Методы оптимальных решений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Федеральное Государственное Бюджетное Учреждение Высшего профессионального образования

Алтайский Государственный Аграрный Университет

Контрольная работа

Методы оптимальных решений

Карманова О.А.

Барнаул 2014



Содержание

1. Предмет и задачи курса ЭММ, его место в системе экономических дисциплин

2. Решение задач линейного программирования симплексным методом с естественным базисом

3. Экономико-математическая модель оптимизации кормового рациона



Введение

В современной финансово-экономической деятельности увеличивается интерес у специалистов к научному решению проблем принятия экономических и управленческих решений с использованием экономико-математических методов и построенных на их основе моделей. Это следует из того, что математические методы и модели в экономике и управлении требуют тщательного учета всех возможных ситуаций в рыночных условиях, а это делает решения научно обоснованными, динамическими для обеспечения сбалансированного и устойчивого хозяйственного механизма.

Основной задачей пособия является создание учебной среды, обеспечивающей выработку устойчивых навыков владения разнообразными приемами моделирования и создающей основу умения применять теоретические основы моделирования к решению реальных задач экономической практики.



1. Предмет и задачи курса ЭММ, его место в системе экономических дисциплин

Каждое научное направление использует свою систему понятий и категорий. В основе понятийного аппарата данного направления лежит терминология экономико-математических методов и построенных на их основе математических моделей.

Такое научное направление представляет собой единение экономики, математики и кибернетики.

Основные понятия и определения в экономико-математическом моделировании.

Цель --желаемый результат, который должен быть достигнут.

Мероприятие -- совокупность действий, объединенных общей целью. В исследовании операций (ответвлении кибернетики) вместо термина «мероприятие» используется понятие «операция».

Альтернативы -- возможны варианты мероприятий, на основании которых принимается решение. Таких вариантов может быть несколько. Альтернативы могут быть дискретными или непрерывными. Количество дискретных альтернатив конечно: например, заменить определенный вид оборудования или нет (в данном случае альтернативы две). Альтернативы могут выбираться на непрерывном множестве: например, заменить оборудование данного вида (через день, два, неделю, месяц, год и т.д.); тогда количество альтернатив бесконечно, и под решением понимают выбор одной альтернативы из множества возможных.

Система (в переводе с греческого -- целое, сопоставленное из частей) -- это относительно обособленная и упорядоченная совокупность обладающих особой связностью, целенаправленно и целесообразно взаимодействующих элементов, способных реализовать заданные целевые функции.

Элемент системы -- часть системы, которая, исходя из цели и функций данной системы, является неделимой.

Сложная система -- это множество разных структур и элементов этих структур.

Подсистема -- часть системы, которая выделена с определенной целью; может рассматриваться как самостоятельная система.

Системный подход -- главный научный принцип исследования систем в кибернетике, согласно которому необходимо учитывать взаимосвязи между элементами системы, между системой и внешней средой, между состоянием системы в данное время и в будущем. Основное понятие в кибернетике.

Модель - это образ реального объекта (процесса) в материальной или идеальной форме, отражающий существенные свойства моделируемого объекта (процесса) и замещающий его в ходе исследования и управления. Модель может полностью или частично воспроизводить структуру, которая моделируется, систему и ее функции.

Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т. е. возможности изучения реального объекта не непосредственно, а через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта, его модели.

Моделирование -- процесс построения, реализации и исследования модели, который способен заменить реальную систему и дать информацию о ней.

Математическая модель -- система математических и логических соотношений, которые описывают структуру и функции реальной системы. Математическая модель отличается по своей природе от оригинала. Исследование свойств оригинала с помощью математической модели удобнее, является более дешевым, занимает меньше времени по сравнению с физическим моделированием, которое используется в технике (т.е. имеет ту же природу, что и оригинал). Более того, целый ряд экономических систем невозможно изобразить с помощью физических моделей.

