Основы эконометрики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Имеются полугодовые данные по объемам продаж за три года для новой успешно развивающейся сети магазинов, специализирующейся на продаже зимней одежды.

Таблица 1

Период	1 п/г 2006г.	2 п/г 2006г.	1 п/г 2007г.	2 п/г 2007г.	1 п/г 2008г.	2 п/г 2008г.
Объемы продаж, тыс.руб.	161	238	186	262	213	282

Задача 1

Введем обозначения. Пусть - переменная, указывающая на период времени, за который рассчитан соответствующий объем продаж. Поскольку с математической точки зрения невозможно производить какие-либо преобразования с переменной, принимающей значения вида - 1 п/г 2006г., 2 п/г 2006г. и т.д., то в дальнейшем в качестве значений переменной будем использовать порядковые номера соответствующих периодов. Кроме того, пусть - объем продаж в период . Имеем:

Таблица 2 Значения переменных

	1	2	3	4	5	6
	161	238	186	262	213	282

Разложим уровни временного ряда на составляющие:

1. Тренд - это компонента временного ряда, отражающая основную тенденцию изменения объемов продаж. Применительно к данной задаче под трендом можно понимать рост средних объемов продаж зимней одежды в год, связанный с открытием новых точек продаж, формированием положительного имиджа фирмы, широкой рекламной компанией и т.п.

2. Сезонность - это компонента временного ряда, отражающая повторяемость экономических процессов в течение небольших промежутков времени (не более года). Применительно к данной задаче под сезонностью можно понимать ежегодное увеличение объемов продаж во втором полугодии по сравнению с объемами продаж в первом полугодии этого же года. Это увеличение связано не с общим ростом средних объемов продаж, а с соответствующими климатическими условиями, обуславливающими необходимость покупать зимнюю одежду до наступления зимы, с одной стороны, и психологией большинства покупателей, не желающих задумываться об этом заблаговременно (например, весной) с другой стороны. По этим причинам сезонные колебания спроса повторяются каждый год, т.е. каждое первое полугодие наблюдается снижение объемов продаж относительно среднего уровня продаж текущего года, а каждое второе - увеличение. Для того чтобы подчеркнуть, что однотипное влияние сезонности повторяется каждый второй период (а не каждый четвертый, если используются квартальные данные, и не каждый двенадцатый, если используются месячные данные), с математической точки зрения говорят, что параметр сезонности равен .

3. Случайность - это компонента временного ряда, отражающая влияние всех оставшихся факторов, которые не поддаются учету или влиянием которых можно пренебречь.

Представим уровни временного ряда в виде суммы рассмотренных составляющих временного ряда, т.е. будем использовать аддитивную модель вида: . Другими словами, для данной задачи каждое значение переменной необходимо представить в виде суммы трех чисел таким образом, чтобы:

Ш последовательность всех чисел образовывала монотонно возрастающую последовательность, отражающую рост средних объемов продаж, причем должно быть четко задано правило вычисления элементов этой последовательности, как для текущих значений , так и для будущих, что позволит легко получать прогнозные значения тренда.

Ш последовательность всех чисел представляла собой чередование всего двух чисел, отражающих величину повторяющихся сезонных колебаний в первом и втором полугодиях каждого года.

Ш последовательность всех чисел не содержала какой-либо ярко выраженной закономерности (в противном случае это уже не будет случайность) изменения чисел, которые, в свою очередь, должны быть по возможности небольшими, иначе их влиянием уже нельзя будет пренебречь, поэтому надо будет рассмотреть вопрос о корректности нашей логики рассуждений.

Так как все пожелания к значениям составляющих временного ряда выражены качественным образом (т.е. не количественным), то это порождает бесконечное количество возможных вариантов решения поставленной задачи. При этом многие варианты в принципе не противоречат друг другу и расходятся лишь в незначительных нюансах, определить справедливость которых с экономической точки зрения не представляется возможным. Вот здесь и приходит на помощь эконометрика, предлагающая ряд алгоритмов, моделей, в которых принципиальные моменты задаются непосредственно исследователем, а вопросы с нюансами решаются, как правило, с помощью не экономических, а математических методов.

