Построение регрессионной модели с помощью метода многошагового регрессионного анализа

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Пензенский государственный технологический университет

Контрольная работа

по курсу Эконометрика

Выполнила: Салмина Елена

Принял: Шишов Владимир Фёдорович

Пенза 2014

Задача 1

В исходной таблице (вариант 7) представлены статистические данные о размерах общей площади и стоимости квартир:

Цена кв-ры, y	Общая площадь, x
15,9	39,0
27,0	68,4
13,5	34,8
15,1	39,0
21,1	54,7
28,7	74,7
27,2	71,7
28,3	74,5
52,3	137,7
22,0	40,0
28,0	53,0
45,0	86,0
51,0	98,0
34,4	62,6

1) Построение поля корреляции:

Визуальный анализ полученного графика показывает, что точки поля корреляции располагаются вдоль некоторой воображаемой прямой линии, но не очень плотно, рассеиваясь около неё. Поэтому делаем предположение о линейном виде уравнения регрессии. Заметно, что с увеличением размера жилой площади (х) наблюдается тенденция к увеличению стоимости квартир (у). Можно предположить, что связь размера жилой площади и ее стоимости положительная, тесная, но на цену квартир оказывают влияние и другие факторы (район места ее расположения, этаж, наличие коммуникаций, состояние квартиры и т.п.).

2. Построение уравнения регрессии:

Определяем параметры модели:

(с увеличением общей площади на 1 единицу, цена квартиры увеличивается на 0,408 единицы)

- уравнение регрессии



3. Величина влияния фактора на исследуемый показатель:

- коэффициент корреляции:

(связь между показателями очень тесная);

- коэффициент детерминации:

( в среднем на 83,1% вариация цены квартиры обусловлена вариацией общей площади квартиры).

4. Оценка качества построенной модели

- Проведем оценку адекватности построенной регрессии на основе анализа ряда остатков:

а) проверяем свойство случайности ряда остатков на основе критерия поворотных точек:

p (число поворотных точек) = 4

и сравниваем с расчетным значением:

]

5,115

p<=>условие адекватности не выполняется;

б) проверяем равенство нулю математических ожиданий:

среднее значение остатков=0 => критерий выполняется;

в) проверяем отсутствие автокорреляции по критерию Дарвина Уотсена:

d==0,335

;

d< гипотеза о независимости ряда остатков отвергается => условие не выполняется;

г) проверяем подчинение ряда остатков нормальному закону (c помощью RS-критерия):

RS = 2,785

сравним с табличными:

;

RS< => ряд остатка не подчиняется нормальному закону, условие не выполняется

Так как не все критерии адекватности выполнены, можно сделать вывод, что уравнение построено неадекватно.

- Проведем оценку точности построенной модели (с помощью средней относительной ошибки аппроксимации):



точность модели приемлема =>

модель можно использовать для прогнозирования .

5. Определяем силу влияния фактора на результативный признак (с помощью коэффициента эластичности):

Э=0,929 - (при изменении фактора на 1%, результативный признак изменится на 0,929%).

6. Проверим значимость коэффициента регрессии и проведем его интервальную оценку:

Для оценки значимости парного уравнения регрессии достаточно оценить значимость коэффициента (с помощью критерия Стьюдента):

 - значим => уравнение регрессии значимо.

Таким образом, можно считать что предполагаемая зависимость стоимости квартиры от размера ее площади подтвердилась и статистически установлена.

Доверительный интервал для рассчитывается по формуле:

При выбранной надежности p=0,95, получим:

-0,747 1,563

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что истинное значение параметра будет заключено в пределах от -0,747 до 1,563.

7. Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от среднего уровня.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза численных значений стоимости общей площади. Но, как уже говорилось, точность модели невысока.

В случае увеличения фактора на 10% от своего среднего значения размер данного увеличения составит:

Прогнозное значение фактора при этом составит:

Точечный прогноз:

То есть по модели предсказываем, что если общая площадь квартиры, увеличившись на 10% от своего среднего значения составит 73,393 условных единиц, то ожидаемая (прогнозная) величина ее стоимости составит 31,959 условных единиц.

Вероятность реализации точечного прогноза маловероятна, поэтому рассчитываем доверительный интервал, заданный вероятностью p=0,95.

,

где

12,495

То есть, средний размер стоимости общей площади размером 73,393 условные единицы находится в границах от 19,464 до 44,454 условные единицы.

8. Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

Статистически значимый коэффициент регрессии и коэффициент корреляции свидетельствуют о наличии сильной зависимости стоимости квартиры от размера ее общей площади. Высокое значение коэффициента детерминации указывает, что на формирование стоимости квартир существенное влияние оказывает размер их общей площади и в значительно меньшей мере (порядка 16,9%) другие факторы.

