Статистические расчеты

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Государственный Университет Управления»

Кафедра Статистики

СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА

по учебной дисциплине

“Статистика”

Выполнила

Студентка ГиМУ группы 2-2

О.С. Кушнирчук

Руководитель

Москва 2011 год

Задание 1.

Произвести выборку 30 банков пользуясь вспомогательной таблицей и по отобранным единицам выписать значения факторного (Х) и результативного (Y) признаков.

Таблица 1. Исходные данные

№	№ предприятия	Cреднее значение стоимости активов банков за квартал (Xi), млн. руб.	Прибыль банков за квартал (Yi), млн. руб.
1	1	982	35,1
2	2	971	22,6
3	3	965	20,1
4	4	1045	20,8
5	5	1004	23,8
6	6	958	19,3
7	7	932	21,3
8	8	931	18,4
9	9	928	20,2
10	10	924	19,4
11	11	921	20,6
12	17	804	16,5
13	18	821	17,2
14	19	801	18
15	20	801	19,4
16	21	800	15,3
17	22	785	14,4
18	23	794	12,5
19	24	795	16,2
20	25	770	11,5
21	26	778	13,8
22	36	677	5,7
23	37	673	5,2
24	38	649	4,7
25	39	631	6,7
26	40	627	4,8
27	41	609	8,9
28	42	605	6,7
29	46	543	3,6
30	47	538	5,3

Задание 2.

Построить ряд распределения по факторному признаку (Х). Число групп определить по формуле Стерджесса. По построенному ряду распределения рассчитать характеристики центра распределения и показатели вариации.

Число групп определяется по формуле Стерджесса

,

где n - число наблюдений.

Полученное выражение необходимо округлять до большего целого числа. Подставляя n = 30 получаем

групп.

Для определения величины интервала i необходимо поделить размах вариации на число групп.

Размах вариации

1045 - 538 = 507 млн. руб.

млн. руб.

Округление производилось до целых, т.к. величина интервала должна определяться в соответствии с точностью исходных данных: исходные данные представлены с точностью до целых.

Таблица 2. Группировка банков по величине среднеквартальной стоимости активов

№	Среднее значение стоимости активов банков за квартал (Xi), млн.руб.	Число банков в группе, f	Доля группы в численности
1	от 538 до 623	4	0,13
2	от 623 до 708	5	0,17
3	от 708 до 793	3	0,10
4	от 793 до 878	7	0,23
5	от 878 до 963	6	0,20
6	от 963 до 1048	5	0,17
Итого		30	1,00

Полученная группировка может использоваться для дальнейшего изучения ряда, т.к.доля каждой группы в общей численности банков не менее 0,05 (5%).

Рис.1. Гистограмма распределения

Для дальнейших расчётов необходимо вычислить середину интервала и накопленные частоты.

Таблица 3. Расчётная таблица

№	Среднее значение стоимости активов банков за квартал (Xi), млн.руб.	Середина интервала, x'	Число банков в группе, f	Накоп-ленная частота, S	x'*f
1	от 538 до 623	580,5	4	4	2322
2	от 623 до 708	665,5	5	9	3327,5
3	от 708 до 793	750,5	3	12	2251,5
4	от 793 до 878	835,5	7	19	5848,5
5	от 878 до 963	920,5	6	25	5523
6	от 963 до 1048	1005,5	5	30	5027,5
Итого			30		24300

где - середина интервала, Х_н - нижняя граница интервала

Средняя арифметическая:

млн. руб.

Мода - это наиболее часто встречающееся значение признака. По интервальному ряду распределения для определения моды необходимо найти сначала интервал, в котором она находится. Для этого выбирают интервал, которому соответствует максимальная частота. В нашем случае это интервал от 793 до 878 млн.руб., т.к. ему соответствует максимальная частота f = 7. Далее для определения моды используется формула

,

где Х_Мо - нижняя граница модального интервала,

h - длина интервала, f_Mo- частота модального интервала,

f_(-1)- частота интервала, предшествующего модальному,

f₍₊₁₎- частота интервала, следующего за модальным.

