Математичне моделювання лінійних систем з неповно визначеними початково-крайовими умовами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 517.95:519.87

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Математичне моделювання лінійних систем з неповно визначеними початково-крайовими умовами

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Волощук Сергій Дмитрович

Київ 2007

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Багато явищ та процесів, які протікають в навколишньому середовищі, моделюються лінійними динамічними системами зі сталими коефіцієнтами. Серед них коливальні процеси механічних об'єктів, струму, звуку описуються диференціальними рівняннями в частинних похідних гіперболічного типу; процеси дифузії, поширення тепла та забруднень, хімічної кінетики описуються рівняннями параболічного типу; стаціонарні фізичні процеси описуються еліптичними рівняннями.

При коректній постановці задач по дослідженню цих явищ та процесів, методика побудови їх розв'язків як в явному так і в чисельному вигляді давно відома й детально описана в наукових працях багатьох вітчизняних та зарубіжних вчених. Серед них відзначимо роботи В.С. Владимирова, М.М. Красовського, Г.М. Положія, О.А. Самарського, С.Л. Соболева, А.М. Тихонова та інших авторів. Однак особливої уваги заслуговують задачі, поставлені некоректно. Таку постановку мають багато задач математичної фізики та теорії керувань.

Відомим методом дослідження некоректних задач є метод регуляризації та його модифікації, запропоновані та описані в фундаментальних роботах В.Я. Арсеніна, М.М. Лаврентьєва, В.Г. Романова, А.М. Тихонова, С.П. Шишатського та інших вчених. Некоректні граничні задачі для диференціальних рівнянь в частинних похідних досліджувались в роботах Б.Й. Пташника, який можливість розв'язання цих задач пов'язував з проблемами малих знаменників.

Проблеми розв'язання обернених задач, які зводяться до задач керування динамічними системами, розглядались Б.М. Бубликом, Ф.Г Гаращенком, B.C. Дейнекою, М.Ф. Кириченком, І.І. Ляшком, С.І. Ляшком, О.Г. Наконечним, І.В. Сергієнком, В.В. Скопецьким, В.А. Стояном та іншими вченими. Складність побудови та дослідження розв'язків таких задач зростає при їх некоректній постановці, зокрема у разі неможливості повно визначити початково-крайовий стан досліджуваного процесу. Такі задачі виникають при вивченні процесів поширення забруднень, фільтрації та міграції ґрунтових вод, освоєнні нафтових родовищ тощо. Тому розробка методів побудови розв'язків цих задач є актуальною. В роботі пропонується вплив відомих початково-крайових умов на стан досліджуваної системи замінити деяким фіктивно діючим збуренням, яке забезпечить їх виконання в середньоквадратичному сенсі. Функція стану системи при цьому будується як розв'язок диференціального рівняння динаміки (статики) досліджуваного процесу, в якому враховано як реальний, так і фіктивний впливи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана на кафедрі моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка в рамках науково-дослідної теми №01БФ015-05 “Розробка структурованих математичних та програмних технологій для моделювання, аналізу, оцінки та оптимізації складних систем”, державний номер реєстрації 0101U000968.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка методики математичного моделювання впливу відомих початково-крайових та бажаних станів лінійної неповно визначеної системи зі сталими коефіцієнтами на розв'язок початково-крайової задачі, поставленої для даної системи.

В процесі досягнення поставленої мети необхідно було розв'язати наступні задачі:

Побудувати множину фіктивних зовнішньо-динамічних збурень, які в середньоквадратичному сенсі моделюють ефект впливу відомих початково-крайових умов на стан досліджуваної системи. Отримати функцію стану системи, яка середньоквадратично задовольняє відомим початково-крайовим умовам;

Побудувати множину фіктивних зовнішньо-динамічних збурень і наближено за середньоквадратичним критерієм розв'язати задачі керування лінійними системами з неповно визначеними початково-крайовими умовами та спостереження за такими системами;

Розробити алгоритм мінімізації середньоквадратичної нев'язки відомих початково-крайових, бажаних та спостережуваних умов у відповідних задачах за рахунок оптимального вибору точок дискретизації початково-крайових умов, координат керуючих впливів і спостережень за системою.

Об'єктом дослідження є система, задана лінійним диференціальним рівнянням в частинних похідних зі сталими коефіцієнтами та неповно визначеними початково-крайовими умовами.

Предметом дослідження є функція стану лінійної системи зі сталими коефіцієнтами та неповно визначеними початково-крайовими умовами, керування цією системою, множини фіктивних зовнішньо-динамічних збурень, умови однозначності цих множин, умови точності вказаного моделювання.