С другой стороны, оценка адекватности модели свидетельствует о ее неадекватности, а относительная ошибка аппроксимации свидетельствует, что модель подобрана не совсем точно: в среднем теоретические (смоделированные данные) отличаются от фактических на 15,7%.

В целом применение полученного уровня регрессии возможно в случае повышения его прогностической силы и практической ценности за счет увеличения объема выборки.

Задача 2

1. Рассчитаем параметры линейного уравнения множественной регрессии

Уравнение множественной линейной регрессии для нашего случая имеет общий вид:

Параметры данного уравнения найдем с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel:

b₀= 36,8603

b₁= 0,0576

b₃= 0,3275

b₆= -0,5348

b₇= 0,4128

b₉= 0,1626

Получаем уравнение линейной множественной регрессии:



2. Определим сравнительную оценку влияния факторов на результативный показатель с помощью коэффициентов эластичности.

Т.к. факторы имеют различную природу и размерность, непосредственная оценка их влияния затруднена. Поэтому для каждого из них необходимо рассчитать свой коэффициент эластичности.

Для расчета коэффициентов найдем средние значения факторов и результативного показателя:

Подставим полученные значения в формулу:

Таким образом, смертность населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения увеличивается примерно на 0,096 % при увеличении потребления мяса и мясопродуктов на душу населения на 1%; на 0,23% при увеличении на 1% потребления сахара на душу населения; на 0,063% при увеличении расходов на здравоохранение на 1%; и на 0,39% при увеличении потребления хлебных продуктов на душу населения на 1%.

А при увеличении оценки ВВП по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения на 1% результативный показатель, наоборот, уменьшится на 0,63%.

3. Оценим статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия.

Расчетные значения критерия для пяти заданных параметров получили с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel:

Поскольку ,

то коэффициенты b₁, b₃, b₇, b₉, являются не значимыми для построенной модели (т.к. их значение по модулю меньше ) и из модели их нужно исключить и далее анализируем данные без этих коэффициентов.

Модель зависимости смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 от оценки валового внутреннего продукта по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения (в % к США) имеет вид:

Адекватность модели проверим с помощью F-критерия:

регрессия линейный уравнение статистический

Коэффициент корреляции:

=0,8942 => наблюдается тесная связь между признаками.

Величина множественного коэффициента детерминации R²=0,7995 , также рассчитана с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel.

Построенную модель на основе этого параметра можно признать достаточно качественной. А изменение результативного показателя примерно на 80 % обусловлено влиянием факторов, включенных в модель.

=> уравнение регрессии можно признать адекватным,

а значит, в 95 % случаев уравнение регрессии статистически значимо и отражает существенную зависимость между факторами и результативным показателем. Уравнение можно признать надежным и значимым, доказывающим наличие исследуемой зависимости.

4. Оценим качество построенного уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.

=> точность построенной модели приемлема и модель можно использовать для прогнозирования.

5. Используя метод многошагового регрессионного анализа, построим регрессионную модель только со значимыми факторами и оценим ее параметры.

Поскольку модель со всеми заданными факторами уже построена, и значимость каждого фактора рассчитана, можем перейти к следующему шагу анализа, исключив из модели самый незначимый фактор:

Исключаем фактор Х₇ - расходы на здравоохранение. Строим новую модель с оставшимися факторами:



Параметры данного уравнения найдем с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS:

b₀=37,931

b₁= 0,0677

b₃= 0,3097

b₆= -0,5034

b₉= 0,1618

Получаем уравнение линейной множественной регрессии:

Поскольку , то коэффициенты b₁, b₃, b₉ не являются значимыми для построенной модели. Исключаем самый незначимый фактор:

Исключаем фактор Х₁ - потребление мяса и мясопродуктов на душу населения (кг).

Строим новую модель с оставшимися факторами:

b₀= 40,1214

b₃= 0,3579

b₆= -0,4725

b₉= 0,1586

Получаем уравнение линейной множественной регрессии:

Поскольку , то коэффициенты b₃, b₉ не являются значимыми для построенной модели. Исключаем самый незначимый фактор:

Исключаем фактор Х₉ - потребление хлебных продуктов на душу населения. Строим новую модель с оставшимися факторами:

b₀= 66,6406

b₃= 0,2051

b₆= -0,5703

Получаем уравнение линейной множественной регрессии:

Поскольку , то коэффициент b₃, не является значимыми для построенной модели. Исключаем фактор Х₃ - потребление сахара на душу населения. Строим новую модель с оставшимся фактором:

b₀= 71,027

b₆= -0,5318

Получаем уравнение линейной множественной регрессии:

Поскольку, , то коэффициент b₆ является значимым для построенной модели.

