Размещено на http://www.allbest.ru/

• Оглавление
• 1. Ситуационная (практическая) задача № 1
• 2. Ситуационная (практическая) задача № 2
• 3. Тестовые задания
• Список литературы
• 1. Ситуационная (практическая) задача № 1
• Предполагается, что объем предложения Y некоторого блага для функционирующей в условиях конкуренции фирмы линейно зависит от цены этого блага X1 и заработной платы X2 сотрудников фирмы, производящих данное благо. Статистические данные за 18 месяцев собраны в следующую таблицу:

месяц	Y, тыс. ед.	X1, руб.	X2, тыс. руб.	месяц	Y, тыс. ед.	X1, руб.	X2, тыс. руб.
1	35	10	12	10	94	55	15
2	35	15	10	11	93	50	15
3	38	20	8	12	75	35	15
4	49	25	9	13	85	40	16
5	60	40	9	14	105	55	17
6	69	37	10	15	100	45	17
7	75	43	12	16	108	65	15
8	73	35	14	17	110	60	17
9	75	38	13	18	115	68	17

• Требуется:
• 1. Построить корреляционное поле между объемом предложения блага и его ценой. Выдвинуть гипотезу о тесноте и виде зависимости между указанными показателями.
• 2. Оценить тесноту линейной связи между объемом предложения блага и его ценой с надежностью 0,9.
• 3. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии для зависимости объема предложения блага от его цены.
• 4. Проверить статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,9 и построить для них доверительные интервалы.
• 5. Рассчитать коэффициент детерминации. С помощью F -критерия Фишера оценить статистическую значимость уравнения регрессии с надежностью 0,9.
• 6. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,9 объема предложения, если цена блага составит 30 руб.
• 7. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.
• Проанализировать статистическую значимость коэффициентов множественного уравнения с надежностью 0,9 и построить для них доверительные интервалы.
• 9. Найти коэффициенты парной и частной корреляции. Проанализировать их.
• 10. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
• 11. С помощью F -критерия Фишера оценить адекватность уравнения регрессии с надежностью 0,9.
• 12. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,9 объема предложения блага для фирмы, если цена блага составит 30 руб., а заработная плата сотрудников фирмы равна 11 тыс. руб.
• 13. Проверить построенное уравнение на наличие мультиколлинеарности по: критерию Стьюдента; критерию ч². Сравнить полученные результаты.
• Решение:
• 1. Построить корреляционное поле между объемом предложения блага и его ценой. Выдвинуть гипотезу о тесноте и виде зависимости между указанными показателями.

• На основе анализа поля рассеяния выдвигаем гипотезу о том, что зависимость между объемом предложения блага и его ценой описывается линейной регрессионной моделью .
• 2. Оценить тесноту линейной связи между объемом предложения блага и его ценой с надежностью 0,9.
• Оценим тесноту линейной связи с помощью коэффициента корреляции. Его можно рассчитать по формуле:
• Для расчета заполним таблицу:

i	yi	xi1			xi1yi
1	35	10	100	1225	350
2	35	15	225	1225	525
3	38	20	400	1444	760
4	49	25	625	2401	1225
5	60	40	1600	3600	2400
6	69	37	1369	4761	2553
7	75	43	1849	5625	3225
8	73	35	1225	5329	2555
9	75	38	1444	5625	2850
10	94	55	3025	8836	5170
11	93	50	2500	8649	4650
12	75	35	1225	5625	2625
13	85	40	1600	7225	3400
14	105	55	3025	11025	5775
15	100	45	2025	10000	4500
16	108	65	4225	11664	7020
17	110	60	3600	12100	6600
18	115	68	4624	13225	7820
Итого	1394	736	34686	119584	64003

