Рассмотрим регрессию себестоимости единицы продукции (руб., ) от заработной платы работника (руб., ) и производительности его труда (ед. в час, ):

.

Коэффициент регрессии при переменной показывает, что с ростом производительности труда на 1 ед. себестоимость единицы продукции снижается в среднем на 10 руб. при постоянном уровне оплаты труда. Вместе с тем параметр при нельзя интерпретировать как снижение себестоимости единицы продукции за счет роста заработной платы. Отрицательное значение коэффициента регрессии при переменной в данном случае обусловлено высокой корреляцией между и : (). Потому роста заработной платы при неизменности производительности труда быть не может.

Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором m факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации , который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии m факторов. Влияние других, не учтенных в модели факторов, оценивается как 1- с соответствующей остаточной дисперсией .

При дополнительном включении в регрессию m +1 фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться:

и .

Если же этого не происходит и данные показатели практически не отличаются друг от друга, то включаемый в анализ фактор не улучшает модель и практически является лишним фактором. Так, если для регрессии, включающей пять факторов, коэффициент детерминации 0,857 и включение шестого фактора дало коэффициент детерминации 0,858, то вряд ли целесообразно дополнительно включать в модель этот фактор.

Насыщение модели лишними факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по критерию Стьюдента.

Таким образом, хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости. Отбор факторов производится на основе качественного теоретико-экономического анализа. Однако теоретический анализ часто не позволяет однозначно ответить на вопрос о количественной взаимосвязи рассматриваемых признаков и целесообразности включения фактора в модель. Поэтому отбор факторов обычно осуществляется в две стадии: на первой подбираются факторы исходя из сущности проблемы; на второй - на основе матрицы показателей корреляции определяют статистики для параметров регрессии.

Коэффициенты интеркорреляции (т.е. корреляции между объясняющими переменными) позволяют исключать из модели дублирующие факторы. Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если 0,7. Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В этом требовании проявляется специфика множественной регрессии как метода исследования комплексного воздействия факторов в условиях их независимости друг от друга.

Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью, т.е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга. Наличие мультиколлинеарности факторов может означать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой и нельзя оценить воздействие каждого фактора в отдельности.

Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежелательно в силу следующих последствий:

1. Затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как характеристик действия факторов в «чистом» виде, ибо факторы коррелированны; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл.

2. Оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений (не только по величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования.

Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.

Существует ряд подходов преодоления сильной межфакторной корреляции. Самый простой путь устранения мультиколлинеарности состоит в исключении из модели одного или нескольких факторов. Другой подход связан с преобразованием факторов, при котором уменьшается корреляция между ними.

Одним из путей учета внутренней корреляции факторов является переход к совмещенным уравнениям регрессии, т.е. к уравнениям, которые отражают не только влияние факторов, но и их взаимодействие. Так, если y = f (, , ), то возможно построение следующего совмещенного уравнения:

y = a + +е.

Рассматриваемое уравнение включает взаимодействие первого порядка (взаимодействие двух факторов). Возможно включение в модель и взаимодействий более высокого порядка, если будет доказана их статистическая значимость по F -критерию Фишера, но, как правило, взаимодействия третьего и более высоких порядков оказываются статистически незначимыми.

Отбор факторов, включаемых в регрессию, является одним из важнейших этапов практического использования методов регрессии. Подходы к отбору факторов на основе показателей корреляции могут быть разные. Они приводят построение уравнения множественной регрессии соответственно к разным методикам. В зависимости от того, какая методика построения уравнения регрессии принята, меняется алгоритм ее решения на ЭВМ.

Наиболее широкое применение получили следующие методы построения уравнения множественной регрессии:

1. Метод исключения - отсев факторов из полного его набора.

2. Метод включения - дополнительное введение фактора.

3. Шаговый регрессионный анализ - исключение ранее введенного фактора.

При отборе факторов также рекомендуется пользоваться следующим правилом: число включаемых факторов обычно в 6-7 раз меньше объема совокупности, по которой строится регрессия. Если это соотношение нарушено, то число степеней свободы остаточной дисперсии очень мало. Это приводит к тому, что параметры уравнения регрессии оказываются статистически незначимыми, а F -критерий меньше табличного значения.

Задачи

Задача № 3

Для трех видов продукции А, В и С модели зависимости удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции выглядят следующим образом:

Задание

1. Определите коэффициенты эластичности по каждому виду продукции поясните их смысл.

2. Сравните при эластичность затрат для продукции В и С.

3. Определите, каким должен быть объем выпускаемой продукции, чтобы коэффициенты эластичности для продукции В и С были равны.

Решение

Для уравнения имеем: , т. е. для продукции вида «А» с ростом объема выпускаемой продукции на 1% удельные постоянные расходы остаются без изменения.

