Оптимізаційні методи і моделі в економіці

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

• Лабораторна робота № 1. «Лінійна модель»
• Лабораторна робота № 2. «Степенева функція»
• Лабораторна робота № 3. «Параболічна функція»
• Лабораторна робота № 4. «Гіперболічна функція»
• Лабораторна робота № 5. «Експоненціальна модель»
• Лабораторна робота № 6. «Задача оптимального використання ресурсів»
• Лабораторна робота № 7. «Оптимізація виробничої програми ковбасного виробництва»
• Лабораторна робота №8. «Оптимізація рекламної кампанії»
• Список джерел

Лабораторна робота № 1. «Лінійна модель»

Згідно з вибіркою статистичних даних побудувати лінійну модель залежності Y від X виду: .

Мета роботи: визначити аналітичну залежність між дослідними даними із застосуванням методу найменших квадратів (знайти параметри моделі);

представити модель на графіку (графічне відображення моделі засновується на побудові лінії тренду в прямокутних координатах Y-X).

Похідні дані для розрахунку моделей лабораторної роботи № 1

Y	Х
10,7	6,1
10	6
10,9	7
11,5	6,3
11,9	5,8
11	5,7
13	6
13,7	5,4
14,1	5,1
14,8	5

Побудована залежність Y= 24.2598 - 2,0719 X

Для розрахунку параметрів застосовано функцію «Линейн»

Лабораторна робота № 2. «Степенева функція»

Згідно з вибіркою статистичних даних побудувати степеневу модель залежності Y від X виду: .

Мета роботи: визначити аналітичну залежність між дослідними даними із застосуванням методу найменших квадратів (знайти параметри моделі); представити модель на графіку (графічне відображення моделі засновується на побудові лінії тренду в прямокутних координатах Y-X).

Похідні дані для розрахунку моделей лабораторної роботи № 2

Y	X
25,1	25,2
25,2	25,5
28,8	27,6
29,9	28,9
30	30,1
30,4	30,8
30,5	35,3
30,6	38,4
30,7	40,3
30,9	42,7
31,8	44
32,1	45,5
33,4	48,7
35,5	49,8
36,6	50

Попередньо проводимо лінеаризацію Y = a1 X a2, логарифмуємо обидві частини

Ln Y = Ln a1 + a2 * Ln X

Заміна: Y1 = Ln Y

A1 = Ln a1

X1 = Ln X

Одержано лінійну модель

Y1 = A1 + a2 * X1

Y1 = 2,1009 + 0,3674* X1

Після потенціювання обох частин остаточно знайдено Y = 8,2 * X^0,3674

Лабораторна робота № 3. «Параболічна функція»

оптимізація виробничий ресурс

Згідно з вибіркою статистичних даних побудувати параболічну модель залежності Y від X виду: .

Мета роботи: визначити аналітичну залежність між дослідними даними із застосуванням методу найменших квадратів (знайти параметри моделі); представити модель на графіку (графічне відображення моделі засновується на побудові лінії тренду в прямокутних координатах Y-X).

Похідні дані для розрахунку моделей лабораторної роботи № 3

Y	X
14,30	1
15,15	2
16,63	3
18,87	4
21,42	5
23,82	6
27,67	7
29,45	8
32,27	9
36,07	10
44,20	11
47,57	12
50,58	13
57,30	14
67,37	15

Побудовано модель Y = 15,0137+0.22376 X^2

Лабораторна робота № 4. «Гіперболічна функція»

Згідно з вибіркою статистичних даних побудувати гіперболічну модель залежності Y від X виду:

Мета роботи: визначити аналітичну залежність між дослідними даними із застосуванням методу найменших квадратів (знайти параметри моделі); представити модель на графіку (графічне відображення моделі засновується на побудові лінії тренду в прямокутних координатах Y-X).

Похідні дані для розрахунку моделей лабораторної роботи № 4

Y	X
134,47	1
119,25	2
112,17	3
104,09	4
90,03	5
68,75	6
56,18	7
47,40	8
45,52	9
38,47	10
33,90	11
33,30	12
29,57	13
30,10	14
29,37	15



Побудовано модель Y = 36,89343 + 126,323/X

Лабораторна робота № 5. «Експоненціальна модель»

Згідно з вибіркою статистичних даних побудувати експоненціальну модель залежності Y від X виду:

Мета роботи: визначити аналітичну залежність між дослідними даними із застосуванням методу найменших квадратів (знайти параметри моделі); представити модель на графіку (графічне відображення моделі засновується на побудові лінії тренду в прямокутних координатах Y-X).