Экономико-математическая модель включает в себя систему уравнений и неравенств математического описания экономических процессов и явлений, которые состоят из набора переменных и параметров. Переменные величины характеризуют, например, объем выработанной продукции, капитальных вложений, перевозок и т.п. Переменные разделяются на две группы: объясняющие (независимые), которые являются заранее заданными и независимыми; объясняемые (зависимые), которые являются результативными показателями. Переменные величины могут быть двух групп: внешние переменные (экзогенные), когда они определяются вне данной модели и считаются для модели заданными; внутренние переменные (эндогенные), которые определяются в результате исследования данной модели. Параметры -- это численные признаки показателей, такие, как нормы расходов сырья, материалов, времени на производство и т.п. Во всех случаях необходимо, чтобы модель имела достаточно детальное описание объекта, которое позволяло бы осуществлять измерение экономических величин и определять их взаимосвязь, чтобы были выделены факторы, влияющие на исследуемые показатели.

Классификации экономико-математических моделей, что имеет немаловажное методологическое значение. Существует несколько классификаций экономико-математических моделей. С нашей точки зрения экономико-математические модели можно классифицировать по таким признакам:

назначению;

степени вероятности;

способу описания;

способу учета измены процесса по времени;

точности математического отображения рассматриваемых явлений.

По назначению модели целесообразно разбить на четыре класса: имитационные; балансовые; сетевые; оптимизационные.

По степени вероятности модели разделяются на два типа: вероятностные (стохастические), параметры которых и внешние изменения носят случайный характер; детерминированные, в которых игнорируется случайный характер изменения параметров.

По способу описания модели делятся на три класса: аналитические, в которых показатели описываются математическими формулами или системой формул; эконометрические (статистические), которые предназначены для анализа и прогнозирования рассматриваемых экономических явлений в условиях неопределенности исходных данных и реализуются методами математической статистики; смешанные, в которых наиболее простые блоки описываются аналитическими зависимостями, а в других блоках, где описание аналитическими формулами может привести к значительным искажениям, используется эконометрическое моделирование.

По способу учета изменения процесса по времени модели разделяются на три класса: статические, в которых предусматривается, что входные параметры не изменяются по времени; многошаговые, в которых время протекания процесса делится на «шаги» (интервалы) и в рамках одного шага процесс рассматривается статическим; динамические, где учитывается непрерывное изменение времени.

По точности математического отображения рассматриваемых явлений модели делятся на две группы: линейные, зависимости в которых имеют переменные первой степени и не включают их обратных величин и произведение переменных; нелинейные, зависимости, отображаемые в модели, не являются линейными.

Процесс построения экономико-математических моделей общего типа состоит из следующих взаимосвязанных этапов.

Первый этап -- постановка задачи, где формируется цель запланированного мероприятия, ставятся задачи исследования, проводится качественное описание объекта.

Второй этап -- разработка описательной модели, где формулируются и обосновываются показатели и система основных предположений.

Третий этап -- разработка математической модели изучаемого объекта с выбором методов исследования, программного обеспечения ПК или составление алгоритма и программы для ПК по новым задачам.

Четвертый этап -- решение задачи на базе разработанной модели, состоящее в реализации пакета прикладных или разработанных программ для ПК.

Пятый этап -- проверка и настройка модели, т.е. установление соответствия модели описываемому экономическому процессу.

Шестой этап -- представление результатов решения в форме, удобной для изучения, анализ материалов модели на основе обработки результатов.

2. Решение задач линейного программирования симплексным методом с естественным базисом

Среди универсальных методов решения задач линейного программирования наиболее распространенным является симплексный метод (или симплекс-метод), разработанный американским ученым Дж. Данцигом. Суть этого метода заключается в том, что вначале получают допустимый вариант, удовлетворяющий всем ограничениям, но необязательно оптимальный (так называемое начальное опорное решение);оптимальность достигается последовательным улучшением исходного варианта за определенное число этапов (итераций).

Нахождение начального опорного решения и переход к следующему опорному решению проводятся на основе применения рассмотренного выше метода Жордана - Гаусса для системы линейных уравнений канонической формы, в которой должна быть предварительно записана исходная ЗЛП; направление перехода от одного опорного решения к другому выбирается при этом на основе критерия оптимальности (целевой функции) исходной задачи. Симплекс-метод основан на следующих свойствах ЗЛП:

1) не существует локального экстремума, отличного от глобального. Другими словами, если экстремум есть, то он единственный;

2) множество всех допустимых решений (планов) задачи линейного программирования выпукло;

3) целевая функция ЗЛП достигает своего максимального (минимального) значения в угловой точке многогранника решений (в его вершине). Если целевая функция принимает свое оптимальное значение более чем в одной угловой точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек;

4) каждой угловой точке многогранника решений отвечает опорный план ЗЛП.

