Экономико-математическое моделирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа по экономико-математическому моделированию

План

1. Задача

2. Задача

3. Задача

4. Задача

5. Задача

1. Задача

Найти МНК (метод наименьших квадратов) уравнения линейной регрессии и , где признак - среднесписочное число работников -го магазина, признак - сумма розничного товарооборота (млн. руб.) -го магазина (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).

Значения параметров и приведены в таблице:

Порядковый номер магазина
1	50+1=51	1,4
2	70+1=71	0,8
3	100+1=101	0,1Ч1=0,1
4	80-1=79	1,4+0,1Ч1=0,14
5	90+1=91	2+0,2Ч1=0,4
6	55+1=56	1,8
7	78-1=77	1,3+0,1Ч1=0,13
8	83+1=84	0,3Ч1=0,3

Решение:

1. Уравнение линейной функции имеет следующий вид:

,

- среднесписочное число работников -го магазина;

- сумма розничного товарооборота (млн. руб.) -го магазина;

и - параметры модели, которые необходимо найти.

Эти параметры определяются путем решения системы уравнений:

Для составления данной системы уравнений заполняем вспомогательную таблицу:

№
1	51	1,4	2601	71,4	1,96
2	71	0,8	5041	56,8	0,64
3	101	0,1	10201	10,1	0,01
4	79	0,14	6241	11,06	0,0196
5	91	0,4	8281	36,4	0,16
6	56	1,8	3136	100,8	3,24
7	77	0,13	5929	10,01	0,0169
8	84	0,3	7056	25,2	0,09
У	610	5,1	48486	321,8	6,14

Составляем систему уравнений:

Решение системы уравнений можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

;

.

Линейное уравнение регрессии имеет следующий вид:

,

- среднесписочное число работников -го магазина;

- сумма розничного товарооборота (млн. руб.) -го магазина.

2. Определяем параметры зависимости:

,

где - среднесписочное число работников -го магазина,

- сумма розничного товарооборота (млн. руб.) -го магазина

;

.

Линейное уравнение регрессии имеет следующий вид:

,

- среднесписочное число работников -го магазина;

- сумма розничного товарооборота (млн. руб.) -го магазина.

2. Задача

Наблюдения пар (, ) дали следующие результаты: , , , , . Составить уравнение линейной регрессии .

Решение:

Уравнение линейной функции имеет следующий вид:

,

 и - параметры модели, которые необходимо найти.

Эти параметры определяются путем решения системы уравнений:

Составляем систему уравнений:

Решение системы уравнений можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

;

.

Линейное уравнение регрессии имеет следующий вид:

.

При линейной зависимости между признаками для определения тесноты корреляционной связи применяется коэффициент корреляции, который вычисляется по формуле:

.

.

Коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1. Положительные его значения свидетельствуют о наличии прямой связи, отрицательные - обратной. регрессия корреляция уравнение

Знак при R совпадает со знаком коэффициента регрессии a1. Итак, в данном случае имеет место прямая связь.

Абсолютная величина R, лежащая между 0 и 1, служит мерой тесноты связи.

В зависимости от величины R можно сделать следующие заключения о степени тесноты связи:

0<=R<0,2 - практически нет связи;

0,2<=R<0,5 - слабая (не тесная) связь;

0,5<=R<0,75 - средняя связь;

0,75<=R<0,95 - сильная (тесная) связь;

0,95<=R<1,00 - практически функциональная связь.

Если R по абсолютной величине равен 1, это свидетельствует о том, что связь между признаками является функциональной, т.е. факторный признак полностью определяет результативный. Полученное значение коэффициента R=0,462 свидетельствует о наличии слабой (не тесной) связи между факторным и результирующим показателем.

3. Задача

В результате опроса руководителей 10 предприятий получена следующая таблица:

	3+1=4	10	12+1=13	14	20	25	27+1=28	35	40	42
	80	78-1=77	65	62	58	57-1=56	45	43	40-1=39	28

Случайная величина - сумма кредита, полученного данным предприятием (млн. руб.); случайная величина - годовой доход этого предприятия (млн. руб.).

