Эконометрическое моделирование. Этапы. Классы моделей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Амурский гуманитарно-педагогический государственный университет»

Контрольная работа

по дисциплине: Эконометрика

Студентки: Чайниковой И.С.

г. Комсомольск-на-Амуре, 2013

1. Эконометрическое моделирование. Этапы. Классы моделей

Статистическое и эконометрическое моделимрование -- исследование объектов познания на их статистических моделях; построение и изучение моделей реально существующих предметов, процессов или явлений (например: экономических процессов в эконометрике) с целью получения объяснений этих явлений, а также для предсказания явлений или показателей, интересующих исследователя.

Оценка параметров таких моделей производится с помощью статистическиx методов. Например: метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов, метод моментов.

Примером регрессионной эконометрической модели может послужить функция потребления Кейнса:

Y = b_1 + b_2ЧX

где Y -- расходы, X -- доход, b_1 и b_2 -- параметры уравнения, u -- стохастическая ошибка

В эконометрическом моделировании наиболее распространенными являются следующие эконометрические модели:

1) модели потребительского и сберегательного потребления;

2) модели взаимосвязи риска и доходности ценных бумаг;

3) модели предложения труда;

4) макроэкономические модели (модель роста);

5) модели инвестиций.

Этапы эконометрического моделирования.

1. Постановочный этап, на котором определяются конечные цели и задачи исследования, а также число включенных в модель факторных и результативных экономических переменных.

Цели эконометрического исследования:

1) анализ изучаемого экономического процесса (явления, объекта);

2) прогноз экономических показателей, характеризующих изучаемый процесс (явление, объект);

3) моделирование поведения процесса при различных значениях факторных переменных;

4) формирование управленческих решений.

Количество переменных, включенных в эконометрическую модель, не должно быть слишком большим и должно быть теоретически обоснованным. В модели должна отсутствовать функциональная или тесная корреляционная связь между факторными переменными, что может привести к явлению мультиколлинеарности.

2. Априорный этап, на котором осуществляется теоретический анализ сущности изучаемого процесса, а также формализуется априорная информация.

3. Этап параметризации, на котором происходит выбор общего вида модели, а также определяется состав и формы формирующих ее связей.

Задачи, решаемые на этапе параметризации:

1) задача выбора наиболее подходящего вида функциональной зависимости результативной переменной от факторных переменных. При возникновении ситуации выбора между линейной и нелинейной формами зависимости предпочтение всегда отдается линейной форме как более простой;

2) задача спецификации модели:

а) аппроксимация математической формой обнаруженных связей и соотношений между параметрами модели;

б) определение зависимых и независимых переменных:

в) выражение исходных предпосылок и ограничений модели.

4. Информационный этап, на котором собирается требуемая статистическая информация и осуществляется анализ качества собранных данных.

5. Этап идентификации модели, на котором реализуется статистический анализ модели и происходит оценивание ее параметров.

6. Этап оценки качества модели, на котором проверяются достоверность и адекватность модели. Созданная модель должна быть адекватна реальному экономическому процессу. При неудовлетворительном качестве модели возвращаются ко второму этапу моделирования.

7. Этап интерпретации результатов моделирования.

Существует три основных класса эконометрических моделей.

1. Модели временных рядов представляют собой зависимость результативной переменной от переменной времени или переменных, относящихся к другим моментам времени.

Модели временных рядов, в которых результативная переменная зависит от времени:

1) модель тренда (зависимость результативной переменной от трендовой компоненты);

2) модель сезонности (зависимость результативной переменной от сезонной компоненты);

3) модель тренда и сезонности.

Модели временных рядов, в которых результативная переменная зависит от переменных, датированных другими моментами времени:

1) объясняющие вариацию результативной переменной в зависимости от предыдущих значений факторных переменных - модели с распределенным лагом;

2) объясняющие вариацию результативной переменной в зависимости от предыдущих значений результативных переменных - модели авторегрессии;

3) объясняющие вариацию результативной переменной в зависимости oт будущих значений факторных или результативных переменных - модели ожидания.

Модели временных рядов могут быть построены по стационарным и нестационарным временным рядам. Для стационарного временного ряда характерны постоянные во времени средняя, дисперсия и автокорреляция.

2. Регрессионные модели с одним уравнением, в которых результативная (зависимая) переменная у может быть представлена в виде функции факторных (независимых) переменных.

По количеству факторных переменных регрессионные модели делятся на парные (с одной переменной) и множественные регрессии.

По виду функции регрессионные модели делятся на линейные и нелинейные регрессии.

3. Системы одновременных уравнений, которые описываются системами взаимозависимых регрессионных уравнений.

Системы состоят из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых может включать в себя как факторные переменные, так и результативные переменные из других уравнений системы. Отличие тождеств от регрессионных уравнений заключается в том, что их вид и значения параметров известны.