Рассмотрим разновидность симплексного метода: симплекс-метод с естественным базисом.

Симплекс-метода с естественным базисом

Для применения этого метода ЗЛП должна быть сформулирована в канонической форме причем матрица системы уравнений должна содержать единичную подматрицу размером т x т. В этом случае очевиден начальный опорный план (неотрицательное базисное решение).

Для определенности предположим, что первые т векторов матрицы системы уравнений составляют единичную матрицу. Тогда первоначальный опорный план очевиден -

Проверка на оптимальность опорного плана проходит с помощью критерия (признака) оптимальности, переход к другому опорному плану - с помощью преобразований Жордана - Гаусса и с использованием признака оптимальности.

Полученный опорный план снова проверяется на оптимальность и т.д. Процесс заканчивается за конечное число шагов, причем на последнем шаге либо выявляется неразрешимость задачи (конечного оптимума нет), либо получается оптимальный опорный план и соответствующее ему оптимальное значение целевой функции.

3. Экономико-математическая модель оптимизации кормового рациона.

Составление рационов для животных при большом числе нормируемых показателей и многообразии кормов требует большой вычислительной работы и как следствие много времени. В связи с этим в последние годы интенсивно проводятся разработки по использованию математических методов и ЭВМ при организации рационального кормления животных.

Это позволяет специалистам анализировать многочисленные варианты развития кормопроизводства и животноводства и выбирать наиболее оптимальные из них, что невозможно сделать традиционными методами.

Одной из первых была разработана экономико-математическая модель оптимизации кормового рациона, для решения которой применяют симплексный метод линейного программирования.

Экономико-математическая модель - математическое описание исследуемого экономического объекта (в исследуемой задаче - суточного рациона животного). Эта модель выражает закономерности экономического процесса в абстрактном виде с помощью математических соотношений. Использование математического моделирования в экономике позволяет углубить количественный экономический анализ, расширить область экономической информации.

При разработке экономико-математической модели оптимизации кормового рациона необходима постановка задачи и обоснование критериев.

1. Постановка задачи

Подготовка к составлению задачи включает установление критерия оптимальности, входную информацию, а также условия и ограничения, которые должны быть учтены в модели. На основе этих материалов составляют развернутую экономико-математическую модель - матрицу задачи.

Кормовой рацион представляет собой набор кормов, потребляемых животными в сутки. Кормление животных должно удовлетворять оптимальную потребность организма в энергии, протеине, незаменимых аминокислотах, минеральных веществах и витаминах.

Экономико-математическую задачу в данном случае можно сформулировать следующим образом: из имеющихся в сельскохозяйственном предприятии кормов, а также кормовых добавок составить рацион, который полностью удовлетворял бы биологическим потребностям животного по содержанию питательных веществ, соотношению отдельных групп и видов кормов и удовлетворял бы критерию оптимальности, то есть являлся максимально дешёвым для сельскохозяйственного предприятия.

2. Входная информация

Входная информация, необходимая для решения оптимизационной задачи:

Живая масса 500 кг, удой 12 кг. При составлении рациона могут быть использованы следующие виды кормов: комбикорм, дерть ячменная, жмых подсолнечниковый, сено луговое, сено вико-овсяное, солома овсяная, сенаж разнотравный, силос клеверо-тимофеечный, силос подсолнечниковый, картофель, брюква кормовая, карбамид.

Таблица 1 Содержание отдельных видов кормов в рационе

Концентрированные корма	Грубые корма	Силос	Корнеклубнеплоды
мин.	макс.	мин.	макс.	мин.	макс.	мин.	макс.
1,2	3	10	16	12	25	4	9

Содержание жмыха по массе в рационе не должно превышать 10% от всей массы концентрированных кормов. Удельный вес соломы в грубых кормах не более 35%,силоса подсолнечникового - не менее 40% от всего силоса., брюквы в корнеплодах по массе не менее 20%. Карбамида не более 17% от общего количества переваримого протеина.