Методи дослідження. В роботі використано методи математичного аналізу, математичної фізики, матричної алгебри, псевдоінверсні методи обернення систем інтегральних та функціональних рівнянь, чисельні методи.

Наукова новизна одержаних результатів. На захист виносяться наступні нові наукові результати, отримані автором:

Удосконалено методику побудови фіктивного зовнішньо-динамічного збурення, яке в сумі з реальним впливатиме на досліджуваний процес так, щоб довільний розв'язок рівняння динаміки (статики) процесу задовольняв відомим початково-крайовим та бажаним (для задач керування) або спостережуваним (для задач спостереження) умовам в розумінні середньоквадратичного критерію;

Вперше побудовано множину середньоквадратичних наближень до розв'язків початково-крайової задачі з неповно визначеними початково-крайовими умовами. Сформульовано умови однозначності цієї множини. Отримано співвідношення для сумарної середньоквадратичної нев'язки початково-крайових умов;

Вперше побудовано множини середньоквадратичних наближень до розв'язків задач керування та спостереження, поставлених для лінійних систем з неповно визначеними початково-крайовими умовами. Сформульовано умови однозначності цих множин та обчислено сумарні середньоквадратичні нев'язки початково-крайових умов і бажаних або спостережуваних станів;

Отримано явну залежність сумарної середньоквадратичної нев'язки від координат точок спостереження або керування системою та точок дискретизації початково-крайових умов. Запропоновано алгоритм мінімізації отриманої нев'язки.

Обґрунтованість та достовірність отриманих у дисертаційній роботі результатів підтверджується чіткою постановкою розглянутих задач, строгим доведенням теорем, розв'язками тестових прикладів.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в дисертаційній роботі, можуть бути використані при досліджені екологічних, механічних, соціальних та інших явищ і процесів, динаміка або статика яких описується початково-крайовими, початковими або крайовими задачами з неповно визначеними початково-крайовими умовами та для відновлення цих умов.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи, що виносяться на захист, одержані автором самостійно. В роботах, написаних у співавторстві з науковим керівником, дисертанту належать: в роботі [0] - побудова розв'язків задач термінального керування гіперболічною системою та частинних випадків цієї задачі; в роботі [0] - побудова функції стану гіперболічної системи та тестовий приклад; в роботі [0] - мінімізація середньоквадратичної нев'язки початково-крайових та спостережуваних умов і його ілюстрація на тестовому прикладі; в роботі [0] - мінімізація середньоквадратичної нев'язки початково-крайових та бажаних умов і приклад; в роботі [0] - формули побудови псевдооберненої матричної функції в явному вигляді.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на наукових семінарах факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівники - проф. Гаращенко Ф.Г., проф. Наконечний О.Г.), а також на міжнародній конференції “Dynamical systems modeling and stability investigation” (Київ, травень 2001), міжнародній школі-семінарі “Теорія прийняття рішень” (Ужгород, жовтень 2002), міжнародній конференції “Dynamical systems modeling and stability investigation” (Київ, травень 2003), міжнародній конференції “Prediction and decision making under uncertainties” (PDMU-2004) (Тернопіль, травень 2004), міжнародній конференції “Problems of stochastic and discrete optimization” (Київ-Канів, травень 2005).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 10 наукових робіт. З них 5 статей у фахових виданнях, затверджених ВАК України, та 5 тез у збірниках доповідей міжнародних конференцій.

Структура та обсяг дисертаційної роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, 11 ілюстрацій та списку використаних джерел із 142 найменувань (12 сторінок). Повний обсяг дисертації - 136 сторінок, з них 116 сторінок основного тексту.

Зміст роботи

математичний моделювання лінійний система

У вступі обґрунтовується актуальність теми дисертаційної роботи, формулюється мета дослідження, визначається наукова новизна отриманих результатів, висвітлюється їх теоретична та практична цінність.

У першому розділі зроблено огляд літератури щодо вибраної теми. Розглянуто основні методи розв'язання початково-крайових задач динаміки систем з розподіленими параметрами. Визначено предмет та методику його дослідження. Прореферовано наукові результати, які є основою досліджень, проведених в наступних розділах дисертаційної роботи.

У другому розділі досліджується питання побудови середньоквадратичних наближень до розв'язків (якщо вони існують) або псевдорозв'язків задач, заданих лінійним диференціальним рівнянням в частинних похідних зі сталими коефіцієнтами та системою початково-крайових умов, кількості яких недостатньо для однозначного визначення розв'язку задачі.

В третьому розділі розглянуто задачі керування та спостереження для неповних (у визначеному вище розумінні) лінійних систем зі сталими коефіцієнтами. Побудовано функцію, яка середньоквадратично задовольняє бажані (спостережувані) та початково-крайові умови.