В частности, одним из методов предварительной, неточной оценки трендовой составляющей является метод скользящих средних. Идея этого метода очень проста. Начнем по порядку. Так как тренд отражает средние объемы продаж за год, то давайте и рассчитаем эти средние значения для каждого года: три года - три средних значения. Поскольку в этом случае мы прыгаем от одного года к другому, то полученные таким образом средние можно было бы назвать «прыгающими». Недостатком этой идеи является небольшое количество получаемых значений, поэтому предлагается находить средние значения не только для полугодий, принадлежащих к одному и тому же году, но и для соседних полугодий, принадлежащих к разным годам. Первая средняя рассчитывается на основе объемов продаж за 1 и 2 полугодие, вторая - за 2 и 3 полугодие, третья - за 3 и 4 полугодие и т.д. Поскольку, выбирая соответствующие пары чисел, мы «скользим» по временному ряду, то получаемые средние называются скользящими. Число усредняемых значений называется порядком скользящей средней, который, в случае наличия сезонных колебаний, рекомендуется брать равным параметру сезонности .

Итак, найдем предварительные оценки трендовой компоненты с помощью скользящих средних второго порядка . Расчеты представим в таблице 3. Значения скользящих средних второго порядка представлены в столбце 4 таблицы 3:

, и т.д.

Таблица 3 Оценка значений трендовой компоненты.

	№ п/г в году
1	2	3	4	5	6
1	1	161	199	-	-
2	2	238		205	33
			212
3	1	186		218	-32
			224
4	2	262		230	32
			237
5	1	213		242	-29
			247
6	2	282		-	-

Существенным недостатком полученных результатов является то, что найденные значения скользящих средних относятся к промежуточным моментам времени, что не позволяет сопоставить их с исходными уровнями ряда . Такая ситуация характерна для всех скользящих средних четного порядка, поэтому в этом случае рекомендуют повторно усреднить полученные значения с помощью скользящих средних второго порядка (порядок выбирается независимо от порядка первоначальных скользящих средних, чтобы максимизировать число получаемых средних). Новые средние значения будут соответствовать исходным моментам времени, поэтому они и будут использоваться в качестве искомых оценок трендовой компоненты.

Оценки трендовой компоненты представлены в таблице 3:

, и т.д.

Итак, метод скользящих средних позволяет существенно сгладить колебания объемов продаж, что позволяет оценить их средний уровень. Однако при использовании данного метода не были найдены значения трендовой компоненты для первого и последнего полугодий и, более того, отсутствует правило, по которому можно было бы заполнить эти пробелы и получить прогнозные значения на будущее. По этой причине полученные оценки считаются предварительными, неточными и используются только для оценки величины сезонных колебаний.

Для оценки величины сезонных колебаний исключим тренд из исходных уровней ряда. Из аддитивной модели следует, что для этого надо вычесть значения трендовой компоненты (столбец 5 таблицы 3) из соответствующих уровней временного ряда (столбец 3 таблицы 3) . В результате в столбце 6 таблицы 3 получены значения, отражающие влияние сезонной и случайной компоненты. Анализ этих значений показывает наличие ярко выраженной периодичности их изменений, величина которых немного искажена случайной компонентой временного ряда. Для устранения влияния случайной компоненты предлагается усреднить значения, относящиеся к первым полугодиям временного ряда, и значения, относящиеся ко вторым полугодиям. Логика здесь проста. Поскольку отклонения любых значений от их средних уровней являются минимально возможными по абсолютной величине, то выбирая величины сезонных колебаний равными соответствующим средним значениям, формально удается минимизировать влияние случайности.

Расчеты представим в таблице 4.

