Производственная функция Кобба-Дугласа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Производственная функция - это регрессивная модель, показывающая зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов.

Оценки параметров производственных функций рассчитывают на основе статистической информации. Эта информация представляет собой результаты единовременного наблюдения за множеством однородных объектов или результаты наблюдения за одним и тем же объектом в разные периоды времени.

В работе рассматривается производственная функция Кобба-Дугласа. Возникновение теории производственных функций принято относить к 1927 г., когда появилась статья американских ученых экономиста П. Дугласа и математика Д. Кобба «Теория производства». В этой статье, была предпринята попытка, эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США.

Степенные производственные функции предложенные Коббом и Дугласом описывали связи между объемом общественного продукта и двумя важнейшими ресурсами - трудовыми ресурсами и основными производственными фондами. [4, С. 318]

Актуальность темы обоснованна тем, что в настоящее время степенные производственные функции используются для моделирования широкого класса экономических систем.

Объект работы - это производственная функция Кобба-Дугласа. Цель данной работы - рассмотреть содержание функции, её суть, алгоритм её применения к решению практических задач.

Задачи работы:

- ознакомиться с производственной функцией;

- изучить применение функции Кобба-Дугласа на практике.

Структура работы состоит из введения, в котором указанны актуальность темы, объект и задачи курсовой работы, а также поставлены цели. Работа включает в себя три главы. Первая глава состоит из теории по данной теме, во второй главе рассматривается решение практической задачи, третья глава включает в себя задания. Также в конце работы сделано заключение по данной теме и представлен список использованной литературы.

дуглас производственный функция фондоотдача



Глава 1. Производственная функция Кобба-Дугласа

1.1 Производственная функция

Производственная функция - это зависимость, показывающая связь между количеством производимой продукции и количеством используемых ресурсов. Эта функция, независимая переменная которой, принимает значения объемов затрачиваемого или используемого ресурса, а зависимая - значения объемов выпускаемой продукции. [2, С. 156]

^{Простейшая модель производственной функции}

Производственные функции предназначены для моделирования процесса производства некоторой хозяйственной единицы: отдельной фирмы, отрасли или всей экономики государства в целом.

С помощью производственных функций решаются задачи:

- оценки отдачи ресурсов в производственном процессе;

- прогнозирования экономического роста;

- разработки вариантов плана развития производства;

- оптимизации функционирования хозяйственной единицы при условии заданного критерия и ограничений по ресурсам. [3, С. 13]

Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология - новая производительная функция. С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта.

Производственные функции, независимо от того, какой вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:

1) увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел.

2) факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).

Общий вид производственной функции: Y = Y(X1, X2, …, Xi, …, Xn), где Y - показатель, характеризующий результаты производства; X - факторный показатель i-го производственного ресурса; n - количество факторных показателей.

Также производственная функция может выглядит следующим образом: Q = f (K, L, M, T, N), где Q - объем выпуска; K - капитал (оборудование); L - труд; М - сырье, материалы; Т - технология; N - предпринимательские способности.

Функция производства может быть представлена в виде графика, отражающего взаимосвязь между количеством труда и выпуском при заданном количестве капитала:

^{Связь между производством и производственным трудом}



Каждое увеличение количественного параметра капитала означает смещение кривой вверх и одновременного увеличения предельной производительности труда при заданном количестве рабочей силы, т.е. на основе вытекающего непосредственно из описанного вывода означает и более высокую величину выпуска при увеличении производственного фактора «труд»: кривая OK₁ на рисунке показывает более крутой наклон по сравнению с кривой OK₀ при любом числе занятых трудом.

С увеличением количественного параметра капитала увеличивается и средняя производительности труда, которая является частным от деления величины выпуска на величину затраченного труда. Однако при этом уменьшается коэффициент труда, определяющий среднее количество затраченного труда на каждую единицу выпуска и являющийся таким образом обратной величиной средней производительности труда.