Подставляя значения, получаем: млн. руб. мода медиана дисперсия вариация

Медиана - это значение, которое делит ранжированный ряд пополам. Для определения медианы по интервальному ряду распределения необходимо сначала найти интервал, в котором она находится. Для этого определяется номер медианы

По накопленной частоте определяем интервал, в котором достигается значение 15,5. В нашем случае это тоже интервал от 793 до 878 млн.руб., т.к. в нём достигается накопленная частота, соответствующая номеру медианы. Далее для определения медианы используется формула

где Х_Ме - нижняя граница медианного интервала,

n - число наблюдений,

S_(-1) - накопленная частота интервала, предшествующая медианному,

f_Me - частота медианного интервала.

Подставляя значение, находим: млн. руб.

Вывод

В среднем стоимость активов рассматриваемых банков составила 810 млн.руб. за квартал. Большинство банков имели стоимость активов за квартал, близкую к 861 млн.руб., при этом у 50% банков стоимость активов за квартал была меньше 835,5 млн.руб., а у других 50% - больше 835,5 млн.руб.

Таблица 4. Вспомогательные расчеты для вычисления показателей вариации

Среднее значение стоимости активов банков за квартал (Xi), млн.руб.	Середина интервала, x'	Число банков в группе, f
от 538 до 623	580,5	4	-229,50	918	52670,25	210681
от 623 до 708	665,5	5	-144,50	722,5	20880,25	104401
от 708 до 793	750,5	3	-59,50	178,5	3540,25	10621
от 793 до 878	835,5	7	25,50	178,5	650,25	4551,8
от 878 до 963	920,5	6	110,50	663	12210,25	73262
от 963 до 1048	1005,5	5	195,50	977,5	38220,25	191101
Итого		30		3638		594618

Размах вариации:

R = Xmax - X min = 1045 - 538 = 507 млн. руб.

Среднее линейное отклонение

млн. руб.

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

млн. руб.

Коэффициент осцилляции:

Относительное линейное отклонение (линейный коэффициент вариации):

Коэффициент вариации:

%

Относительный показатель квартильной вариации:

,

где Q - квартильное отклонение.

Для расчёта квартильного отклонения необходимо рассчитать первую и вторую квартили. Для этого необходимо определить интервалы, в которых они находятся.

Первой квартили соответствует накопленная частота, равная номеру первой квартили

В нашем случае такая накопленная частота достигается в интервале от 623 до 708 млн.руб. Третьей квартили соответствует накопленная частота, равная номеру третьей квартили

В нашем случае такая накопленная частота достигается в интервале от 878 до 963 млн.руб. Значения квартилей определяются по следующим формулам:

млн. руб.,

млн. руб.

Тогда квартильное отклонение:

млн. руб.

а относительный показатель квартильной вариации:

Вывод

Минимальное значение стоимости активов за квартал среди рассматриваемых банков 538 млн.руб., а максимальное 1045 млн.руб., при этом разница между максимальным и минимальным значением составляет 507 млн.руб. В среднем значения стоимости активов за квартал рассматриваемых банков отклоняются от среднего по всей совокупности значения на 121,27 млн.руб., что в составляет 14,97% от значения средней. Среднее квадратическое отклонение составило 140,79 млн.руб., дисперсия равна 19820,58. Коэффициент вариации, равный 17,38% (<33%) свидетельствует о том, что совокупность банков по стоимости активов за квартал однородна, при этом у 25% банков стоимость активов за квартал была меньше 686,75 млн.руб., и у 25% - больше 938,21 млн.руб. Стоимость активов за квартал остальных 50% банков больше 686,75, но меньше 938,21 млн. руб.

Задание 3.

Осуществить проверку первичной информации по факторному признаку на однородность. Исключить резко выделяющиеся банки из массы первичной информации.

Для проверки первичной информации на однородность распределения используется правило «трёх сигм», состоящее в том, что 99,7% всех значений должно находиться в интервале , где - среднее значение, а - среднее квадратическое отклонение.

где n = 30 - число наблюдений.

Выделяющимися считаются те значения, которые не попадают в данный интервал. Для определения однородности следует использовать коэффициент вариации:

Если значение данного показателя не превысит 33%, то совокупность можно считать однородной.

Для рассматриваемой совокупности значений стоимости активов банков за квартал среднее значение составляет

млн. руб.