Таблица 4 Оценка значений сезонной компоненты

Период	1 п/г	2 п/г
1 год	-	33
2 год	-32	32
3 год	-29	-
Среднее	-30	32
	-31	31

Итак, в таблице 4 значения, полученные в столбце 6 таблицы 3, группируем по полугодиям и находим соответствующие средние значения. Обращаем внимание, что при нахождении средних сумму соответствующих значений делим на 2, а не на 3, поскольку в каждом столбце нам известно только два значения, а не три:

, .

В заключении полученные средние значения предлагается откорректировать таким образом, чтобы их сумма равнялась нулю. В этом случае сезонные колебания будут симметричны относительно тренда, или, другими словами, тренд будет отражать средний объем продаж, относительно которого наблюдаются сезонные колебания. Так как сумма полученных средних значений равна , то, вычитая из каждой средней одинаковые числа равные , окончательно находим оценки сезонных колебаний: - в первом полугодии; - во втором полугодии каждого года.

Зная значения сезонных колебаний, для аддитивной модели легко получить искомый ряд десезонализированных данных , который представлен в таблице 5.

Таблица 5. Десезонализированный ряд данных.

	№ п/г
1	1	161	-31	192
2	2	238	31	207
3	1	186	-31	217
4	2	262	31	231
5	1	213	-31	244
6	2	282	31	251

Задача 2

Десезонализированный ряд данных представляет собой последовательность значений, отражающих влияние как трендовой, так и случайной составляющих временного ряда. Как уже отмечалось выше, значения трендовой компоненты должны не просто представлять собой возрастающую последовательность чисел, но и подчиняться некоторому правилу, закономерности, отражающей, по мнению исследователя, основную тенденцию изменения средних объемов продаж. Пусть исследователь полагает, что наиболее вероятной тенденцией изменения объемов продаж является их дальнейший рост с постоянным абсолютным приростом. Математически эту предпосылку можно формализовать с помощью линейной зависимости , где и - произвольные параметры модели, отражающие начальный уровень тренда и величину постоянного прироста соответственно.

Значения параметров исследователь может задать субъективно, основываясь на своем опыте и интуиции. Однако если этого опыта недостаточно, то оценку параметров можно произвести на основе имеющихся десезонализированных данных, предполагая, что будущие изменения средних объемов продаж тесно связаны с их предыдущими значениями, или, другими словами, предполагая, что искомый линейный тренд имел место и в предыдущие моменты времени.

Итак, требуется подобрать такие значения параметров и , чтобы линейный тренд точно отражал растущий средний уровень объемов продаж за последние три года. Возникает вопрос: как? Если найти средние десезонализированные объемы продаж для каждого года, то можно убедиться, что ни при каких значениях параметров эти объемы и соответствующие им моменты времени не удовлетворяют одновременно одной и той же линейной модели. Следовательно, необходимо изменить модель или по другому сформулировать критерий выбора значений параметров. Пойдем по второму пути и выберем в качестве критерия отбора требование минимизировать случайные отклонения десезонализированных данных от линейного тренда.

Так как согласно аддитивной модели десезонализированные уровни ряда можно представить в виде , то необходимо минимизировать выражения . Поскольку мы заинтересованы в минимально возможных значениях всех случайных отклонений, то необходимо построить и минимизировать критерий, включающий в себя все эти разности. Первая мысль, которая, как правило, приходит на ум, - это найти сумму всех случайных отклонений. Недостаток этой идеи заключается лишь в том, что случайные отклонения часто имеют разные знаки, поэтому сумма отклонений и будет равносильна сумме отклонений и , что с экономической точки зрения, конечно, не так.

Устранить влияние знака можно, взяв каждое случайное отклонение по модулю. В этом случае необходимо будет найти такие значения параметров и , при которых функция . Такой способ оценки параметров называется методом наименьших модулей. Этот метод не получил широкого распространения из-за своей неоднозначности (одно и то же минимальное значение суммы может достигаться при различных значениях параметров) и трудоемкости вычислительной процедуры.

