Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Понятие определенного интеграла

2. Экономический смысл и приложение определенного интеграла в экономике

2.1 Потребительский излишек

2.2 Восстановление экономических характеристик по их предельным значениям

2.3 Нахождение дисконтированной стоимости денежного потока

2.4 Количество денег, поступивших в банк за определенный промежуток времени

2.5 Объем продукции, произведенной за определенный промежуток времени

2.6 Степень неравенства в распределении доходов

3. Примеры решения экономических задач путем интегрального исчисления

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Современный экономист должен хорошо владеть количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории. При этом важны как знания традиционных математических курсов (математический анализ линейная алгебра, теория вероятностей), так и знания, необходимые в практической экономике и экономических исследованиях (математическая и экономическая статистика, исследование операций, теория игр, эконометрика и др.). Именно этим и обосновывается актуальность темы моего исследования.

Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем. Вспомним высказывание Делоне Бориса Николаевича - советского математика, член.- кор. АН СССР: « Ведь есть очень сложные науки - науки о природе, об обществе... Очень сложные. А математика - наука очень простая, она изучает самые простые вещи... ». Интересно заметить, что один из известных экономистов А. Пигу говорил, что «Экономическая наука почти всегда вынуждена говорить невнятно».

Целью моей работы явилось выяснение того, какие новые возможности для экономических исследований открывает определенный интеграл и каков его экономический смысл.

Структура работы такова: введение, три параграфа, заключение.

1. Понятие определенного интеграла

Поскольку предмет нашего исследования - определенный интеграл в экономике, выясним, в чем суть этого понятия, какие проблемы приводят к использованию интеграла.

Рассмотрим непрерывную функцию у = f(x), не принимающую отрицательных значений, так что график ее целиком лежит выше оси Ох, хотя и

может касаться оси Ох в некоторых точках. Пусть а и b -- такие числа, что функция определена при a? x ?b. .

Кривая у = f(x) и прямые х = а, х = b и у = 0 ограничивают некоторую область плоскости, называемую областью под кривой у = f(x) от а до b, или криволинейной трапецией.

Если требуется вычислить площадь S криволинейной трапеции, то можно, например, покрыть плоскость сетью мелких квадратов и сосчитать число квадратов, лежащих внутри нашей области (рис. 1.1). Это не дает еще всей площади, поскольку некоторые из квадратов лежат частично внутри, а частично вне рассматриваемой области. Но если сделать сеть достаточно густой, то можно вычислить S с любой степенью точности. Можно вычислить площадь криволинейной трапеции и с помощью тонких прямоугольников. Лейбниц считал, что криволинейная трапеция составлена из бесконечно тонких прямоугольников (рис. 1.2). Каждый такой прямоугольник поднимается над точкой х интервала [а, b]; он имеет высоту f(x) и бесконечно малую ширину



Рис.1.1. Криволинейная трапеция

dx; площадь его равна, следовательно, f(x)dx. Общая же площадь S есть сумма всех таких площадей [1].

Рис.1.2. Вычисление площади криволинейных трапеций

Напомним, Лейбниц писал S = ? f(x) dx. Символ ? означал у него сумму. Этот символ происходит от удлинения буквы S (первой буква слова Summa). Позже ученик Лейбница Иоган Бернулли предложил отличать «целостную сумму бесконечно малых» от обычной суммы и предложил знак ? именовать интегралом от латинского слова integralis (целостный). Фурье усовершенствовал обозначение Лейбница, предложив явно указывать начальное и конечное значения х:

Рассуждения математиков XIX века носили нестрогий характер. Термин бесконечно малая величина не был достаточно строго определен, что приводило к противоречиям. Строгое определение основано на понятии предела и интегральной суммы. Оно вобрало в себя качественный смысл определения Лейбница и устранило нечеткость формулировок.