Регрессионные уравнения, входящие в состав системы, называются поведенческими уравнениями. Значения параметров этих уравнений являются неизвестными и подлежат оцениванию.

Примером системы одновременных уравнений служит модель спроса и предложения, состоящая из трех уравнений: (уравнения предложения, уравнения спроса, тождества равновесия).

2. Линеаризация и оценка параметров нелинейной модели, коэффициент эластичности

При рассмотрении зависимости экономических показателей на основе реальных статистических данных с использованием аппарата теории вероятности и математической статистики можно сделать выводы, что линейные зависимости встречаются не так часто. Линейные зависимости рассматриваются лишь как частный случай для удобства и наглядности рассмотрения протекаемого экономического процесса. Чаще встречаются модели которые отражают экономические процессы в виде нелинейной зависимости. Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций. Различают два класса нелинейных регрессий:

1)регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам:

2) регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Нелинейные регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным, но линейные по оцениваемым параметрам

Данный класс нелинейных регрессий включает уравнения, в которых зависимая переменная линейно связана с параметрами. Примером могут служить:

полиномы разных степеней

(полином k-й степени)

и равносторонняя гипербола

.

При оценке параметров регрессий нелинейных по объясняющим переменным используется подход, именуемый «замена переменных». Суть его состоит в замене «нелинейных» объясняющих переменных новыми «линейными» переменными и сведение нелинейной регрессии к линейной регрессии. К новой «преобразованной» регрессии может быть применен обычный метод наименьших квадратов (МНК).

Полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез.

Среди нелинейной полиноминальной регрессии чаще всего используется парабола второй степени; в отдельных случаях -- полином третьего порядка. Ограничение в использовании полиномов более высоких степеней связаны с требованием однородности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и, соответственно, менее однородна совокупность по результативному признаку.

Равносторонняя гипербола, для оценки параметров которой используется тот же подход «замены переменных» (1/x заменяют на переменную z) хорошо известна в эконометрике.

Она может быть использована, например, для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов и топлива с объемом выпускаемой продукции. Также примером использования равносторонней гиперболы являются кривые Филлипса и Энгеля..

Регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам

К данному классу регрессий относятся уравнения, в которых зависимая переменная нелинейно связана с параметрами. Примером таких нелинейных регрессий являются функции:

* степенная - ;

* показательная - ;

* экспоненциальная -

Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду (например, логарифмированием и заменой переменных). Если же модель внутренне нелинейна, нелинейная то она не может быть сведена к линейной функции и для оценки её параметров используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемого итеративного подхода.

Примером нелинейной по параметрам регрессии внутренне линейной является степенная функция, которая широко используется в эконометрических исследованиях при изучении спроса от цен: , где у -- спрашиваемое количество; х -- цена;

Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, т. к. включает параметры а и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию е приводит его к линейному виду . Заменив переменные и параметры, получим линейную регрессию, оценки параметров которой а и b могут быть найдены МНК.

Широкое использование степенной функции связано это с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование, т. е. он является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %.

Коэффициент эластичности можно определять и при наличии других форм связи, но только для степенной функции он представляет собой постоянную величину, равную параметру b.

(Точечной) эластичностью (коэффициентом эластичности) переменной y к x называется величина:

эконометрический моделирование линейный регрессия



Данное значение определяет эластичность в конкретной точке. Эластичность постоянна только в рамках логарифмической (или степенной) модели зависимости. Во многих случаях (в том числе и для линейной модели зависимости) эластичность в разных точках отличается. Поэтому рассчитывают также среднюю (дуговую) эластичность как отношение процентных изменений y и x.

Иногда вместо и используют среднюю точку в интервале изменения их значений.

где

Преимуществом последнего способа является симметричность относительно знака изменения фактора.

Качественная характеристика эластичности

Если коэффициент эластичности по модулю меньше единицы, то говорят о неэластичности переменной y по x. Если коэффициент эластичности больше 1, то говорят, что y эластичен по x, так как каждый процент изменения фактора приводит к ещё большему изменению y. Если коэффициент эластичности равен 1, то говорят о единичной эластичности. В предельном случае, когда коэффициент эластичности равен бесконечности, говорят о совершенной эластичности. Соответственно, при нулевом коэффициенте эластичности -- о совершенной неэластичности.

3.Предпосылки метода наименьших квадратов.

При оценке параметров уравнения регрессии применяется МНК. При этом делаются определенные предпосылки относительно составляющей , которая представляет собой в уравнении ненаблюдаемую величину.