1.2 Основные математические характеристики производственной функции Кобба-Дугласа

Наиболее простой производственной функцией является производственная функция Кобба - Дугласа, с помощью которой раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К). Производственная функция Кобба-Дугласа устанавливает зависимость величины созданного общественного продукта от совокупных затрат живого труда и суммарного объема применяемых производственных фондов. [4, С. 318]

Эта функция имеет вид:

Y = AK^бL^в,

где A, б, в - константы, которые подчиняются условиям:

1) 0?а?1;

2) 0?в?1;

3) A›0;

4) a+в=1;

К - объем фондов либо в стоимостном выражении, либо в натуральном количестве, например, число станков; L - объем трудовых ресурсов, также в стоимостном выражении, либо в натуральном количестве - число рабочих, человеко-дней и т. п.; Y - выпуск продукции в стоимостном или натуральном выражении.

Положительность предельных продуктов труда и капитала:

?Y/?K = AбK^б-1L^в > 0, ?Y/?L = AвK^бL^в-1 > 0.

Отрицательность вторых частных производных, т. е. убывание предельных продуктов:

?Y²/?K² = Aб(б-1)K^б-2L^в < 0, ?Y²/?L² = Aв(в-1)K^бL^в-2 > 0.

В предельном продукте труда средний продукт труда домножается на параметр . Иногда выпуск на единицу труда именуется «индексом производительности труда».

Средняя производительность труда определяется как y = Y/L - отношение объема произведенного продукта к количеству затраченного труда, то есть показывает, сколько единиц выпускаемой продукции приходится на единицу затрачиваемого труда. Средняя фондоотдача k = Y/K - отношение объема произведенного продукта к величине фондов.

Предельная производительность труда показывает, сколько дополнительных единиц продукции приносит дополнительная единица затраченного труда.

Для функции Кобба-Дугласа средняя производительность труда y = AK^бL^в?1, и в силу условия в < 1 является убывающей функцией L, т. е. с увеличением затрат труда средняя производительность труда падает. Это можно объяснить тем, что поскольку величина второго фактора К остается неизменной, то, значит, вновь привлекаемая рабочая сила не обеспечивается дополнительными средствами производства, что и приводит к снижению производительности труда (это справедливо и в самом общем случае - на уровне производственных множеств).

Предельная производительность труда ?Y/?L = AвK^бL^в-1 > 0, откуда видно, что для функции Кобба-Дугласа предельная производительность труда пропорциональна средней производительности и меньше ее. Аналогично определяются средняя и предельная фондоотдачи. Для них также справедливо указанное соотношение - предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче и меньше ее.

Также существует такая характеристика, как фондовооруженность f = K/L, показывающая объем фондов, приходящийся на одного работника (на одну единицу труда).

Параметр в - это эластичность продукции по труду. Эластичность продукции по труду означает, что для увеличения выпуска продукции на 1 % необходимо увеличить объем трудовых ресурсов на в %. Эластичность выпуска показывает, на сколько процентов увеличивается выпуск при увеличении затрат труда на 1%. Эластичность продукции по труду имеет вид:

(?Y/?L):(Y/L) = (?Y/?L)L/Y = AвK^бL^в-1L/(AK^бL^в) = в.

Аналогичный смысл имеет параметр б - это эластичность продукции по фондам. [3, С. 15]

Поскольку параметры и каждый в отдельности представляют собой процентное изменение выпуска в зависимости от процентных изменений труда и капитала, то соответственно два коэффициента, взятые вместе, измеряют совокупное процентное изменение выпуска при данном изменении затрат труда и капитала. Короче говоря, + является степенью однородности производственной функции Кобба - Дугласа.

Отдача на единицу масштаба производства характеризуется следующим образом:

+ < 1 - потери от масштаба

+ = 1 - постоянная отдача

+ > 1 - экономия от масштаба.

Для многофакторного производства функция Кобба-Дугласа имеет вид:

Для учета технического прогресса в функцию Кобба-Дугласа вводят специальный множитель (технического прогресса) , где t - параметр времени, - постоянное число, характеризующее темп развития. В результате функция принимает "динамический" вид: , где не обязательно условие .