Для уравнения линейной зависимости имеем:

, т. е. для продукции вида «В» с ростом объема выпускаемой продукции на 1% удельные постоянные расходы увеличиваются на 0,7%.

Для уравнения степенной зависимости имеем:

, т. е. для продукции вида «С» с ростом объема выпускаемой продукции на 1% удельные постоянные расходы увеличиваются на 0,5%.

Для уравнения линейной зависимости имеем:

При , , т. е. для продукции вида «В» с ростом объема выпускаемой продукции на 1% удельные постоянные расходы увеличиваются на 0,897%.

При , , т. е. для продукции вида «С» с ростом объема выпускаемой продукции на 1% удельные постоянные расходы увеличиваются на 0,5%.

Следовательно, для продукции вида «В» затраты более эластичны.

Воспользуемся равенством: , откуда , , , , (ед.)

Следовательно, для равенства коэффициентов эластичности для продукции В и С, объем выпускаемой продукции должен составлять 114,3 ед.

Задача № 5

Анализируя зависимость объема производства продукции предприятиями отрасли черной металлургии от затрат труда и расхода чугуна. Для этого по 20 предприятиям собраны следующие данные: y - объем продукции предприятия в среднем за год (млн. руб.), - среднегодовая списочная численность рабочих предприятия(чел.), - средние затраты чугуна за год (млн. т.).

Ниже представлены результаты корреляционного анализа этого массива данных.

Матрица парных коэффициентов корреляции: для исходных переменных для натуральных логарифмов исходных переменных

Задание

1. Поясните смысл приведенных коэффициентов.

2. Используя эту информацию, опишите ваши предположения относительно:

а) знаков коэффициентов регрессии в уравнениях парной линейной регрессии y по () и y по ();

б) статистической значимости коэффициентов регрессии при переменных и в линейном уравнении множественной регрессии и в уравнении множественной регрессии в форме функции Кобба- Дугласа.

3. Определите значения коэффициентов детерминации в уравнениях парной линейной регрессии и . Какое из этих уравнений лучше?

4. Определите частные коэффициенты корреляции для линейного уравнения множественной регрессии.

5. Найдите уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе и сделайте выводы.

Решение

Для исходных переменных.

Значения коэффициентов парной корреляции указывают на весьма тесную связь объема продукции предприятия как с среднегодовой среднесписочной численностью рабочих - , так и с средними затратами чугуна - (,). Но в тоже время межфакторная связь весьма тесная и превышает тесноту связи с .

Для натуральных логарифмов исходных переменных.

Значения коэффициентов парной корреляции указывают на весьма тесную связь объема продукции предприятия как с среднегодовой среднесписочной численностью рабочих - , так и с средними затратами чугуна - (,). Но в тоже время межфакторная связь тесная, но не превышает тесноту связи с .

. Следовательно, влияние факторного признака объясняет 60,84% изменений результативного .

. Следовательно, влияние факторного признака объясняет 73,96% изменений результативного .

Получаем, что уравнение лучше, поскольку имеет большее значение коэффициента детерминации.

Частные коэффициенты корреляции:

,

следовательно, связь между результативным признаком y при неизменном признаке , и признаком незначительная и обратная, т. к. значение 0,319 слабо приближено к 1.

,

следовательно, связь между результативным признаком y при неизменном признаке , и признаком достаточно сильная и прямая, т. к. значение 0,635 приближено к 1.

Воспользуемся формулой:

.

; . >, следовательно, целесообразно включать в модель фактор после фактора .

.

; . <, следовательно, не целесообразно включать в модель фактор после фактора .

коэффициенты определяются из следующей системы:

Имеем

Решим систему по формулам Крамера:

; ; .

Имеем ; .

Уравнение множественной регрессии в стандартизированной форме имеет вид: .

Коэффициент детерминации:

.

Коэффициент множественной корреляции значительно приближен к 1, значит в достаточной степени учтены признаки и , влияющие на результативный признак .

Совокупный коэффициент детерминации равен: . Следовательно, совместное влияние факторных признаков и объясняет 76,6% изменений результативного .

Скорректированный коэффициент детерминации:

.

Список использованной литературы

1. Бывшев В. А. Эконометрика: Учебное пособие. М.: «Финансы и статистика», 2008.

2. Кремер Н. Ш., Путко Б. А. Эконометрика. М.: ЮНИТИ- ДАНА, 2002. 311с.

3. Магнус Я. Р. Эконометрика: Начальный курс: Учебное пособие/ Я. Р. Магнус, П. К. Катышев, А. А. Пересецкий. М.: Дело, 2005. 503 с.

4. Практикум по эконометрике: Учебн. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2003. 192 с.

5. Эконометрика: Учебник/ Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2002. 344 с.

Размещено на Allbest.ru