Похідні дані для розрахунку моделей лабораторної роботи № 5

Y	X
17,78	1,60
17,70	1,84
17,12	2,77
14,93	3,41
14,55	3,58
14,15	3,60
14,10	4,12
9,02	6,24
7,85	6,33
6,15	6,52
4,90	6,72
4,28	6,82
4,02	7,92
1,40	8,43
1,03	8,95

Попередньо лінеаризуємо функцію шляхом логарифмування

Y = e^(aX+b), Ln Y = (aX + b) Ln e = ax+ b

Заміна: Y1 = Ln Y.Модель набуває лінійного вигляду

Y1 = aX + b

Отже, побудована модель Y = e^(3,84479X-0,3491)

Лабораторна робота № 6. «Задача оптимального використання ресурсів»

Задача. Для виготовлення двох видів продукції А1 і А2 використовують три види сировини І, ІІ і ІІІ. Запаси сировини, норми їх витрат і прибуток від реалізації одиниці продукції задано у таблиці.

Знайти розмір максимального прибутку, який можна одержати за наявності даних запасів сировини.

Варіанти асортименту обрати з таблиці 6.1.

Таблиця 6.1

N°	Затрати ресурсів на одиницю продукції	Наявність ресурсів	Прибуток
	І	ІІ	ІІІ
	А1	А2	А1	А2	А1	А2	І	ІІ	ІІІ	П1	П2
24.	2	5	4	3	2	4	80	91	68	15	12

Для виготовлення двох видів продукції А1 і A2 використовують три види сировини: , та .

На виробництво одинці продукції А1 знадобиться витратити:

сировини виду - 2 кг,

сировини виду - 4 кг,

сировини виду - 2 кг.

На виробництво одинці продукції А2 знадобиться витратити:

сировини виду - 5 кг,

сировини виду - 3 кг,

сировини виду - 4 кг.

Запаси сировини:

виду - 80 кг,

виду - 91 кг,

виду - 68 кг

Прибуток від реалізації одиниці продукції виду А1 становить 15 грн., виду А2 - 12 грн.

Скласти план виробництва продукції, який забезпечить максимальний прибуток від реалізації при наявності даних запасів сировини.

Розв'язування

Позначимо кількість виготовленої продукції першого виду А1 через х1, другого - х2. Враховуючи витрати сировини , та виду на виготовлення одиниці продукції видів А1 та А2, а також обмежені запаси сировини, запишемо систему обмежень (1). Прибуток, одержаний з виготовлення продукції у вигляді функції мети (2).

Зведемо задачу лінійного програмування (1, 2) до канонічної форми додавши невідомі х3, х4 та х5 до лівої сторони двох нерівностей відповідно:

;

.

Розв'яжемо систему рівнянь методом Гаусса-Джордана, тому запишемо систему обмежень (3) у вигляді початкової розрахункової таблиці, яку назвемо ітерацією 1.

Для знаходження початкового базового плану розділимо змінні на дві групи - базові і вільні. Для вибору базових змінних доцільно скористатися таким правилом: в якості базових змінних ітерації симплекс-таблиці необхідно вибрати такі змінні (їх кількість визначається числом основних обмежень), кожна з яких тільки раз входить у рівняння основних обмежень. Решту змінних будемо вважати вільними.

Запишемо цільову форму f у вигляді рівняння

Таблиця заповнюється формально за вибраною канонічною формою.

Заповнюємо базові стовпчики: на перетині однойменних рядків і стовпчиків ставимо 1, а в усіх інших клітинках будуть нулі.

В інших рядках виписуємо коефіцієнти, що стоять біля відповідних невідомих. Нульовий рядок відповідає оптимізуючій формі і служить для визначення ступеня оптимальності опорного плану.

Ітерація 1

f	0	-15	-12	0	0	0
Базові невідомі	№ рядка	План (опорний розв'язок)	x1	x2	x3	x4	x5
x3	1	80	2	5	1	0	0
x4	2	91	4	3	0	1	0
x5	3	68	2	4	0	0	1

Критерій оптимальності. Якщо задача максимізується і в нульовому рядку відсутні від'ємні числа (за винятком хіба що стовпчика "опорний розв'язок (план)"), то опорний план є оптимальним (при мінімізації задачі для оптимальності плану достатньо відсутності додатних чисел у нульовому рядку, за винятком, можливо, опорного розв'язку).

