Определение формы трендовой составляющей с помощью интерполяции кубическим сплайном
Анализ решений системы дифференциальных уравнений модели и применения новой схемы. Особенность выделении трендовой и хаотической составляющих. Характеристика методики определения моментов при смене направления тренда, улучшающей эффективность прогноза.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | отчет по практике |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.01.2015 |
| Размер файла | 426,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сыктывкарский государственный университет»
Институт точных наук и информационных технологий
Кафедра математического моделирования и кибернетики
Отчет
Научный руководитель
Е.В.Тулубенская
Исполнитель
студент 139 гр
И.О.Гичева
Сыктывкар, 2014
Введение
Существуют фундаментальные теории прогнозирования экономических последовательностей, однако они имеют свои ограничения. В настоящее время, при моделировании экономических процессов, приоритет принадлежит математическим методам детерминированного хаоса, траектория которого воспроизводится, т.е. после повторения начального состояния вновь воспроизводится одна и та же траектория, независимо от ее сложности.
Авторами была предложена модель динамики фьючерсных рынков.
Фьючерс (фьючерсный контракт) (от англ. futures) - производный финансовый инструмент, стандартный срочный биржевой контракт купли-продажи базового актива, при заключении которого стороны (продавец и покупатель) договариваются только об уровне цены и сроке поставки.
В данной работе на основе анализа решений системы дифференциальных уравнений модели и выделении трендовой и хаотической составляющих предлагается методика определения моментов смены направления тренда, улучшающая эффективность прогноза, а также новая схема адаптации модели.
1. Математическая модель
Основные уравнения модели, представленные в матричной форме, имеют вид: дифференциальный уравнение трендовый хаотический
Динамика рынка включает три основных параметра:
1) Цена контракта -
2) Объем торгов -
3) Открытый интерес -
- неизвестные параметры, определяющие степень влияния соответствующих показателей рынка и их взаимосвязи на поведение системы. Данные параметры являются переменными на некотором достаточно большом отрезке времени, но кусочно-постоянными на небольшом исследуемом интервале - шаге прогноза.
Решениями этой системы уравнений является пять точек равновесия в каждый момент времени:
=- тривиальное решение,
=, =, =,
,
где (i=) - коэффициенты модели на рассматриваемом временном интервале.
Для решения данного уравнения была написана программа, которая вычисляет данные точки при заданных коэффициентах.
Решим характеристическое уравнение, подставив реальные значения.
Получим:
При первой точке равновесия =[0;0;0]
=2, = 6, =3.
При второй точке равновесия =
=-2, = , =.
При третьей точке равновесия
=, = + , = + .
При четвертой точке равновесия =
=, =- + , =- +.
При пятой точке равновесия
= [-, -, ]
=, =-+, =-+.
Мы видим, что хотя бы одно из чисел является положительным. Это показывает, что в области существования реальных параметров все пять точек равновесия модели являются неустойчивыми.
Интерполяция с помощью кубического сплайна.
Кубическим интерполяционным сплайном, соответствующим данной функции f(x) и данным узлам , называется функция S(x), удовлетворяющая следующим условиям:
1.На каждом сегменте [ - 1, ], i = 1, 2, ..., N функция S(x) является полиномом третьей степени,
2.Функция S(x), а также ее первая и вторая производные непрерывны на отрезке [a, b],
3.S( = f(), i = 0, 1, ..., N.
На каждом из отрезков [ - 1, ], i = 1, 2, ..., N будем искать функцию S(x) = (x) в виде полинома третьей степени:
(x) = + (x - - 1) + (x -- 1)2 + (x -1)3, - 1 Ј x Ј xi,
где , , , - коэффициенты, подлежащие определению на всех n элементарных отрезках. Чтобы система алгебраических уравнений имела решение, нужно, чтобы число уравнений точно равнялось числу неизвестных. Поэтому мы должны получить 4n уравнения.
Первые 2n уравнения мы получим из условия, что график функции S(x) должен проходить через заданные точки, т. е.
( - 1) = - 1, () = .
Эти условия можно записать в виде:
( - 1) = = - 1,
() = + + h + h = ,
= - - 1, i = 1, 2, ..., n.