Среднее квадратическое отклонение

млн. руб.

Тогда интервал будет следующим:

Минимальное значение равно 538, а максимальное 1045 млн.руб. Таким образом, нет выделяющихся значений.

Коэффициент вариации:

% < 33%,

следовательно, совокупность можно признать однородной.

Задание 4.

Предполагая, что данные по 30 банками представляют собой 20% простую собственно случайную выборку, с вероятностью 0,954 определить доверительный интервал, в котором будет находиться средняя величина факторного признака и доля банков с наибольшими значениями факторного признака (Х) для генеральной совокупности.

Среднее значение стоимости активов по выборке:

млн. руб.

Дисперсия, определенная по выборочным данным

.

Средняя ошибка

Предельная ошибка

где t = 2 (табличное значение для p = 0,954 по таблице функций Лапласа).

Доверительный интервал для средней величины стоимости активов за квартал в генеральной совокупности:

Вывод

С вероятностью 95,4% можно утверждать, что среднее значение стоимости активов за квартал в генеральной совокупности банков будет лежать в интервале от 754,28 до 849,86 млн. руб.

Долю банков с наибольшими значениями признаков определим с помощью моды. Рассчитанное ранее значение моды составило 861 млн.руб. Число банков, у которых среднеквартальная стоимость активов больше значения моды составило 11, что составляет 11/30=0,37, т.е. выборочная доля = 0,37.

Средняя ошибка

Предельная ошибка

где t = 2 (табличное значение для p = 0,954 по таблице функций Лапласа).

Доверительный интервал для генеральной доли:

Вывод

С вероятностью 95,4% можно утверждать, что доля банков с наибольшими значениями среднеквартальной стоимости активов в генеральной совокупности будет лежать в интервале от 0,209 до 0,524, т.е. от 20,9% до 52,4%.

Задание 5.

Проанализировать взаимосвязь между результативным и факторным признаками в следующей последовательности:

а) с помощью групповой таблицы и эмпирической линии регрессии установить факт наличия корреляционной связи и её направление;

Одним из возможных приёмов обнаружения связи является построение групповой таблицы. Все наблюдения разбиваются на группы в зависимости от величины признака-фактора, и по каждой группе вычисляются средние значения результативного признака. Группировка данных проведена в задании 2 данной работы, рассчитаем по ней средние значения результативного признака для каждой из групп.

Таблица 5. Групповая таблица

Среднее значение стоимости активов банков за квартал (Xi), млн.руб.	Середина интервала x'	Число банков в группе f	Средняя прибыль банков за квартал (Yi), млн. руб.
от 538 до 623	580,5	4	6,13
от 623 до 708	665,5	5	5,42
от 708 до 793	750,5	3	13,23
от 793 до 878	835,5	7	16,44
от 878 до 963	920,5	6	19,87
от 963 до 1048	1005,5	5	24,48

Анализируя полученные данные, можно заметить, что при увеличении среднего значения стоимости активов банков за квартал существует тенденция к росту прибыли банков за квартал, т.е. при росте признака-фактора наблюдается рост результативного признака (за исключением второй группы), что свидетельствует о наличии прямой связи между изучаемыми показателями.

Для предварительного выявления наличия связи и раскрытия её характера, а в известной мере и для выбора формы связи применяют также графический метод. Используя в качестве абсцисс середины интервалов стоимости активов, а в качестве ординат - средние значения прибыли банков, соответствующие данным интервалам, можно построить эмпирическую линию регрессии.

Рис.2. Эмпирическая линия регрессии

График линии связи подтверждает предположение о наличии прямой связи между стоимостью активов и прибылью банков, т.к. при увеличении среднего значения признака-фактора существует тенденция к увеличению среднего значения результативного признака. График линии регрессии близок к прямой, поэтому можно также предположить линейный характер связи между рассматриваемыми показателями.

б) проверить правило сложения дисперсий и сформулировать вывод о степени влияния факторного признака на величину результативного;

Общая дисперсия результативного признака может быть разложена на две составляющие. Первая составляющая - межгрупповая дисперсия, характеризует ту часть колеблемости результативного признака, которая складывается под влиянием изменения признака-фактора, положенного в основу группировки:

.