Коефіцієнт рядка "0" можна інтерпретувати як приріст функції f при збільшенні вільної невідомої на одиницю. Приріст буде додатним, якщо коефіцієнт від'ємний, і від'ємним - якщо коефіцієнт додатний.

В нашому випадку є два від'ємні числа (-15), (-12), беремо найбільше за модулем від'ємне число (-15) (при мінімізації задачі - найбільше додатне), тоді стовпчик "х1" будемо називати ключовим стовпчиком.

Для вибору ключового елемента складаємо відношення вільних членів (чисел стовпчика "опорний розв'язок") до відповідних додатних чисел ключового стовпчика (усі інші відношення будемо вважати рівними нескінченності):

.

Друге відношення менше, тому число (4) другого рядка буде ключовим елементом. Ключовий елемент в таблиці позначаємо рамкою і переходимо до другої ітерації.

Ітерація 2

f		341,25	0	-0,75	0	3,75	0
Базові невідомі	№	План	x1	x2	x3	x4	x5
	рядка	(опорний розв'язок)
x3	1	34,5	0	3,5	1	-0,5	0
x1	2	22,75	1	0,75	0	0,25	0
x5	3	22,5	0	2,5	0	-0,5	1

Послідовність заповнення другої та наступних ітерацій така (використовуємо метод Гаусса-Жордана):

1. Замість базової невідомої х3 (ключовий рядок), вводимо нову базову невідому х1 (невідому ключового стовпчика),

2. Формально заповнюємо базові стовпчики (пункт 1 ітерації 1).

3. Ключовий рядок одержуємо від ділення його елементів попередньої ітерації на ключовий елемент.

4. Усі інші комірки ітерації заповнюємо за правилом прямокутника:

де aij', bi ' відповідно шукані елементи нової ітерації, а аij, bi - попередньої, аqs - ключовий елемент.

Після заповнення таблиці 2-ої ітерації перевіряємо її опорний план на оптимальність. Бачимо, що потрібно перейти до наступного опорного плану, оскільки в нульовому рядку стовпчика "х2" знаходиться від'ємне число (-0,75).

.

За ключовий елемент слід взяти число "2,5".

В ітерації 3 замість базової змінної х5 тепер буде нова базова х2, ключовим буде рядок 3. Над таблицею виконуємо ті ж операції, що й під час другої ітерації.

Ітерація 3

f		348	0	0	0	3,6	0,3
Базові невідомі	№	План	x1	x2	x3	x4	x5
	рядка	(опорний розв'язок)
x3	1	3	0	0	1	0,2	-1,4
x1	2	16	1	0	0	0,4	-0,3
x2	3	9	0	1	0	-0,2	0,4

В рядку 0 вже немає від'ємних чисел, тому опорний план останньої таблиці оптимальний і виписуємо його із стовпчика "опорний розв'язок":

x1 = 16, х2 = 9,х3 = 3, х4 = х5 = 0

F max = 348

Отже, потрібно виготовити 16 од.А1 та 9 од.А2, прибуток при цьому буде максимальний і буде дорівнювати 348.

Лабораторна робота №7. «Оптимізація виробничої програми ковбасного виробництва»

Задача

У табл. 7.1 дані асортимент виробів, що випускаються в розрізі основних показників роботи підприємства.

Побудувати модель оптимальної річної програми підприємства в загальному, табличному та аналітичному вигляді за критерієм оптимізації - максимум прибутку.

Розрахувати обсяг ресурсів на свій асортимент, який задається варіантом.

Побудувати матрицю коефіцієнтів.

Виконати розв'язання задачі на ПК.

Виконати економічний аналіз отриманих результатів.

Таблиця 7.1

Вихідні дані для оптимізації ковбасного виробництва

Асортимент продукції, найменування ковбаси	Норми витрат сировини, т/т	Опто ва ціна 1 тонни, грн	Собівартість 1 тонни, грн	Трудоміскість 1 тонни люд./ год.	Норми часу роботи обладнання, год./т	Попит
	яловичина	свинина					мінімальний	максимальний
1.Останкінська	0,7	0,25	5170	4500	57,5	3,8	500	700
2.Лікарська	0,7	0,25	4870	4320	57,5	3,8	600	900
3.Шахтарська	0,7	0,25	3850	3360	57,5	3,8	1000	1200
4.Чайна	0,7	0,25	3320	3010	57,5	3,8	300	500
5.Сосиски молочні	0,5	0,5	4160	3865	55,5	5,2	100	200
6.Сосиски яловичі	0,7	0,25	4050	3800	55,5	5,2	400	500
7.Сосиски шкільні	0,5	0,5	3980	3750	55,5	5,2	300	400
8.Сардельки яловичі	0,7	0,25	4240	3970	55,7	5,2	120	160
7.Одеська п/к	0,3	0,3	6600	5400	74,2	42,4	500	700
10.Московська в/к	0,3	0,3	10270	8500	74,2	42,4	700	800
11.Сервелат в/к	0,3	0,3	10500	8950	74,2	42,4	450	550
12.Московська с/к	0,2	0,5	21000	15600	81,0	158,3	50	70