Для составления экономико-математической модели оптимального рациона кормления КРС принимаются во внимание самые различные данные, имеющиеся в хозяйстве. К таковым относятся:

Вид и половозрастная группа скота, для которой рассчитывается кормовая смесь;

Требуемое содержание питательных веществ в рационе;

Предельные нормы скармливания отдельных видов и групп кормов;

Имеющиеся в хозяйстве виды кормов;

Содержание питательных веществ в единице корма;

Стоимость кормовых единиц.

Для расчёта оптимального соотношения кормов в рационе необходимо, чтобы питательность рациона была в пределах, определяемых нормативными стандартами для дойных коров массой 400 кг, с суточным удоем 10 кг. Потребность в питательных веществах приведена в таблице 2

Таблица 2 Нормы кормления дойных коров

Живая масса коровы, кг	Суточный удой, кг	Рацион должен содержать не менее
		ЭКЕ, кормовых единиц	ОЭ (КРС), МДж	Переваримого протеина, г	Каротина, мг
500	12	12,6	126	1060	475

3. Система переменных и ограничений

Основными переменными в данной экономико-математической модели являются переменные, обозначающие количество кормов, кормовых и минеральных добавок каждого вида.

Х₁, кг - содержание в рационе комбикорма

Х₂, кг - содержание в рационе дерти ячменной

Х₃, кг - содержится в рационе жмыха подсолнечникового

Х₄, кг - содержание в рационе сена лугового

Х₅, кг - содержание в рационе сена вико-овсяного

Х₆, кг - содержание в рационе соломы овсяной

Х₇, кг - содержание в рационе сенажа разнотравного

Х₈, кг - содержание в рационе силоса клеверо-тимофеечного

Х₉, кг - содержание в рационе силоса подсолнечникового

Х₁₀, кг - содержание в рационе картофеля

Х₁₁, кг - содержание в рационе брюквы кормовой

Х₁₂, г - содержание в рационе карбамида

Вспомогательные переменные вводятся в модель для облегчения математической формализации различных условий:

Х₁₃, г - содержание перевариваемого протеина в рационе

Перейдём к числовой и математической записям ограничений.

Основные ограничения:

Основные ограничения модели отражают условия по балансу питательных веществ в рационе. Они записываются на основании исходных данных и имеют следующий вид:

1) Баланс ЭКЕ (КРС),ЭКЕ

10,4х₁+1,18х₂+1,04х₃+0,69х₄+0,68х₅+0,54х₆+0,31х₇+0,23х₈+0,21х₉+0,28х₁₀+0,21х₁₁+0*х₁₂?12,6

[(ЭКЕ/кг)*кг]=[ЭКЕ]

Х₁, Х_{2, …} Х₁₂ - искомые переменные, обозначающие количество j-ого корма в рационе;

1,04; 1,18; …..0 - технико-экономические коэффициенты, обозначающие содержание соответствующих питательных веществ (в данном случае кормовых единиц) в единице корма (в 1 кг).

12,6 - константа - показывает количество питательных веществ, которое должно содержаться в рационе (в данном случае количество кормовых единиц в рационе), (см. Входную информацию);

Баланс обменной энергии, перевариваемого протеина и баланс каротина записываются аналогично.

2) Баланс обменной энергии, МДж

1,04х₁+11,8х₂ + 10,4х₃ + 6,9х₄ + 6,8х₅+ 5,4х₆ + 3,1х₇+2,3х₈+2,1х₉+2,8х₁₀+2,1х₁₁+ 0* х₁₂ ? 126

[(ОЭМДж/кг)*кг]=[ОЭМДж]

3) Баланс перевариваемого протеина, г

120х₁+83х₂+310х₃+46х₄+49х₅+16х₆+35х₇+20х₈+13х₉+16х₁₀+8х₁₁+2600х₁₂ ?1060

[(г*кг)/кг]=[г]

4) Баланс каротина, мг

0х₁+0х₂+0х₃₊16х₄+12х₅₊0х₆+17х₇+18х₈+15х₉+0х₁₀+0х₁₁+0х₁₂ ?475

[(мг/кг)*кг]=[мг]

5) Концентрированных кормов не менее 1,2 кг

х₁ + х₂ + х₃ 1,2

[кг]=[кг]

6) Концентрированных кормов в рационе должно быть не более 3 кг

х₁ + х₂ + х₃ 3

[кг]=[кг]

7) Грубых в рационе не менее 10 кг

x₄ + х₅+ х₆ + х₇ 10

[кг]=[кг]

