Размещено на http://www.allbest.ru/

Санкт-Петербургский государственный Технологический Университет Растительных Полимеров

Кафедра АТПиП

Курсовая работа

По дисциплине: «Моделирование систем»

На тему: «Построение и оценка статической модели

объекта по данным пассивного эксперимента»

Выполнил: студент гр.220301

Любанов А.М.

Проверила:Селянинова Л.Н.

Санкт-Петербург

2013

Получение математической модели по данным пассивного эксперимента.

Выборка эксперимента с параллельными опытами

Пассивный эксперимент основан на регистрации контролируемых переменных в установившемся режиме работы.

Изобразим объект с указанием всех переменных:

Х - входные переменные;

Y - выходные переменные, зависящие от Х;

- неконтролируемые входные факторы;

Y обусловлено действием всех входных переменных, т. е.

Статическая модель объекта устанавливает соответствие между входными и выходными переменными объекта в установившемся режиме.

Оценка точности экспериментальных данных

Пассивный эксперимент основан на регистрации контролируемых переменных в установившемся режиме работы Регистрация происходит через длительные моменты времени, чтобы не было взаимного влияния измерений друг на друга.

Результаты первого эксперимента l1:

Результаты второго эксперимента l2:

Где - число параллельных опытов в первом эксперименте;

- число степеней свободы

Где - число параллельных опытов во втором эксперименте;

- число степеней свободы

Для каждого эксперимента необходимо рассчитать и , как оценку точности.

Для обработки данных необходимо из каждого эксперимента учитывать только один выделенный опыт, поэтому из исходных данных в нашем случае нужно убрать 1 измерение из первого эксперимента и 1 измерение из второго.

Расчёт выборочного математического ожидания и дисперсии для каждого эксперимента

Выборочное мат. ожидание:

Выборочная дисперсия:

Для первого эксперимента:

Для второго эксперимента:

Расчёт дисперсии воспроизводимости

Сравнивается погрешность модели относительно данных эксперимента и точность экспериментальных данных по параллельным опытам.

Точность экспериментальных данных оценивается дисперсией воспроизводимости и числом степеней свободы .

Точность модели оценивается остаточной дисперсией:

значения известны из расчетных данных.

Для первой модели (полной): .

Для второй модели (выборочной): .

Генеральная дисперсия экспериментальных данных и генеральная дисперсия модели .

Первая модель:

Нулевая гипотеза .

Альтернативная гипотеза : , тогда Н₁: . По предложению преподавателя задаемся уровнем ошибки первого рода .

Для проверки такой нулевой гипотезы используем статистику Фишера.

Проверить нулевую гипотезу, значит найти одну границу. Для этого надо найти расчётное значение и посмотреть в какую область попадём.

причём - число степеней свободы числителя, а - число степеней свободы знаменателя.

По таблице критическое значение .

, т. е. область альтернативной гипотезы расхождение между оценками точности данных эксперимента и точности модели неслучайна. Модель неадекватна экспериментальным данным.

Вторая модель:

Нулевая гипотеза .

Альтернативная гипотеза : , тогда . По предложению преподавателя задаемся уровнем ошибки первого рода .

Для проверки такой нулевой гипотезы используем статистику Фишера.

Проверить нулевую гипотезу, значит найти одну границу. Для этого надо найти расчётное значение и посмотреть в какую область попадём.

причём - число степеней свободы числителя, а - число степеней свободы знаменателя.

По таблице критическое значение .

Получаю, что , т. е. область альтернативной гипотезы расхождение между оценками точности данных эксперимента и точности модели неслучайна. Модель неадекватна экспериментальным данным.

Оценка однородности выборочных дисперсий по критерию Фишера

При проведении параллельных опытов необходимо определить являются ли результаты измерений в первом и во втором эксперименте статистически одинаковыми (т. е. принадлежат ли эти все измерения одной генеральной совокупности, а именно имеют одни и те же генеральные параметры). эксперимент корреляция дисперсия расчет

Допустим, что первый эксперимент характеризуется генеральным значением, а второй .

Выдвигается нулевая гипотеза : полагается, что обе выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, т. е. у них одно и то же значение генеральной дисперсии . А выборочные дисперсии - это случайные оценки этой генеральной дисперсии; , поэтому выдвигается альтернативная гипотеза .