Вторая составляющая - средняя из внутригрупповых дисперсий - оценивает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена действием других, «случайных» причин:

,

где - дисперсия результативного признака в соответствующей группе;

- внутригрупповая дисперсия.

Правило сложения дисперсий заключается в том, что общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий, т.е.

Таблица 6. Расчётная таблица

Среднее значение стоимости активов банков за квартал (Xi), млн.руб.	Число банков в группе,	Средняя прибыль банков за квартал (Yi), млн. руб.,	Внутри-групповая дисперсия прибыли банков за квартал,
от 538 до 623	4	6,13	3,77	24,5	310,35	15,09
от 623 до 708	5	5,42	0,53	27,1	452,52	2,67
от 708 до 793	3	13,23	1,56	39,7	8,67	4,69
от 793 до 878	7	16,44	4,09	115,1	15,95	28,66
от 878 до 963	6	19,87	0,90	119,2	146,03	5,39
от 963 до 1048	5	24,48	29,90	122,4	455,69	149,51
Сумма				448	1389,21	206,00
Среднее				14,93	46,31	6,87

Межгрупповая дисперсия

Средняя из внутригрупповых

Общая .

Рассчитанная с помощью функции ДИСПР в приложении Microsoft Excel дисперсия исходных данных составляет 53,174 53,17. Доля, которую составляет вариация под действием фактора, положенного в основу группировки в общей вариации признака, выражается отношением , т.е. на 87% вариация квартальной прибыли банков зависит от вариации среднеквартальной стоимости активов банков. Величина корреляционного отношения, близкая к единице, свидетельствует о том, что связь между изучаемыми признаками тесная.

в) измерить степень тесноты связи с помощью эмпирического корреляционного отношения и линейного коэффициента корреляции;

Для характеристики степени тесноты связи часто применяют линейный коэффициент корреляции (r), который можно вычислить по формуле:

Рассчитаем линейный коэффициент корреляции (таблица 7):

Знак «+» перед значением линейного коэффициента корреляции указывает на прямое направление связи между факторным и результативным признаком, сама величина коэффициента близка к 1, поэтому можно сказать, что связь между признаками существенная.

Таблица 7. Расчёт линейного коэффициента корреляции

Номера банков	Среднее значение стоимости активов банков за квартал (Xi), млн.руб.	Прибыль банков за квартал (Yi), млн. руб.	XY	Х2	Y2
1	982	35,1	34468,2	964324	1232
2	971	22,6	21944,6	942841	510,76
3	965	20,1	19396,5	931225	404,01
4	1045	20,8	21736	1092025	432,64
5	1004	23,8	23895,2	1008016	566,44
6	958	19,3	18489,4	917764	372,49
7	932	21,3	19851,6	868624	453,69
8	931	18,4	17130,4	866761	338,56
9	928	20,2	18745,6	861184	408,04
10	924	19,4	17925,6	853776	376,36
11	921	20,6	18972,6	848241	424,36
17	804	16,5	13266	646416	272,25
18	821	17,2	14121,2	674041	295,84
19	801	18	14418	641601	324
20	801	19,4	15539,4	641601	376,36
21	800	15,3	12240	640000	234,09
22	785	14,4	11304	616225	207,36
23	794	12,5	9925	630436	156,25
24	795	16,2	12879	632025	262,44
25	770	11,5	8855	592900	132,25
26	778	13,8	10736,4	605284	190,44
36	677	5,7	3858,9	458329	32,49
37	673	5,2	3499,6	452929	27,04
38	649	4,7	3050,3	421201	22,09
39	631	6,7	4227,7	398161	44,89
40	627	4,8	3009,6	393129	23,04
41	609	8,9	5420,1	370881	79,21
42	605	6,7	4053,5	366025	44,89
46	543	3,6	1954,8	294849	12,96
47	538	5,3	2851,4	289444	28,09
Сумма	24062	448	387765,6	19920258	8285,3
Квадрат суммы	578979844	200704

Коэффициент корреляции достаточно точно оценивает степень тесноты связи в случае наличия линейной зависимости между признаками. В качестве показателя степени тесноты связи так же можно использовать эмпирическое отношение з, предложенное Пирсоном.