Пусть функция f(x) неотрицательна на [а, b]. Разобьем отрезок [а, b] на n промежутков точками x0, x1 ..., xn:

На каждом отрезке разбиения выберем точку cj и положим

Тогда произведение f (cj) ?xj равно площади прямоугольника Sj со сторонами f (cj) и ?xj. Сумма площадей всех таких прямоугольников равна сумме вида

Эта сумма представляет площадь ступенчатой фигуры. Чем уже ступеньки, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади криволинейной трапеции (рис. 1.2) [1]. Естественно ожидать, что при неограниченном возрастании числа промежутков, так что наибольшая из их длин стремится к нулю, сумма Sn стремится к площади криволинейной трапеции S.

Введем теперь точное определение.

Пусть на отрезке [а, b] задана функция у = f(x) (теперь уже необязательно неотрицательная). Разобьем отрезок [а, Ь] на n промежутков точками x0, x1 ..., xn:



На каждом отрезке разбиения [x j -1, xj] выберем точку c j и положим

Сумму вида

назовем интегральной суммой для функции у = f(x) на [а, b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка [а, b] точками x0, x1 ..., xn, так и от выбора точек со, c1, ..., сn на каждом из промежутков разбиения [x j -1, xj], j = 1, 2, … , n.

Обозначим через max ?xj максимальную из длин отрезков [x j -1, xj], где j =1, 2, ... , n.

Определение. Пусть предел интегральной суммы

при стремлении max ? xj к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек x1, x2, ... и c1, c2, … . Тогда этот предел называется определеным интегралом от функции у = f(x) на [а, Ь] и обозначается

а сама функция у = f(x) называется интегрируемой на отрезке [а, b], т. е.

Эта запись читается: «интеграл от а до бэ эф от икс дэ икс» [1]. При этом число а называется нижним пределом, число b - его верхним пределом; функция f(x) - подынтегральной функцией, выражение f(x)dx - подынтгральным выражением, а задача о нахождении - интегрированием функции f(x) на отрезке [а, b].

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия. Неопределенный интеграл представляет функцию (а точнее семейство функций), а определенный интеграл -- это число.

Из определения следует, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.

Верхний предел b может быть больше или меньше нижнего а.

В первом случае

Поэтому по определению полагают

Понятие определенного интеграла распространяют и на случай а = b; интеграл с равными пределами считается равным нулю:

Это соглашение оправдано тем, что интегральная сумма стремится к нулю при сближении а и b.

Очевидно, если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то она и ограничена на этом отрезке. В самом деле, если f(x) не ограничена на отрезке [а, b], то она не ограничена на некотором отрезке [x j -1, xj]. За счет выбора точки cj интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой, а такая интегральная сумма не имеет конечного предела, что противоречит определению, согласно которому предел интегральной суммы Sn существует и конечен.

Покажем на примере функции Дирихле, что обратное утверждение неверно: существует ограниченная функция, не являющаяся интегрируемой. Напомним, что функция Дирихле равна единице в рациональных точках и нулю - в иррациональных. На любом отрезке [а, b] эта функция ограничена, но не является интегрируемой на нем [2]. Действительно, если в каждом отрезке [x j -1, xj] выбрать рациональную точку сj, то интегральная сумма

Если выбрать иррациональную точку сj, то f(сj) = 0 и

Таким образом, с одной стороны Sn = b - а, с другой стороны Sn = 0. Поэтому предел интегральных сумм не существует и функция Дирихле не является интегрируемой [3].

Отметим без доказательств, что справедливы следующие

утверждения:

Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то она интегрируема на любом отрезке [с, d], содержащимся в [а, b].

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Если функция f(x) имеет на отрезке [а, b] конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на отрезке [а, b].

2. Экономический смысл и приложение определенного интеграла в экономике

Традиционно практическое приложение интеграла иллюстрируется вычислением площадей различных фигур, нахождением объемов геометрических тел и некоторыми приложениями в физике и технике. Однако роль интеграла в моделировании экономических процессов не рассматривается. Вместе с тем, интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике.