По предложению преподавателя задаемся уровнем ошибки первого рода .

Для проверки такой нулевой гипотезы используется статистика Фишера , которая зависит от и двух некоторых показателей степеней свободы и . Причём всегда .

Кривая распределения Фишера.

1 S

Проверить нулевую гипотезу, означает найти одну границу. Для этого надо найти расчётное значение и посмотреть в какую область попадём.

причём - число степеней свободы числителя, а - число степеней свободы знаменателя.

По таблице нахожу критическое значение

Получаю, что, т. е. попадаю в область нулевой гипотезы H₀ с вероятностью ошибки 5 %.

Это означает, что выборочные дисперсии статистически однородны, экспериментальные данные принадлежат одной совокупности. Тогда для расчёта модели из каждого эксперимента мы берём по одному опыту, а остальные мы убираем.

Т. к. данные параллельных опытов статистически однородны, то рассчитываю общую оценку экспериментальных данных в виде дисперсии воспроизводимости.

Оценка значимости коэффициентов модели

Все численные значения коэффициентов модели случайные величины . Они имеют нормальный закон распределения:

>N(, )

Где - генеральное математическое ожидание;

- генеральная дисперсия.

Для каждого из коэффициентов модели необходимо выяснить равно ли нулю генеральное математическое ожидание, если = 0, такой коэффициент называется не значимым и в нашей модели он случайно отличается от нуля. Его надо убрать из модели и модель снова пересчитать без него.

Для каждого коэффициента первой и второй модели формируется нулевая гипотеза:

H₀ : = 0

H_i : ? 0, т.е. или > 0

Задаюсь уровнем ошибки первого рода б = 0,05

Для проверки гипотезы применяется статистика Стьюдента (t-статистика)

Кривая распределения Стьюдента.

= > 0

Так как t_расч > 0 всегда, то попасть в левую полуплоскость мы не можем. Поэтому сравниваем его только со 2 границей.

Если t_расч > , то мы отвергаем нулевую гипотезу с вероятностью ошибки 5 %. Значит у данного коэффициента генеральное математическое ожидание ? 0, т. е. Коэффициент значим.

Если t_{расч <} , то я принимаю нулевую гипотезу с вероятностью ошибки 5 %. Коэффициент не значим, его нужно убрать из модели.

Полная модель.

Y₁ = 82+31,08Х1+1,396Х2+0,5797Х1Х1-2,637Х2Х2+0,0002148Х1Х2

F_ост=N-?=23-6=17

T_1-б/2=2, 11 (распределение Стьюдента)

Сравниваем Т-статистику и T_1-б/2, получаем, что значимый коэффициент b₀.

Выборочная модель

Y₁=8,711+2,388Х1+2,126Х2+0,5947Х1Х1-0,00002324Х2Х2

F_ост=N-?= 23-5=18

T_1-б/2=2, 10

Значимые коэффициенты для первой модели: bo.

Значимые коэффициенты для второй модели: bo и и b1.

Корреляционный анализ данных эксперимента

Качественная оценка типа связи между входными переменными по виду поля корреляции

Визуально произвожу оценку при построении поля корреляции. В данном случае в осях координат откладываются значения переменных.

Расчёт уравнения линии предсказания

Выведем уравнение линии предсказания:

; где

Значение берётся из матрицы входных переменных.

Получаем .

подставляем:

и получаем линию предсказания.

Линия предсказания нанесена на поле корреляции.

Вывод:

Так как модель не адекватна данным эксперимента, меняем структуру модели. В этой работе мы уже меняли структуру модели, проанализируем полученные результаты:

следовательно, я отвергаю нулевую гипотезу и принимаю альтернативную гипотезу с вероятностью ошибки 0,05. Делаю вывод, что данная модель неадекватна данным эксперимента, предлагаю следующие варианты работы:

1. Изменить структуру модели;

2. Если это не поможет, то увеличить число экспериментальных данных и повторно провести опыт;

3. Добавить еще один входной сигнал.

Использую выборочную модель , предлагаю в дальнейшем использовать модель данного вида.

По полю корреляции можно сделать вывод об отсутствии линейной связи. Возможно применить метод МНК.

Размещено на Allbest.ru