Варіант визначається за допомогою табл. 7.2. Варіант задається чотирма цифрами, якими позначено номери асортименту виробів, на основі яких студент буде будувати свою модель.

Врахувати обсяг ресурсів на свій асортимент. Наявність на підприємстві ресурсів така: яловичини - 2000 т; свинини - 750 т; загальна трудомісткість - 190000 люд-год.; час роботи обладнання - 20000 год. на рік.

Таблиця 7.2

	Х1	Х2	Х3	Х4
Варіант 4	2	3	4	5

Для побудови плану виробництва різних видів продукції на підприємстві потрібно керуватись наявністю, обсягами і нормами використання різних видів ресурсів на одиницю продукції. Також потрібно враховувати розмір попиту на окремі види продукції і ефективність їх виробництва (ціна, прибуток, рентабельність або собівартість одиниці продукції).

Формулювання моделі задачі розрахунку оптимальної виробничої програми підприємства: потрібно визначити оптимальну виробничу програму підприємства по випуску різних видів продукції на основі наявних ресурсів з метою досягнення максимального ефекту від випуску продукції.

Для побудови економіко-математичної моделі задачі введемо такі позначення:

xj - обсяг виробництва j-того виду продукції.

і - індекс виду ресурсу, і=1,2,...,n;

j - індекс виду продукції, j=1,2,...,m;

aij - норма використання і-того виду ресурсу на одиницю j-того виду продукції;

Аі - обсяг запасів і-того виду ресурсу;

Вj - величина договірних поставок j-того виду продукції;

Сj - ефективність (ціна або прибуток, тоді функція цілі максимізується, або собівартість - тоді мінімізується) виробництва одиниці продукції j-того виду;

Враховуючи введені позначення, математична модель набуде вигляду:

в залежності від вибору cj .

Обмеження:

1) по використанню наявних ресурсів

2) по випуску деяких видів продукції

xj або Bj, j = 1,2,...,n;

3) умова невід'ємності даних

xj> = 0, j = 1,2,...,n.

В табл. 7.3 подано дані щодо асортименту виробів, який випускається, в розрізі основних показників роботи підприємства.

Потрібно: побудувати модель оптимальної виробничої річної програми підприємства за критерієм - максимум прибутку; врахувати обсяг ресурсів на свій асортимент. Наявність ресурсів така: яловичини - 2000 т; свинини - 750 т; загальна трудомісткість - 190000 люд-год.; час роботи обладнання - 20000 год. на рік.

Таблиця 7.3

Вихідні дані для оптимізації ковбасного виробництва

Асортимент продукції, найменування ковбаси	Норми витрат сировини, т/т	Опто ва ціна 1 тонни, грн	Собівартість 1 тонни, грн	Трудоміскість 1 тонни люд./ год.	Норми часу роботи обладнання, год./т	Попит
	яловичина	свинина					мінімальний	максимальний
2.Лікарська	0,7	0,25	4870	4320	57,5	3,8	600	900
3.Шахтарська	0,7	0,25	3850	3360	57,5	3,8	1000	1200
4.Чайна	0,7	0,25	3320	3010	57,5	3,8	300	500
5.Сосиски молочні	0,5	0,5	4160	3865	55,5	5,2	100	200

Розв'язок

Спочатку побудуємо математичну модель задачі, для цього визначимо спочатку змінні: Xj - випуск продукції j-того виду. В даній моделі чотири змінні Х1, Х2, Х3 і Х4 - це відповідно випуск ковбас “Лікарська”, “Шахтарська”, “Чайна” та сосисок молочних.

Для того, щоб побудувати функцію цілі - максимум річного прибутку - потрібно визначити прибуток з виробітку 1 т всіх видів продукції:

“Лікарська”: 4870 - 4320 = 550 грн.;

“Шахтарська”: 3850 - 3360 = 490 грн.;

“Чайна”: 3320 - 3010 = 310 грн.

