Ряды распределения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исходные данные

статистический вариация мода медиана

Имеются следующие выборочные данные (выборка 10 %-ная механическая) о стоимости основных производственных фондов и выпуске продукции по 30 однородным предприятиям одной из отраслей промышленности за год, млн. руб.:

№ предприятия	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов	Выпуск продукции	№ предприятия	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов	Выпуск продукции
1	31,6	31,0	16	35,0	37,0
2	25,0	27,5	17	30,0	30,0
3	15,0	25,0	18	37,0	37,0
4	32,5	34,0	19	31,0	33,8
5	42,0	41,0	20	24,0	24,0
6	38,0	36,0	21	31,0	33,0
7	29,0	28,6	22	32,0	32,6
8	19,0	24,0	23	43,0	42,0
9	40,0	40,0	24	32,0	30,0
10	49,0	46,0	25	41,0	39,0
11	31,4	35,0	26	45,0	48,0
12	28,0	29,0	27	33,0	35,0
13	20,0	20,0	28	40,0	41,0
14	31,5	33,6	29	55,0	50,0
15	26,0	28,9	30	43,0	43,0

Задание 1

1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по признаку - среднегодовая стоимость основных производственных фондов, образовав шесть групп с равными интервалами.

2. Постройте графики полученного ряда распределения: гистограмму и кумуляту. Графически определите значения моды и медианы.

3. Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, моду и медиану.

4. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.

Сделайте выводы по результатам выполнения задания.

Решение:

Для того чтобы произвести группировку, необходимо вычислить величину группировочного интервала по формуле:

,

где и - соответственно max и min значения валового дохода, - число образуемых групп.

Группировку предприятий произведем в рабочей таблице 2.

Таблица 1. Рабочая таблица с группировкой.

Группы	Группы среднегодовой стоимости ОПФ, млн. руб.	№ предприятия
1	15-21,6	3
		8
		13
ИТОГО:	3
2	21,6-28,2	2
		12
		15
		20
ИТОГО:	4
3	28,2-34,8	1
		4
		7
		11
		14
		17
		19
		21
		22
		24
		27
ИТОГО:	11
4	34,8-41,4	6
		9
		16
		18
		25
		28
ИТОГО:	6
5	41,4-48	5
		23
		26
		30
ИТОГО	4
6	48-55	10
		29
,ИТОГО		2

В результате группировки получили следующий ряд распределения (табл. 2).

Таблица 2. Ряд распределения предприятий по выпуску продукции

Группы	Группы среднегодовой стоимости ОПФ, млн. руб.	Число предприятий
1	15-21,6	3
2	21,6-28,2	4
3	28,2-34,8	11
4	34,8-41,4	6
5	41,4-48	4
6	48-55	2
Итого		30



Рисунок 1. Гистограмма, графическое определение моды

Рисунок 2. Кумулята, графическое определение медианы

В интервальном вариационном ряду мода вычисляется по формуле:



где y_o - нижняя граница модального интервала;

h - размер модального интервала;

f_Mo - частота модального интервала;

f_Mo-1 - частота интервала, стоящего перед модальной частотой;

f_Mo+1 - частота интервала, стоящего после модальной частоты.

В интервальном вариационном ряду медиана рассчитывается по формуле:

где y_o - нижняя граница медианного интервала;

h - размер медианного интервала;

- половина от общего числа наблюдений;

S_Me-1 - сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;

f_Me - частота медианного интервала.

Определяем медианный интервал, в котором находится порядковый номер медианы (n).

он находиться в интервале 28,2-34,8.



Таблица 3. Расчетная таблица для характеристики ряда

Группы, млн. руб.	Середина интервального ряда, х	Число предприятий, f	xf
15-21,6	18,3	3	54,9	711,48
21,6-28,2	24,9	4	99,6	309,76
28,2-34,8	31,5	11	346,5	53,24
34,8-41,4	38,1	6	228,6	116,16
41,4-48	44,7	4	178,8	484
48-55	51,3	2	102,6	619,52
Итого		30	1011	2294,16

Средняя арифметическая:

Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент вариации:

- уровень среднегодовой стоимости ОПФ по предприятиям однороден, т.к. 25,9%<33%.

Средняя арифметическая по исходным данным:



Средняя арифметическая взвешенная отличается от результата, полученного на основе средней арифметической простой. Это объясняется тем, что в расчете на основе ряда распределения мы уже не располагаем исходными индивидуальными данными, а вынуждены ограничиться лишь сведениями о величине середины интервала.

Анализ полученных данных говорит о том, что группы предприятий по уровню валового дохода отличаются от средней (Х= 49,3 тыс. руб.) в среднем на 13,03 тыс.руб.. Значение коэффициента вариации не превышает 33%, следовательно, вариация не высока.