8) Грубых в рационе не более 16 кг

x₄ + х₅ + х₆ + х₇ 16

[кг]=[кг]

9) Силоса в рационе не менее 8 кг

x₈ + х₉ 8

[кг]=[кг]

10) Силоса в рационе не более 12 кг

x₈ + х₉ 12

[кг]=[кг]

11) Корнеклубнеплодов в рационе не менее 4 кг

x₁₀+ х₁₁ 4

[кг]=[кг]

12) Корнеклубнеплодов в рационе не более 9 кг

x₁₀+ х₁₁ 9

[кг]=[кг]

Запишем ограничение по содержанию карбамида в рационе (дополнительное задание).

13) Содержание карбамида не менее 17% от перевариваемого протеина,г

2600х₁₂ 0,17(120х₁+83х₂+310х₃+46х₄+49х₅+16х₆+35х₇+20х₈+13х₉+16х₁₀+8х₁₁+ 2600х₁₂)

2600х₁₂ 0,17*х₁₃

2600х₁₂ - 0,17х₁₃ 0

[(г/кг)*кг]=[г]

14) Содержание перевариваемого протеина в рационе,г

120х₁+83х₂+310х₃+46х₄+49х₅+16х₆+35х₇+20х₈+13х₉+16х₁₀+8х₁₁+ 2600х₁₂ =х₁₃

120х₁+8х₂+310х₃+46х₄+52х₅+16х₆+0,37х₇+20х₈+15х₉+16х₁₀+9х₁₁+2600х₁₂-х₁₃=0

[(г/кг)*кг]=[г]

Х₁₃,г- содержание перевариваемого протеина и вспомогательная переменная. линейный программирование симплексный кормовой

15) Содержание жмыха в рационе может составлять не более 10% от всей массы концентрированных кормов, кг

х₁ 0,1(х₁ + х₂ + х₃)

х₁ 0,1 х₁ +0,1 х₂ + 0,1х₃

х₁-0,1 х₁ -0,1 х₂ - 0,1х₃ 0

0,9х₁ -0,1 х₂ - 0,1х₃ 0

[кг]=[кг]

16) Удельный вес соломы в грубых кормах не более 35 %,кг

Х₆?0,35(x₄ + х₅+ х₆ + х₇ )

Х₆?0,35x₄ +0,35 х₅+ 0,35х₆ + 0,35х₇

Х₆-0,35x₄ -0,35 х₅- 0,35х₆ - 0,35х₇?0

-0,35x₄ -0,35 х₅ +0,35х₆ - 0,35х₇?0

[кг]=[кг]

17) Удельный вес силоса подсолнечникового не менее 40% от всего силоса, кг

Х₉ 0,4(х₈+х₉)

Х₉ 0,4х₈+0,4х₉

Х₉-0,4х₈+0,4х₉ 0

-0,4х₈+1,4х₉ 0

[кг]=[кг]

18) Удельный вес брюквы в корнеплодах - не менее 20% корнеклубнеплодов, кг

Х₁₁ 0,2(х₁₀+х₁₁)

Х₁₁ 0,2х₁₀+0,2х₁₁

Х₁₁-0,2х₁₀+0,2х₁₁ 0

-0,2х₁₀+1,2х₁₁ 0

[кг]=[кг]

19) Условия неотрицательности переменных:

Х_j ? 0, где j?1?13

Целевая функция задачи - составить рацион минимальной себестоимости:

_minZ=3,20Х₁+1,85Х₂+1,32Х₃+0,72Х₄+0,78Х₅+0,31Х₆+0,40Х₇+0,41Х₈+0,37Х₉+3,8Х₁₀+0,55Х₁₁+132Х₁₂

[(ден.ед/кг)*кг]*[ден.ед]

.4 Математическая запись задачи и запись в математической форме целевой функции задачи.