Определение интегральной суммы позволяет использовать понятие определенного интеграла в социально-экономической сфере. Его применение основано на том, что любой меняющийся социально-экономический процесс может быть интерпретирован как скачкообразный, скачки которого близки к нулю.

2.1 Потребительский излишек

Остановимся на нескольких примерах использования интегрального исчисления в экономике. Начнем с широко используемого в рыночной экономике понятия потребительского излишка (CS-consumer's surplus). Для этого введем несколько экономических понятий и обозначений.

Спрос на данный товар (D-demand) - сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и объемом его покупки. Спрос на отдельный товар графически изображается в виде кривой с отрицательным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой P (price) единицы этого товара и количеством товара Q (quantity), которое потребители готовы купить при каждой заданной цене. Отрицательный наклон кривой спроса имеет очевидное объяснение: чем дороже товар, тем меньше количество товара, которое покупатели готовы купить, и наоборот.

Аналогично определяется и другое ключевое понятие экономической теории - предложение (S-supply) товара: сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и количеством товара, предлагаемого к продаже. Предложение отдельного товара изображается графически в виде кривой с положительным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой единицы этого товара P и количеством товара Q, которое потребители готовы продать при каждой цене [5].

Рис.2.1. Графики функций спроса и предложения

Отметим, что экономисты сочли удобным изображать аргумент (цену) по оси ординат, а зависимую переменную (количество товара) по оси абсцисс. Поэтому графики функций спроса и предложения выглядят следующим образом

И, наконец, введем еще одно понятие, играющее большую роль в моделировании экономических процессов - рыночное равновесие (equilibrium). Состояние равновесия характеризуют такие цена и количество, при которых объем спроса совпадает с величиной предложения, а графически рыночное равновесие изображается точкой пересечения кривых спроса и предложения (рис. 2.2), E*(p*; q*) - точка равновесия.



Рис.2.2 Точка рыночного равновесия

В дальнейшем для удобства анализа мы будем рассматривать не зависимость Q = f(P), а обратные функции спроса и предложения, характеризующие зависимость P = f(Q), тогда аргумент и значение функции графически будут изображаться привычным для нас образом.

Перейдем теперь к рассмотрению приложений интегрального анализа для определения потребительского излишка [5]. Для этого изобразим на графике обратную функцию спроса P = f(Q). Допустим, что рыночное равновесие установилось в точке E*(q*; p*) (кривая предложения на графике отсутствует для удобства дальнейшего анализа, рис.2.3).

Рис.2.3. График рыночного равновесия

Если покупатель приобретает товар в количестве Q* по равновесной цене P*, то очевидно, что общие расходы на покупку такого товара составят P*Q*, что равно площади заштрихованной фигуры A (рис.2.4).



Рис.2.4. Общие расходы на покупку товара

Но предположим теперь, что товар в количестве Q* продается продавцами не сразу, а поступает на рынок небольшими партиями Q. Именно такое допущение вместе с предположением о непрерывности функции спроса и предложения является основным при выводе формулы для расчета потребительского излишка (см. [2.1-2.4]). Отметим, что данное допущение вполне оправдано, потому что такая схема реализации товара довольно распространена на практике и вытекает из цели продавца поддерживать цену на товар как можно выше. определенный интеграл экономический смысл

Тогда получим, что сначала предлагается товар в количестве Q1 = D Q (рис.2.5), который продается по цене P1 = f(Q1). Так как по предположению величина Q мала, то можно считать, что вся первая партия товара реализуется по цене P1, при этом затраты покупателя на покупку такого количества товара составят P1D Q, что соответствует площади заштрихованного прямоугольника S1 (рис.2.5) [5].

