Эконометрика
Основные понятия эконометрики, теории вероятностей и математической статистики. Модель множественной линейной регрессии. Временные ряды. гетероскедастичность и автокоррелированность. Системы одновременных уравнений, особенности их структуры и формы.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | курс лекций |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 10.12.2014 |
| Размер файла | 634,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
1) небольшое изменение исходных данных приводит к существенному изменению оценок регрессии;
2) оценки имеют большие стандартные ошибки, малую значимость, в то время как модель в целом является значимой (при больших коэффициентах детерминации ).
Если при оценке уравнения регрессии несколько факторов оказались незначимыми, то нужно выяснить наличие среди них факторов, сильно коррелированных между собой. При наличии корреляции один из пары связанных между собой факторов исключается. Если статистически незначим лишь один фактор, то он должен быть исключен или заменен другим показателем. В модель регрессии включаются те факторы, которые более сильно связаны с зависимой переменной, но слабо связаны с другими факторами.
2.4.2 Спецификация переменных в уравнениях множественной линейной регрессии
Построение эконометрической модели включает в себя обоснование решения о том, какие объясняющие переменные необходимо включить в уравнение множественной линейной регрессии, т.е. как правильно составить спецификацию модели, от которой в значительной степени зависят свойства оценок коэффициентов регрессии. Здесь возможны две ситуации.
1) В модели отсутствует переменная, которая должна быть включена.
Предположим, что переменная зависит от двух переменных. Однако в модель включена только одна независимая переменная :
.
В этом случае оценка и ее дисперсия являются смещенными. Смещенность оценки связана с тем, что при отсутствии второй переменной в регрессии переменная играет двойную роль: отражает свое прямое влияние и заменяет переменную в описании ее влияния. Для данной регрессии коэффициент детерминации , отражающий общую объясняющую способность переменной в обеих ролях, завышен.
2) В модели включена переменная, которая не должна быть включена.
В этом случае оценки коэффициентов регрессии и их дисперсии являются несмещенными, но не эффективными. Если обнаруживается, что коэффициенты при излишних переменных статистически незначимы, то эти переменные исключаются из модели.
2.4.3 Фиктивные переменные
При исследовании влияния качественных признаков на объясняемую (зависимую) переменную в модель множественной линейной регрессии следует вводить фиктивные переменные, принимающие, как правило, два значения: 1, если данный признак присутствует в наблюдении; 0 - при его отсутствии.
Если включаемый в рассмотрение качественный признак имеет не два, а несколько значений, то используют несколько фиктивных переменных, число которых должно быть на единицу меньше числа значений признака. При назначении фиктивных переменных исследуемая совокупность по числу значений качественного признака разбивается на группы. Одну из групп выбирают как эталонную и определяют фиктивные переменные для остальных. Если качественный признак имеет два значения, то достаточно ввести одну фиктивную переменную. Например, строится модель, характеризующая показатели предприятий двух отраслей промышленности: электроэнергетики и газовой промышленности. Вводится фиктивная переменная, которой присваивается значение 0, если данные относятся к предприятиям электроэнергетики, и значение 1, если данные относятся к предприятиям газовой промышленности. При трех значениях качественного признака следует вводить две фиктивные переменные. Например, строится модель, характеризующая показатели предприятий трех регионов. Вводится одна фиктивная переменная, которой присваивается значение 0, если данные относятся к предприятиям первого региона, и значение 1, если данные относятся к предприятиям двух других регионов. Второй фиктивной переменной присваивается значение 0, если данные относятся ко второму региону, и значение 1, если данные относятся к первому и третьему регионам.
Введение в регрессию фиктивных переменных существенно улучшает качество оценивания.
2.4.4 Сведение нелинейных регрессий к линейным моделям
Нелинейность регрессии может иметь место в части как переменных, так и параметров. Нелинейность по переменной можно устранить заменой переменных. Например, нелинейные уравнения
и
заменами переменных и соответственно сводятся к линейным уравнениям:
и .
Нелинейность по параметру может устраняться различными способами. Наиболее часто нелинейность этого типа устраняется путем логарифмического преобразования уравнения. Например, нелинейные уравнения
и
после логарифмирования сводится к линейным уравнениям относительно новых переменных и параметров
и :
и .
В общем случае параметры нелинейных уравнений регрессии оцениваются с использованием алгоритмов и программ, реализующих численные методы. Современные статистические пакеты программ для ПЭВМ позволяют оценивать параметры нелинейных уравнений регрессии любого типа.
2.5 Прогнозирование с помощью регрессионных уравнений
Прогнозирование - это получение оценок зависимой переменной для некоторого набора независимых переменных, отсутствующего в исходных данных. Различают точечное прогнозирование (с получением точечной оценки) и интервальное прогнозирование. В первом случае оценкой является некоторое число, во втором - интервал, в котором находится истинное значение зависимой переменной с заданным уровнем вероятности (значимости).