Следующие 2n - 2 уравнения вытекают из условия непрерывности первых и вторых производных в узлах интерполяции, т. е. условия гладкости кривой во всех точках.
+ 1() = (), i = 1, ..., n - 1, + 1() = (), i = 1, ..., n - 1,
(x) = + 2 (x - - 1) + 3 (x - - 1),
+ 1 (x) = + 1 + 2 + 1 (x - ) + 3 + 1 (x - ).
Приравнивая в каждом внутреннем узле x = значения этих производных, вычисленные в левом и правом от узла интервалах, получаем (с учетом =x - - 1):
+ 1 = + 2 + 3h , i = 1, ..., n - 1,
(x) = 2 + 6 (x - - 1),
+ 1(x) = 2 + 1 + 6 + 1 (x - ),
если x =
+ 1 = + 3 , i = 1,2, ..., n - 1.
На данном этапе мы имеем 4n неизвестных и 4n - 2 уравнений. Следовательно, необходимо найти еще два уравнения.
При свободном закреплении концов можно приравнять к нулю кривизну линии в этих точках. Из условий нулевой кривизны на концах следуют равенства нулю вторых производных в этих точках:
() = 0 и () = 0,
= 0 и 2 + 6 = 0.
Уравнения составляют систему линейных алгебраических уравнений для определения 4n коэффициентов: ,,, (i = 1, 2, . . ., n).
Эту систему можно привести к более удобному виду. Из условия сразу можно найти все коэффициенты . Далее получим:
i = 1, 2, ..., n - 1,
Подставляя, получим:
= - (+ 1 + 2) , i = 1,2, ..., n - 1, n = - ( )
Исключаем из уравнения коэффициенты и . Окончательно получим следующую систему уравнений только для коэффициентов :
= 0 и + 1 = 0:i - 1
- 1 + 2 ( - 1 + ) + + 1 = 3 , i = 2, 3, ..., n.
По найденным коэффициентам легко вычислить ,.
Рассмотрим реальные значения Санкт-Петербургской Международной товарно-сырьевой биржи. За товар возьмем «Бензин Регуляр-92 (АИ-92-К5), за период с 09.11.2014 по 18.11.2014.
Список используемой литературы
1. Экономико_математические методы и прикладные модели /Под ред. В.В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2001. - 391 c.
2. Григорьев В., Козловских А., Ситникова О. Динамическая модель фьючерсного рынка // Рынок ценных бумаг. - 2004. -№ 24(279). - C. 42-44.
3. Рейсинг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1974. - 318с.
Приложение
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Данные для разработки трендовой модели изменения объемов грузооборота предприятий транспорта. Проверка гипотезы на наличие тенденции. Понятие и обоснование периода упреждения прогноза. Выбор оптимальной прогнозной модели по коэффициенту детерминации.
курсовая работа [1008,3 K], добавлен 01.10.2014Российский рынок бензина. Рост цен на бензин. Обоснование возможности применения статистических методов для моделирования и прогнозирования цен на бензин. Обработка результатов. Построение трендовой, регрессионных моделей и прогнозирование с их помощью.
курсовая работа [2,5 M], добавлен 16.04.2008Выработка экономических ориентиров для обоснования решений планирования и управления. Прогнозирование цены облигации. Определение интервала прогноза с заданной вероятностью. Определение коэффициента эластичности для значения прогноза цены тренда.
контрольная работа [56,1 K], добавлен 04.11.2009Расчет выборочной средней, дисперсии, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации. Точечная оценка параметра распределения методом моментов. Решение системы уравнений по формулам Крамера. Определение уравнения тренда для временного ряда.
контрольная работа [130,4 K], добавлен 16.01.2015Анализ изменения курса доллара и проведение аналитического выравнивания. Вычисление точечного прогресса на начало 2018 года с помощью уравнения динамического ряда. Расчет среднеквадратического отклонения от тренда для определения интервального прогноза.
задача [85,6 K], добавлен 15.04.2014Анализ вопросов теории дифференциальных уравнений. Применение дифференциальных уравнений в экономике. Геометрический и экономический смысл производной, ее использование для решения задач по экономической теории. Определение числовой последовательности.