Другой способ устранить влияние знака заключается в возведении каждого случайного отклонения в квадрат, т.е. в минимизации функции

Этот способ называется методом наименьших квадратов. Его отличают единственность решения, относительно простая вычислительная процедура, хорошие статистические свойства получаемых оценок, поэтому он до сих пор является наиболее распространенным методом оценки параметров моделей.

Итак, применяя метод наименьших квадратов, найдем параметры линейного тренда , т.е. найдем значения параметров и , которые минимизируют значение функции

Необходимым условием экстремума функции двух переменных является равенство нулю соответствующих частных производных, которые в данном случае определены в любой точке двумерного пространства. Найдя эти частные производные и приравняв их нулю, после несложных преобразований получаем следующую систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

(1)

Решая эту систему в общем виде, получаем формулы для оценки параметров линейного тренда с помощью метода наименьших квадратов:

, (2)

Используя десезонализированные значения из таблицы 5, рассчитаем все необходимые средние значения в таблице 6, при необходимости округляя получаемые значения до сотых.

Таблица 6 Расчет средних значений для оценки параметров линейного тренда.

	1	192	192	1
	2	207	414	4
	3	217	651	9
	4	231	924	16
	5	244	1220	25
	6	251	1506	36
Сумма	21	1342	4907	91
Среднее

Подставляя полученные значения средних в формулы (2), имеем:

,

.

Отсюда, .

Таким образом, используя значения сезонных колебаний, рассчитанные в задаче 1, , , на основе аддитивной модели найдем прогнозные значения объемов продаж на следующие два полугодия:

(3)

Обозначения указывают на то, что прогнозные значения объемов продаж рассчитаны без учета случайной компоненты временного ряда, точные значения которой неизвестны по определению).

Итак, опираясь на предпосылку о стабильном росте объемов продаж с постоянным абсолютным приростом и постоянными сезонными колебаниями, можно предположить, что объемы продаж зимней одежды в магазинах рассматриваемой сети составят в первом полугодии 2009г. 234,62 тыс. руб., а во втором - 308,61 тыс. руб.

Задача 3

При решении задачи 2 предполагалось, что наиболее вероятной тенденцией изменения объемов продаж является их дальнейший рост с постоянным абсолютным приростом и постоянными сезонными колебаниями. Однако наряду с наиболее ожидаемым сценарием развития экономической ситуации часто бывает полезным рассмотреть пессимистический (т.е. если будет хуже, чем ожидается) и оптимистический (т.е. если будет лучше, чем ожидается) сценарии. Пусть исследователь предполагает, что рост объемов продаж продолжится при любом сценарии, однако при неблагоприятных условиях этот рост будет замедляться, а при удачном стечении обстоятельств - ускоряться, т.е. характеризоваться увеличивающимися абсолютными приростами.

Математически эти предпосылки можно формализовать с помощью степенной зависимости для пессимистического сценария и экспоненциальной зависимости для оптимистического сценария, где и - произвольные параметры модели.

Аналогично рассмотренному в задаче 2 линейному тренду значения параметров исследователь может задать субъективно, основываясь на своем опыте и интуиции. Если этого опыта недостаточно, то оценку параметров можно произвести на основе имеющихся десезонализированных данных, предполагая, что будущие изменения средних объемов продаж тесно связаны с их предыдущими значениями, или, другими словами, предполагая, что искомый степенной или экспоненциальный тренд имел место и в предыдущие моменты времени.

Оценки параметров искомых трендов также можно найти с помощью метода наименьших квадратов. Однако поскольку в данном случае функции трендов являются нелинейными, то нелинейными будут и уравнения, получающиеся после приравнивания нулю соответствующих частных производных. Так как решение системы нелинейных уравнений является достаточно сложной задачей, то здесь рекомендуется путем ряда преобразований привести нелинейные функции тренда к линейному виду, для которого необходимые формулы уже найдены (формулы 2).