Таким образом, посредством пошагового регрессионного анализа, осуществленного методом исключения факторов, получили модель, содержащую только один значимый фактор Х₆ - оценка валового внутреннего продукта по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения (в % к США).

линейный многошаговый регрессия статистический

Значение коэффициента корреляции (=0,8694) и коэффициент детерминации (R² =0,7559) по сравнению с предыдущей моделью практически не изменились.

Сравним расчетное значение критерия с табличным:

=> уравнение регрессии - значимо.

Параметр регрессии Х₆=-0,5318, показывает, что повышение оценка валового внутреннего продукта по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения (в % к США) на 1% приводит к уменьшению смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100 000 населения на 0,5318%.

6. Определим прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80 % от их максимальных значений.

Поскольку в уравнении регрессии остался лишь один значимый фактор, именно на основе данных об оценке валового внутреннего продукта по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения (в % к США) будем рассчитывать прогнозное значение результативного показателя.

Если прогнозное значение фактора составит 80% от своего максимального значения

,

тогда точечное прогнозное значение результативного показателя составит:

Т.е. если оценка валового внутреннего продукта по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения (в % к США) составит 80%, то прогнозное значение смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения составит примерно 34,5%.

7. Рассчитаем ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости и .

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение:

Доверительный интервал для среднего размера смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения при условии, что оценка валового внутреннего продукта по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения (в % к США) составляет х = 80% с надежностью =0,95:

=

= (34,483-2,060*2,4357;34,483+2,060*2,4357) = (29,4655; 39,5005)

Где стандартная ошибка для средних значений:

Т.е. средний размер смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения при условии, что оценка валового внутреннего продукта по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения (в % к США) составит х = 80%, находится в интервале от 29 до 40 человек.

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения при условии, что оценка валового внутреннего продукта по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения (в % к США) составит х = 80% с надежностью =0,95:

= (34,483-2,060*9,2164; 34,483+2,060*9,2164) = (15,4972; 53,4688)

Где стандартная ошибка для средних значений:

Таким образом, если оценка валового внутреннего продукта по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения (в % к США) будет находиться на уровне 80%, то возможный размер смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения в 95% случаев может находиться внутри интервала от 15 до 53 человек.

Рассчитаем те же показатели для уровня значимости

Доверительный интервал для среднего размера смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения при условии, что оценка валового внутреннего продукта по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения (в % к США) составит х = 80% с надежностью =0,90:

(34,483-1,708*2,4357;34,483+1,708*2,4357) = (30,3228; 38,6432)

Т.е. средний размер смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения при условии, что оценка валового внутреннего продукта по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения (в % к США) составит х = 80%, находится в интервале от 30 до 39 человек.

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения при условии, что оценка валового внутреннего продукта по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения (в % к США) составит х = 80% с надежностью =0,90:

(34,483-1,708*9,2164; 34,483+1,708*9,2164) = (18,7414; 50,2246)

Таким образом, если оценка валового внутреннего продукта по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения (в % к США) будет находиться на уровне 80%, то возможный размер смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения в 90% случаев может находиться внутри интервала от 19 до 50 человек.

8. Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

На основе сравнительной оценки влияния факторов на результативный показатель посредством расчета коэффициентов эластичности удалось установить, что наибольшее влияние оказывает фактор оценки ВВП по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения, при его увеличении на 1%, результативный показатель уменьшится на 0,63%.

Величина множественного коэффициента детерминации R²=0,7995 свидетельствует о том, что изменение результативного показателя примерно на 80% обусловлено влиянием факторов, включенных в модель. Оценка качества построенного уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации подтверждает удовлетворительную точность построенной модели.

Оценка адекватности построенной модели с помощью F-Критерия Фишера подтвердила, что в 95 % случаев уравнение регрессии статистически значимо и отражает существенную зависимость между факторами и результативным показателем. А значит, уравнение можно признать надежным и значимым, доказывающим наличие исследуемой зависимости.

Посредством пошагового регрессионного анализа, осуществленного методом исключения факторов, получили модель, содержащую только один значимый фактор - оценка ВВП по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения.

Задача 3

1. Представим временной ряд графически:

Проведем его сглаживание методом простой скользящей средней.



По графику можно сделать предположение о наличии тренда линейного типа, очевидно, также имеет место сезонная компонента.