• Тогда:
• Проверим значимость коэффициента корреляции на уровне значимости 0,1. Для этого рассчитаем значения выражения
• Находим критическое значение критерия Стьюдента по таблице критических точек:
• t_кр=t(1-;n-2)=t(0,95;16)=1,746.
• Т.к. условие t_ф > t_кр выполняется, то коэффициент парной корреляции статистически значим, т.е. они существенно отличается от нуля. Таким образом, линейную связь между признаками можно считать установленной.
• 3. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии для зависимости объема предложения блага от его цены.
• Рассчитаем коэффициенты линейного уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Для этого составляем систему нормальных уравнений и находим ее решение:
• Решением этой системы являются числа: b₀=15,076, b₁=1,525.
• Получили уравнение регрессии: .
• 4. Проверить статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,9 и построить для них доверительные интервалы.
• Для проверки значимости заполним расчетную таблицу:

i	Xi1	Yi
1	10	35	30,329	4,671	21,816	954,123
2	15	35	37,956	-2,956	8,737	670,235
3	20	38	45,582	-7,582	57,493	436,346
4	25	49	53,209	-4,209	17,715	252,457
5	40	60	76,089	-16,089	258,843	0,790
6	37	69	71,513	-2,513	6,314	15,123
7	43	75	80,665	-5,665	32,087	4,457
8	35	73	68,462	4,538	20,593	34,679
9	38	75	73,038	1,962	3,849	8,346
10	55	94	98,968	-4,968	24,684	199,123
11	50	93	91,342	1,658	2,750	83,012
12	35	75	68,462	6,538	42,745	34,679
13	40	85	76,089	8,911	79,413	0,790
14	55	105	98,968	6,032	36,382	199,123
15	45	100	83,715	16,285	265,196	16,901
16	65	108	114,221	-6,221	38,706	581,346
17	60	110	106,595	3,405	11,595	365,235
18	68	115	118,797	-3,797	14,420	735,012
Сумма	736	1394	1394	0	943,336	4591,778

• Рассчитаем стандартную ошибку регрессии s:
• Рассчитаем фактические значения t-критерия для каждого коэффициента:
• ,
• ,
• Критическое значение t-критерия Стьюдента равно t_0,95;16=1,746.
• Проверяем значимость коэффициента . Выдвигаем гипотезы:
• H₀: =0
• H₁: 0
• Сравнивая расчетное и критическое значения (3,031 > 1,746), делаем вывод, что коэффициент статистически значим, т.е. он не может быть равен нулю.
• Проверяем значимость коэффициента . Выдвигаем гипотезы:
• H₀: =0
• H₁: 0
• Сравнивая расчетное и критическое значения (13,461 > 1,746), делаем вывод, что коэффициент также статистически значим, т.е. он не может быть равен нулю.
• Определим доверительные интервалы для коэффициентов и :
• 15,0761,7464,974
• 15,0768,684
• 1,5251,7460,113
• 1,5250,198
• 5. Рассчитать коэффициент детерминации. С помощью F -критерия Фишера оценить статистическую значимость уравнения регрессии с надежностью 0,9.
• Рассчитаем коэффициент детерминации. В случае парной регрессии он равен квадрату коэффициента корреляции:
• =0,959²=0,9189
• Рассчитаем фактическое значение F-статистики Фишера по формуле:
• .
• При уровне значимости =0,1 и количестве степеней свободы k₁=1, k₂=18-2=16 определяем, что критическое значение F-статистики Фишера будет равно F_кр(0,1;1;16)=3,048. Т.к. неравенство F_ф > F_кр выполняется, поэтому гипотеза H₀ отклоняется и признается статистическая значимость уравнения.
• 6. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,9 объема предложения, если цена блага составит 30 руб.
• Точечный прогноз при =30 руб.:
• =15,076+1,52530=60,836 тыс. ед.
• Доверительные интервалы находятся по формуле
• где y_в, y_н - верхняя и нижняя граница доверительного интервала
• - значение независимой переменной x, для которой определяется доверительный интервал
• - квантиль распределения Стьюдента с доверительной вероятностью 1- и числом степеней свободы n-2. При =0,1 t_0,95;16=1,746.
• Значение s_y определяется по формуле:
• y_н=60,836-1,7462,19=57,011 тыс. ед.
• y_в=60,836+1,7462,19=64,66 тыс. ед.
• 7. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.
• Найдем по методу наименьших квадратов оценки коэффициентов линейной регрессионной модели . Оценки коэффициентов в этом случае можно найти по формуле:
• A=(X^TX)^-1X^TY
• Для этого выполним следующие расчеты:
• 8. Проанализировать статистическую значимость коэффициентов множественного уравнения с надежностью 0,9 и построить для них доверительные интервалы.
• Заполним вспомогательную таблицу:

