Линейная регрессия

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (У, млн.руб.) от объема капиталовложений (Х, млн.руб.).

Х	33	17	23	17	36	25	39	20	13	12
У	43	27	32	29	45	35	47	32	22	24

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков S_е²; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (б=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (б=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя У при уровне значимости б=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения У, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

- гиперболической;

- степенной;

- показательной.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

y=б+в· х

Входной интервал Y - диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал X - диапазон, содержащий данные независимого признака.

Рис. 1. Введение исходных данных. Заполненное диалоговое окно Регрессия

Таким образом, уравнение линейной регрессии имеет вид (рис. 2, ячейки В17:В18).

y= 0,9089·x+12,24

Значения параметров в и б линейной модели можно определить с помощью формул, используя данные вспомогательной таблицы (рис.3):

Рис. 2. Вычисление регрессионно - корреляционных характеристик с помощью инструмента Регрессия.

Рис. 3. Вычисление параметров линейной регрессии по формулам

Рис. 4. Таблица в режиме проверки формул

По данным таблицы (рис. 3) находим уравнение линейной регрессии, которое совпадает с уравнением, найденным с помощью инструмента Регрессия:

y= 0,9089·x+12,242

0,9089 - коэффициент регрессии - показатель, характеризующий изменение переменной y при изменении значения х на единицу.

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличиться в среднем на 909 тыс. руб., что говорит о неэффективности работы предприятия.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков . Построить график остатков

Вычислим остатки по формуле

,

где - значения у, вычисленные по модели

.

Остаточная сумма квадратов равна .

Дисперсию остатков рассчитываем по формуле:

Из табл. Видно (рис. 5), что вычисленные значения остаточной суммы квадратов и дисперсии совпадают с показателями, вычисленными с помощью инструмента анализа данных Регрессия (рис.2).

Рис. 5. Вычисление остаточной суммы квадратов и дисперсии остатков

3. Проверить выполнение предпосылок МНК

1) Математическое ожидание случайной величины, как видно из таблицы, равно нулю: . Сумма всех остатков равна нулю. Предпосылка выполнена.

2) Случайная составляющая е должна быть величиной случайной, а объясняющая переменная х - величина не случайная. В этом случае теоретическая ковариация независимой переменной и случайной переменной равна нулю. Оценку случайности уровней остаточной компоненты проверим на основе критерия поворотных точек. Критерий случайности отклонений при уровне вероятности 0,95 можно представить так:

, где

р - количество поворотных точек в случайном ряду, в нашем случаем р = 5;

n - количество наблюдений;

, следовательно, свойство случайности остатков выполняется.

3) Отсутствие систематической связи между значениями случайной составляющей в любых двух наблюдениях. Случайные составляющие должны быть независимы друг от друга: . Возмущения и не коррелированны (условие независимости случайных составляющих в различных наблюдениях).

Рис. 6. Проверка выполнения предпосылок МНК

Оценку независимостей уровней ряда остатков проведем с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона:

, находим

Расчетное значение d сравниваем с табличным значением при 5%-ном уровне значимости. При n=10 и к=1 (число факторов) нижнее значение d₁=0,88, а верхнее d₂=1,32.

Случаи, когда d₁ ? d' ? d₂ являются неопределенными, когда гипотеза не принимается и не отвергается.

Расчетный показатель попал в область d₁ ? d' ? d₂ (0,88 ? 0,89 ? 1,32), следовательно, гипотеза о независимости уровней ряда остатков не принимается и не отвергается.

Поскольку ситуация оказалась неопределенной, воспользуемся первым

коэффициентом автокорреляции:

Так как фактическое значение коэффициента меньше табличного для 5%-ного уровня значимости - 0,6319, то принимаем гипотезу об отсутствии автокорреляции.

4) Гомоскедастичность (постоянство) дисперсии остатков.

Дисперсия случайной составляющей должна быть постоянна для всех наблюдений (Гомоскедастичность).

Для оценки нарушения гомоскедастичности используем тест Голдфельда - Квандта:

а) Упорядочим выборку из n-наблюдений по мере возрастания факторного признака x.

б) исключим из рассмотрения С центральных наблюдений. Возьмем С = 1. При этом (n-C) /2 >p

Получим 4,5>2 - неравенство выполняется.

в) разделим совокупности из (n-C) наблюдений на две группы с малыми и большими значениями факторов и определим по каждой из групп уравнения регрессии.

г) Определим остаточной суммы квадратов для первой (S₁) и второй (S₂) групп и найдем их отношения: R= S₁/S₂

- для первой регрессии, по формуле:

- для второй регрессии, по формуле:

Далее определяем расчетное значение F-критерия Фишера по формуле:

, так как

Используя надстройки Excel, находим табличное значение F-критерия Фишера: F_{(0,05; 4; 4)} = 6,39.

Сравниваем расчетное значение F-критерия Фишера с табличным значением. Поскольку F_расч. = 2,29 < F_табл. = 6,39, следовательно, F-табл. значение меньше F- расч., из этого можно сделать вывод, что предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин не нарушена, т.е. условие гомоскедастичности выполняется (рис. 7)

Рис. 7. Тест Голдфельда - Квандта

5). Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверяем с помощью R/S-критерия:

где , - соответственно максимальный и минимальный уровни ряда остатков;

По таблице граничных значений R/S-критерия для n=10 на уровне значимости 0,05 определяем критические уровни 2,67-3,57.(табл. с. 115)

Расчетное значение попадает в заданный интервал (2,67<2,736<3,57), следовательно, уровни ряда остатков подчиняются нормальному закону распределения.

Из этого можно сделать вывод, что все предпосылки МНК выполняются.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (б = 0,05)

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия для соответствующих коэффициентов регрессии:

Найдем среднеквадратическое отклонение коэффициентов( стандартные ошибки).