Для полученных данных вычислите следующие величины:

а) коэффициент детерминации и регрессии на при наличии свободного члена;

б) коэффициент детерминации и регрессии на при отсутствии свободного члена.

Решение:

1. Составляем уравнение линейной функции:

,

- сумма кредита, полученного данным предприятием,

- годовой доход этого предприятия,

и - параметры модели, которые необходимо найти.

Эти параметры определяются путем решения системы уравнений:

Для составления данной системы уравнений заполняем вспомогательную таблицу:

№
1	4	80	16	320	6400
2	10	77	100	770	5929
3	13	65	169	845	4225
4	14	62	196	868	3844
5	20	58	400	1160	3364
6	25	56	625	1400	3136
7	28	45	784	1260	2025
8	35	43	1225	1505	1849
9	40	39	1600	1560	1521
10	42	28	1764	1176	784
У	231	553	6879	10864	33077

Составляем систему уравнений:

Решение системы уравнений можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

;

.

Линейное уравнение регрессии имеет следующий вид:

.

При линейной зависимости между признаками для определения тесноты корреляционной связи применяется коэффициент корреляции, который вычисляется по формуле:

.

.

Коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1. Положительные его значения свидетельствуют о наличии прямой связи, отрицательные - обратной. Знак при R совпадает со знаком коэффициента регрессии a1. Итак, в данном случае имеет место обратная связь, т.е. с ростом среднедневной заработной платы одного работающего снижается удельный вес расходов на покупку продовольственных товаров в общих расходах.

Абсолютная величина R, лежащая между 0 и 1, служит мерой тесноты связи. В зависимости от величины R можно сделать следующие заключения о степени тесноты связи:

0<=R<0,2 - практически нет связи;

0,2<=R<0,5 - слабая (не тесная) связь;

0,5<=R<0,75 - средняя связь;

0,75<=R<0,95 - сильная (тесная) связь;

0,95<=R<1,00 - практически функциональная связь.

Если R по абсолютной величине равен 1, это свидетельствует о том, что связь между признаками является функциональной, т.е. факторный признак полностью определяет результативный.

Полученное значение коэффициента R= - 0,523 свидетельствует о наличии сильной связи между факторным и результирующим показателем.

Коэффициент детерминации - это доля дисперсии отклонений зависимой переменной от её среднего значения, объясняемая рассматриваемой моделью связи (объясняющими переменными). Модель связи обычно задается как явная функция от объясняющих переменных. В частном случае линейной связи коэффициент детерминации является квадратом коэффициента корреляции между зависимой переменной и объясняющими переменными.

Коэффициент детерминации составляет:

.

Полученное значение показывает, что 27,3% изменения годового дохода происходит за счет изменения суммы полученных кредитов.

2. Составляем линейное уравнение регрессии без свободного члена. Для этого рассчитываем:

1) среднее значение суммы кредита, полученного предприятием:

млн. руб.;

2) среднее значение годового дохода предприятия:

млн. руб.

Линейное уравнение имеет вид:

.

Далее определяем величины, необходимые для расчета дисперсии:

№
1	4	80	364,8	610,1
2	10	77	171,6	470,9
3	13	65	102,0	94,1
4	14	62	82,8	44,9
5	20	58	9,6	7,3
6	25	56	3,6	0,5
7	28	45	24,0	106,1
8	35	43	141,6	151,3
9	40	39	285,6	256,7
10	42	28	357,2	745,3
У	231	553	1542,8	2487,2

Рассчитываем дисперсии:

;

.

Коэффициент детерминации для данной модели определяется следующим образом:

.

Коэффициент корреляции:

.

Отсутствие свободного члена в модели существенно снижает аналитические возможности построенной модели.