Четвертий розділ дисертаційної роботи присвячений питанням оптимального вибору координат точок, які дискретизують області визначення початково-крайових умов досліджуваної системи та область , в якій вплив цих умов на системи моделюється фіктивним зовнішньо-динамічним збуренням. В задачах другого та третього розділів координати цих точок вважались відомими і від їх вибору залежала сумарна середньоквадратична нев'язка бажаних, спостережуваних та початково-крайових умов.

У висновках сформульовано основні результати дисертаційної роботи.

Висновки

В дисертаційній роботі поставлені та розв'язані задачі математичного моделювання стану неповної лінійної системи з розподіленими параметрами. Неповнота системи полягає у відсутності достатньої кількості початково-крайових умов, необхідних для однозначного визначення її стану. За середньоквадратичним критерієм для таких систем розв'язані задачі керування та спостереження.

Запропоновано універсальну методику моделювання впливу початково-крайових умов на стан системи за допомогою фіктивного збурення, визначеного за межами області функціонування системи. Ця методика не залежить від типу диференціального рівняння динаміки (статики) і використовується для розв'язання задач моделювання стану, керування і спостереження.

Основними результатами дисертаційної роботи є:

Побудована множина фіктивних зовнішньо-динамічних збурень, моделюючих вплив початково-крайових умов на стан неповної лінійної системи з розподіленими параметрами. Отримано умови однозначності цієї множини, визначена точність моделювання. Побудовано середньоквадратичне наближення до функції стану досліджуваної системи;

Розв'язана задача керування неповною лінійною системою зі сталими коефіцієнтами. Побудована і досліджена на точність і однозначність множина керуючих функцій, які забезпечують виконання початково-крайових та бажаних умов в середньоквадратичному сенсі;

Побудована та досліджена на точність і однозначність множина фіктивних збурень, моделюючих вплив відомих початково-крайових умов на стан лінійної системи при заданих спостереженнях за нею. Побудовано середньоквадратичне наближення до функції стану системи та відновлені невідомі початково-крайові умови;

Запропонований алгоритм мінімізації середньоквадратичної нев'язки початково-крайових, бажаних та спостережуваних умов за рахунок оптимального вибору точок дискретизації початково-крайових умов, координат керування і спостереження за системою.

Список опублікованих праць здобувача за темою дисертації

1. Стоян В.А., Волощук С.Д. К построению и исследованию общих решений задач терминального управления гиперболическими системами // Проблемы управления и информатики. - 2002. - № 4. - С. 71-84.

2. Стоян В.А., Волощук С.Д. Про моделювання задач динаміки гіперболічних систем // Доповіді Національної академії наук України. - 2003. - № 2. - С. 71-77.

3. Волощук С.Д., Стоян В.А. Проблемы оптимизации в моделировании точечно наблюдаемых динамических систем с распределенными параметрами // Журнал обчислювальної та прикладної математики. - 2003. - № 2(89). - С. 13-25.

4. Волощук С.Д., Стоян В.А. Проблемы оптимизации в моделировании точечно управляемых динамических систем с распределенными параметрами // Проблемы управления и информатики. - 2003. - № 4. - С. 53-66.

5. Волощук С.Д. Про оптимізацію розв'язку некоректної початково-крайової задачі // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2004. - Вип. № 2. - С. 198-203.

6. Волощук С.Д. Про один підхід до розв'язування рівнянь динаміки пружних об'єктів в необмеженій просторово-часовій області // Thesis of international conference reports “Dynamical systems modeling and stability investigation”. Kyiv, May 22-25, 2001. - C. 153.

7. Волощук С.Д. Моделювання загальних розв'язків задач термінального керування одного класу гіперболічних систем // Тези міжнародної школи-семінару “Теорія прийняття рішень”. Ужгород, 7-12 жовтня, 2002. - С. 23.

8. Волощук С.Д. Про оптимальне моделювання розв'язків задачі спостереження для динамічних систем з розподіленими параметрами // Thesis of international conference reports “Dynamical systems modeling and stability investigation”. Kyiv, May 27-30, 2003. - C. 161.

9. Волощук С.Д. Моделювання та оптимізація розв'язку початково-крайової задачі // International Workshop “Prediction and decision making under uncertainties”. Ternopil, May 25-30, 2004. - С.101.

10. Волощук С.Д., Стоян В.А. Проблеми диференціювання псевдообернених матричних функцій при розв'язанні задачі оптимального розміщення точкових керувачів // International Ukrainian-Polish workshop “Problems of stochastic and discrete optimization”. Kyiv-Kaniv, May 10-15, 2005. - C. 56.