i	Y	X1	X2
1	35	10	12	39,033	16,265	1801,531
2	35	15	10	38,320	11,020	1801,531
3	38	20	8	37,606	0,155	1555,864
4	49	25	9	46,239	7,624	809,086
5	60	40	9	62,791	7,788	304,309
6	69	37	10	62,596	41,016	71,309
7	75	43	12	75,447	0,200	5,975
8	73	35	14	72,850	0,022	19,753
9	75	38	13	73,045	3,821	5,975
10	94	55	15	98,035	16,278	274,086
11	93	50	15	92,517	0,233	241,975
12	75	35	15	75,965	0,932	5,975
13	85	40	16	84,598	0,161	57,086
14	105	55	17	104,265	0,540	759,309
15	100	45	17	93,231	45,822	508,753
16	108	65	15	109,069	1,143	933,642
17	110	60	17	109,783	0,047	1059,864
18	115	68	17	118,610	13,034	1410,420
Сумма					166,103	11626,44

• Рассчитаем стандартные ошибки коэффициентов регрессии по формуле:
• , j=0,1,…,m,
• корреляционный поле регрессия колебание
• где z_jj - диагональные элементы обратной матрицы (X^TX)^-1, которые равны соответственно 1,19, 0,00045, 0,0125.
• ,
• ,
• ,
• По таблице критических точек определяем фактическое значение t-критерия Стьюдента:
• t_кр=t_0,95;15=1,753.
• Неравенство t_Ф > t_кр выполняется для всех коэффициентов, поэтому все коэффициенты уравнения регрессии статистически значимы, т.е. они существенно отличны от нуля.
• Построим доверительные интервалы для коэффициентов уравнения регрессии:
• -9,3861,7533,624
• -9,3866,363
• 1,1031,7530,07
• 1,1030,123

• 3,1151,7530,372
• 3,1150,652
• 9. Найти коэффициенты парной и частной корреляции. Проанализировать их.
• Найдем коэффициенты парной корреляции.
• (был найден ранее)
• Найдем коэффициенты частной корреляции. Частные коэффициенты корреляции в случае трех переменных находятся по формуле:
• Тогда:
• 10. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
• Рассчитаем скорректированный коэффициент множественной детерминации:

Скорректированный коэффициент множественной детерминации определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на очень высокую (более 90%) детерминированность результата в модели факторами и .

11. С помощью F -критерия Фишера оценить адекватность уравнения регрессии с надежностью 0,9.

Найдем коэффициент множественной корреляции и детерминации:

R²=0,993²=0,9857, регрессия y на x₁ и x₂ объясняет 98,57% колебаний значений y.

Рассчитаем фактическое значение F-статистики Фишера по формуле:

При уровне значимости =0,1 и количестве степеней свободы k₁=2, k₂=18-3=15 определяем, что критическое значение F-статистики Фишера будет равно F_кр(0,1;2;15)=2,695. Неравенство F_ф > F_кр выполняется, поэтому гипотеза H₀ отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии.

12. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,9 объема предложения блага для фирмы, если цена блага составит 30 руб., а заработная плата сотрудников фирмы равна 11 тыс. руб.

Выполним точечный и интервальный прогноз объема предложения блага.

=30 руб., =11 тыс. руб.

=-9,386+1,10330+3,11511=57,987 тыс. ед.

=0,092

=57,9871,7531,008=57,9871,768

=56,219 тыс. ед., =59,754 тыс. ед.

13. Проверить построенное уравнение на наличие мультиколлинеарности по: критерию Стьюдента; критерию ч². Сравнить полученные результаты.

Проверим наличие или отсутствие мультиколлинеарности для множественной регрессионной модели.

а) Если составить матрицу парных коэффициентов между объясняющими переменными, то получится следующая матрица:

Так как

то коэффициент корреляции между объясняющими переменными значимо отличается от 0. Таким образом, можно предположить, что в данном случае есть мультиколлинеарность.