Исследования остатковпредполагают проверку наличия следующих пяти предпосылок МНК:

1) случайный характер остатков. С этой целью строится график отклонения остатков от теоретических значений признака. Если на графике получена горизонтальная полоса, то остатки представляют собой случайные величины и применение МНК оправдано. В других случаях необходимо применить либо другую функцию, либо вводить дополнительную информацию и заново строить уравнение регрессии до тех пор, пока остатки не будут случайными величинами.

2) нулевая средняя величина остатков, т.е. , не зависящая от хi. Это выполнимо для линейных моделей и моделей, нелинейных относительно включаемых переменных. С этой целью наряду с изложенным графиком зависимости остатков от теоретических значений результативного признака ух строится график зависимости случайных остатков от факторов, включенных в регрессию хi . Если остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, то они независимы от значений xj. Если же график показывает наличие зависимости и хj то модель неадекватна. Причины неадекватности могут быть разные.

3. Гомоскедастичность -- дисперсия каждого отклонения одинакова для всех значений хj. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции.

4. Отсутствие автокорреляции остатков. Значения остатков распределены независимо друг от друга. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэффициентов регрессии.

5. Остатки подчиняются нормальному распределению.

В тех случаях, когда все пять предпосылок выполняются, оценки, полученные по МНК и методу максимального правдоподобия, совпадают между собой. Если распределение случайных остатков не соответствует некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель, изменить ее спецификацию, добавить (исключить) некоторые факторы, преобразовать исходные данные, что в конечном итоге позволяет получить оценки коэффициентов регрессии aj, которые обладают свойством несмещаемости, имеют меньшее значение дисперсии остатков, и в связи с этим более эффективную статистическую проверку значимости параметров регрессии.

4.Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона.

Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками МНК остатки должны быть случайными. Однако при моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Это свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят об автокорреляции остатков.

Автокорреляция в остатках может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу.

1. Она может быть связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.

2. В ряде случаев автокорреляция может быть следствием неправильной спецификации модели. Модель может не включать фактор, который оказывает существенное воздействие на результат и влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Либо модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний.

От истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуации, когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму модели, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках.

Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков:

1) построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции.

2) использование критерия Дарбина -- Уотсона и расчет величины:

Таким образом, d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Можно показать, что при больших значениях n существует следующее соотношение между критерием Дарбина-Уотсона d и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка : где

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и , то d=0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то , следовательно, d=4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то и d=2. Следовательно, 0?d?4 .

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина -- Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н1 и Н1* состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках.

Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина -- Уотсона dL и dU для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости б. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью осуществляется следующим образом:

есть положительная автокорреляция. Принимается гипотеза H1 с вероятностью (1- б).

зона неопределенности.

автокорреляция остатков нет.

зона неопределенности.

есть отрицательная автокорреляция. Принимается гипотеза H1* с вероятностью (1-б).

Если фактическое значение критерия Дарбина -- Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Hо.

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина -- Уотсона:

1. Он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, т.е. к моделям авторегрессии.

2. Методика расчета и использования критерия Дарбина-Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка.

3. Критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок.

3. Тест

1. Коэффициент парной корреляции характеризует …

б) тесноту линейной связи между несколькими переменными.

2. Величина коэффициента регрессии показывает …

в) среднее изменение результата при изменении фактора на одну единицу.

3. Несмещенность оценки характеризует …

а) равенство нулю математического ожидания остатков.

4. Обобщенный метод наименьших квадратов применяется в случае …

а) автокорреляции ошибок.

5. Корреляция подразумевает наличие связи между …

г) случайными факторами.

6. Критические значения критерия Стьюдента определяются по …

б) уровню значимости и одной степени свободы.

7. Примером нелинейной зависимости экономических показателей является …

а) зависимость объема продаж от недели реализации.

8. Величина коэффициента эластичности показывает …

в) на сколько процентов в среднем изменится результат при изменении фактора на 1 %.

9. Под автокорреляцией уровней временного ряда подразумевается …

а) корреляционная зависимость между последовательными уровнями ряда.

10. В стационарном временном ряде трендовая компонента …

г) имеет линейную зависимость от времени.

11. Структурной формой модели называется система …

б) взаимосвязанных уравнений.

12. Косвенный метод наименьших квадратов применим для

а) идентифицируемой системы одновременных уравнений.

4. Задачи

Задача 1.

По выборке объема n=10 получены следующие данные:

; ; ; ;.

Рассчитайте оценки коэффициентов линейной регрессии Y на X и X на Y. Оцените статистическую значимость коэффициента корреляции с помощью критерия Стьюдента (при =0,01). Проинтерпретируйте результаты

Решение:

Дисперсия

Оценка регрессии Y на X

Оценка регрессии X на Y

Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости б=0.01 и степенями свободы k=8 находим

t_крит: t_крит = (8;0.01) = 2,897

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим.

Задача 2.

