Производственные функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Содержание

1. Основные понятия. Свойства производственных функций

2. Эластичность выпуска

3. Производственная функция Кобба-Дугласа

4. Динамическая производственная функция

1. Основные понятия. Свойства производственных функций

Производственными функциями называют соотношение между используемыми производственными ресурсами и выпускаемой продукцией.

В общей форме производственная функция может быть представлена в виде:

,

где x₁, x₂,…, x_n - значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов; y - объем выпускаемой продукции.

Производственные функции применяются для анализа влияния различных сочетаний факторов на объем выпуска в определенный момент времени (статический вариант) и для анализа, а также прогнозирования соотношения объемов факторов и объема выпуска, в разные моменты времени (динамический вариант). Также производственные функции используются на различных уровнях экономики - от фирмы (предприятия) до народного хозяйства в целом (агрегированная производственная функция, в которой выпуском служит показатель совокупного общественного продукта или национального дохода и т.п.).

Производственные функции предназначены для моделирования процесса производства некоторой хозяйственной единицы: отдельной фирмы, отрасли или всей экономики государства в целом.

С помощью производственных функций решают задачи: оценки отдачи ресурсов в производственном процессе; прогнозирования экономического роста; разработки вариантов плана развития производства; оптимизации функционирования хозяйственной единицы при условии заданного критерия и ограничений по ресурсам.

Свойства производственных функций

Свойства производственных функций рассмотрим на примере функции двух переменных , которая имеет область определения и :

1) производство невозможно при отсутствии хотя бы одного ресурса, т.е. ;

2) при увеличении затрат производственных ресурсов выпуск продукции растет ; если функция дифференцирована, то можно записать или первая частная производная положительна;

3) по мере увеличения количества одного ресурса при постоянных количествах других предельная эффективность использования этого ресурса не возрастает. Математически это требование для дважды дифференцируемых производственных функций выглядит так: .

Например, это означает, что рост вооруженности средствами производства приводит к росту выпуска продукции, но темп роста выпуска продукции все время падает (закон убывающей эффективности);

4) производственная функция характеризуется определенной отдачей от расширения масштабов производства. Отдача от расширения масштабов производства характеризует производственную функцию с точки зрения изменения выпуска продукции при пропорциональном изменении затрат ресурсов, которое математически выражается в умножении всех компонент вектора х на положительный скаляр q. Принято говорить, что скалярная функция является однородной функцией степени р, если для любого вектора х и любого скаляра t она удовлетворяет условию .

Математически четвертое предположение состоит в требовании однородности производственной функции. Если , то говорят, что производственная функция характеризуется возрастающей отдачей от расширения масштабов производства; если - постоянной отдачей (наиболее часто встречающийся случай), а при - убывающей отдачей.

2. Эластичность выпуска

Средней производительностью i-го ресурса (фактора производства) или средним выпуском по i-му ресурсу (фактору производства) называют отношение значения функции к величине i-го ресурса. Символика:

,

где или

Предельной (маржинальной) производительностью i-го ресурса (фактора производства) или предельным выпуском по i-му ресурсу (фактору производства) называют первую частную производную функции , символика: . Предельная производительность показывает, на сколько единиц увеличивается объем выпуска у, если объем затрат x_i i-го ресурса вырастает на одну единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса. производственный дуглас формула

Отношение предельной производительности i-го ресурса к его средней производительности A_i называется эластичностью выпуска по i-му ресурсу (по фактору производства). Символика:

, .

Сумма называется эластичностью производства. показывает, на сколько процентов увеличится выпуск, если затраты i-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса.

Возможность взаимного замещения ресурсов означает, что одно и то же количество продукта у может быть произведено при различных сочетаниях ресурсов. Совокупность таких сочетаний ресурсов, при которых может быть произведено определенное количество продукции q, называется изоквантой.

Предельной нормой замены (замещения) i-го ресурса (фактора производства) j-м называется выражение:

,

при постоянной у, i - номер заменяемого ресурса, j - номер замещающего ресурса.

3. Производственная функция Кобба-Дугласа

Для моделирования отдельного региона или страны в целом (т.е. для решения задач на макроэкономическом, микроэкономическом уровне) часто используют производственную функцию вида:

,

где a₀, a₁, a₂, - параметры производственной функции. Это положительные постоянные числа, причем часто a₁ и a₂ таковы, что a₁+a₂=1. Производственная функция данного вида называется производственной функцией Кобба-Дугласа по имени двух американских экономистов, предложивших ее использовать в 1929 году.

Производственная функция Кобба-Дугласа активно применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач благодаря своей структурной простате. В данной модели если принять, что (где K - объем используемого основного капитала или объем используемых основных фондов в отечественной терминологии), (где L - затраты живого труда), тогда производственная функция Кобба-Дугласа приобретает вид часто используемый в литературе:

,

или если выполняется равенство a₁+a₂=1, то .

При выполнении равенства a₁+a₂=1 модель Кобба-Дугласа можно записать несколько в ином виде:

, т.е. .

Дроби и называются соответственно производительностью труда и капиталовооруженностью труда. Используя новые символы, получим , т.е. из двухфакторной производственной функции Кобба-Дугласа получим формально однофакторную производственную функцию Кобба-Дугласа. В связи с тем, что , из последней формулы следует, что производительность труда z растет медленнее его капиталовооруженности. Однако этот вывод справедлив для случая статической производственной функции Кобба-Дугласа в рамках существующей технологии и ресурсов. Отметим, что дробь называется производительностью капитала или капиталоотдачей, обратные дроби и называются соответственно капиталоемкостью и трудоемкостью выпуска.

4. Динамическая производственная функция

Производственная функция называется динамической, если:

1) время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины (как бы самостоятельного фактора производства), влияющего на объем выпускаемой продукции;

2) параметры производственной функции и ее характеристика f зависят от времени t.

Рассмотрим пример динамической производственной функции: при построении производственной функции научно-технический прогресс (НТП) может быть учтен с помощью введения множителя ТП , где параметр p (p>0) характеризует темп прироста под влиянием НТП:

,

где t = 0, 1, …, T.

Данная функция включает множитель A(t)=e^pt, который отражает влияние нейтрального по Хиксу технического прогресса, т.е. не материализованного в одном из факторов. Такой НТП не затрагивает соотношений между факторами (К) и (L) и называется продуктоувеличивающим. В более сложных случаях технический прогресс может воздействовать непосредственно на производительность труда или капитала (капиталоотдачу): - модель Солоу или - модель Харрода. Он называется, соответственно, трудосберегающим или капиталосберегающим НТП.

Предполагается, что производственная функция удовлетворяет некоторым условиям, вытекающим из общеэкономических соображений. Вид функции и некоторые ограничения на значения параметров вытекают, как правило, из теоретических представлений о структуре и функционировании моделируемого объекта, а конкретные численные значения параметров находятся в результате обработки информации, имеющейся в распоряжении исследователя. Это могут быть:

- результаты пространственных выборок; данные о технико-экономических характеристиках используемых, потенциально доступных или проектируемых технологий, агрегатов, производственных комплексов (в этом случае рассматриваются статические модели);

- временные ряды (ряды динамики) или результаты пространственно-временных выборок показателей ресурсов и выпуска (тогда речь идет о динамических моделях).

Параметры функции оцениваются, в основном, методами корреляционно-регрессионного анализа. Полученные таким образом производственные функции представляют статистические зависимости между ресурсами и выпуском, однако при их построении необходимо избавляться от явлений мультиколлинеарности параметров и автокорреляции - в противном случае неизбежны грубые ошибки.

Размещено на Allbest.ru