Точечная оценка может быть наиболее просто представлена в случае линейной модели парной регрессии:
,
где:
и коэффициенты уравнения регрессии; значение зависимой переменной , предсказанное с использованием уравнения регрессии; значение независимой переменной , для которого необходимо предсказать величину зависимой переменной.
Ошибка предсказания представляет собой разность между предсказанным и действительным значениями. Для оценки этой ошибки определяется стандартная ошибка предсказания, которая для случая линейной регрессии определяется выражением:
,
где:
стандартная ошибка предсказания;
стандартная ошибка регрессии;
число пар данных, используемых для регрессионного анализа;
значение независимой переменной, для которого дается прогноз;
выборочное среднее переменной ;
вариация переменной в выборке.
Чем больше значение отклоняется от выборочного среднего , тем больше дисперсия ошибки предсказания; чем больше объем выборки , тем меньше дисперсия этой ошибки.
Доверительный интервал для прогнозируемого значения зависимой переменной определяется по формуле:
,
где:
критическое значение статистики Стьюдента при заданном уровне значимости и числе степеней свободы (для парной линейной регрессии );
число пар данных в выборке, использованных для получения уравнения регрессии.
Глава 3. Временные ряды. гетероскедастичность и автокоррелированность
3.1 Временные ряды и их моделирование с применением фиктивных переменных
Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов времени. Значение временного ряда формируется под влиянием сочетания длительных, кратковременных и случайных факторов. Факторы, действующие в течение длительного времени, оказывают определяющее влияние на изучаемое явление и формируют основную тенденцию ряда - тренд . Периодические факторы формируют сезонные колебания ряда . Случайные факторы отражаются случайными изменениями уровней ряда .
Аддитивная модель, в которой ряд представлен как сумма перечисленных компонент, имеет вид:
.
Модель, в которой ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной:
.
Из двух моделей указанного типа на основе анализа сезонных колебаний выбирается та, которая наиболее соответствует исходным статистическим данным.
Основная задача экономического исследования временного ряда состоит в том, чтобы выявить каждую из перечисленных компонент ряда. Так, при постоянной (или близкой к ней) амплитуде сезонных колебаний используется аддитивную модель; при существенно меняющейся (возрастающей или убывающей) амплитуде сезонных колебаний используется мультипликативную модель.
Для моделирования временных рядов используют модели парной линейной и нелинейной регрессии, множественной линейной и нелинейной регрессии и другие, специально разработанные модели.
3.2 Моделирование временных рядов с применением фиктивных переменных
Методические особенности построения модели временного ряда рассмотрим на примере ряда, учитывающую основную его тенденцию - тренд - и сезонные колебания с использованием фиктивных переменных.
Предположим, что сезонность можно учесть колебаниями моделируемой переменной по кварталам. Первый квартал каждого года будем считать эталонным кварталом, а для оценки различия между ним и другими кварталами будем использовать три фиктивные переменные. Тогда модель временного ряда представима в виде уравнения множественной линейной регрессии:
,
где: зависимая - объясняемая переменная; время; и фиктивные переменные; и параметры уравнения регрессии; случайное слагаемое.
Фиктивные переменные, введенные в уравнение, определяются следующим образом:
|
Переменная |
1 квартал |
2 квартал |
3 квартал |
4 квартал |
|
|
z1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
z2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
z3 |
0 |
0 |
0 |
1 |
3.3 Автокорреляция уровней временного ряда
Между значениями временного ряда на отдельных его участках может иметь место корреляционная связь. Корреляционная зависимость между последовательными уровнями коэффициента автокорреляции временного ряда называется автокорреляцией уровней ряда.
Коэффициент автокорреляции порядка определяется как коэффициент корреляции между рядом и рядом его смещенных значений :
,
где:
ковариация переменных и ;
и вариации переменных и .
Число периодов , для которого рассчитывается коэффициент автокорреляции, называется лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается или остается постоянным в зависимости от используемой методики оценки.
Последовательность коэффициентов автокорреляции первого, второго и более высоких порядков (называемая автокорреляционной функцией временного ряда) обычно используется для того, чтобы выявить во временном ряде наличие трендовой и сезонных компонент или обосновать отсутствие этих компонент. При явном преобладании коэффициента автокорреляции первого порядка в исследуемом ряде главную роль играет основная тенденция - тренд. При явном преобладании коэффициентов автокорреляции порядка ряд содержит также сезонные колебания с периодом .
3.4 Обнаружение гетероскедастичности. Метод Голдфельда-Квандта
Важнейшей предпосылкой регрессионного анализа является предположение о постоянстве дисперсии случайного слагаемого для всех наблюдений, т.е. гомоскедастичность. Это значит, что для каждого значения объясняющей переменной случайные слагаемые имеют одинаковые дисперсии. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность.
Разработаны различные методы обнаружения гетероскедастичности, в которых делаются различные предположения о зависимости между дисперсией случайного слагаемого и величиной объясняющих переменных (например, тест Голдфельда-Квандта).