контрольная работа [456,9 K], добавлен 19.06.2015Cистема дифференциальных уравнений, связывающая значение заданной функции в некоторой точке и её производных различных порядков в той же точке. Расчет фазовых переменных зависимости погрешности, трудоемкости от шага, выраженного процессом x в степени n+1.
лабораторная работа [431,0 K], добавлен 01.12.2011Теория и анализ временных рядов. Построение линии тренда и прогнозирование развития случайного процесса на основе временного ряда. Сглаживание временного ряда, задача выделения тренда, определение вида тенденции. Выделение тригонометрической составляющей.
курсовая работа [722,6 K], добавлен 09.07.2019Построение графиков исходного ряда зависимой переменной, оценочного ряда и остатков. Изучение динамики показателей экономического развития РФ за период: январь 1994 - декабрь 1997 годов. Вычисление обратной матрицы со стандартным обозначением элементов.
контрольная работа [99,8 K], добавлен 11.09.2012Дифференциальное уравнение движения груза. Определение значений функций движения. Исследование влияния частоты колебаний на движение груза с помощью пакета MathConnex. Функции, необходимые для численного решения дифференциальных уравнений в MathCAD.
курсовая работа [247,7 K], добавлен 25.10.2012Анализ диапазона частот и амплитуд собственных колебаний. Определение жесткости рессорного подвешивания тележки. Разработка математической модели колебаний вагона на рессорном подвешивании. Выбор метода решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
курсовая работа [230,6 K], добавлен 18.04.2014Рост общественного благосостояния, модель Золотаса. Пример анализа производительности труда. Динамика рыночной цены, модель Самуэльсона. Применение дифференциальных уравнений в процессе естественного роста выпуска продукции и динамике рыночной цены.
контрольная работа [501,7 K], добавлен 25.02.2014Двумерные автономные динамические системы. Классификация состояний равновесия динамических систем второго порядка. Определение автономной системы дифференциальных уравнений и матрицы линеаризации системы. Фазовый портрет системы Лотки–Вольтерра.
лабораторная работа [1,1 M], добавлен 22.12.2012Основные элементы эконометрического анализа временных рядов. Задачи анализа и их первоначальная обработка. Решение задач кратко- и среднесрочного прогноза значений временного ряда. Методы нахождения параметров уравнения тренда. Метод наименьших квадратов.
контрольная работа [37,6 K], добавлен 03.06.2009Основные этапы эконометрического исследования. Система совместных, одновременных уравнений. Понятие эконометрических уравнений. Система независимых уравнений. Пример модели авторегрессии. Система линейных одновременных эконометрических уравнений.
курсовая работа [41,2 K], добавлен 17.09.2009Построение имитационной схемы для модели Солоу и прослеживание ее динамики на протяжении 30 лет. Вычисление стационарного значения фондовооруженности. Проверка "золотого правила накопления". Изучение поведения модели при смене некоторых параметров.
лабораторная работа [722,3 K], добавлен 11.12.2012Расчет доверительных интервалов прогноза для линейного тренда с использованием уравнения экспоненты. Оценка адекватности и точности моделей. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании. Экспоненциальные средние для временного ряда.
контрольная работа [916,2 K], добавлен 13.08.2010Системы эконометрических уравнений. Структурные и приведенные системы одновременных уравнений. Проблема идентификации. Необходимое и достаточное условие идентификации. Оценивание параметров структурной модели. Косвенный метод наименьших квадратов.
контрольная работа [900,9 K], добавлен 29.06.2015Описание основных характеристик модели трехсекторной экономики. Вывод дифференциальных уравнений для функций удельного капитала. Определение аналитической структуры функций оптимального управления на полученном условии максимума функции Понтрягина.
курсовая работа [146,2 K], добавлен 22.01.2016Построение гипотезы о форме связи денежных доходов на душу населения с потребительскими расходами в Уральском и Западно-Сибирском регионах РФ. Расчет параметров уравнений парной регрессии, оценка их качества с помощью средней ошибки аппроксимации.
контрольная работа [4,5 M], добавлен 05.11.2014