В случае со степенным и экспоненциальным трендом предлагается сравнивать не значения и , как в задаче 2, а значения их натуральных логарифмов и , т.е. вместо функции минимизировать функцию . Значения параметров, получаемые при минимизации функции с логарифмами, конечно, отличаются от значений параметров, получаемых при минимизации исходной функции метода наименьших квадратов, но поскольку эти отличия незначительны, то ими можно пренебречь ради более легкого способа оценки параметров.

Итак, для пессимистического сценария имеем:

,

,

где , , .

Заменяя в формулах (2) на , на , на , получаем:

, .

Используя десезонализированные значения из таблицы 5, рассчитаем все необходимые средние значения в таблице 7, при необходимости округляя получаемые значения до сотых.

Таблица 7 Расчет средних значений для оценки параметров степенного тренда.

1	192	0	5,25	0	0
2	207	0,69	5,33	3,67	0,48
3	217	1,1	5,38	5,91	1,21
4	231	1,39	5,44	7,56	1,93
5	244	1,61	5,49	8,83	2,59
6	251	1,79	5,52	9,88	3,2
	Сумма	6,58	32,41	35,85	9,41
	Среднее

Отсюда,

, .

Так как , то . Следовательно, искомая функция степенного тренда имеет вид: .

Таким образом, используя аддитивную модель и значения сезонных колебаний, рассчитанные в задаче 1, , , находим прогнозные значения объемов продаж на следующие два полугодия с точки зрения пессимистического сценария:

Итак, опираясь на предпосылку о замедляющемся росте объемов продаж с постоянными сезонными колебаниями, можно предположить, что при пессимистическом сценарии объемы продаж зимней одежды в магазинах рассматриваемой сети составят в первом полугодии 2009г. 203,07 тыс.руб., а во втором - 265,07 тыс.руб.

Аналогично рассматривается оптимистический сценарий развития, которому предположительно соответствует экспоненциальная функция тренда . Имеем:

,

,

где .

Заменяя в формулах (2) на , получаем:

, .

Используя десезонализированные значения из таблицы 5, рассчитаем все необходимые средние значения в таблице 8, при необходимости округляя получаемые значения до сотых.

Таблица 8 Расчет средних значений для оценки параметров экспоненциального тренда

192	1	5,25	5,25	1
207	2	5,33	10,66	4
217	3	5,38	16,14	9
231	4	5,44	21,76	16
244	5	5,49	27,45	25
251	6	5,52	33,12	36
Сумма	21	32,41	114,38	91
Среднее

Отсюда,

, ,

.

Таким образом, используя аддитивную модель и значения сезонных колебаний, рассчитанные в задаче 1, , , находим прогнозные значения объемов продаж на следующие два полугодия с точки зрения оптимистического сценария:

Итак, опираясь на предпосылку об ускоряющемся росте объемов продаж с постоянными сезонными колебаниями, можно предположить, что при оптимистическом сценарии объемы продаж зимней одежды в магазинах рассматриваемой сети составят в первом полугодии 2009г. 226,23 тыс.руб., а во втором - 288,23 тыс.руб.

Задача 4

Способ получения прогнозных значений объемов продаж, рассмотренный в первых трех задачах является не единственным. В зависимости от предпочтений исследователя можно сформулировать другие исходные предпосылки, выбрать другие математические функции, использовать другие методы оценки параметров и, наконец, можно оценивать параметры тренда и величину сезонных колебаний не по отдельности, а одновременно. Рассмотрим последний вариант более подробно, поскольку он в принципе ничем не отличается от рассмотренного выше способа, но с математической точки зрения представляет собой интересную альтернативу.

Предположим, что в течение последних трех лет и в ближайшем будущем году наблюдался и будет наблюдаться стабильный рост продаж с постоянным абсолютным приростом и постоянными сезонными колебаниями. Математически эти предпосылки можно формализовать с помощью следующей математической модели:

,

где - прогнозное значение объема продаж в момент времени , рассчитанное без учета случайной компоненты временного ряда; , , - произвольные параметры модели, отражающие начальный уровень тренда, величину постоянного прироста и величину сезонных колебаний соответственно; - фиктивная переменная, принимающая значение , если объем продаж относится к первому полугодию года, и значение , если объем продаж относится ко второму полугодию. Переменная называется фиктивной, потому что она является искусственно созданной для отражения факта принадлежности объемов продаж к одному из полугодий соответствующего года.