Метод Голдфельда-Квандта
Обнаружение гетероскедастичности с использованием этого метода основывается на предположении о том, что стандартное отклонение случайного слагаемого пропорционально значению независимой переменной .
Этапы проверки:
1. Все наблюдений в выборке упорядочиваются по возрастанию переменной .
2. Оцениваются отдельно регрессия для первых и регрессия для последних наблюдений. Средние наблюдений отбрасываются.
3. Составляется статистика:
,
где и суммы квадратов остатков для первых и последних наблюдений соответственно.
Если верна гипотеза об отсутствии гетероскедастичности, то имеет распределение Фишера с степенями свободы, где число объясняющих переменных в уравнении регрессии.
По таблице распределения Фишера определяется критическое значение критерия . Если , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.
Метод Голдфельда-Квандта можно также использовать для обнаружения гетероскедастичности и в том случае, если стандартное отклонение случайного слагаемого обратно пропорционально значениям независимой переменной. В этом случае тестовой статистикой является величина
.
3.5 Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК)
Из-за неэффективности оценок, полученных методом наименьших квадратов (МНК) при наличии гетероскедастичности, используется обобщенный (взвешенный) метод наименьших квадратов (ОМНК). В этом методе вклад данных наблюдений, имеющих большую дисперсию, уменьшается.
В качестве примера рассмотрим теоретическую линейную регрессионную модель с двумя переменными:
,
где:
- объясняющая (независимая) переменная - неслучайная величина;
- объясняемая (зависимая) переменная;
- случайное слагаемое (ошибка регрессии);
порядковый номер наблюдения за реализацией событий;
б и в - параметры уравнения.
Предположим, что в исходной модели регрессии случайные слагаемые гетероскедастичны, что исключает постоянство значений дисперсии ошибок . Если дисперсии в каждом наблюдении известны, то, разделив каждое слагаемое в линейной регрессионной модели на соответствующее ему значение , можно получить преобразованную модель:
.
Для этой модели условие гомоскедастичности выполняется, и потому можно оценить обычным МНК параметры преобразованного уравнения, а затем и параметры исходного уравнения методом ОМНК. Для каждого из этих методов необходима минимизация суммы квадратов отклонений, в процессе которой отдельные слагаемые этой суммы взвешиваются: наблюдениям с большей дисперсией придается меньший вес. Тем самым оценки исходной модели получают непосредственно по оценкам МНК коэффициентов преобразованной модели.
Как правило, на практике дисперсии неизвестны, поэтому их заменяют какими-либо оценками. Для экономических данных дисперсиичасто оказываются пропорциональными значениям объясняющей переменной , что позволяет с помощью обычного МНК оценить параметры преобразованной модели:
.
В этом уравнении коэффициент при будет эффективной оценкой , а постоянное слагаемое - эффективной оценкой .
ОМНК обеспечивает не только несмещенность оценок параметров, но и меньшую дисперсию по сравнению с теми оценками, которые получены при минимизации суммы квадратов без взвешивания отдельных слагаемых.
3.6 Выявление автокорреляции
Одной из самых важных предпосылок регрессионного анализа является независимость случайной слагаемой уравнения регрессии в любом наблюдении от его значений во всех других наблюдениях. Если это условие не выполняется, то говорят, что случайное слагаемое подвержено автокорреляции. При этом коэффициенты регрессии, получаемые методом наименьших квадратов (МНК), оказываются неэффективными, хотя и несмещенными, а их стандартные ошибки занижаются.
Обычно автокорреляция появляется при исследовании данных временных рядов. Возникновение автокорреляции обычно связано с тем, что:
1) либо случайная составляющая уравнения регрессии подвергается воздействию некоторого постоянно действующего фактора, не включаемого в модель;
2) либо текущее значение случайной составляющей коррелированно с ее предыдущими значениями. Поэтому можно ожидать, что при работе с набором одновременных наблюдений явление автокорреляции будет наблюдаться достаточно редко.
Пусть, например, обследуется выборка, состоящая из различных фирм, отраслей промышленности и т.д. Скорее всего, вероятность того, что при таком обследовании значение одной из переменных, заданной для какого-либо объекта, окажется связанной с зафиксированным значением этой же переменной другого объекта, очень мала.
С другой стороны, циклический характер переменных приводит к тому, что при работе с временными рядами явление автокорреляции встречается довольно редко.
Необходимым условием независимости случайных слагаемых является их некоррелированность для каждых двух соседних значений. При этом корреляция между соседними случайными слагаемыми уравнения регрессии оценивается коэффициентом корреляции между ними.
Но значения этих случайных слагаемых обычно на практике неизвестны, поэтому проверяется статистическая некоррелированность остатков и разностей между измеренными значениями объясняемой переменной и расчетными значениями, определяемыми из уравнения регрессии, полученного с использованием обычного МНК. Такой оценкой коэффициента корреляции является коэффициент автокорреляции остатков первого порядка, который имеет вид:
,
где и порядковый номер и общее число наблюдений.