Анотація

Волощук С.Д. Математичне моделювання лінійних систем з неповно визначеними початково-крайовими умовами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2007.

У дисертаційній роботі для лінійних систем зі сталими коефіцієнтами розглядаються початково-крайові задачі, задачі керування та спостереження. Вивчається випадок, коли динаміка або статика систем описується одним диференціальним рівнянням, а початково-крайовий стан системи відомий неповністю. Ефект впливу відомих початково-крайових умов на стан системи пропонується замінити фіктивним зовнішньо-динамічним збуренням. Це збурення через праву частину рівняння моделюватиме вплив відомих початково-крайових умов і забезпечить їх середньоквадратичне виконання. Для початково-крайової задачі та задач керування і спостереження доведено достатні умови існування таких збурень. Обґрунтовано ітераційну процедуру мінімізації сумарної середньоквадратичної нев'язки відомих початково-крайових умов.

Ключові слова: лінійна система з розподіленими параметрами, математичне моделювання, керування, спостереження, оптимізація середньоквадратичної нев'язки.

Аннотация

Волощук С.Д. Математическое моделирование линейных систем с неполно определенными начально-краевыми условиями. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2007.

В диссертации для линейных систем с распределенными параметрами рассматриваются начально-краевые задачи, а также задачи управления и наблюдения. Изучается случай, когда динамику или статику системы описывает дифференциальное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами, а известных начально-краевых условий недостаточно для того, чтобы постановка задачи была корректной.

Для построения среднеквадратического приближения к функции состояния системы рассматривается динамическая модель, альтернативная данной. Вместо системы известных начально-краевых условий в уравнение модели введено фиктивное внешне-динамические воздействие, моделирующее влияние этих условий на состояние системы. При этом также учитываются желаемые или наблюдаемые условия для соответствующих задач.

Решение этого уравнения построено с использованием фундаментального решения дифференциального оператора, им порожденного. Оно будет точно удовлетворять начальное уравнение модели в области функционирования системы. Известные начально-краевые, желаемые и наблюдаемые условия при этом будут удовлетворяться в среднеквадратическом смысле.

Неизвестное фиктивное внешне-динамическое воздействие отыскивается как среднеквадратическое решение некоторой интегральной или функциональной системы уравнений, полученной с учетом известных начально-краевых и дополнительных (для задач управления и наблюдения) условий. Поиск фиктивного воздействия на систему сводится к обращению интегральной или функциональной системы уравнений. Интегральная система рассматривается в том случае, когда начально-краевые условия задачи заданы в дискретном виде. Тогда фиктивное и реальное (для задачи управления) воздействие находится в явном виде. Функциональная система уравнений рассматривается в случае явно заданных начально-краевых условий. Тогда фиктивное и реальное воздействие на систему строится в дискретном виде. Для всех рассмотренных в работе задач построены множества таких фиктивных воздействий и доказаны достаточные условия их существования. Определены условия однозначности этих множеств и найдены суммарные среднеквадратические невязки начально-краевых, желаемых и наблюдаемых условий.

С использованием известных формул Гревиля и их обобщений, полученных в работе, построены итерационные формулы вычисления псевдообратной матричной функции, которая зависит от точек дискретизации начально-краевых условий (точек управления и наблюдения для соответствующих задач) и входит в выражение суммарной среднеквадратической невязки. Это дало возможность функцию суммарной среднеквадратической невязки получить в явном виде и на основе градиентного метода предложить итерационную процедуру ее минимизации.

Ключевые слова: линейная система с распределенными параметрами, математическое моделирование, управление, наблюдение, оптимизация среднеквадратической невязки.

Abstract

S.D. Volochshuk. Mathematical modeling of the linear systems with incompletely definite initial-boundary conditions. - Manuscript.

The Thesis for the candidate's degree of physics and mathematics science (Ph.D) by speciality 01.05.02 - mathematical modeling and numerical method. Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2007.

In the thesis initial-boundary tasks, management and observation problems put for the linear systems with invariable coefficients are considered. A particular case is studied, when the dynamics or statics of the systems is described by an equation and the initial-boundary state of the system is known incompletely. The effect of influencing of the known initial-boundary conditions on the state of the system is offered to be replaced by fictitious external-dynamic perturbation. Through right part of equation this perturbation will design influencing of initial-boundary conditions and will provide their root-mean-square implementation. It was proved the sufficient conditions of existence of these perturbations and it was grounded iterative procedure of minimization of the total root-mean-square error of known initial-boundary conditions.

Key words: linear distributed-parameters system, mathematical modelling, control problem, observation problem, optimization root-mean-square error.

Размещено на Allbest.ru