Задание 2

По исходным данным:

1. Установите наличие и характер связи между признаками среднегодовая стоимость основных производственных фондов и выпуск продукции методом аналитической группировки, образовав шесть групп с равными интервалами по факторному признаку.

2. Измерьте тесноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Сделайте выводы по результатам выполнения задания.

Решение:

При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.



Таблица 4. Зависимость нераспределенной прибыли от инвестиций в основные фонды

Номер группы	Группы предприятий по среднегодовой стоимости ОПФ. руб. х	Число предприятий, fj			Выпуск продукции, млн.руб.
			Среднегодовая стоимость ОПФ, млн.руб.	Среднегодовая стоимость ОПФ в среднем на 1 предприятие, млн. руб.	всего	в среднем на одно предприятие,
1	15-21,6	3	54	18	69	23
2	21,6-28,2	4	103	25,75	109,4	27,35
3	28,2-34,8	11	345	31,36	356,6	32,4
4	34,8-41,4	6	231	38,5	230	38,3
5	41,4-48	4	173	43,25	174	43,5
6	48-55	2	104	52	96	48
	Итого	30	1010	33,7	1035	34,5

Вывод: Анализ данных табл. 4 показывает, что с увеличением среднегодовой стоимости ОПФ от группы к группе систематически увеличивается выпуск продукции по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

Для измерения тесноты связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели - эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический коэффициент детерминации оценивает, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле



,

где - общая дисперсия признака Y,

- межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

,

где y_i - индивидуальные значения результативного признака;

- общая средняя значений результативного признака;

n - число единиц совокупности.

Общая средняя вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:



или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

Для вычисления удобно использовать формулу, к. в табл. 6 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет по формуле:

тыс. руб.

Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 5.

Таблица 5. Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Номер п/п	Выпуск продукции, млн. руб.
1	31	-3,5	12,25
2	27,5	-7	49
3	25	-9,5	90,25
4	34	-0,5	0,25
5	41	6,5	42,25
6	36	1,5	2,25
7	28,6	-5,9	34,81
8	24	-10,5	110,25
9	40	5,5	30,25
10	46	11,5	132,25
11	35	0,5	0,25
12	29	-5,5	30,25
13	20	-14,5	210,25
14	33,6	-0,9	0,81
15	28,9	-5,6	31,36
16	37	2,5	6,25
17	30	-4,5	20,25
18	37	2,5	6,25
19	33,8	-0,7	0,49
20	24	-10,5	110,25
21	33	-1,5	2,25
22	32,6	-1,9	3,61
23	42	7,5	56,25
24	30	-4,5	20,25
25	39	4,5	20,25
26	48	13,5	182,25
27	35	0,5	0,25
28	41	6,5	42,25
29	50	15,5	240,25
30	43	8,5	72,25
Итого	1035		1560,08

Расчет общей дисперсии по формуле:

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле

,



где - групповые средние,

- общая средняя,

- число единиц в j-ой группе,

k - число групп.

Для расчета межгрупповой дисперсии строится вспомогательная таблица 6.

Таблица 6. Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы предприятий по среднегодовой стоимости ОПФ, млн. руб.	Число предприятий,	Среднее значение в группе
15-21,6	3	23	-11,5	396,75
21,6-28,2	4	27,35	-7,15	204,49
28,2-34,8	11	32,4	-2,1	48,51
34,8-41,4	6	38,3	3,8	86,64
41,4-48	4	43,5	9	324
48-55	2	48	13,5	364,5
ИТОГО	30	34,5		1424,89

Расчет межгрупповой дисперсии по формуле:

Расчет эмпирического коэффициента детерминации по формуле:

или 92%



Вывод: 92% вариации выпуска продукции обусловлено вариацией среднегодовой стоимости ОПФ, а 8% - влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 7):

Таблица 7. Шкала Чэддока

	0,1 - 0,3	0,3 - 0,5	0,5 - 0,7	0,7 - 0,9	0,9 - 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

Расчет эмпирического корреляционного отношения по формуле:

Вывод: Согласно шкале Чэддока связь между изучаемыми признаками является весьма тесной.