При выявлении автокорреляции выдвигается гипотеза (об отсутствии корреляции первого порядка). Для проверки гипотезы используют статистику Дарбина-Уотсона, рассчитываемую по формуле:
.
Если автокорреляция остатков отсутствует (), то . При положительной автокорреляции () имеем . При отрицательной автокорреляции () Ї . По таблице определяют критические (пороговые) значения критерия Дарбина-Уотсона и для заданного числа наблюдений, числа объясняющих переменных и уровня значимости. По этим значениям интервал (0;
4) разбивается на 5 зон, и в зависимости от того, в какую зону попадает расчетное значение критерия, принимают или отвергают соответствующую гипотезу:
|
Номер зоны |
Диапазон изменения статистики |
Вывод о наличии автокорреляции |
|
|
1 |
(0; d1) |
гипотеза H0 отвергается (положительная автокорреляция) |
|
|
2 |
(d1; d2) |
зона неопределенности |
|
|
3 |
(d2; 4 - d2) |
гипотеза H0 принимается (отсутствие автокорреляции) |
|
|
4 |
(4 - d2; 4 - d1) |
зона неопределенности |
|
|
5 |
(4 - d1; 4) |
гипотеза H0 отвергается (отрицательная автокорреляция) |
Наличие зон неопределенности связано с тем, что распределение статистики зависит не только от числа объясняющих переменных, но и от значений объясняющих переменных.
3.7 Оценивание параметров уравнения регрессии при автокорреляции
Пусть исходное равнение регрессии, содержащее автокорреляцию случайных слагаемых, имеет вид:
,
где:
- объясняющая (независимая) переменная - неслучайная величина;
- объясняемая (зависимая) переменная;
- случайное слагаемое (ошибка регрессии);
порядковый номер наблюдения за реализацией событий;
и - параметры уравнения.
Пусть автокорреляция подчиняется автокорреляционной схеме первого порядка:
,
где:
- коэффициент автокорреляции;
случайное слагаемое, удовлетворяющее предпосылкам, определяющим возможность применения методом наименьших квадратов (МНК).
Данная схема называется авторегрессионной, поскольку определяется значениями этой же величины с запаздыванием, и схемой первого порядка, потому что в этом случае запаздывание равно 1. Величина представляет собой коэффициент корреляции между двумя соседними ошибками.
Предположим, что известно. Преобразуем исходное уравнение регрессии следующим образом:
.
Обозначим:
, .
Это преобразование переменных называется авторегрессионным или преобразованием Бокса-Дженкинса.
Преобразованное уравнение будет иметь вид:
,
где переменная - не содержит автокорреляцию; при этом для оценки параметров и используется обычный МНК.
Теперь коэффициент оценивается непосредственно, а коэффициент рассчитывается по формуле .
На практике величина неизвестна, ее оценка получается одновременно с оценками и в результате различных итеративных процедур (например, процедура Хильдрата-Лу).
Процедура Хильдрата-Лу. Эта процедура, широко применяемая в регрессионных пакетах, основана на использовании следующего алгоритма:
1) преобразованное уравнение оценивается для каждого значения из интервала (-1,1] с заданным шагом внутри него;
2) выбирается то значение с, для которого сумма квадратов остатков в преобразованном уравнении минимальна, а коэффициенты регрессии определяются при оценивании преобразованного уравнения с использованием этого значения.
Глава 4. Системы одновременных уравнений
4.1 Структурная форма уравнений
Структурная форма модели (системы одновременных уравнений) - это система уравнений, в каждом из которых помимо объясняющих (независимых) переменных могут содержаться объясняемые (зависимые) переменные из других уравнений. Уравнения, составляющие исходную модель, называются структурными уравнениями модели.
Простейшая структурная форма модели имеет вид:
,
,
где:
и зависимые и независимые переменные;
и случайные слагаемые;
параметры модели.
Параметры структурной формы модели называются структурными коэффициентами.
Структурная форма модели включает в систему не только уравнение, отражающее взаимосвязи между отдельными переменными, но и уравнения, отражающие тенденцию развития явления - функции времени, а также разного рода уравнения-тождества. Тождества не содержат каких-либо подлежащих оценке параметров, а также не включают случайных слагаемых.
В процессе оценивания параметров одновременных уравнений следует различать эндогенные (внутренние, зависимые) и экзогенные переменные. Эндогенными считаются переменные, значения которых определяются внутри модели. Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений системы. Экзогенными (внешними, независимыми) считаются переменные, значения которых определяются вне модели. Это заданные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.
В качестве экзогенных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени.
Обычно в каждом уравнении предполагается отсутствие корреляции экзогенных переменных со случайной составляющей. Однако в общем случае может иметь место корреляция эндогенных переменных со случайной составляющей, из-за которой использование метода МНК приводит к несостоятельным оценкам структурных коэффициентов. Поэтому для определения этих коэффициентов структурные уравнения модели преобразуют в приведенную форму.