2. Построим уравнение неслучайной составляющей (тренда) временного ряда

Для определения параметров модели временного ряда из линейного уравнения: воспользуемся инструментом «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel.

Получаем уравнение тренда временного ряда следующего вида:

Проверим значимость построенного уравнения по F-критерию при уровне значимости :

Величина коэффициента детерминации R²=0,3 означает, что изменение результативного показателя примерно на 30% обусловлено влиянием временного фактора. Величина коэффициента корреляции () говорит о наличии прямой умеренной связи между признаками.

=> 250,476 > 14,151, т.е. выполнено неравенство , а значит, в 95 % случаев уравнение регрессии статистически незначимо и не отражает зависимости между временем и объемом продаж продовольственных товаров, что подтверждается экономической теорией.

3. Дать точечную, интервальную оценки прогноза среднего и индивидуального значений с надежностью на 1 и 2 шага вперед.

Чтобы сделать точечный прогноз на 1 и 2 шага вперед, подставим соответствующие значения фактора в полученное уравнение регрессии:

Доверительный интервал для среднего размера объема продаж продовольственных товаров на 01.12.1995 г. (t=36) с надежностью =0,95:

где стандартная ошибка для средних значений:

,

Т.е. средний размер объема продаж продовольственных товаров на 01.12.1995 г. (t=36) примерно находится в интервале от 250 до 285 относительных единиц.

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера объема продаж продовольственных товаров на 01.12.1995 г. (t=36) с надежностью =0,95:

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Таким образом, размер объема продаж продовольственных товаров на 01.12.1995 г. (t=36) в 95% случаев может находиться внутри интервала примерно от 206 до 329 относительных единиц.

Для прогноза на 2 шага вперед:

Доверительный интервал для среднего размера объема продаж продовольственных товаров на 01.01.1996 г. (t=37) с надежностью =0,95:

где стандартная ошибка для средних значений:

Т.е. средний размер объема продаж продовольственных товаров на 01.01.1996 г. (t=37) примерно находится в интервале от 248 до 290 относительных единиц.

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера объема продаж продовольственных товаров на 01.01.1996 г. (t=37) с надежностью =0,95:

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:



Таким образом, размер объема продаж продовольственных товаров на 01.01.1996 г. (t=37) в 95% случаев может находиться внутри интервала примерно от 207 до 330 относительных единиц.

4. Построим авторегрессионную модель временного ряда.

Авторегрессионная модель имеет вид:

Также она может иметь вид:

Величина лага определяется по max-значению коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции max при лаге=1

Строим модель по данным с лагом=1.

Авторегрессионная модель будет иметь вид:

Дадим точечный прогноз по полученной авторегрессионной модели на 1 и 2 шага вперед:

Дадим интервальный прогноз среднего и индивидуального значений по полученной авторегрессионной модели с надежностью на 1 и 2 шага вперед.

Доверительный интервал для среднего размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.12.1995 г. (t=36) с надежностью =0,95:



где стандартная ошибка для средних значений:

,

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.12.1995 г. (t=36) с надежностью =0,95:

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение объема продаж продовольственных товаров на момент t=36 будет заключено в пределах от 203,911 до 241,105 относительных единиц, а его индивидуальное значение -- от 168,398 до 276,624 относительных единиц.

Для прогноза на 2 шага вперед:

Доверительный интервал для среднего размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.12.1995 г. (t=37) с надежностью =0,95:



где стандартная ошибка для средних значений

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.01.1996 г. (t=37) с надежностью =0,95:

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение объема продаж продовольственных товаров на момент t=37 будет заключено в пределах от 209,511 до 245,985 относительных единиц, а его индивидуальное значение -- от 174,839 до 281,119 относительных единиц.

5. Выводы по полученным результатам:

Проведя сглаживание временного ряда методом простой скользящей средней, по графику сделали предположение о наличии тренда линейного типа. Вычислив параметры модели, получаем уравнение тренда:

Величина коэффициента детерминации R²=0,3 свидетельствует о том, что изменение У на 30% обусловлено влиянием времени. Построенную модель на основе коэффициента корреляции можно признать умеренно качественной.

Проверив значимость построенного уравнения по F-критерию, приходим к выводу, что в 95% случаев уравнение регрессии статистически незначимо и не отражает зависимости между временем и объемом продаж продовольственных товаров, что подтверждается экономической теорией.

Точечный прогноз на 1 шаг вперед на основе полученной модели примет значение:

Точечный прогноз на 2 шага вперед на основе полученной модели примет значение:

Поскольку построенное ранее уравнение линейного тренда не является значимым, для прогнозирования значений временного ряда построили авторегрессионную модель:

Размещено на Allbest.ru

...