Смысл модели будет более понятен, если выразить с помощью нее прогнозные значения для первого и второго полугодия 2009г.:

,

и сравнить их с выражениями (3) из второй задачи. Очевидно, что эти выражения полностью совпадают, если положить , , . Разница заключается лишь в том, что в выражениях (3) задачи 2 оценка параметров и осуществлялась отдельно от оценки величины сезонных колебаний , в то время как использование фиктивной переменной дает возможность провести эту оценку одновременно.

Итак, найдем оценки параметров , , с помощью метода наименьших квадратов. Поскольку в данной постановке задачи используются исходные данные, содержащие сезонность, то в отличие от задачи 2 здесь , следовательно, для оценки параметров необходимо минимизировать следующую функцию:

Найдя три частные производные и приравняв их нулю, после ряда преобразований получаем следующую систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

.(4)

Используя исходные значения из таблицы 2 и присвоив фиктивной переменной значения и в зависимости от соответствующих полугодий, рассчитаем все необходимые средние значения в таблице 9, при необходимости округляя получаемые значения до сотых.

Таблица 9 Расчет средних значений для оценки параметров модели тренда и сезонности.

№ п/г
1	1	161	-1	161	-161	-1	1	1
2	2	238	1	476	238	2	4	1
1	3	186	-1	558	-186	-3	9	1
2	4	262	1	1048	262	4	16	1
1	5	213	-1	1065	-213	-5	25	1
2	6	282	1	1692	282	6	36	1
Сумма	21	1342	0	5000	222	3	91	6
Среднее	3,5	223,66	0	833,33	37	0,5	15,17	1

Имеем , , , , , , , . Так как , , то из системы уравнений (4) получаем:

.

Отсюда,

.

Следовательно, искомая модель имеет вид:

.

Таким образом, прогнозные значения объемов продаж на следующие два полугодия:

,

.

Итак, опираясь на предпосылку о стабильном росте объемов продаж с постоянным абсолютным приростом и постоянными сезонными колебаниями, можно предположить, что объемы продаж зимней одежды в магазинах рассматриваемой сети составят в первом полугодии 2009г. 240,36 тыс. руб., а во втором - 316,26 тыс.руб. По сравнению с результатами, представленными в выражениях (3) задачи 2, полученные прогнозные значения характеризуются меньшим абсолютным приростом, но большей величиной сезонных колебаний. Однозначно сказать, какой вариант лучше невозможно. Каждый в праве выбрать себе вариант, который больше соответствует его взглядам на будущее.

Задача 5

В предыдущих задачах прогнозные значения были получены без учета случайной компоненты. Это и понятно, ведь точные значения случайной компоненты предсказать нельзя по определению. Однако во многих случаях можно предсказать диапазон возможных значений случайной компоненты и, как следствие, получить интервальные прогнозы, которые уже будут учитывать случайную компоненту. В эконометрике в рамках темы «Регрессионный анализ» разработана методика расчета интервальных прогнозов и определены условия ее корректного применения. Не вдаваясь в рамках контрольной работы в теоретические аспекты этой методики, рассмотрим алгоритм ее применения на основе десезонализированных данных, полученных в задаче 1. Составим расчетную таблицу 10, где для расчета трендовой компоненты воспользуемся линейной моделью, которая получена в задаче 2: , т.е. , и т.д.

Таблица 10 Расчетные значения для интервальных прогнозов.

	1	192	193,68	2,82	6,25	1
	2	207	205,49	2,28	2,25	4
	3	217	217,66	0,43	0,25	9
	4	231	229,65	1,82	0,25	16
	5	244	241,64	5,57	2,25	25
	6	251	253,63	6,91	6,25	36
Сумма	21			19,83	17,5	91
Среднее	3,5					15,17

Отсюда, , , , .