4.2 Приведенная форма уравнений
Приведенной формой уравнений называется система уравнений, в каждом из которых эндогенные переменные выражены только через экзогенные переменные и случайные составляющие. Уравнения, составляющие исходную модель, называют структурными уравнениями модели.
Приведенная форма простейшей исходной модели имеет вид:
,
,
где:
и зависимые и независимые переменные;
параметры приведенной формы модели;
и случайные слагаемые.
Параметры - коэффициенты приведенной формы модели системы уравнений называются коэффициенты приведенной формы (приведенными коэффициентами). Они оцениваются обычным методом наименьших квадратов (МНК), поскольку экзогенные переменные не коррелированны со случайными слагаемыми.
Рассчитанные коэффициенты приведенной формы могут быть использованы для оценивания структурных коэффициентов. Такой способ оценивания структурных коэффициентов называется косвенным методом наименьших квадратов (КМНК).
Структурные коэффициенты можно однозначно выражать через приведенные коэффициенты, или они могут иметь несколько разных оценок, но совсем не выражаться через них.
Структурный коэффициент называется идентифицируемым, если его можно точно вычислить на основе приведенных коэффициентов, точно идентифицируемым, если он имеет единственную оценку, и сверхидентифицируемым, если он имеет несколько разных оценок. В противном случае он называется неидентифицируемым.
Структурное уравнение является идентифицируемым, если идентифицируемы все его коэффициенты. Если хотя бы один структурный коэффициент неидентифицируем, то и все уравнение является неидентифицируемым.
Модель считается идентифицируемой, если каждое ее уравнение идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель является неидентифицируемой.
В зависимости от вида системы одновременных уравнений коэффициенты структурной модели могут быть оценены различными способами. Наиболее распространены следующие методы:
· метод инструментальных переменных (ИП);
· косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);
· двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).
4.3 Случай идентифицируемости: косвенный метод наименьших квадратов и метод инструментальных переменных
Предположим, что необходимо оценить параметры уравнения функции потребления в простой модели Кейнса формирования доходов:
функция потребления,
тождество доходов,
где: и объем потребления, совокупный доход и инвестиции соответственно; и структурные коэффициенты, причем характеризует предельную склонность к потреблению; случайное слагаемое.
В исходной модели эндогенные (внутренние, зависимые) переменные, экзогенная - внешняя, независимая переменная. Непосредственное оценивание параметров и в структурном уравнении функции потребления дает смещенные и несостоятельные оценки, так как объясняющая переменная является эндогенной зависимой переменной. Разрешая структурную систему относительно эндогенных переменных, можно получить приведенную систему уравнений:
,
.
В приведенной системе уравнений коэффициенты при переменной , равные и , представляют собой инвестиционные мультипликаторы потребления и дохода соответственно. Они показывают: если объем инвестиций возрастает на 1, то объем потребления увеличится на , а совокупный доход возрастет на .
Известны разные методы оценивания структурных коэффициентов и .
Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК). Уравнение для в приведенной форме имеет вид:
, где .
Уравнение в приведенной форме включает экзогенную переменную , которая некоррелирована со случайным слагаемым , поэтому для оценки параметров и можно использовать обычный метод наименьших квадратов. Оцененное с помощью МНК уравнение в приведенной форме, полученное по выборочным данным, будет иметь вид:
,
где и оценки параметров и .
Полученные таким образом оценки будут представлять собой несмещенные и состоятельные оценки параметров и .
Используя приведенные выше соотношения параметров исходной (структурной) системы уравнений и приведенной системы уравнений, можно получить оценки параметров структурной системы уравнений:
.
Поскольку получены единственные оценки и структурных коэффициентов через оценки и приведенных коэффициентов, то структурное уравнение функции потребления является однозначно определенным - точно идентифицируемым.
Проблема коррелированности объясняющей переменной со случайным слагаемым в структурном уравнении для может быть разрешена с помощью метода инструментальных переменных. Для применения этого метода необходимо найти такую инструментальную переменную, которая обладает следующими свойствами:
1) коррелируется с неудачно объясняющей переменной ;
2) не коррелируется со случайным слагаемым .
В рассматриваемом примере в качестве инструментальной переменной может быть использована величина . Она коррелированна с , так как зависит от (что следует из исходных уравнений), и не коррелируется с , поскольку является экзогенной (внешней) переменной.
4.4 Случай сверхидентифицируемости: метод инструментальных переменных и двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК)
Случай сверхидентифицируемой системы уравнений рассмотрим на примере модели формирования доходов Кейнса:
функция потребления,
тождество доходов,
где: и объем потребления, совокупный доход, инвестиции и государственные расходы соответственно; и структурные коэффициенты, причем характеризует предельную склонность к потреблению; случайное слагаемое.
В исходной модели эндогенные переменные, и экзогенные.