Глава 2. Решение практических задач с помощью производственной функции Кобба-Дугласа

На практике при моделировании реальных производств чаще всего используют производственную функцию Кобба-Дугласа. С помощью этой функции можно найти производительность труда, фондоотдачу, определить объем товаром или численность работников и т.п. Рассмотрим несколько задач с использованием функции Кобба-Дугласа.

Задача 1.

Пусть производственная функция есть функция Кобба-Дугласа. Чтобы увеличить выпуск продукции на а = 3 %, надо увеличить основные фонды на b = 6 % или численность работников на c = 9%. В настоящее время один работник за месяц производит продукции на М = 104 руб., а всего работников L = 1000. Основные фонды оцениваются в K = 108 руб.

Найти производственную функцию.

Решение:

Найдем коэффициенты б, в:

б = а/b = 3/6 = 1/2,

в = а/с = 3/9 = 1/3,

следовательно,

Y = AK1/2L1/3.

Для нахождения А подставим в эту формулу значения K, L, M, имея в виду, что Y= ML = 1000.104 = 107 - 107 = А(108)1/210001/3.

Отсюда А = 100.

Таким образом, производственная функция имеет вид: Y = 100K1/2L1/3.

Задача 2.

Дана производственная функция

y = 2,4 L^0,3K^0,7,

где y - объём товарной продукции в стоимостном выражении; L - фонд заработной платы; K - стоимость основных фондов.

Произошло изменение используемых ресурсов: фонд заработной платы L уменьшился на 3 %, стоимость основных фондов K возросла на 5 %.

На сколько процентов при этом изменится:

1) объём товарной продукции;

2) производительность труда;

3) фондоотдача?

Решение:

1) Определим изменение объёма товарной продукции в процентном выражении.

Исходное значение объёма товарной продукции было равно:

y_исх = 2,4 L^0,3K^0,7.

По условию задачи, значение L уменьшилось на 3 %, то есть, стало равно 0,97L, а значение K увеличилось на 5 %, то есть, стало равно 1,05K. Тогда новое значение объёма товарной продукции стало равно:

y_н = 2,4 (0,97L)^0,3 (1,05K)^0,7.

Найдём, сколько процентов y_н составляет по отношению к y_исх:

,

то есть, объём товарной продукции увеличился на 2,53 %.

2) Определим изменение производительности труда в процентном выражении.

Производительность труда является отношением объёма товарной продукции к фонду заработной платы:

ПТ =y/L.

Она была равна:

ПТ_исх =y_исх/L_исх.

При изменении L и K новая производительность труда стала равна:

.

Найдём, сколько процентов ПТ_н составляет по отношению к ПТ_исх:

,

то есть, производительность труда увеличилась на 5,70 %.

3) Определим изменение фондоотдачи в процентном выражении.

Фондоотдача является отношением объёма товарной продукции к стоимости основных фондов:

Ф = у/К.



Она была равна:

Ф_исх = у_исх/К_исх.

При изменении L и K новая производительность труда стала равна:

.

Найдём, сколько процентов Ф_н составляет по отношению к Ф_исх:

,

то есть, фондоотдача снизилась на 2,35 %.

Задача 3.

Некоторое предприятие, затрачивая для производства 65 единиц материальных затрат и 17 трудовых, выпускало 120 единиц продукции. В результате расширения и увеличении материальных затрат до 68 единиц выпуск возрос до 124 единиц, а при увеличении трудозатрат до 19 единиц выпуск вырос до 127 единиц. Составить линейную производственную функцию и функцию Кобба-Дугласа.

Решение:

х1	65	68	-
х2	17	-	19
у	120	124	127

Записав для удобства исходные данные в виде таблицы, рассчитываем параметры производственных функций.

Линейная функция у = a₁x₁+a₂x₂+b . Для нахождения параметров а₁ и а₂ используем формулу:

а₁= Дy/ Дx₁ = = ;

а₂ = Дy/ Дx₂ = = .

Получаем y= x₁+ x₂+b. Для нахождения b подставляем в уравнение исходные данные из 2-го столбца таблицы: 120= *65+ *17+b, решаем уравнение относительно b, получаем b= -17,7 .

В итоге получаем линейную производственную функцию: y= x₁+ x₂ -17,7.