Несмещенную оценку стандартной ошибки регрессии, т.е. среднеквадратической величины случайной компоненты, найдем по формуле:

На основе стандартной ошибки регрессии рассчитываются стандартные ошибки параметров модели:

Предполагая, что случайная компонента для каждого момента времени имеет нормальный закон распределения вероятностей, можно рассчитать доверительные интервалы для истинных значений параметров линейной модели, которые, как известно из математической статистики, имеют вид:

, .

где и - истинные значения параметров линейной модели, т.е. значения, которые можно было бы точно рассчитать при условии, что нам была бы известна вся информация о возможных вариантах изменения экономической ситуации, связанной с объемами продаж; и - выборочные оценки параметров линейной модели, т.е. значения, рассчитанные на основе имеющейся информации о фактических объемах продаж, представляющих собой только один из возможных вариантов изменения объемов продаж; - критическое значение распределения Стъюдента, соответствующее степени свободы и уровню значимости .

С экономической точки зрения можно интерпретировать как корректирующий множитель, учитывающий как объем выборки, так и требуемый уровень надежности получаемых интервалов. С одной стороны, чем больше объем выборки, тем больше наша уверенность в получаемых результатах, тем меньше значение и, следовательно, меньше доверительные интервалы. С другой стороны, чем больше требуемый уровень надежности получаемых интервалов, тем больше даже маловероятных возможных вариантов изменения объемов продаж принимается во внимание, тем больше значение и, следовательно, больше доверительные интервалы.

Учитывая, что , , , находим доверительные интервалы для параметров линейной модели:

Таким образом, опираясь на предпосылку о равномерном росте объемов продаж и нормальном распределении случайной компоненты, можно предположить, что с вероятностью 95% величина прироста средних объемов продаж составит 10,51-13,4 тыс. руб. за каждое полугодие, а начальный уровень средних объемов продаж составляет 175,94-187,43 тыс. руб. экстремум продажа стъюдент

Аналогично найдем доверительные интервалы для прогнозов. Стандартная ошибка прогнозов, получаемых по линейной модели, рассчитывается по формуле:

.

Отсюда,

Используя в качестве основы прогнозные значения тренда, отражающего средние объемы продаж, построим доверительные интервалы для прогнозных значений десезонализированных объемов продаж с учетом скорректированных на величину значений стандартных ошибок прогнозов:

.

Прогнозные значения трендовой компоненты для седьмого и восьмого полугодий были найдены еще в задаче 2 по формуле: . Напомним:

, .

Следовательно,

С учетом сезонных колебаний , , найденных в задаче 1, получаем интервальные прогнозы объемов продаж на следующие два полугодия:

Таким образом, опираясь на предпосылку о стабильном росте объемов продаж с постоянным абсолютным приростом и постоянными сезонными колебаниями, можно предположить, что с вероятностью 95% объемы продаж зимней одежды в магазинах рассматриваемой сети составят в первом полугодии 2009г. 223,12-246,11 тыс. руб., а во втором - 294,28-324,91 тыс. руб.

Существенным недостатком данной методики является относительно большая величина получаемых прогнозных интервалов, что часто делает прогнозы бесполезными для практического применения. Например, прогноз погоды на завтра от -60^о до 60^о несомненно является точным для любого времени года, но в то же время никому не нужным. В данной задаче прогнозные интервалы получились достаточно большими, охватывающими в том числе прогнозы, полученные в рамках пессимистического и оптимистического сценария (задача 3). Уменьшить величину этих интервалов в рамках предложенной методики можно, если снизить требуемый уровень надежности прогнозных интервалов. Например, можно задать вместо , тогда прогнозные интервалы будут значительно меньше, но уровень их надежности снизится до 60%. Если даже этот прием не поможет, то можно полностью отказаться от этой методики и субъективно задать величину прогнозных интервалов, опираясь не на математически выраженные предпосылки, а на собственный опыт и интуицию.

Размещено на Allbest.ru

...