б) Рассчитаем определитель матрицы r:

Рассчитываем фактическое значение статистики ²:

Табличное значение статистики ² при k=1 и =0,1 равно: . Неравенство не выполняется, поэтому окончательно делаем вывод о наличии мультиколлинеарности.

2. Ситуационная (практическая) задача № 2

Имеются поквартальные данные по товарообороту некоторой компании в 1999-2008 гг.

год	Товарооборот, млн. руб.	год	Товарооборот, млн. руб.
1999	100,0	2004	95,7
2000	93,9	2005	98,2
2001	96,5	2006	104,0
2002	101,8	2007	99,0
2003	107,8	2008	98,8

Требуется:

1. Проверить гипотезу о наличии тренда во временном ряде.

2. Рассчитать коэффициенты автокорреляции. Проверить наличие сезонных колебаний во временном ряде.

3. Оценить параметры линейной трендовой модели, проверить статистическую значимость соответствующего уравнения регрессии с надежностью 0,99.

4. Дать точечный и интервальный прогноз товарооборота компании на 2011 год с надежностью 0,99.

Решение:

1. Проверить гипотезу о наличии тренда во временном ряде.

Для проверки гипотезы о наличии тренда воспользуемся критерием серий. Вычислим выборочную медиану исходных данных:

Ме (y_t) = 98,9 млн. руб.

Вместо исходных элементов временного ряда Х(t) сформируем последовательность знаков:+, если y_t > Me,

?, если y_t < Me.

Полученные результаты для временного ряда оформим в виде таблицы:

год	yt
1999	100	+
2000	93,9	-
2001	96,5	-
2002	101,8	+
2003	107,8	+
2004	95,7	-
2005	98,2	-
2006	104	+
2007	99	+
2008	98,8	-

Вычислим характеристики данной последовательности: количество серий - н, длину максимальной серии - ф: н =6, ф = 2.

Проверим удовлетворяют ли эти значения неравенствам:

н (10) > 0,5(10 + 2 - 1,65) = 3,53

ф (10) < 1,43ln(10 + 1) = 3,43

Поскольку оба неравенства выполняются, то гипотеза об отсутствии тренда не отвергается.

2. Рассчитать коэффициенты автокорреляции. Проверить наличие сезонных колебаний во временном ряде.

Оценим автокорреляцию, используя следующую формулу:

где

В результате расчетов для от 1 до 4 получаем следующие значение автокорреляции:

1	-0,060
2	-0,650
3	0,027
4	0,415

Значения коэффициентов автокорреляции позволяют сделать вывод об отсутствии сезонности.

3. Оценить параметры линейной трендовой модели, проверить статистическую значимость соответствующего уравнения регрессии с надежностью 0,99.

Найдем оценку уравнения линейного тренда методом наименьших квадратов. Составим расчетную таблицу:

год	t	yt	ytt	t2
1999	1	100	100	1
2000	2	93,9	187,8	4
2001	3	96,5	289,5	9
2002	4	101,8	407,2	16
2003	5	107,8	539	25
2004	6	95,7	574,2	36
2005	7	98,2	687,4	49
2006	8	104	832	64
2007	9	99	891	81
2008	10	98,8	988	100
Итого	55	995,7	5496,1	385

Тогда:

Решением этой системы являются числа: a₀=98,253 и a₁=0,239.

Следовательно, уравнение тренда будет иметь вид: .

Для проверки значимости уравнения рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера. Для этого заполним таблицу:

год
1999	100	98,493	2,272	0,185	20,25
2000	93,9	98,732	23,349	32,149	12,25
2001	96,5	98,972	6,108	9,425	6,25
2002	101,8	99,211	6,703	4,973	2,25
2003	107,8	99,450	69,717	67,733	0,25
2004	95,7	99,690	15,918	14,977	0,25
2005	98,2	99,929	2,990	1,877	2,25
2006	104	100,168	14,681	19,625	6,25
2007	99	100,408	1,982	0,325	12,25
2008	98,8	100,647	3,412	0,593	20,25
Итого	995,7	995,7	147,133	151,861	82,5

Тогда:

При уровне значимости =0,01 и количестве степеней свободы k₁=1, k₂=10-2=8 определяем, что критическое значение F-статистики Фишера будет равно F_кр(0,01;1;8)=11,259. Неравенство F_ф > F_кр не выполняется, поэтому уравнение тренда признается незначимым, т.е. могло сформироваться под воздействием случайных факторов.