Рис.2.5. Затраты покупателя

Далее на рынок поступает вторая партия товара в том же количестве, которая продается по цене P2 = f(Q2), где Q2 = Q1 + D Q - общее количество реализованной продукции, а затраты покупателя на покупку второй партии составят P2D Q, что соответствует площади прямоугольника S2.

Продолжим процесс до тех пор, пока не дойдем до равновесного количества товара Q* = Qn. Тогда становится ясно, какой должна быть величина DQ для того, чтобы процесс продажи товара закончился в точке Q*:

В результате получим, что цена n-й партии товара Pn = f(Qn) = f(Q*) = P*, а затраты потребителей на покупку этой последней партии товара составят PnD Q, или площадь прямоугольника Sn.

Таким образом, мы получим, что суммарные затраты потребителей при покупке товара мелкими партиями D Q равны:

Так как величина D Q очень мала, а функция f(Q) непрерывна, то заключаем, что приблизительно равна площади фигуры B (рис.2.6) [5].

Рис.2.6. Суммарные затраты потребителей

Площадь фигуры B при малых приращениях аргумента D Q равна определенному интегралу от обратной функции спроса при изменении аргумента от 0 до Q*, т. е. в итоге получим, что:

(2.1)

Вспомнив, что каждая точка на кривой спроса Pi = f(Qi) (i = 1, 2, ..., k) показывает, какую сумму потребитель готов заплатить за покупку дополнительной единицы продукта, получим, что площадь фигуры B соответствует общей денежной сумме, которую потребитель готов потратить на покупку Q* единиц товара. Разность между площадью фигуры B и площадью прямоугольника A есть потребительский излишек при покупке данного товара - превышение общей стоимости, которую потребитель готов уплатить за все единицы товара, над его реальными расходами на их приобретение (площадь заштрихованной фигуры на рисунке 2.7).

Рис.2.7. Потребительский излишек

Таким образом, потребительский излишек можно посчитать по следующей формуле:

, (2.2)

где CS - потребительский излишек

P* - цена товара;

Q* - количество товара .

Аналогично,

(2.3)

называется выигрышем поставщиков или производителей [5].

2.2 Восстановление экономических характеристик по их предельным значениям

Пример: Пусть С(q) - функция издержек, q - количество выпускаемого товара. Как известно, MC(q) = C?(q) - функция предельных издержек, выражающая при заданном q издержки на производство 1 дополнительной единицы продукции. Пусть задана функция предельных издержек и требуется определить по ней C(q).

Для однозначного решения требуется информация об издержках производства первой единицы продукции. Обозначим такие издержки через С0. Тогда поставленную задачу решает следующий интеграл с переменным верхним пределом:

(2.4)

где С(q) - функция издержек

MC - предельные издержки;

t - время .

Действительно, С(1)=С0, так что поставленное начальное условие выполнено. Кроме того, мы знаем, что для непрерывных функций MC(t) интеграл справа в уравнении (2.4) есть дифференцируемая функция, производная которой в точке q равна MC(q). Стало быть, этот интеграл действительно выражает искомую функцию издержек [4].

2.3 Нахождение дисконтированной стоимости денежного потока

Как известно, дисконтирование представляет собой специальный приём для сопоставления текущей и будущей (очевидно, более низкой, чем текущая) ценности денежных сумм. Дисконтирование также называют снижение ценности отсроченных денежных поступлений.

Пусть в дискретные моменты времени t = 1, 2, 3, … . величина денежных поступлений составляет R(1), R(2), R(3), … . Если ставку банковского процента, соответствующую одному временному такту обозначит через р, то, пересчитывая эти значения на настоящий момент и складывая результаты, получим дисконтированную стоимость всего потока, соответствующего изменению времени от 1до n:

(2.5)

Величина П, меньшая, чем сумма , дает теперешнюю суммарную стоимость всех поступлений за указанный период времени [4].