4. Задача

Бюджетное обследование пяти случайно выбранных семей дало следующие результаты, приведенные в таблице:

Семья	Накопления , млн. руб.	Доход , млн. руб.	Имущество , млн. руб.
1	1	20+1=21	60-1=59
2	5	65-1=64	30+1=31
3	7	45+1=46	50-1=49
4	4	10+1=11	40-1=39
5	1	3+1=4	10+1=11

а) Оцените регрессию на и .

б) Спрогнозируйте накопления семьи, имеющий доход 20+1=21 млн. руб. и имущество стоимостью 10+1=11 млн. руб.

в) Предположим, что доход семьи вырос на 1 млн. руб., в то время как стоимость имущества не изменилась. Оцените, как возрастут ее накопления.

г) Оцените, как возрастут накопления семьи, если ее доход вырос на 5 млн. руб., а стоимость имущества увеличилась на 4+1=5 млн. руб.

д) Найдите сумму квадратов остатков и постройте оценку дисперсии регрессии.

Решение:

Составляем модель:

,

где - накопления,

- доход,

- имущество.

Экономический смысл параметров множественной регрессии Коэффициент множественной регрессии показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак , если переменную () увеличить на единицу измерения, т. е. является нормативным коэффициентом.

Для расчета коэффициентов множественной линейной регрессии необходимо решить такую систему:

Для составления уравнения регрессии заполняем вспомогательную таблицу:

№
1	1	21	59	441	3481	21	59	1239	1
2	5	64	31	4096	961	320	155	1984	25
3	7	46	49	2116	2401	322	343	2254	49
4	4	11	39	121	1521	44	156	429	16
5	1	4	11	16	121	4	11	44	1
У	18	146	189	6790	8485	711	724	5950	92

Для наших данных система уравнений имеет вид:

;

;

Решая систему, находим:

;

;

.

Уравнение регрессии:

.

2. Если млн. руб., млн. руб., то накопления составляют:

млн. руб.

3. Предположим, что доход семьи вырос на 1 млн. руб., в то время как стоимость имущества не изменилась. В этом случае:

млн. руб.

Таким образом, сумма накоплений уменьшилась с 7,219 до 7,176 млн. руб.

4. Если доход увеличивается на 5 млн. руб., а стоимость имущества увеличилась на 5 млн. руб., что сумма накоплений составит:

млн. руб.

Таким образом, сумма накоплений увеличилась с 7,219 до 9,294 млн. руб.

5. Рассчитываем сумму квадратов остатков и осуществляем оценку дисперсии регрессии.

Для расчетов заполняем таблицу:

№
1	1	21	59	9,29	0,5	21,2
2	5	64	31	6,62	2,6	0,2
3	7	46	49	6,62	0,1	2,6
4	4	11	39	3,65	0,1	2,0
5	1	4	11	0,82	0,0	19,4
Сумма	18			18	3,4	45,2

.

Далее определяют фактическое значение F-критерия:

.

Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=2 и k2=5, Fkp=2,92. Поскольку фактическое значение F<Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим.

5. Задача

Знания 116-1=115 студентов оценивались по двум тестам и , причем по тесту возможные варианты оценок определялись значениями 2, 3, 5; по тесту возможные баллы определялись значениями 25, 45, 110. В таблице приведены данные, показывающие, какое количество студентов получили соответствующие пары оценок (, ) по результатам обоих тестов:

	2	3	5
25	10+1=11			11
45		40-1=39	5+1=6	45
110		11-1=10	50-1=49	59
	11	49	55	115

Предполагая случай параболической корреляции, построить выборочное уравнение регрессии на второго порядка вида:

.

Решение:

Уравнение регрессии в форме параболы 2-го порядка имеет следующий вид:

Коэффициенты находим из системы:

,

,

Осуществляем расчеты:

;

,

Подставляем данные в систему:

;

;

.

Решение системы:

A= - 6959,12,

B=4044,96,

C= - 530,58.

Уравнение регрессии имеет вид:

.

Размещено на Allbest.ru

...