4. Дать точечный и интервальный прогноз товарооборота компании на 2011 год с надежностью 0,99.

С помощью уравнения тренда рассчитаем точечный и интервальный прогноз товарооборота компании на 2011 год.

Точечный прогноз находим по уравнению тренда при t=13:

=98,253+0,23913=101,365 млн. руб.

Интервальный прогноз:

=101,3653,3553,792=101,36512,723

=88,642 млн. руб., =114,089 млн. руб.

3. Тестовые задания

1. С помощью какого метода можно найти оценки параметра уравнения линейной регрессии:

a) метода наименьших квадратов;

b) корреляционно-регрессионного анализа;

c) дисперсионного анализа;

d) метода серий.

Ответ: a).

2. Уравнение регрессии, описывающее зависимость удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции имеет вид: y^*=80+0,7x. Чему может быть равен линейный коэффициент парной корреляции?

a) -0,9;

b) 0,75;

c) 1,5;

d) -0,75.

Ответ: b).

3. Линейный коэффициент парной корреляции для величин X и Y равен 0,8. Чему равен коэффициент детерминации для линейного уравнения парной регрессии, построенного по этой выборке?

a) 0,64;

b) 0,894;

c) 0,2;

d) 0,4.

Ответ: a).

4. По 30 наблюдениям построено уравнение регрессии y^*=3,7+1,048x₁+0,532x₂+0,19x₃. Каким квантилем нужно воспользоваться при проверке статистической значимости коэффициентов частной корреляции для этого уравнения?

a) t_0,975(25);

b) t_0,95(28);

c) t_0,975(28);

d) t_0,95(27).

Ответ: a).

5. По формуле (X^TX)^-1X^TY вычисляется

a) статистика ² для проверки наличия мультиколлинеарности в модели регрессии;

b) вектор оценок коэффициентов для уравнения множественной регрессии;

c) критерий для проверки адекватности модели;

d) прогнозное значение исследуемого показателя.

Ответ: b).

6. С помощью какого критерия проверяют наличие автокорреляции остатков?

a) Дарбина-Уотсона;

b) Фишера;

c) Голдфельда-Кванта;

d) Стьюдента.

Ответ: a).

7. Следствием гетероскедастичности является

a) несостоятельность оценок параметров уравнения, полученных по МНК;

b) смещенность оценок параметров уравнения, полученных по МНК;

c) неприменимость статистических тестов;

d) ненадежность оценок параметров уравнения, полученных по МНК.

Ответ: d).

8. Какая из составляющих временного ряда описывает конъюнктурные факторы, формирующие изменения анализируемого признака, обусловленные воздействием долговременных циклов экономической, демографической или солнечной активности

a) тренд;

b) сезонная составляющая;

c) циклическая составляющая;

d) случайная составляющая.

Ответ: c).

9. Какая из представленных моделей временного ряда является моделью тренда?

a) y_t^*=at+b+;

b) y_t^*= a +a₁t+a₂cos(kt)+a₃sin(kt)+ ;

с) y _t^*= ay_t-1 +b+;

d) y_t^*=a₀+a₁t+a₂t²+b₁₁+b₂₂+.

Ответ: a).

10. Для каких видов систем параметры отдельных эконометрических уравнений могут быть найдены с помощью обычного МНК?

a) система нормальных уравнений;

b) система независимых уравнений;

c) система рекурсивных уравнений;

d) система взаимозависимых уравнений.

Ответ: a).

Список литературы

Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 2008.

Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. - 6-е изд. - М.: Высш. шк., 2009.

Тинтнер Г. Введение в эконометрию. - М.: Финансы и статистика, 2005.

Размещено на Allbest.ru

...