Рассчитаем значения t-критерия:

,

Рис. 8. Заполненное диалоговое окно функции СТЬЮДРАСПОБР

Рис.9. Вычисление данных для критерия Стьюдента

Табличное значение t-критерия при и степенях свободы (10-2=8) составляет 2,306. Так как t_расч > t_табл, то это говорит о значимости параметров модели.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (б = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели регрессия продукция промышленность квадрат

Коэффициент детерминации R² рассчитываем по формуле:

Такой же результат получается при использовании инструмента анализа данных Регрессия (рис. 10).

Рис. 10 Регрессионная статистика

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов, в данном случае от объема капиталовложений. В нашем случае R² =0,9827, что говорит о достаточно высоком качестве модели.

Для проверки значимости уравнения регрессии в целом используется F-критерий Фишера. Расчетное значение (как отношение дисперсий исходного ряда и несмещенной дисперсии случайной составляющей) найдем по формуле:

Где k- количество факторов. В нашем случае k=1.

Такой же результат получается при использовании инструмента анализа данных Регрессия (рис. 11).

Рис. 11. Дисперсионный анализ.

Критическое значение статистики Фишера можно найти с помощью функции FРАСПОБР (рис. 12).

Так как F_расч > F_табл , следовательно, то уравнение регрессии в целом статистически значимое.

Рис.12. Заполненное диалоговое окно функции FРАСПОБР

Вычислим относительную ошибку аппроксимации, которую находим по формуле:

Это означает, что в среднем расчетные значения отличаются от фактических значений на 3,192%.

Так как =3,192% < 7%, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости б=0,1, если прогнозное значение фактора X составляет 80% от его максимального значения

Для прогнозирования результативного показателя подставим в уравнение значение факторного показателя, равного 80% от его максимального значения:

Далее необходимо рассчитать

Так как вероятность реализации данного точечного прогноза теоретически равна нулю, то необходимо рассчитывать доверительный интервал прогноза:

где

Коэффициент Стьюдента для m= n-2 =8 степеней свободы и уровня значимости б=0,1 равен 1,8595 (табл. с. 113).

- х_i среднее;

?- Рис. 3 ячейка I 13.

В результате находим интервальный прогноз:

Верхняя граница: 40,60 + 2,47=43,07

Нижняя граница: 40,60 - 2,47 = 38,13

7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза

С помощью Мастера диаграмм построим графики фактических и модельных значений Y точки прогноза (рис. 13):

Рис. 13. Результаты моделирования и прогнозирования с помощью линейной модели

8. Составить уравнения нелинейной регрессии

· Гиперболической;

· Степенной;

· Показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии

· Гиперболическая модель

Уравнение гиперболической модели парной регрессии

Произведём линеаризацию модели путём замены переменной

.

В результате получим уравнение

Найдем параметры a и b уравнения регрессии с помощью таблицы (рис. 14).

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

Рассчитаем F- критерий Фишера:

Рис. 14. Вычисление параметров гиперболической модели

Рис. 15. График гиперболической модели

· Степенная функция

Уравнение степенной модели имеет вид:

Произведем линеаризацию модели путем логарифмированная обеих частей уравнения

Пусть

.

Тогда уравнение примет вид

Y=A+b•X

линейное уравнение регрессии.

Найдем параметры A и b уравнения регрессии степенной функции с помощью таблицы (рис.16).

Y=0,6764+0,6250*Х - уравнение степенной модели регрессии.

Уравнение регрессии будет иметь вид:

Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование:

Получим уравнение степенной модели регрессии:

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы (рис. 16)



Рассчитаем F-критерий Фишера:

Рис.16. Вычисление параметров степенной модели

Рис.17. График степенной модели

· Показательная функция

Уравнение показательной кривой:

Произведем линеаризацию модели путем логарифмированная обеих частей уравнения

Пусть

.

Тогда уравнение имеет вид:

Y = A + B•x.

Найдем параметры A и В уравнения регрессии степенной функции с помощью таблицы (рис.18).

Уравнение линейной регрессии будет иметь вид: Y=1,2401+0,0116•х.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование:

Получим уравнение степенной модели регрессии:

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы (рис. 18)



Рассчитаем F-критерий Фишера:

Рис. 18. Вычисление параметров показательной модели

Рис.19. График показательной модели

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод

I. Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:

1. Для гиперболической функции

2. Для степенной функции

3. Для показательной функции

Рассчитаем коэффициент эластичности

1. Для гиперболической функции

2. Для степенной функции

3. Для показательной функции

Рассчитаем средние относительные ошибки аппроксимации, использовав данные вспомогательных таблиц, по формуле:

1. Для гиперболической функции

2. Для степенной функции

3. Для показательной функции

Составим обобщающую таблицу:

Модель	Параметры	Коэффициент детерминации,	Коэффициент эластичности, Э	Средняя относительная ошибка,
Гиперболическая	0,8953	0,4848	7,257 %
Степенная	0,9826	0,6252	3,400%
Показательная	0,9996	0,6282	3,823 %

По данным таблицы можно сделать вывод, что все модели имеют хорошее качество.

Показательная модель наиболее точна, т.к. она имеет наибольший коэффициент детерминации, показывающий, какая доля изменения признака учтена в модели (в данном примере она составила 0,9926).

Степенная модель регрессии имеет наименьшую среднюю ошибку аппроксимации (в данном примере она составила 3,4 %), это говорит о наименьшем рассеянии эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, следовательно, наилучшее качество модели.

Гиперболическая модель содержит достаточно высокий коэффициент эластичности, он показывает, на сколько процентов измениться зависимая переменная при изменении фактора на один процент (в данном примере составляет 0,4848).

Доработки

Размещено на Allbest.ru

...