Запишем полученные ограничения в системе:

1,04х₁+1,18х₂+1,04х₃+0,69х₄+0,68х₅+0,54х₆+0,31х₇+0,23х₈+0,21х₉+0,28х₁₀+0,21х₁₁+0*х₁₂?12,6

10,4х₁+1,18х₂ + 1,04х₃ + 6,9х₄ + 6,8х₅+ 5,4х₆ + 3,1х₇+2,3х₈+2,1₉+2,8х₁₀+2,1х₁₁+ 0* х₁₂ ? 126

120х₁+83х₂+310х₃+46х₄+49х₅+16х₆+35х₇+20х₈+13х₉+16х₁₀+8х₁₁+2600х₁₂ ?1060

0х₁+0х₂+0х₃₊16х₄+12х₅₊0х₆+17х₇+18х₈+15х₉+0х₁₀+0х₁₁+0х₁₂ ?475

х₁ + х₂ + х₃ 1,2

х₁ + х₂ + х₃ 3

x₄ + х₅+ х₆ + х₇ 10

x₄ + х₅ + х₆ + х₇ 16

x₈ + х₉ 12

x₈ + х₉ 25

x₁₀+ х₁₁ 4

x₁₀+ х₁₁ 9

2600х₁₂ - 0,17х₁₃?0

120х₁+83х₂+310х₃+46х₄+49х₅+16х₆+35х₇+20х₈+13х₉+16х₁₀+8х₁₁+2600х₁₂-х₁₃=0

0,9х₁ -0,1 х₂ - 0,1х?₃0

-0,35x₄ -0,35х₅ + 0,65х₆ - 0,35х₇ 0

-0,4х₈+0,6х₉ 0

0,8х₁₀-0,2х₁₁?0

_minZ=3,20Х₁+1,85Х₂+1,32Х₃+0,72Х₄+0,78Х₅+0,31Х₆+0,40Х₇+0,41Х₈+0,37Х₉+3,8Х₁₀+0,51Х₁₁+132Х₁₂

Ограничения основной группы (основные) характеризуют содержание питательных веществ в заданном объеме (не менее заданного количества):

Запишем математическую модель:

( i? I₁), где:

j - индекс или номер переменной;

J - множество, включающее номера всех переменных модели;

i - номер ограничения;

I₁ - множество, включающее номера ограничений по балансу питательности веществ;

x_j - искомая переменная, обозначающая количество корма j - го вида в рационе;

v_ij - технико-экономический коэффициент, обозначающий содержание i - го питательного вещества в единице (1 кг) j - го вида корма;

b_i - константа, показывающая объём ограничений, в данном случае количество питательных веществ i - го вида в рационе .

Вторая группа ограничений отражает условия по содержанию различных групп кормов в рационе в пределах, удовлетворяющих зоотехническим требованиям кормления животных:

Запишем математическую модель:

( i? I₂), где :

j - индекс или номер переменной;

J - множество, включающее номера всех переменных модели;

i - номер ограничения;

I₂ - множество, включающее номера ограничений по балансу питательности веществ;

x_j - искомая переменная, обозначающая количество корма j - го вида в рационе;

v_ij - технико-экономический коэффициент, обозначающий содержание i - го питательного вещества в единице (1 кг) j - го вида корма.

Дополнительные ограничения:

Дополнительные ограничения - отражают условия по содержанию отдельных групп кормов в рационе в зоотехнически допустимых пределах.

Математическая запись ограничений:

(i I₃) , где:

J_h - множество, включающее в себя номера переменных определенной h-й группы кормов;

I₃ - множество, включающее номера ограничений по балансу отдельных групп кормов в зоотехнически допустимых пределах;

b_i^min и b_i^max -показывают соответственно нижнюю и верхнюю границы потребления кормов определенной группы, выраженные в процентах от общего количества кормовых единиц в рационе;

e_ij - технико-экономический коэффициент, равный единице.

Дополнительные ограничения по удельному весу отдельных видов кормов в соответствующей группе корма, кг:

Математическая модель:

, где:

W_ij-коэффициент пропорциональности;

I₄ - множество, включающее номера ограничений по удельному весу отдельных видов кормов внутри групп.

J_n - множество, включающее номера переменных, входящих в определенную группу кормов;



Список литературы

1. Построение и решение оптимизационных моделей средствами MS Excel и XA/ Методические указания. Н.М.Светлов, Г.Н.Светлова. М.: МСХА, 2005

2. Пинегина М.В. Математические методы и модели в экономике. М.: Издательство «Экзамен», 2002 г.

3. Пястолов С.М. Экономический анализ деятельности предприятий: Учебное пособие для вузов Серия: «Gaudeamus». М.: 2002 г.

Размещено на Allbest.ru

...