К какому классу нелинейных моделей относятся следующие модели: и ? Если возможно, линеаризуйте эти модели. Какой способ линеаризации следует применить в каждом случае?

Решение:

Данные модели и относятся к классу нелинейных моделей регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам.

тип

Нелинейные как относительно включенных в анализ объясняющих переменных, так и по оцениваемым параметрам.

тип

Для оценки параметров нелинейных моделей используют два подхода.

Первый подход основан на линеаризации модели и заключается в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуюмую нелинейную зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.

Второй подход применяется тогда, когда подобрать соответсвующее преобразование не удается. В этом случае применяют методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

Для линеаризации в рамках первого подхода могут использоваться модели Суть первого метода состоит в замене нелинейных объясняющих переменных

новыми линейными переменными и сведении нелинейной регрессии к линейной.

Для оценки неизвестных параметров в нелинейных моделях используются

следующие методы:

- замена переменных;

- логарифмирование обеих частей уравнения;

- комбинированный.

Например, полиномиальная модель может быть приведена к линейному виду путем следующей замены переменных: . Тогда получим линейную модель множественной регрессии . Таким образом полином любого порядка сводится к линейной регрессионной модели с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез. нелинейные по переменным и линейные по параметрам.

Если изучается зависимость спроса на товар или услугу y от его цены x (в данном случае ) или от дохода x (в данном случае ), то при такой интерпретации переменных степенная функция называется функцией Энгеля. Прологарифмировав степную модель, имеем . Такая модель называется логарифмически линейной. После замены она примет вид то есть последняя модель относится к классу 1. Вводя замену переменных , получим модель парной линейной регрессии, оценки параметров которой находим с помощью МНК, а исходный параметр .

Задача 3.

По 20 предприятиям отрасли были получены следующие результаты регрессионного анализа зависимости объема выпуска продукции y (млн.руб.) от численности занятых на предприятии x₁ (чел.) и среднегодовой стоимости основных фондов x₂ (млн. руб.):

Коэффициент детерминации	0,81
Множественный коэффициент корреляции	?
Уравнение регрессии	Lny= ?+ 0,48lnx1 + 0,62 lnx2
Стандартные ошибки параметров	2 0,06 ?
t-критерий для параметров	1,5 ? 5

Восстановите пропущенные характеристики.

Напишите уравнение степенной регрессии, характеризующее зависимость y от x₁ и x₂. Оцените качество модели по F-статистике Фишера (при =0,05).

Решение:

Коэффициент множественной детерминации

Следовательно линейный коэффициент множественной корреляции

Уравнение регрессии

Lny= 0,48lnx₁ + 0,62 lnx₂

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии с помощью t-критерия Съюдента сводится к вычислению значения

Lny= 3+ 0,48lnx₁ + 0,62 lnx_{2 -} Потенцируем данное уравнение

- степенная модель множественной регрессии

Оценим статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Фишера (б=0,05) критерий Фишера:

,

где - объем выборки, - число факторов модели.

Коэффициент множественной детерминации .

В нашем случае

.

Так как , то и потому уравнение значимо в целом.

Задача 4.

Макроэкономическая модель:

С_t = a₁+b₁₁Y_t+b₁₂Т_t+₁,

I_t = a₂+b₂₁Y_t+ b₂₂K_t-1+₂,

Y_t = С_t + I_t,

где С_t - потребление в период t;

I_t - инвестиции в период t;

Y_t - доход в период t;

T_t - налоги в период t;

K_t- запас капитала в период t.

Решение:

Первое уравнение - функция потребления, второе уравнение - функция инвестиций, третье уравнение -тождество дохода.

Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает три эндогенные переменные и две предопределенные переменные (экзогенную переменную - и лаговую переменную - ).

Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.

Первое уравнение: . Это уравнение содержит две эндогенные переменные и и одну предопределенную переменную . Таким образом, , а , т.е. выполняется условие . Уравнение сверхидентифицируемо.

Второе уравнение: . Оно включает две эндогенные переменные и и одну экзогенную переменную . Выполняется условие . Уравнение сверхидентифицируемо.

Третье уравнение: . Оно представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в идентификации нет.

Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.

I уравнение	-1	0		0
II уравнение	0	-1			0
Тождество	1	1	-1	0	0

В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.

Первое уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

II уравнение	-1
Тождество	1	0

Ранг данной матрицы равен двум, так как определитель квадратной матрицы не равен нулю:

.

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Второе уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

I уравнение	-1
Тождество	1	0

Ранг данной матрицы равен двум, так как определитель квадратной матрицы не равен нулю:

.

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицируемы. Приведенная форма модели в общем виде будет выглядеть следующим образом:



Для оценки параметров необходимо применить двухшаговый метод наименьших квадратов.

Размещено на Allbest.ru

...