Экономико-математическое моделирование производственных систем

Размещено на http://www.allbest.ru

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.Г.ШУХОВА»

(БГТУ им. В.Г. Шухова)

Кафедра экономики и организации производства

РГЗ

по дисциплине: «Экономико-математическое моделирование производственных систем»

Вариант 11

Студентка: Жоау Домингаш

Группа: ФК-31

Руководители:

Гавриловская C.П., Бугаенко Л.В.

Белгород 2014



Содержание

1. Использование математических методов и моделей в управлении микроэкономическими системами

2. Задание 1

3. Задание 2

Список использованной литературы



1. Использование математических методов и моделей в управлении микроэкономическими системами

математический микроэкономический матрица затрата баланс

Раздел I. «Сетевые модели»

1. Построение сети.

Данная ориентированная сеть состоит из 7 вершин, соединенных 8 ребрами. Источник - вершина 1, сток - вершина 7. Веса ребер указаны на сети, а также в таблице 1.

Размещено на http://www.allbest.ru

Таблица 1

Ребро (i, j)	Вес ребра (i, j)
(1, 2)	5
(1, 4)	11
(2, 3)	4
(3, 4)	2
(4, 5)	3
(4, 7)	15
(5, 6)	8
(6, 7)	3

2. Построение минимального остовного дерева.

Минимальное остовное дерево - это остовное дерево графа, имеющее минимальный возможный вес, где под весом дерева понимается сумма весов входящих в его рёбер.

Размещено на http://www.allbest.ru

Шаг 0: C₀ = Ш, = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Размещено на http://www.allbest.ru

Шаг 1: C₁ = {1}, = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

Размещено на http://www.allbest.ru

Шаг 2: min l (1-2) = 5, j* = {2}, C₂ = {1, 2}, = {3, 4, 5, 6, 7}



Размещено на http://www.allbest.ru

Шаг 3: min l (2-3) = 4, j* = {3}, C₃ = {1, 2, 3}, = {4, 5, 6, 7}

Размещено на http://www.allbest.ru

Шаг 4: min l (3-4) = 2, j* = {4}, C₄ = {1, 2, 3, 4}, = {5, 6, 7}

Размещено на http://www.allbest.ru

Шаг 5: min l (4-5) = 3, j* = {5}, C₅ = {1, 2, 3, 4, 5}, = {6, 7}



Размещено на http://www.allbest.ru

Шаг 6: min l (5-6) = 8, j* = {6}, C₆ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, = {7}

Размещено на http://www.allbest.ru

Шаг 7: min l (6-7) = 3, j* = {7}, C₇ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, = Ш



Минимальное остовное дерево будет выглядеть следующим образом:

Размещено на http://www.allbest.ru

Сумма весов ребер остовного дерева равна 5+4+2+3+8+3 = 25 ед.

Пример:

Необходимо соединить населенные пункты под номерами 1 - 7 автомобильными дорогами, при условии, что их протяженность будет минимальна.

Расстояния указаны рядом с каждым ребром сети.

Построение минимального остовного дерева решает эту задачу.

При этом протяженность автомобильных дорог, соединяющих все населенные пункты, будет равна 25 километрам.

2. Нахождение кратчайшего маршрута.

Нахождение кратчайшего маршрута заключается в соединении источника (1) со стоком (7) минимальным расстоянием.

Шаг 1: Начальная точка {1}.

Находим кратчайший маршрут до следующей точки.



Размещено на http://www.allbest.ru

Шаг 2: Точки {1} и {2} соединяем кратчайшим маршрутом со следующей точкой

Размещено на http://www.allbest.ru

Шаг 3: Точки {1} и {3} соединяем кратчайшим маршрутом со следующей точкой.



Размещено на http://www.allbest.ru

В результате получаем два альтернативных пути - один из них обозначен пунктиром.

Размещено на http://www.allbest.ru

Шаг 4: Точку {4} соединяем кратчайшим маршрутом со следующей точкой.

Шаг 5: Точки {4} и {5} соединяем кратчайшим маршрутом со следующей точкой.



Размещено на http://www.allbest.ru

Шаг 6: Точки {4} и {6} соединяем кратчайшим маршрутом со следующей точкой.

Размещено на http://www.allbest.ru

В результате итераций мы нашли кратчайшие маршруты, записанные ниже в таблицу 2.