Рассмотрим теперь модель с непрерывным временем, изменяющимся на некотором отрезке [0,T]. В такой модели как сами выплаты, так и снижение их ценности происходят непрерывно. Если в момент времени t выплачиваемые средства составляют R(t) условных единиц, то в качестве характеристики изменения денежного потока целесообразно взять производную функции R(t) по времени: которую именуют скоростью денежного потока. Ясно, что мы имеем теперь дело не с дискретными значениями потока, а с его приращениями (их приближенно заменим дифференциалами функции R(t) dR(t;dt) = I(t)dt за время от t до t + dt.

Для нахождения дисконтированной стоимости dП такого приращения разобьем единичный временной промежуток на k равных частей. Тогда отрезок [0;t], в конце которого за время dt поток прирастает на dR(t;dt), разобьётся на kt равных частей [4]. Далее осуществим в формуле (2.4) переход к пределу при k>?, взяв в знаменателе ее правой части в качестве коэффициента дисконтирования величину , а в числителе - приращение dR(t;dt):

Интегрируя теперь этот элемент стоимости по t в пределах от 0 до T найдем

, (2.6)

где П(Т) -дисконтированный поток

I(t) - скорость денежного потока;

t - время .

2.4 Количество денег, поступивших в банк за определенный промежуток времени

Пусть u = f(t) описывает количество денег поступающих в сберегательный банк в каждый момент времени t [1]. Требуется определить общее количество денег U, поступивших в банк за промежуток времени [0, Т]. Если f(t) = const, то количество денег U, поступившее в банк за промежуток

времени [0, Т], находится по формуле U = f(с) • (T - 0) = f(c)T, где с произвольное значение из отрезка [0, Т].

Если в каждый момент времени за промежуток времени [0, Т/2] в банк поступает f(c1) денежных единиц, а в каждый момент времени в промежутке [Т/2, Т] - f(c2) денежных единиц, то общее количество денег, поступившее за промежуток времени [0, Т], подсчитывается по формуле

U = f(c1)T/2+ f(c2)T/2.

Пусть f(t) - произвольная кусочно-непрерывная функция на отрезке [0, Т]. Разобьем отрезок [0, Т] на промежутки времени точками:

0 = t0<t1<t2<…<tn-1<tn = T.

Количество денег ?Ui, поступивших в банк за промежуток времени [ti-1, ti], приближенно может быть вычислено по формуле ?U ? f(ci)?ti, где (точность этого равенства тем выше, чем меньше ?ti) [1]. Тогда



При стремлении max ?ti к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем

(2.7)

где U - количесво денег

f(t) - количество денег;

t - время .

т. е. если f(t) - количество денег, поступивших в банк в момент времени t, то есть общее количество денег, поступивших в банк за промежуток времени [0, Т].

Поскольку f(t)?0, то общее количество денег, поступивших в Сбербанк за промежуток времени [0, Т] численно равно площади фигуры под графиком функции f(t) [4].

2.5 Объем продукции, произведенной за определенный промежуток времени

Пусть, теперь, функция у = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции Q, произведенной за промежуток времени [0, Т].

Разобьем отрезок [0, Т] на промежутки времени точками:



Объем продукции ?Qi произведенной за промежуток времени [ti-1, ti], приближенно может быть вычислен по формуле

Где (точность этого равенства тем выше, чем меньше ?ti. Тогда

,

При стремлении max ?ti к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем

(2.8)

где Q - обьем продукции

f(t) - производительност труда в момент времени t;

t - время.

Поскольку f(t)?0, то объем продукции, произведенной за промежуток времени [О, Т], численно равен площади фигуры под графиком функции f(t), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [О, Т] [5].

Возможность учета влияния различных факторов на изменение производительности производства связана с использованием, например, так называемых функций Кобба-Дугласа. В этом случае производительность f(t) представляется в виде произведения трех сомножителей :

F(t) = б0Aa (t)LвKг(t), (2.9)

где A(t), L(t), K(t) - функции величины затрат природных ресурсов

a0, a, в, г - производительность некоторые числа.