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид у = x₁^a1*x₂ ^a2*b .

По формуле находим коэффициенты уравнения:

а₁ = =0,73;

а₂ = =0,22 .

Получаем уравнение вида у = x₁^0,73*x₂^0,22*b. Для нахождения b подставляем в уравнение исходные данные из 2-го столбца таблицы: 120= 65^0,73*17^0,22*b. Вычисляя, получаем b==3,05.

В результате, производственная функция имеет вид: у = x₁^0,73*x₂^0,22*3,05.



Глава 3. Задания 1, 2, 3

Задание №1. Модель парной регрессии

Цель работы: используя исходные данные, построить модель парной регрессии для изучения зависимости х от у, построить диаграмму рассеяния.

Алгоритм работы:

1. Находим средние значения и величин.

Получим =4,764, =10,2173

2. Находим значение .

Получим =22,6957

3. Находим величину * t, где t - число элементов в выборке.

Получим * t=340,4354

4. Находим произведение х*у.

Находим сумму получившихся значений. Находим произведение средних значений *. Получим =1240,322, *= 48,67538

5. Находим **t.

Получим **t=730,1306

6. Находим .

7. Находим сумму получившихся значений .

Получим =732,8416

8. Находим коэффициенты а и b, используя формулы (1), (2)

b = , (1)

а = (2)

Получим b= 1,300161, a= 4,023365

Модель парной регрессии у= 4,02 + 1,3х

9. Строим диаграмму.

Вывод: задавая разные значения для х, меняется у, следовательно х зависит от у.

Задание 2. Проверка адекватности модели парной регрессии

Цель работы: вычислить коэффициент детерминации для полученной модели, используя различные формы представления коэффициента. Проверить значимость коэффициента детерминации на основании
F-теста.

Основная формула:

У (y_t - )² = У (y_эмп - )² + У (y_t - y_эмп)² ,

или

TSS = ESS + RSS ,

где TSS - полная сумма квадратов;

ESS - сумма квадратов, объясненная моделью;

RSS - остаточная сумма квадратов.

Алгоритм работы:

1. Находим эмпирическое значение y_эмп величины y. Находим 15 значений y_эмп, соответствующие значениям х.

2. Находим ESS. Затем находим сумму получившихся значений.

3. Находим TSS.

4. Находим RSS. Находим сумму получившихся значений.

5. Находим коэффициент детерминации по первой формуле:

R² = ESS/TSS.

Получим R²= 0,996906.

6. Находим коэффициент детерминации по второй формуле:

R² = 1- (RSS/TSS).

Получим R²= 0,996906.

7. Находим коэффициент детерминации по третьей формуле:

R² = r(y, y_эмп )² ,где

r(y, y_эмп )² =cov(y, y_эмп) / (var(y)*var(y_эмп)) ,

cov(y, y_эмп)= 1/( t-1)* У (y- )* (y_эмп-).

Для этого выполняем промежуточные действия:

а) находим .

= 10,21733;

b) находим сумму из формулы ковариации. Находим сумму получившихся значений;

?cov= 663,3309.

с) находим ковариацию.

cov= 47,38077684

d) находим var-дисперсию y и y_эмп.

var y= 47,52784

var y_эмп= 47,38078

e) находим произведение дисперсий.

disp= 2251,905755

f) извлекаем корень из произведения дисперсий.

=47,45425

g) находим коэффициент корреляции r.

r=0,998451725

h) находим коэффициент детерминации по третьей формуле.

Получим = 0,996905847

8. Проверяем адекватность модели с помощью F-теста. Вычисляем значение F-критерия на основе формулы:

F = R²/((1- R²)/(t-2)),

где t =15 - число наблюдений.

Получим F= 4510,663

9. Находим F табличное для уровней значимости 0,05 и 0,01.

Если F, полученное в пункте 8, больше F табличного для данного уровня значимости, то нулевая гипотеза H₀ отклоняется на этом уровне значимости.

Вывод: коэффициент детерминации R²=0,996905847, следовательно 99% детерминированные уравнения.