Разрешая структурную систему относительно эндогенных переменных, получим приведенную систему уравнений вида:
,
.
Для оценивания структурных коэффициентов и используются различные методы.
Метод инструментальных переменных. В структурном уравнении функции потребления в качестве инструментальных переменных для можно использовать или . В зависимости от выбора инструментальной переменной полученные оценки и будут различаться, но в обоих случаях они будут состоятельными. Поэтому в данном случае в качестве инструментальной переменной наиболее целесообразно выбрать комбинацию и .
Структурное уравнение с избыточным числом экзогенных переменных, которые можно использовать как инструментальные, является переопределенным (сверхидентифицируемым).
Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК). Двухшаговый МНК можно рассматривать как частный случай конструирования наилучшей из возможных комбинаций инструментальных переменных, если в качестве последних использовать избыточные экзогенные переменные, имеющиеся в уравнении. Выше было отмечено, что при использовании метода инструментальных переменных структурное уравнение функции потребления оказывается переопределенным, и потому для определения функции выбирается линейная комбинация двух переменных и :
,
где и коэффициенты, подлежащие оценке.
На первом шаге ДМНК вместо переменной может быть выбрана регрессионная оценка приведенного уравнения для переменной с помощью обычного МНК:
.
Подставляя теоретические значения в структурное уравнение функции потребления (вместо фактических значений), получают уравнение:
.
На втором шаге ДМНК обычным методом МНК оценивают параметры и этого уравнения. При этом оценки структурных коэффициентов будут состоятельными.
Двухшаговый МНК можно рассматривать как способ конструирования наилучшей из возможных комбинаций инструментальных переменных, если в уравнении имеется избыток экзогенных переменных, которые можно использовать как инструментальные.
4.5 Случай неидентифицируемости
В случае неидентифицируемости структурной модели в нее необходимо ввести новые переменные, с помощью которых можно было бы добиться идентифицируемости модели. Рассмотрим модель спроса и предложения:
уравнение спроса: ,
уравнение предложения: ,
тождество равновесия: ,
где: цена товара; и - параметры; и случайные слагаемые. Переменные являются эндогенными, их значения определяются в процессе установления рыночного равновесия.
В рассматриваемой модели нет экзогенных переменных, поэтому ни одно из этих уравнений не является идентифицируемым. Чтобы модель имела статистическое решение, в нее необходимо ввести экзогенные переменные.
Если все продавцы товара облагаются специальным налогом , который они должны платить с выручки, то данные об этом налоге могут быть включены в состав данных, используемых для анализа. При этом уравнения спроса останется неизменным, если переменная означает рыночную цену, а уравнение предложения изменится. Система примет вид:
уравнение спроса: ,
уравнение предложения: ,
тождество равновесия: ,
где: экзогенная переменная; дополнительный параметр.
Уравнение спроса будет идентифицируемым, поскольку переменная не включена в него и может выступать в качестве инструментальной для переменной , а уравнение предложения - неидентифицируемым.
В уравнение спроса можно включить переменную доход на душу населения, при этом система примет вид:
уравнение спроса: ,
уравнение предложения: ,
тождество равновесия: ,
где:
экзогенная переменная - доход на душу населения;
дополнительный параметр.
Экзогенную переменную можно использовать в качестве инструментальной переменной для уравнения спроса. В итоге полученная модель представляет собой точно идентифицируемую модель спроса и предложения.
4.6 Применение ограничений коэффициентов системы уравнений
В некоторых случаях неидентифицируемая модель может быть превращена в идентифицируемую путем задания соотношения между структурными коэффициентами. Такой метод носит название метода ненулевого ограничения. Рассмотрим этот метод на примере неидентифицируемой модели спроса и предложения:
уравнение спроса: ,
уравнение предложения: ,
тождество равновесия: ,
где: цена товара; экзогенная переменная - налог с продаж; и параметры; и случайные слагаемые.
Улучшить спецификацию модели можно, введя ограничение на коэффициенты . Тогда система исходных данных - структурных уравнений преобразуется к виду:
уравнение спроса: ,
уравнение предложения: ,
тождество равновесия: .
Благодаря введению ограничения на коэффициенты уравнение предложения стало идентифицируемым. Действительно, преобразованную систему можно рассмотреть как новую версию модели - систему из 4 уравнений:
уравнение спроса: ,
уравнение предложения: ,
тождество цены товара для продавца ,
тождество равновесия: ,
где: цены товара для продавца (сумма, остающаяся у продавца после уплаты налога).
Последние два уравнения системы являются уравнениями-тождествами и не требуют проверки на идентификацию. Переменная не включена в уравнение спроса, поэтому она может быть использована в качестве инструментальной для переменной . В результате с помощью метода наименьших квадратов можно получить уравнение регрессии вида:
,
где и коэффициенты, подлежащие оценке.
Так как переменная не включена в уравнение предложения, то она также может использоваться в качестве инструментальной для переменной . Полученная модель в целом является точно определенной (точно идентифицируемой).