2.6 Степень неравенства в распределении доходов

В последнее время в социальных и экономических науках при изучении неравенства все чаще применяется математика. Разработано несколько видов коэффициентов -- коэффициент Лоренца, коэффициент Джини, коэффициент Шютца, коэффициент дифференциации и другие) . Преобразование данных в математическую форму дает исследователю много новой ценной информации, которая выражается в концентрированном виде, имеет четкий и ясный смысл.

Приведем пример использования коэффициента Джини для определения степени неравенства по кривой Лоренца. Кривая Лоренца (рис. 8.)



Рис.2.8. Кривая Лоренца

выражает график зависимости процента доходов от процента, имеющего их населения. По оси Оу откладывается доля населения, имеющих определенный доход; по оси Ох долю населения [4]. С помощью кривой Лоренца можно оценить степень неравенства в распределении доходов населения. При равномерном распределении доходов кривая Лоренца является линейной функцией - биссектрисой ОA, при неравномерном - кривой вида ОBА. Коэффициентом Джини именуют отношение площади фигуры между биссектрисой ОЛ и кривой Лоренца к площади треугольника ОАС.

k = (2.10)

где k - коэффициент Джини

SOAB - площадь фигуры ОАВ;

SOAC - gkjoflm abuehs OAC.

При коэффициенте, равном 0, налицо полное равенство в доходах населения, при значении коэффициента менее 0,3 - слабое неравенство, при 0,3-0,7 - значительное, при 0,7-1 - сильное [4].

3. Примеры решения экономических задач путем интегрального исчисления

Задача 1

Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией p = 4 - q2, где q - количество товара (в шт.), p - цена единицы товара (в руб.), а равновесие на рынке данного товара достигается при p* = q* = 1. Определите величину потребительского излишка.

Решение.

Задача 2.

Известно, что спрос на некоторый товар описывается функцией а предложение данного товара характеризуется функцией q = 500p. Найдите величину излишка потребителя при покупке данного товара.

Решение.

Для расчета излишка потребителя сначала определим параметры рыночного равновесия (p*; q*). Для этого решим систему уравнений:

Таким образом, p* = 2, q* = 1000.

Запишем формулу для вычисления потребительского излишка (2.2), где f(q) - функция, обратная функции

Отсюда:

Задача 3.

Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией предложение - функцией p = q + 11. Определите величину выигрыша потребителя при покупке данного товара.

Решение. Выигрыш потребителя есть не что иное, как потребительский излишек. Для того, чтобы найти его, определим сначала равновесные значения количества товара и его цены, решив для этого систему:

Решим первое уравнение системы:

(q + 1)(q + 11) = 231,

q2 + 12q - 220 = 0,

(q + 22)(q - 10) = 0.

Учитывая, что q ? 0, получим q* = 10. Следовательно, p* = 10 + 11 = 21. Тогда:

Задача 4.

Известно, что кривая предложения некоторого товара имеет вид p = 4q3 + 2, а равновесие на рынке данного товара достигается при объеме продаж Q* = 3. Определите добавочную выгоду производителя при продаже такого количества продукции.

Решение. Сначала из функции предложения найдем равновесное значение цены P* = f(q*) = f(3) = 4*33 + 2 = 110.

Подставим полученное значение в формулу (2.2):

Задача 5.

Дана кривая спроса . Каковы денежные потери потребителя при введении на данный товар налога с единицы продаж в размере 1 руб., если известно, что первоначально рыночное равновесие на данном рынке наблюдалось при цене P* = 2 руб.?

Решение. Данную задачу можно решать разными способами. Проанализируем основные из них.

1-й способ основан на использовании формулы (2.1) для вычисления ?CS.