Задание 3. Сглаживание временного ряда логистической кривой

Цель работы:

Провести моделирование данной выборки 4-мя моделями и по результатам моделирования, выбрать ту модель, которая наиболее соответствует данной выборке и найти MAPE-оценки этой модели при глубине прогноза равной 2-м шагам.

Алгоритм работы:

Оценим степень адекватности моделей и построим графики:

- первая модель - модель без трендов,

- вторая модель - модель с линейным трендом (A2*t),

- третья модель - модель с синусоидальным трендом (A2*sin(w*t)),

- четвертая модель - модель L+A2 sin(Wt+Fi)+A3*t.

MAPE- оценки моделей при глубине прогноза равной 2-м шагам:

Прогноз	1 модель	2 модель	3 модель	4 модель
1 шаг	4,1355	6,2229	6,2926	6,1341
2 шага	4,1355	6,3441	5,8777	6,2719

Вывод:

Самой точной оказалась третья модель - модель с синусоидальным трендом (A2*sin(w*t))



Заключение

Основополагающим в макроэкономике неоклассического направления является понятие производственной функции. Производственной макроэкономической функции можно дать два основных определения:

1) это функция равновесного состояния выпуска продукции и определяющих его факторов производства (капитала, труда, земли, НТП);

2) это соотношение между национальным продуктом и взаимосвязанными факторами богатства общества, используемыми в экономике для его получения.

Производственная функция Кобба-Дугласа - самая известная из всех производственных функций неоклассического типа. Используя данные по американской обрабатывающей промышленности, ученые провели исследование, в результате которого обнаружилось, что производственный результат растет пропорционально росту ресурсов. Действительно, увеличив объемы ресурсов в раз, получим кратное увеличение. Этот эффект в той или иной степени характерен и для производственных функций других экономических объектов.

Для функции Кобба-Дугласа выпуск продукции невозможен при отсутствии хотя бы одного ресурса. Существует ряд проблем по применению такой функции, особенно в тех случаях, когда она используется для экономики в целом. В частности, даже в тех случаях, когда между выпуском продукции, производственным оборудованием и трудом в производственном процессе существует технологическая зависимость, то совершенно необязательно, что подобная зависимость существует тогда, когда указанные факторы комбинируются в масштабах экономики в целом. Даже если такая зависимость для экономики в целом существует, то нет никаких оснований считать, что она будет иметь простую форму. Серьезным недостатком является равенство единице эластичности замещения, которое затрудняет применение этой функции для широкого класса задач.

Итак, производственная функция Кобба-Дугласа - одна из широко применяемых экономических конструкций. Необходимо учитывать, что с помощью производственной функции может быть описана эволюция в прошлом, следовательно, прогноз, сделанный на ее основе, включает известную долю риска. Тем не менее экономисты, исследующие реальные экономические процессы, применяли и продолжают применять производственную функцию Кобба-Дугласа.



Список использованной литературы

1. Баркалов С. А., Демченко К. С., Руссман И. Б. - Модели анализа деятельности производственных объединений на базе функций Кобба-Дугласа.- М.: 2000. - 78 с.

2. Замков О. О., Толстопятенко А.В.,Черемных Ю.Н. - Математические методы в экономике: Учебник/ под общ. ред. А.В.Сидоровича - М.: Издательство «Дело и Сервис», 2001. - 368 с.

3. Ломкова Е. Н., Эпов А. А. - Экономико-математические модели управления производством: Учеб. Пособие / ВолгГТУ, Волгоград, 2005. - 67 с.

4. Лопатников Л. И. Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. -- 5-е изд., перераб. и доп. -- М.: Дело, 2003. -- 520 с.

5. Минюк С. А., Ровба Е. А., Кузьмич К. К. - Математические методы и модели в экономике: Учеб. пособие / Мн.: ТетраСистемс, 2002. - 432 с.

6. Терехов Л.Л. Производственные функции. - М.: Статистика, 2000. - 127 с.

Интернет - ресурсы:

7. http://www.math.kemsu.ru/kmk/subsites/matekon/Chapter4/par4_2.html

8. http://math.immf.ru/lections/03.html

Размещено на Allbest.ru

...