Таблица 2

Узел сети	Кратчайший маршрут
	топология	протяженность
2	1-2	5
3	1-2-3	9
4	1-2-3-4 или 1-4	11
5	1-2-3-4-5 или 1-4-5	14
6	1-2-3-4-5-6 или 1-4-5-6	22
7	1-2-3-4-5-6-7 или 1-4-5-6-7	25

Пример:

Транспортная компания выбирает маршрут из пункта 1 в пункт 7 для доставки товара и желает сократить время в пути своего автотранспорта. Время необходимое для перевозки товара по каждому участку пути обозначено рядом с каждым ребром сети. Необходимо проложить маршрут, обеспечивающий минимальное время автотранспорта в пути.

С помощью алгоритма построения кратчайшего маршрута такой тип задачи можно решить. В результате расчетов минимальное время в пути будет составлять 25 часов.

3. Нахождение максимального потока.

Найти максимальный поток можно одним из нижеописанных способов.

3.1 Серия последовательных шагов.

На графиках укажем степень насыщения потока над каждым ребром, а в скобках остаточную пропускную способность.

Шаг 1: построим поток 1-2-3-4-5-6-7 и найдем максимальную пропускную способность этого пути.

Min (C_ij) = C₃₄ = 2

Ц₁ = 2



Размещено на http://www.allbest.ru

Поток не полный

Шаг 2: построим поток 1-4-5-6-7

Min (C_ij) = C₄₅ = 1

Ц₂ = Ц₁ + 1= 3

Размещено на http://www.allbest.ru

Поток не полный

Шаг 3: построим поток 1-4-7

Min (C_ij) = C₁₄ = 10

Ц₃ = Ц₂ + 10= 13



Размещено на http://www.allbest.ru

Ц₃ =13 - полный поток

3.2 Метод разделяющих сечений

Обозначим все возможные разделяющие сечения данной сети и опишем их характеристики ниже.

Размещено на http://www.allbest.ru

1) Ч = {1}, = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

С₁ = С(1; 2) + С(1; 3) = 5+11=16

2) Ч = {1, 2}, = {3, 4, 5, 6, 7}

С₂ = С(1; 4) + С(2; 3) = 11+4=15

3) Ч = {1, 3}, = {2, 4, 5, 6, 7}

С₃ = С(1; 2) + С(2; 3) + С(1, 4) + С(3, 4) = 5+4+11+2=22

4) Ч = {1, 2, 3}, = {4, 5, 6, 7}

С₄ = С(1; 4) + С(3, 2) = 11+2=13

5) Ч = {1, 2, 3, 4}, = {5, 6, 7}

С₅ = С(4; 5) + С(4, 7) = 3+15=18

6) Ч = {1, 2, 3, 4, 5}, = {6, 7}

С₆ = С(4; 7) + С(5, 6) = 8+15=23

7) Ч = {1, 2, 3, 4, 6}, = {5, 7}

С₇ = С(4; 5) + С(4, 7) + С(5, 6) + С(6, 7) = 3+15+8+3=29

8) Ч = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, = {7}

С₈ = С(4; 7) + С(6, 7) = 15+3=18

Минимальное сечение:

Max Ц = min C_i = min(16, 15, 22, 13, 18, 23, 29, 18) = 13

3.3 Ребра, обеспечивающие пропуск максимального потока через заданную сеть - выделены зеленым цветом. В скобках указана неиспользованная пропускная способность ребра.

Размещено на http://www.allbest.ru

Пример:

Компания, занимающаяся прокладкой газопровода, решает задачу о замене некоторых участков, в связи с увеличившимся спросом у потребителей. Для этого необходимо выявить «узкие» участки газопровода. Пропускные способности каждого участка указаны рядом с ребрами.

После построения полного и максимального потока видно, что участки 1 - 4, 3 - 4, 4 - 5, 6 - 7 нагружены полностью, в то время как на участках 1 - 2, 2 - 3, 4 - 7, 5 - 6 не использована пропускная способность в размерах 3, 2, 5, 5 соответственно.

Раздел II. «Использование метода анализа иерархий для организации поставок»

Предприятие решает вопрос о продлении договора на поставку с одним из поставщиков, основываясь на результатах работы по уже заключенным договорам. Поставщики оцениваются по критериям:

К1 - надежность поставки

К2 - цена

К3 - качество товара

К4 - условия платежа

К5 - возможность внеплановых поставок

Матрица сравнений критериев относительно цели:

Матрицы сравнения альтернатив (поставщиков) относительно критериев:



k1 k2 k3 k4 k5

Найдем веса критериев и проверим согласованность матрицы сравнения критериев. При несогласованности матрицы найдем противоречия в суждениях ЛПР, изменим результаты сравнения и проверим согласованность матрицы заново.