Расчёт корреляционного отношения основан на использовании теоремы сложения дисперсий.

Доля, которую составляет вариация под действием фактора Х в общей вариации результативного признака y, выражается отношением

Извлекая корень из полученного отношения, найдём эмпирическое корреляционное отношение:

.

Эмпирическое корреляционное отношение изменяется от 0 до 1, значение, близкое к 1, указывает на существенную связь между среднеквартальной стоимостью активов банка и прибылью, полученной этим банком за квартал.

г) рассчитать параметры уравнения регрессии (парная зависимость). Дать оценку результатов исследования взаимосвязи в целом.

Зависимость между изучаемыми явлениями может отразить линейная зависимость

.

Система нормальных уравнений позволяет оценить коэффициенты полиномов различных степеней. При этом для нахождения коэффициентов при линейной зависимости система нормальных уравнений примет вид:

Используя найденные в таблице 7 значения, решаем систему уравнений:

<=>

Таким образом, уравнение парной линейной регрессии выглядит следующим образом:

Рис.3. Графическое представление построенной модели

Выводы

Наблюдается достаточно тесная прямая связь между прибылью банков за квартал и среднеквартальной стоимостью активов: чем выше среднеквартальная стоимость активов банка, тем больше прибыль банка, полученная за этот квартал. Вариация прибыли на 87% обусловлена вариацией стоимости активов.

Степень зависимости результативного признака от факторного существенная, т.к. коэффициент линейной корреляции оказался близок к единице и составил 0,904. Зависимость прибыли от стоимости активов можно записать следующим уравнением парной линейно регрессии , т.е. при увеличении среднеквартальной стоимости активов на 1 млн. руб. прибыль за квартал увеличится на 0,046 млн. руб., т.е. на 46 тыс. руб.

Построенная модель, судя по рис.3, достаточно хорошо характеризует связь между рассматриваемыми признаками, т.к. линия регрессии достаточно близко проходит от фактических значений. Таким образом, полученная модель может использоваться для прогнозирования размера прибыли за квартал в зависимости от среднеквартальной стоимости активов.

Задание 6.

Построить график кривой Лоренца, рассчитать индекс Джинни и сделать вывод о концентрации результативного признака (Y).

Для измерения и сравнения уровней неравенства в распределении используется кривая Лоренца и индекс Джини. Индекс Джини рассчитывается как доля, которую площадь между кривой Лоренца и прямой абсолютного равенства составляет от площади треугольника под той же прямой.

Индекс Джини:

Разность произведений делится на 10000, поскольку исходные значения p и q представлены в процентах, а коэффициент Джини изменяется от 0 до 1.

В случае, когда индекс Джини приближается к единице, имеется абсолютно неравномерное распределение при полной концентрации. И наоборот, если индекс Джини стремится к нулю, тогда имеем равномерное распределение и «нулевую» концентрацию.

Вывод

Индекс Джини, равный 0,252 говорит о неравномерности распределения банков по уровню прибыли за квартал.

Рис.4. Кривая Лоренца

Вывод

Кривая Лоренца отклоняется от прямой абсолютного равенства, что свидетельствует о неравномерности распределения банков по размеру квартальной прибыли.

Таблица 8. Таблица для построения кривой Лоренца и расчета индекса Джини

Группа	Число банков в группе	Доля по численности банков, %	Сумма результативного признака в группе	Доля группы в суммарном значении признака, в %	Накопленная частость числа банков (pi), %	Накопленная частость по значению признака (qi),%	pi*qi+1	pi+1*qi
от 538 до 623	4	13,33	24,5	5,47	13,33	5,47	153,57	164,06
от 623 до 708	5	16,67	27,1	6,05	30,00	11,52	611,38	460,71
от 708 до 793	3	10,00	39,7	8,86	40,00	20,38	1842,86	1290,70
от 793 до 878	7	23,33	115,1	25,69	63,33	46,07	4602,98	3839,29
от 878 до 963	6	20,00	119,2	26,61	83,33	72,68	8333,33	7267,86
от 963 до 1048	5	16,67	122,4	27,32	100,00	100,00
Итого	30		448	100,00			15544,12	13022,62

Размещено на Allbest.ru

...