Математическое моделирование экономических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Суть математического моделирования систем. Примеры математических моделей систем

В общем случае формальную математическую модель системы S можно представить в виде такого множества величин, описывающих процесс функционирования системы:

- Совокупность входных воздействий на систему;

- Совокупность выходных характеристик системы;

- Совокупность возмущающих воздействий внешней среды;

- Совокупность внутренних параметров системы.

Тогда формальный запись модели системы будет иметь следующий вид:

где t - время.

Если рассматривать процесс функционирования системы как последовательную смену ее состояний , то они могут быть интерпретированы как координаты точек в k-мерном фазовом пространстве. Совокупность всех возможных состояний системы называют пространством состояний.

Формально состояние системы S в момент времени полностью определяется ее начальным состоянием входными воздействиями управляющими воздействиями воздействиями внешней среды имевших место за промежуток времени Это можно представить следующими двумя векторными уравнениями:

Здесь первое уравнение по начальному состоянию системы и переменными определяет вектор-функцию , а второе по состоянию определяет эндогенные переменные на выходе системы . Цепь уравнений объекта «вход-состояние-выход» определяет характеристики системы:

К наиболее распространенным видам математических моделей, используемых на практике для моделирования экономических систем, можно отнести модели математического программирования, статистические модели, модели теории массового обслуживания, управления запасами и теории игр.

система экономический модель математический

2. Определить верхнюю и нижнюю цену игры и наличие седловой точки

Решение

Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистыхстратегиях.

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 3, которая указывает на максимальную чистую стратегию A3.

Верхняя цена игры b = min(bj) = 3. Седловая точка (3, 2) указывает решение на пару альтернатив (A3,B2). Цена игры равна 3.

Задача 1.

При изготовлении изделий И1 и И2 используются токарные и фрезерные станки, сталь и цветные металлы. По технологическим нормам на производство единицы изделия И1 требуется токарного и фрезерного оборудования соответственно 300 и 200 станко-часов, 40 кг стали и 20 кг цветных металлов. Для производства единицы изделия И2 требуется 400, 100, 70 и 50 соответствующих единиц тех же ресурсов. Цех располагает 12400 и 4400 станко-часами оборудования, 980 и 640 кг материалов. Прибыль от реализации единицы изделия И1 составляет 600 д.е., изделия И2 850 д.е.

Составить план выпуска изделий, обеспечивающий максимальную прибыль.

Решение

Пусть x1 и х2 - количества изделий вида И1 и И2, запланированные к производству. На их изготовление потребуется:

300x1+400х2 станкочасов токарного оборудования;

200x1+100х2 станкочасов фрезерного оборудования;

40x1+20х2 килограммов стали;

20x1+50х2 килограммов цветных металлов.

Ввиду ограниченности ресурсов получаем систему ограничений:

Прибыль от реализации изготовленной продукции в тысячах денежных единиц выразится формулой

F(x)=600x1+850x2

Экономико-математическая модель задачи примет вид:

найти план с неотрицательными компонентами X = (х1; х2) выпуска изделий И1 и И2, который удовлетворял бы указанной выше системе ограничений и доставлял бы функции F(x)=600x1+850x2 наибольшее значение.

Преобразуем полученные неравенства к виду:

.

-300x1 - 400x2 ? -12400;

-200x1 - 100x2 ? -4400;

-40x1 - 70x2 ? -980;

-20x1 - 50x2 ? -640;

Решаем задачу в Mathcad.

Зададим целевую функцию:

F(x) = 600x0 + 850x1 (т.к. в пакете Machсad индексация начинается с 0).

Зададим матрицу коэффициентов системы ограничений и вектор свободных членов:

Задаем начальные значения:

С помощью оператора Given и встроенной функции Maximize находим значения ограничений:

Given

A · x ? v

x ? 0

F(x) = 14300

Ответ: Таким образом, оптимальный план выпуска изделий И1 х1 =21 шт; и И2 х2 = 2 шт. обеспечивающий максимальную прибыль, которая равна 14300 д.е.

Задача 2. Решить графически задачу линейного программирования

L = 2x1 + 3x2>min

x1 + x2 ? 4

3x1 + x2? 4

x1 + 5x2 ? 4

0 ? x1 ? 3

0 ? x2 ? 3

Решение

Сначала построим область допустимых решений, для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 2x1+3x2 > min. 

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 2x1+3x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации F(X). Начало вектора - точка (0; 0), конец - точка (2; 3). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

3x1+x2=4

x1+5x2=4

Решив систему уравнений, получим: x1 = 1.1429, x2 = 0.5714

Откуда найдем минимальное значение целевой функции:

F(X) = 2*1.1429 + 3*0.5714 = 4

Задача 3. Почтовое отделение имеет два обслуживающих окна и 4 кресла для ожидания. Клиенты прибывают на почтовое отделение с интенсивностью л=30 клиентов в час. Время обслуживания одного клиента tобсл = 5 минут. Дайте классификацию этой системы массового обслуживания. Найти все возможные ее функциональные характеристики. Сделайте выводы и дайте рекомендации.

Решение.

Для данной задачи

Определяем вероятность простоя по формуле:

Вероятность отказа в обслуживании определим по формуле:

Относительная пропускная способность, т.е. вероятность обслуживания:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число занятых обслуживанием каналов:

Среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди)

Среднее время ожидания обслуживания в очереди

ч.

Среднее число заявок в системе

.

Среднее время пребывания заявки в системе

ч.

Вывод: Данная система массового обслуживания является системой с ожиданием и ограниченной длиной очереди, в которых время ожидания ограниченно какими - либо условиями или существуют ограничения на число заявок, стоящих в очереди.

Из расчетов, приведенных в таблице видно, что данная система будет работать более эффективно при n равное 3.

Размещено на Allbest.ru