Для матрицы сравнения критериев относительно цели найдем собственный вектор и вес каждого критерия:

Критерий	k1	k2	k3	k4	k5	собственный вектор	вес
k1	1	5	8	2	7	3,545	0,535
k2	1/5	1	3	4	1/2	1,037	0,157
k3	1/8	1/3	1	2	1	0,608	0,092
k4	1/2	1/4	1/2	1	1/3	0,461	0,070
k5	1/7	2	1	3	1	0,970	0,146
					У	6,621	1,000

Проверим согласованность матрицы:

n = 5

L = 0,229

R = 1,120

T = 0,204 > 0,1 - уровень согласованности не приемлем.

Изменим суждения ЛПР для достижения согласованности матрицы.

n = 5

L = 0,049

R = 1,120

T = 0,043 < 0,1 - уровень согласованности приемлем.

1. Найдем веса альтернатив по критериям и проверим их согласованность.



Альтернативы относительно критерия k1

Альтернативы	A1	A2	A3	A4	собственный вектор	вес
A1	1,000	7,000	0,500	8,000	2,300	0,480
A2	0,143	1,000	0,125	3,000	0,481	0,100
A3	2,000	8,000	1,000	0,200	1,337	0,279
A4	0,125	0,333	5,000	1,000	0,676	0,141
					4,795	1,000

Проверим согласованность матрицы:

n = 4

L = 0,925

R = 0,900

T = 1,027 > 0,1 - матрица не согласована.

Альтернативы относительно критерия k2

Альтернативы	A1	A2	A3	A4	собственный вектор	вес
A1	1,000	4,000	6,000	8,000	3,722	0,654
A2	0,250	1,000	8,000	0,143	0,731	0,129
A3	0,167	0,125	1,000	3,000	0,500	0,088
A4	0,125	7,000	0,333	1,000	0,735	0,129
					5,688	1,000



n = 4

L = 0,495

R = 0,900

T = 0,550 > 0,1 - матрица не согласована.

Альтернативы относительно критерия k3

Альтернативы	A1	A2	A3	A4	собственный вектор	вес
A1	1,000	4,000	0,111	8,000	1,373	0,282
A2	0,250	1,000	1,000	2,000	0,841	0,173
A3	9,000	1,000	1,000	3,000	2,280	0,468
A4	0,125	0,500	0,333	1,000	0,380	0,078
					4,873	1,000

n = 4

L = 0,760

R = 0,900

T = 0,844 > 0,1 - матрица не согласована.

Альтернативы относительно критерия k4

Альтернативы	A1	A2	A3	A4	собственный вектор	вес
A1	1,000	4,000	6,000	8,000	3,722	0,637
A2	0,250	1,000	3,000	2,000	1,107	0,189
A3	0,167	0,333	1,000	3,000	0,639	0,109
A4	0,125	0,500	0,333	1,000	0,380	0,065
					5,848	1,000

n = 4

L = 0,041

R = 0,900

T = 0,046 < 0,1 - матрица согласована.

Альтернативы относительно критерия k5

Альтернативы	A1	A2	A3	A4	собственный вектор	вес
A1	1,000	0,250	6,000	8,000	1,861	0,402
A2	4,000	1,000	0,333	2,000	1,278	0,276
A3	0,167	3,000	1,000	3,000	1,107	0,239
A4	0,125	0,500	0,333	1,000	0,380	0,082
					4,626	1,000



n = 4

L = 0,808

R = 0,900

T = 0,898 > 0,1 - матрица не согласована.

2. Определим наилучшую альтернативу-поставщика, с которым следует продлить договор.

V_A1 = 0,489

V_A2 = 0,143

V_A3 = 0,249

V_A4 = 0,119

Наилучшая альтернатива A1, следовательно, необходимо продлить договор с первым поставщиком.

2. Задание 1

Условие:

Изготовляемый на пяти кирпичных заводах кирпич поступает на шесть строящихся объектов. Ежедневное производство кирпича и потребность в нем указаны в таблице ниже. В таблице также указана цена перевозки 1000 шт. кирпича с каждого из заводов к каждому из объектов:

Составить план перевозок, согласно которому обеспечиваются потребности в кирпиче на каждом из строящихся объектов при минимальной общей стоимости перевозок.