Данные для расчета коэффициента детерминации

№ п/п	Х (среднегодовая стоимость ОПФ, млн. руб.)	У (выпуск продукции, млн. руб.)	Х2	У2	ХУ
1	31,6	31	998,56	961	979,6
2	25	27,5	625	756,25	687,5
3	15	25	225	625	375
4	32,5	34	1056,25	1156	1105
5	42	41	1764	1681	1722
6	38	36	1444	1296	1368
7	29	28,6	841	817,96	829,4
8	19	24	361	576	456
9	40	40	1600	1600	1600
10	49	46	2401	2116	2254
11	31,4	35	985,96	1225	1099
12	28	29	784	841	812
13	20	20	400	400	400
14	31,5	33,6	992,25	1128,96	1058,4
15	26	28,9	676	835,21	751,4
16	35	37	1225	1369	1295
17	30	30	900	900	900
18	37	37	1369	1369	1369
19	31	33,8	961	1142,44	1047,8
20	24	24	576	576	576
21	31	33	961	1089	1023
22	32	32,6	1024	1062,76	1043,2
23	43	42	1849	1764	1806
24	32	30	1024	900	960
25	41	39	1681	1521	1599
26	45	48	2025	2304	2160
27	33	35	1089	1225	1155
28	40	41	1600	1681	1640
29	55	50	3025	2500	2750
30	43	43	1849	1849	1849
Сумма	1010	1035	36312	37267,6	36670,3



Коэффициент детерминации:

Коэффициент детерминации показывает, что на 87% фактор Х обусловлен фактором Y. Расчетное показывает умеренную линейную связь между Х и Y. Эмпирическое корреляционное отношение показывает общую тесноту связи между Х и Y. Расчетное значение показывает умеренную тесноту связи.

Задание 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 определите:

1. Среднюю и предельную ошибку выборки среднегодовой стоимости основных производственных фондов и границы, в которых будет находиться среднегодовая стоимость основных производственных фондов в генеральной совокупности.

2. Среднюю и предельную ошибку выборки доли предприятий со среднегодовой стоимостью основных производственных фондов 39 млн. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Решение:

Известен процент выборки m = 0,1. Средняя ошибка выборки



Известна вероятность Р = Ф(t) = 0,683; тогда t (из таблицы Лапласа) = 1

Предельная ошибка выборки

Искомая доля

Тогда средняя ошибка выборки для доли

Предельная ошибка выборки для доли

Тогда искомые границы для доли

Генеральная доля находится в границах (0,13; 0,27) или от 13% до 27%.



Задание 4

Планом предприятия предусматривалось увеличение выпуска продукции на 3 %, фактически произведено на 5 % больше, чем в базисном периоде.

Определите процент выполнения плана по выпуску продукции.

Решение:

Выполнение плана по выпуску продукции:

105/103*100=101,9% выполнение плана по выпуску продукции составило 101,9%.

Задание 5

Известны данные о выпуске продукции предприятием, тыс. руб.:

2009 г.	2010 г.	2011 г.	2012 г.
648,8	703,9	725,8	716,9

Определите базисные и цепные показатели динамики:

а) абсолютный прирост;

б) темп роста;

в) темп прироста.

Решение:

Год	Выпуск продукции, тыс. руб.	Абсолютный прирост, тыс.руб.	Темп роста, %	Темп прироста, %
		базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной
2009	648,8	-	-	100	100	0	0
2010	703,9	703,9-648,8=55,1	703,9-648,8=55,1	703,9/648,8*100=108,5	703,9/648,8*100=108,5	108,5-100=8,5	8,5
2011	725,8	725,8-648,8=77	725,8-703,9=21,9	725,8/648,8*100=111,9	725,8/703,9*100=103,1	111,9-100=11,9	3,1
2012	716,9	716,9-648,8=68,1	716,9-725,8=-8,9	716,9/648,8*100=110,5	716,9/725,8*100=98,8	110,5-100=10,5	-1,2

Заключение

В ходе выполнения работы были сделаны следующие выводы:

- группы предприятий по уровню среднегодовой стоимости ОПФ отличаются от средней (Х= 33,7 тыс. руб.) в среднем на 8,7 млн. руб.. Значение коэффициента вариации не превышает 33%, следовательно, вариация не высока.

- С увеличением среднегодовой стоимости ОПФ от группы к группе систематически увеличивается выпуск продукции по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

- 92% вариации расходы на продукты питания обусловлено вариацией валовая прибыль, а 8% - влиянием прочих неучтенных факторов.

- Генеральная доля находится в границах (32,2-35,2 млн. руб.).

- Выполнение плана по выпуску продукции составило 101,9%.



Список литературы

1. Гусаров В.М. Теория статистики: учеб. - М., Изд-во Юнити, 2010.-463 с.

2. Сборник задач по теории статистики: Учебное пособие/Под ред. проф. В.В. Глинского. - изд. 3-е. - М.: ИНФРА - М; Новосибирск: Сибирское соглашение, 2006. - 257 с.

3. Статистика: Учебник / И.И. Елисеева, А.В. Изотов, Е.Б. Капралова; под ред. И.И. Елисеевой. - М.: КНОРУС, 2006. - 552 с.

4. Статистика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Высшее образование, 2006 - 565 с.

5. Шмойлова Р.А. Практикум по теории статистики: учеб. пособ. - М., Изд-во Финансы и статистика, 2011.-656 с.

Размещено на Allbest.ru

...