Таким образом, наличие ограничения на коэффициенты системы уравнений (называемого ненулевым ограничением) позволяет исключить одну объясняющую переменную из уравнения. Если эта переменная эндогенная, для нее не нужно искать инструментальную переменную; если экзогенная, то она может использоваться в качестве инструментальной для одной из эндогенных переменных, оставшихся в уравнении.
4.7 Порядковое условие для идентификации уравнений
Коэффициенты системы уравнений приведенной формы оцениваются обычным методом наименьших квадратов (МНК), если экзогенные переменные не коррелированны со случайным слагаемым. В противном случае используются различные модификации МНК.
Коэффициент уравнения называется идентифицируемым, если его можно вычислить на основе приведенных коэффициентов, причем точно идентифицируемым, если он единственный, и сверхидентифицируемым, если он имеет несколько разных оценок. В противном случае он называется неидентифицируемым.
Какое-либо структурное уравнение является идентифицируемым, если идентифицируемы все его коэффициенты. Если хотя бы один структурный коэффициент неидентифицируем, то и все уравнение является неидентифицируемым.
Модель считается идентифицируемой, если каждое ее уравнение идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель неидентифицируема.
В общем случае отдельное структурное уравнение системы является идентифицируемым, если имеется достаточное количество экзогенных (внешних) переменных (не включенных в само уравнение), которые можно использовать в качестве инструментальных для всех эндогенных объясняющих переменных уравнения. Пусть число экзогенных переменных, не включенных в уравнение, но присутствующих в системе; а число эндогенных переменных уравнения.
Уравнение структурной модели может быть идентифицируемо, если выполняется порядковое условие, т.е. число не включенных в него объясняющих экзогенных переменных не меньше числа включенных в него эндогенных переменных:
.
Порядковое условие является необходимым, но недостаточным для идентификации. В частности:
если , то уравнение точно идентифицируемо;
если , то уравнение сверхидентифицируемо;
если , то уравнение идентифицируемо.
4.8 Рекомендации к применению методов оценивания
Приступать к оцениванию того или иного уравнения системы одновременных уравнений необходимо после того, как с помощью метода инструментальных переменных установлена его идентифицируемость.
Для решения задачи по определению параметров точно идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), а для решения задачи по определению параметров сверхидентифицируемого уравнения - двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).
Метод КМНК включает в себя следующие этапы:
1. Структурная (исходная) модель преобразуется в приведенную форму.
2. Для каждого приведенного уравнения обычным методом МНК определяются приведенные коэффициенты.
3. Оценки приведенных коэффициентов пересчитываются в оценки параметров структурных уравнений.
Метод ДМНК включает в себя следующие этапы:
1. На основе приведенной формы модели для сверхидентифицируемого уравнения получают теоретические (расчетные) значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения.
2. Подставляя теоретические значения эндогенных переменных (вместо их фактических значений) в сверхидентифицируемое уравнение, с помощью обычного метода МНК определяют структурные коэффициенты этого уравнения.
Метод получил название двухшагового, так как метод МНК используется дважды: при нахождении теоретических значений эндогенных переменных из приведенной формы модели и при определении структурных коэффициентов по теоретическим значениям эндогенных переменных и исходным данным экзогенных переменных.
Трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК) применяют при оценивании параметров всей системы уравнений в целом, если переменные, объясняемые в одном уравнении, в другом выступают в роли объясняющих. Например, в модели спроса и предложения, где, с одной стороны, спрос и предложение определяются рыночной ценой, а с другой - предложение должно быть равно спросу. При расчете параметров таких моделей учитывается вся система соотношений.
Алгоритм данного метода реализуется в три этапа. На первых двух этапах используется двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК) для определения обычных коэффициентов регрессии.
После этого нужно увязать все уравнения системы между собой. В качестве меры устранения корреляции случайных членов используется матрица ковариаций ошибок моделей. Чтобы оценить, насколько несвязанными получаются уравнения спроса и предложения при расчете их отдельно, на последующем этапе при очередном счете коэффициентов регрессии учитывается матрица ковариаций ошибок регрессионных уравнений модели. Таким приемом достигается взаимосвязанность всей системы уравнений.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Построение обобщенной линейной модели множественной регрессии, ее суть; теорема Айткена. Понятие гетероскедастичности, ее обнаружение и методы смягчения проблемы: тест ранговой корреляции Спирмена, метод Голдфелда-Квандта, тесты Глейзера, Парка, Уайта.
контрольная работа [431,2 K], добавлен 28.07.2013Расчет корреляции между экономическими показателями; построение линейной множественной регрессии в программе Excel. Оценка адекватности построенной модели; ее проверка на отсутствие автокорреляции и на гетероскедастичность с помощью теста Бреуша-Пагана.
курсовая работа [61,2 K], добавлен 15.03.2013Определение временных и пространственных данных в эконометрике. Коэффициент детерминации и средняя ошибка аппроксимации как показатели качества однофакторной модели в эконометрике. Особенности построения множественной регрессивной модели. Временные ряды.