Сосиски молочні 4160 - 3865 =295 грн

Функція цілі максимум прибутку запишеться так:

F(x) = 550Х1 + 490Х2 + 310Х3 + 295Х4 max

Обмеження задачі:

- за яловичиною: 0,7Х1 + 0,7Х2 + 0,7Х3 + 0,5Х4 2000;

- за свининою: 0,25Х1 + 0,25Х2 + 0,25Х3 + 0, 5Х4 750;

- за трудомісткістю: 57,5Х1 + 57,5Х2 + 57,5Х3 + 57,5Х4 190000;

- за часом роботи обладнання: 3,8Х1 + 3,8Х2 + 3,8Х3 + 5,2Х4 20000;

- за попитом: Х1?600; Х2?1000; Х3?300; Х4?100;

Х1900; Х21200; Х3500; Х4200

- умова невід'ємності даних: Х1, Х2, Х3, Х4 0.

Вирішуємо задачу за допомогою симплекс-методу в Excel з використанням інструменту “Пошук рішення” в меню “Сервіс”. Для цього побудуємо на листі Excel табл. 7.4.

Таблиця 7.4

Матриця коефіцієнтів для рішення задачі оптимізації виробничої програми підприємства

Найменування змінних	Значення змінних	Функція цілі	Обмеження
			За яловичиною	За свининою	За трудомісткістю	За часом роботи обладнання	За попитом на
							Х1	Х2	Х3	Х4
Х1	600	550	0,7	0,25	57,5	3,8	1
Х2	1000	490	0,27	0,25	57,5	3,8		1
Х3	300	310	0,7	0,25	57,5	3,8			1
Х4	100	295	0,5	0,5	57,5	5,2				1
Формули обмежень і функції цілі
Знак обмеження		max
Запас ресурсу			2000	750	190000	20000	900	1200	500	200

Отримали таке рішення задачі:

Х1=900 т; Х2=1200 т; Х3=500 т; Х4=200 т.

Після того як рішення отримано, потрібно надрукувати звіт про результати. Звіт про результати - це один із варіантів подання рішення задачі за допомогою інструменту “Пошук рішення” в меню “Сервіс”.



Звіт про результати

Звіт про сталість

Звіт про межі

Проведемо аналіз результатів за допомогою табл. 7. 5.

Таблиця 7.5

Економічна ефективність оптимального рішення

Найменування показника	Значення показника	Відхилення
	До оптимізації	Після оптимізації	Абсолютне	Відносне
1. Випуск продукції, т
2.Лікарська	600	900	300	50
3.Шахтарська	1000	1200	200	20
4.Чайна	300	500	200	66,666667
5.Сосиски молочні	100	200	100	100
2. Вартість випущеної продукції, грн.	8184000	11495000	3311000	40,456989
3. Вартість витрат на випущену продукцію, грн.	7241500	10198000	2956500	40,827177
4. Прибуток, грн.	942500	1297000	354500	37,612732
5. Рентабельність продукції, %	13,0	12,7	-0,297	-2,283
6. Витрати на одиницю продукції, грн.	0,8848	0,8872	0,002	0,264
7. Використання ресурсів:
- яловичина, т	2000	1920	-80	-4
- свинина, т	750	750	0	0
- трудомісткість, люд-год.	190000	160600	-29400	-15,473684
- час роботи обладнання, год.	20000	10920	-9080	-45,4

Вартість продукції до і після оптимізації розраховуємо, як суму добутків ціни 1 т і відповідної кількості продукції до і після оптимізації. Аналогічно розраховуємо собівартість випуску продукції до і після оптимізації як суму добутків собівартості 1 т продукції і відповідної кількості продукції до і після оптимізації.

Економічний аналіз отриманих результатів

Дану оптимізацію виробничої програми можна вважати доцільною, так як прибуток зростає на 37,6% і складе 1297 тис. грн., однак при цьому слід відзначити зниження рентабельності продукції на 0,3% %, а також збільшення витрат на одиницю продукції на 0,002 коп., що говорить про невелике зниження ефективності виробництва.

Серед ресурсів повністю використовується лише свинина, тобто цей ресурс є лімітним на підприємстві. Якщо збільшити запас свинини, то можливо збільшити випуск продукції на підприємстві.