Решение:

Составим экономическую модель задачи:

Z=8х₁₁+7х₁₂+5х₁₃+10х₁₄+12х₁₅+8х₁₆+13х₂₁+8х₂₂+10х₂₃+7х₂₄+6х₂₅+13х₂₆+ 12х₃₁+4х₃₂+11х₃₃+9х₃₄+10х₃₅+11х₃₆+14х₄₁+6х₄₂+12х₄₃+13х₄₄+7х₄₅+14х₄₆+9х₅₁+ 12х₅₂+14х₅₃+15х₅₄ +8х₅₅+13х₅₆ min

х₁₁+х₁₂+х₁₃+х₁₄+х₁₅+х₁₆=240;

х₂₁+х₂₂+х₂₃+х₂₄+х₂₅+х₂₆=360;

х₃₁+х₃₂+х₃₃+х₃₄+х₃₅+х₃₆=180;

х₄₁+х₄₂+х₄₃+х₄₄+х₄₅+х₄₆=120;

х₅₁+х₅₂+х₅₃+х₅₄+х₅₅+х₅₆ =150;

х₁₁+ х₂₁+ х₃₁+ х₄₁+ х₅₁=230;

х₁₂+ х₂₂+ х₃₂+ х₄₂+ х₅₂=220;

х₁₃+ х₂₃+ х₃₃+ х₄₃+ х₅₃=130;

х₁₄+х₂₄+х₃₄+х₄₄+х₅₄=170;

х₁₅+х₂₅+ х₃₅+ х₄₅+ х₅₅=190;

х₁₆+х₂₆+х₃₆+х₄₆+х₅₆=110.

х_11;…_; х₅₆?0.



Введем условие задачи в MS Excel.

Оформим модель решения:

Для решения используем инструмент «Поиск решения»:



В итоге получим:

Вывод: Таким образом матрица перевозок будет выглядеть так:



80 0 130 0 0 30

Х= 0 0 0 170 190 0

0 100 0 0 0 80

0 120 0 0 0 0

150 0 0 0 0 0

А целевая функция, представляющая стоимость перевозок так:

Z=7210.

3. Задача 2

Условие:

На основании данных, приведенных в таблице, рассчитать коэффициенты прямых и полных материальных затрат. Заполнить таблицу межотраслевого баланса. Расчеты выполнить в программе Excel.

Найти изменения валовых выпусков при увеличении конечного выпуска первой отрасли на 15%, второй на 22% и неизменном конечном выпуске третьей отрасли.

Решение:

Для нахождения матрицы коэффициентов прямых затрат найдем валовую продукцию:



Теперь рассчитаем саму матрицу:

В итоге получаем:

Результаты представим в форме межотраслевого баланса, где чистая продукция определяется как разница между валовой продукцией отрасли и суммой межотраслевых потоков в столбцах.

Рассчитаем матрицу коэффициентов полных материальных затрат В. В программе Excel выделим диапазон ячеек для матрицы (G17:I19). Введем формулу =МОБР(B17:D19-B2:D4), нажмем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

ри увеличении конечного выпуска первой отрасли на 15%, второй на 22% и неизменном конечном выпуске третьей отрасли, вектор конечного выпуска Y будет иметь следующий вид:

Получим следующий валовый выпуск:

X=(259; 185,5; 160)

Изменения валовых выпусков составят:

?X₁=259-250=9

?X₂=185,5-180=5,5

?X₃=160-160=0

Вывод: Таким образом, при увеличении конечного выпуска первой отрасли на 15%, второй на 22% и неизменном конечном выпуске третьей отрасли, изменения валовых выпусков соответственно составили: 9; 5,5 и 0.



Список использованной литературы

1. Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Исследование операций: учеб. - М.: «Издательство Проспект»,2006.

2. Таха Хемди А. Введение в исследование операций. - М. Издательский дом «Вильямс», 2005.

3. Экономико-математическое моделирование: учебник под общ. ред. И.Н. Дрогобыцкого. - М. «Экзамен», 2006.

4. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений: - М.: Логос, 2003.

5. Тимашков П.С. Математические методы принятия решений: Учеб.пособие МГУПЭСИ - М., 2003.

6. Лагоша Б.А. Моделирование микроэкономических процессов и систем в инвестиционной деятельности : Учеб.пособие. - М.: Изд-во МГОУ, 2007.

7. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: - М.: Финансы и статистика, 2002.

8. Математические методы и модели исследования операций: учеб. Под ред. В.А. Колемаева. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2008.

Размещено на Allbest.ru

...