контрольная работа [804,3 K], добавлен 15.11.2012Задачи эконометрики, ее математический аппарат. Взаимосвязь между экономическими переменными, примеры оценки линейности и аддитивности. Основные понятия и проблемы эконометрического моделирования. Определение коэффициентов линейной парной регрессии.
контрольная работа [79,3 K], добавлен 28.07.2013Выборка и генеральная совокупность. Модель множественной регрессии. Нестационарные временные ряды. Параметры линейного уравнения парной регрессии. Нахождение медианы, ранжирование временного ряда. Гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда.
задача [62,0 K], добавлен 08.08.2010Анализ влияния основных социально-экономических показателей на результативный признак. Особенности классической линейной модели множественной регрессии, ее анализ на наличие или отсутствие гетероскедастичности в регрессионных остатках и их автокорреляции.
лабораторная работа [573,8 K], добавлен 17.02.2014Основы построения и тестирования адекватности экономических моделей множественной регрессии, проблема их спецификации и последствия ошибок. Методическое и информационное обеспечение множественной регрессии. Числовой пример модели множественной регрессии.
курсовая работа [3,4 M], добавлен 10.02.2014Оценка распределения переменной Х1. Моделирование взаимосвязи между переменными У и Х1 с помощью линейной функции и методом множественной линейной регрессии. Сравнение качества построенных моделей. Составление точечного прогноза по заданным значениям.
курсовая работа [418,3 K], добавлен 24.06.2015Понятие взаимосвязи между случайными величинами. Ковариация и коэффициент корреляции. Модель парной линейной регрессии. Метод наименьших квадратов, теорема Гаусса-Маркова. Сравнение регрессионных моделей. Коррекция гетероскедастичности, логарифмирование.
курс лекций [485,1 K], добавлен 02.06.2011Расчет параметров A и B уравнения линейной регрессии. Оценка полученной точности аппроксимации. Построение однофакторной регрессии. Дисперсия математического ожидания прогнозируемой величины. Тестирование ошибок уравнения множественной регрессии.
контрольная работа [63,3 K], добавлен 19.04.2013Особенности расчета параметров уравнений линейной, степенной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной и экспоненциальной регрессии. Методика определения значимости уравнений регрессии. Идентификация и оценка параметров системы уравнений.
контрольная работа [200,1 K], добавлен 21.08.2010Понятие о взаимосвязях в эконометрике. Сопоставление параллельных рядов. Корреляция альтернативных признаков. Оценка надежности параметров парной линейной регрессии и корреляции. Коэффициенты эластичности в парных моделях. Парная нелинейная корреляция.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 29.06.2015Понятие модели множественной регрессии. Сущность метода наименьших квадратов, который используется для определения параметров уравнения множественной линейной регрессии. Оценка качества подгонки регрессионного уравнения к данным. Коэффициент детерминации.
курсовая работа [449,1 K], добавлен 22.01.2015Построение модели множественной линейной регрессии по заданным параметрам. Оценка качества модели по коэффициентам детерминации и множественной корреляции. Определение значимости уравнения регрессии на основе F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
контрольная работа [914,4 K], добавлен 01.12.2013Факторы, формирующие цену квартир в строящихся домах в Санкт-Петербурге. Составление матрицы парных коэффициентов корреляции исходных переменных. Тестирование ошибок уравнения множественной регрессии на гетероскедастичность. Тест Гельфельда-Квандта.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 14.05.2015Основные этапы эконометрического исследования. Система совместных, одновременных уравнений. Понятие эконометрических уравнений. Система независимых уравнений. Пример модели авторегрессии. Система линейных одновременных эконометрических уравнений.
курсовая работа [41,2 K], добавлен 17.09.2009Анализ метода наименьших квадратов для парной регрессии, как метода оценивания параметров линейной регрессии. Рассмотрение линейного уравнения парной регрессии. Исследование множественной линейной регрессии. Изучение ошибок коэффициентов регрессии.
контрольная работа [108,5 K], добавлен 28.03.2018Методологические основы эконометрики. Проблемы построения эконометрических моделей. Цели эконометрического исследования. Основные этапы эконометрического моделирования. Эконометрические модели парной линейной регрессии и методы оценки их параметров.
контрольная работа [176,4 K], добавлен 17.10.2014Выбор факторных признаков для двухфакторной модели с помощью корреляционного анализа. Расчет коэффициентов регрессии, корреляции и эластичности. Построение модели линейной регрессии производительности труда от факторов фондо- и энерговооруженности.
задача [142,0 K], добавлен 20.03.2010Определение, цели и задачи эконометрики. Этапы построения модели. Типы данных при моделировании экономических процессов. Примеры, формы и моделей. Эндогенные и экзогенные переменные. Построение спецификации неоклассической производственной функции.
презентация [1010,6 K], добавлен 18.03.2014