Лабораторна робота №8. «Отимізація рекламної кампанії»

1. Припустимо, що підприємство складає план рекламної компанії нового виробу. Загальний бюджет на друк і розповсюдження реклами обмежений і складає 12000 тис. грн., загальну кількість читачів рекламних об'яв потрібно довести при можливості до 800 млн. чоловік. Вирішено розташувати рекламу в шести виданнях, кожне із яких має свою кількість читачів і різну вартість друкованої сторінки.

2. Побудувати таблиці 10.1 та 10.2.

3. Розрахувати в таблиці 10.1:

· загальну вартість розміщених об'яв як добуток вартості однієї об'яви та кількості розміщенних об'яв у виданні;

· загальну кількість читачів з урахуванням кількості об'яв як добуток кількості читачів видання і кількості розміщених об'яв у цьому виданні;

· питому вагу вартості об'яв у конкретному виданні в загальній вартості витрат.

Таблиця 8.1

Розрахунок оптимальної кількості об'яв

Періодичні видання	ціна об'яви, грн.	Кількість читачів, млн. чол.	Кількість розміщених об'яв	Загальна вартість, грн.	Питома вага видання в загальній вартості витрат, %	Загальна кількість читачів з урахуванням кількості об'яв
РІО	147,42	9,9
Бізнес	124,41	8,4
Експрес	113,10	8,2
Факти	70,07	5,1
Столична	53,00	3,7
Компаньон	52,0	3,6
Всього		38,9
Всього Експрес+Факти

Таблиця 8.2

Обмеження

Найменування показника	Значення
Всього витрат на рекламу, тис.грн.	12000
Всього витрат на рекламу Експрес і Факти	7500
Мінімальна аудиторія, млн. чол.	800
Максимальний процент витрат на 1 видання, %	33
Мінімальна кількість об'яв на 1 видання, шт.	6

3. Використовуючи вбудовану функцію «Пошук рішення» з меню «Сервіс» потрібно досягнути максимальної кількості читачів з найменшими витратами за такими обмеженнями (див. табл.10.2):

· у кожному виданні потрібно розташувати мінімум шість об'яв;

· не можна витрачати більше однієї третини коштів на одне видання;

· загальна вартість реклами у «Експресі» і «Фактах» не повинна бути більше 7500 грн.

· загальна вартість реклами не повинна бути більше 12000грн.

· загальна кількість читачів з урахуванням кількості об'яв повина бути не менше 800 млн. чол.

На першому кроці задамо функцією цілі максимальну кількість читачів, обмеження задачі мають наступний вигляд:

Після натискання на кнопку «Найти решение» система повертає повідомлення:



Результат оптимізації:

Отже, потрібно дати 8 об'яв до РІО, 6 - до Бізнесу, 32 - до Експрес, 55 - до Фактів, 43 - до Столичної та 6 - до Компаньона. При цьому загальна вартість рекламної кампанії становитиме 11989,87 грн (в тому числі до Експреса + Фактів 7473,05), а загальна кількість читачів 853,2 млн.чол.

На другому кроці спробуємо зменшити витрати, змінимо функцію цілі із максимальної кількості читачів та мінімальні витрати, усі інші обмеження залишимо незмінними:

Результат оптимізації

Отже, в цьому випадку потрібно дати 6 об'яв до РІО, 6 - до Бізнесу, 32 - до Експрес, 52 - до Фактів, 39 - до Столичної та 6 - до Компаньона. При цьому загальна вартість рекламної кампанії становитиме 11272,82 грн (в тому числі до Експреса + Фактів 7262,84), а загальна кількість читачів 803,3 млн.чол.

Список джерел

1. Дудко В.С. Економіко-математичне моделювання : (Математичні методи в економіці) [Оптимізаційні моделі] [навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. : в 2 ч.] / В. С. Дудко, Т. Д. Краснова, В. В. Лаговський; -- Ірпінь : НУДПСУ, 2011

2. Оптимизационные методы и модели / Г. Г. Швачич,. Ю. К. Тараненко, Е. Г. Холод, И. Н. Козырева -- Днепропетровск : Изд-во ДУЭП им. А. Нобеля, 2011. -- 119 с.

3. Оптимізаційні методи і моделі: Навчально-методичний посібник до вивчення дисципліни, виконання лабораторних та контрольних робіт для студентів напряму підготовки 6.03050801 «Фінанси і кредит», 6.03050901 «Облік і аудит», 6.03050701 «Маркетинг» всіх форм навчання за напрямом підготовки 6.0305..«Фінанси» всіх форм навчання/ Укл.: Л.В.Мазник - К.: НУХТ, 2013. - 83 с.

Размещено на Allbest.ru

...