Для определения потребительских потерь при увеличении равновесной цены товара с 2 руб. до 3 руб. посмотрим, как при этом меняется объем продаж. Если P1 = 2, то Q1 = 16, при P2 = 3 Q2 = 14. Следовательно,

2-й способ. Так как в данном случае функция спроса линейна, то рассматриваемую ситуацию легко представить графически:

Получим, что:

Задача 6.

Найти дневную выработку Q за рабочий день продолжительностью 8 часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле f(t) = -0,1t2 + 0,8t + 10.

Решение. По формуле (7.2), получаем:

Задача 7.

Изменение производительности производства с течением времени от начала внедрения нового технологического процесса задается функцией z = 32 - 2-0,5t + 5, где t - время в месяцах. Найти оббьем продукции, произведенной: а) за первый месяц; б) за третий месяц; в) за шестой месяц; г) за последний месяц года, считая от начала внедрения рассматриваемого технологического процесса.

Решение. По формуле (2.8), получаем:

.

Тогда:

= 4,95;

= 18,48;

= 27,22;

= 31,4;

Сравнивая между собой полученные результаты, можно заметить, что основная работа по внедрению данного технологического процесса приходится, в основном, на первую половину года.

Задача 8.

Найти оббьем выпускаемой продукции за пять лет, если в функции Кобба-Дугласа A(t) = et, L(t) = (t + 1)2, K(t) = (100 - 3t)2, б0 = 1, a = 1, в = г = 0,5, (t - время в годах).

Решение. Поставляя функцию производительности f(t) в формулу (2.9), получаем:



Применяя дважды последовательно формулу интегрирования по частям, имеем:

64825.

Задача 9.

Для одной из стран кривая Лоренца может быть описана уравнением у = x2, где х - доля населения, у - доля доходов населения. Вычислить коэффициент Джини k.

Решение. Так как на рисунке 2.8. а

то

Поскольку k > 0,3 принадлежит интервалу (0,3, 0,7), то делаем вывод о том, что в изучаемой стране наблюдается значительное неравенство в доходах.

Задача 10.

Под строительство ГЭС задан непрерывный денежный поток со скоростью I(t) = -t2+20t+5 млрд. руб. / год в течение 20 лет с годовой банковской ставкой 5%. Найти его дисконтированную стоимость.

Решение. Характерное «поведение» скорости денежного потока во времени: сначала она относительно невелика, потом растет и достигает своего максимума в данном случае в середине срока строительства, а затем убывает до первоначальной относительно небольшой величины.

По формуле (2.6) при p=0,05 находим

Такими средствами нужно обладать перед началом строительства, чтобы обеспечить его финансирование в запланированных объемов.

Заключение

В процессе выполнения работы были решены следующие задачи:

рассмотрены задачи, приводящиеся к понятию определённого интеграла;

выяснен экономический смысл определённого интеграла;

исследовано применение определённого интеграла в различных разделах экономической теории;

В заключение работы я могу сделать вывод, что определённый интеграл является не только мощным средством решения прикладных экономических задач, но и универсальным языком всей экономической теории, создает новые возможности для экономических исследований.

Сегодняшняя экономическая наука так сильно математизирована, что иногда возникает обеспокоенность возможностью исчезновения собственно экономического содержания из математических формул и графиков. Однако общепризнанным является факт, что математизация экономических рассуждений была гигантским шагом вперед.

Список использованной литературы

1. Ахтямов, А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 464 с.

2. Баврин, И.И. Высшая математика / И.И. Баврин. - М.: ACADEMA, 2003. - 611с.

3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в двух частях / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М.: Высшая школа, 1986.Часть 2 - 415 с.

4. Спирин, А.А., Экономико-математические методы и модели в торговле / П.Е. Спирин , Г.П. Фомин. - М.: Экономика.2004.- 320 с.

5. Шаланов, Н.В. Экономико-математические методы в экономике: Учебное пособие. - Новосибирск: СибУПК, 2006.-290 с.

Размещено на Allbest.ru

...