Парная регрессия и корреляция

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЭКОНОМЕТРИКА

Задача № 1. Парная регрессия и корреляция

По территориям региона приводятся данные за 199Х г.

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии у от х;

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.

4. Выполнить прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х, составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

6. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Решение

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 2.

Получено уравнение регрессии:

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,954 руб.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

Это означает, что 50% вариации заработной платы ( y ) объясняется вариацией фактора x - среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как A не превышает 8-10%.

3. Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F -критерия Фишера. Фактическое значение F -критерия:

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет . Так как , то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей. Табличное значение t -критерия для числа степеней свободы и б=0,05 составит .

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

Определим случайные ошибки :

Тогда

Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение:

Поэтому параметры не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы. Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные интервалы:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: руб., тогда прогнозное значение заработной платы составит:

5. Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза:

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным и находится в пределах от 171,04 руб. до 238,74 руб.

6. В заключение решения задачи построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую (рис. 1):

Задание 2. Множественная регрессия и корреляция

По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника у (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%) (смотри таблицу своего варианта).

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.

2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их. корреляция аппроксимация фишер регрессия

3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

4. С помощью F -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации

5. С помощью частных F -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .

6. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Решение

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

1. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии:

необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров :

либо воспользоваться готовыми формулами:

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

Находим:

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии:

находятся по формулам:

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

Вычисляем:

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения)

или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,693 % или 0,037%

соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на

результат y фактора x₁ , чем фактора x₂.

2. Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

где

- определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

- определитель матрицы межфакторной корреляции.

Коэффициент множественной корреляции

Аналогичный результат получим при использовании других формул:

Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

3. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 98.1% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами - на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более 94%) детерминированность результата y в модели факторами x₁ и x₂.

4. Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает F -критерий Фишера:

В нашем случае фактическое значение F -критерия Фишера:

Получили, что (при n = 20), т.е. вероятность случайно получить такое значение F -критерия не превышает допустимый уровень значимости 5%. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

5. С помощью частных F -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора x₁ после x₂ и фактора x₂ после x₁ при помощи формул:

Найдем

Имеем

Получили, что . Следовательно, включение в

модель фактора x₂ после того, как в модель включен фактор x₁

статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет

дополнительного признака x₁ оказывается незначительным, несущественным; фактор x₂ включать в уравнение после фактора x₁ не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения x₁ после x₂ , то результат расчета частного

F -критерия для x₁ будет иным. т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта Следовательно, значение частного F -критерия для дополнительно включенного фактора x₁ не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора x₁ является существенным. Фактор x₁ должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора x₂ .

6. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами x₁ и x₂ с содержит неинформативный фактор x₂. Если исключить фактор 2 x , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

Список использованной литературы

1. Емельянов А.С. Эконометрия и прогнозирование. -М.: Экономика, 1985. - С. 82-89.

2. 13. Иванова В.М. Экономическая теория. Основы бизнеса: Ч.IY: Эконометрика/Ред. совет: А.Д. Смирнов, В.Ф. Максимова и др. -М.:СОМИНТЭК, 1991. -158 с.

3. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Введение в количественный экономический анализ. - М.:Статистика, 1977.254 с.

4. Магнус Я.Р. Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: Начальный курс. - М.: Дело, 1997. - 248 с.

5. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. - М.: Статистика, 1975. -423 с.

Размещено на Allbest.ru