за несколько лет, то такая модель будет включать 12 независимых переменных (11 фиктивных переменных и фактор времени). В такой ситуации число степеней свободы невелико, что снижает вероятность получения статистически значимых оценок параметров уравнения регрессии.

От сезонных и циклических колебаний следует отличать единовременные изменения характера тенденции временного ряда, вызванные структурными изменениями в экономике или иными факторами. В этом случае, начиная с некоторого момента времени происходит изменение характера динамики изучаемого показателя, что приводит к изменению параметров тренда, описывающего эту динамику. Схематично такая ситуация изображена на рис. 6.1.

Момент (период) времени сопровождается значительными изменениями ряда факторов, оказывающих сильное воздействие на изучаемый показатель . Чаще всего эти изменения вызваны изменениями в общеэкономической ситуации или факторами (событиями) глобального характера, приведшими к изменениям структуры экономики (например, начало крупных экономических реформ, изменение экономического курса, нефтяные кризисы и прочие факторы). Если исследуемый временной ряд включает в себя соответствующий момент (период) времени, то одной из задач его изучения становится выяснение вопроса о том, значимо ли повлияли общие структурные изменения на характер этой тенденции. Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции данного временного ряда следует использовать кусочно-линейные модели регрессии, т.е. разделить исходную совокупность на две подсовокупности (до момента времени и после момента ) и построить отдельно по каждой подсовокупности уравнение линейной регрессии (на рис. 1 этим уравнениям соответствуют прямые (1) и (2)). Если структурные изменения незначительно повлияли на характер тенденции ряда , то ее можно описать с помощью единого для всей совокупности данных уравнения тренда (на рис. 1 этому уравнению соответствует прямая (3)).

Рис. 1. Изменение характера тенденции временного ряда

эконометрический множественный регрессия ряд

Каждый из описанных выше подходов имеет свои положительные и отрицательные стороны. При построении кусочно-линейной модели происходит снижение остаточной суммы квадратов по сравнению с единым для всей совокупности уравнением тренда. Однако разделение исходной совокупности на две части ведет к потере числа наблюдений и, следовательно, к снижению числа степеней свободы в каждом уравнении кусочно-линейной модели. Построение единого для всей совокупности уравнения тренда, напротив, позволяет сохранить число наблюдений исходной совокупности, однако остаточная сумма квадратов по этому уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной моделью. Очевидно, что выбор одной из двух моделей (кусочно-линейной или единого уравнения тренда) будет зависеть от соотношения между снижением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе от единого уравнения регрессии к кусочно-линейной модели.

Формальный статистический тест для оценки этого соотношения был предложен Грегори Чоу. Применение этого теста предполагает расчет параметров уравнений трендов, графики которых изображены на рис. 6.1 прямыми (1), (2) и (3). Введем систему обозначений, приведенную в табл. 1.

В таблице 1 число параметров всех уравнений: . В общем случае число параметров в каждом уравнении может различаться.

Таблица 1. Условные обозначения для алгоритма теста Чоу

Но-мер урав- нения	Вид уравнения	Число наблюдений в совокупности	Остаточ-ная сумма квадра-тов	Число параметров в уравнении	Число степеней свободы остаточной дисперсии
Кусочно-линейная модель
(1)
(2)
Уравнение тренда по всей совокупности
(3)

Выдвинем гипотезу о структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда. Остаточную сумму квадратов по кусочно-линейной модели () можно найти как сумму и .

Соответствующее ей число степеней свободы составит

Тогда сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения тренда к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом:

Число степеней свободы, соответствующее будет равно:

Далее в соответствии с предложенной Г. Чоу методикой определяется фактическое значение F-критерия по следующим дисперсиям на одну степень свободы вариации:

Найденное значение сравнивают с табличным, полученным по таблицам распределениям Фишера для уровня значимости и числа степеней свободы и .

Если то гипотеза о структурной стабильности тенденции отклоняется, а влияние структурных изменений на динамику изучаемого показателя признают значимым. В этом случае моделирование тенденции временного ряда следует осуществлять с помощью кусочно-линейной модели. Если то нет оснований отклонять нулевую гипотезу о структурной стабильности тенденции. Ее моделирование следует осуществлять с помощью единого для всей совокупности уравнения тренда.

Отметим следующие особенности применения теста Чоу.

1. Если число параметров во всех уравнениях (1), (2), (3) (см. рис. 6.1 и табл. 6.1) одинаково и равно , то формула фактического значения F-критерия упрощается:

.

2. Тест Чоу позволяет сделать вывод о наличии или отсутствии структурной стабильности в изучаемом временном ряде. Если , то это означает, что уравнения (1) и (2) описывают одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их параметров и , а также и соответственно статистически незначимы. Если же , то гипотеза о структурной стабильности отклоняется, что означает статистическую значимость различий в оценках параметров уравнений (1) и (2).

3. Применение теста Чоу предполагает соблюдение предпосылок о нормальном распределении остатков в уравнениях (1) и (2) и независимость их распределений.

Рассмотренный простейший случай применения теста Чоу для моделирования линейной тенденции используется во многих прикладных исследованиях при проверке гипотез о структурной стабильности в более сложных моделях взаимосвязи двух и более временных рядов.



Литература

1. Порядина О.В. Эконометрическое моделирование линейных уравнений регрессии: Учебное пособие. - Йошкар-Ола: МарГТУ, 2005. - 92 с.

2. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 344 с.

3. Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2 т. 2-у изд., испр. - Т. 2: Айвазян С.А. Основы эконометрики. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 432 с.

4. Симчера В.М. Методы многомерного анализа статистических данных: учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2008. - 400 с.

5. Чураков Е.П. Прогнозирование эконометрических временных рядов: учеб. пособие / Е.П. Чураков. - М.: Финансы и статистика, 2008. - 208 с.

6. Эконометрика: учеб. / под ред. д-ра экон. наук, проф. В.С. Мхитаряна. - М.: Проспект, 2008. - 384 с.

7. Эконометрика: учеб. / под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Проспект, 2009. - 288 с.

8. Эконометрика: Учебник/И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др., Под ред. И.И. Елисеевой. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 576 с.

Размещено на Allbest.ru

...