Эконометрические методы исследований

Размещено на http://www.allbest.ru/

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФГБОУ ВПО «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

НАПРАВЛЕНИЕ «ЭКОНОМИКА»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: «ЭКОНОМЕТРИКА»

Выполнила: Димиропуло Анастасия

Ташкент, 2015

Задача 1

Имеется информация по 10 предприятиям о зависимости удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции :

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X	1000	900	950	1020	1100	950	1150	1200	1220	1250
Y	800	720	730	800	845	745	890	940	922	960

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии по методу наименьших квадратов.

2. Проверьте статистическую значимость оценок теоретических коэффициентов при уровне значимости .

3. Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

4. Спрогнозируйте постоянные расходы при объеме выпуска и рассчитайте 95% доверительный интервал для условного математического ожидания .

5. Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных постоянных расходов при объеме выпуска .

6. Оцените на сколько единиц изменится значение постоянных расходов, если объем выпуска вырастет на 100.

7. Рассчитайте коэффициент детерминации .

8. Рассчитайте - статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

Решение

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a

Система нормальных уравнений.

a*n + b?x = ?y

a?x + b?x² = ?y*x

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 10740 b = 8352

10740 a + 11678800 b = 9071090

-10740a -11534760 b = -8970048

10740 a + 11678800 b = 9071090

Получаем:

144040 b = 101042

b = 0.7015

10a + 10740 b = 8352

10a + 10740 * 0.7015 = 8352

10a = 818.04

a = 81.8044

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 0.7015 x + 81.8044

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

x	y	x2	y2	x * y
1000	800	1000000	640000	800000
900	720	810000	518400	648000
950	730	902500	532900	693500
1020	800	1040400	640000	816000
1100	845	1210000	714025	929500
950	745	902500	555025	707750
1150	890	1322500	792100	1023500
1200	940	1440000	883600	1128000
1220	922	1488400	850084	1124840
1250	960	1562500	921600	1200000
10740	8352	11678800	7047734	9071090

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

эконометрика линейный регрессия прогнозирование

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

Коэффициент корреляции

Ковариация.

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < r_xy < 0.3: слабая;

0.3 < r_xy < 0.5: умеренная;

0.5 < r_xy < 0.7: заметная;

0.7 < r_xy < 0.9: высокая;

0.9 < r_xy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X весьма высокая и прямая.

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.7 x + 81.8

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 0.7 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 0.7.

Коэффициент a = 81.8 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 - прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.

Бета - коэффициент

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения S_x приведет к увеличению среднего значения Y на 99.1% среднеквадратичного отклонения S_y.

Коэффициент детерминации.

R²= 0.991² = 0.9825

т.е. в 98.25 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 1.75 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)

x	y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2
1000	800	783.29	1239.04	279.22	5476
900	720	713.14	13271.04	47.04	30276
950	730	748.22	11067.04	331.81	15376
1020	800	797.32	1239.04	7.18	2916
1100	845	853.44	96.04	71.21	676
950	745	748.22	8136.04	10.34	15376
1150	890	888.51	3003.04	2.21	5776
1200	940	923.59	10983.04	269.38	15876
1220	922	937.62	7534.24	243.89	21316
1250	960	958.66	15575.04	1.79	30976
10740	8352	8352	72143.6	1264.08	144040

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S² = 158.01 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

S = 12.57 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

S_a - стандартное отклонение случайной величины a.

S_b - стандартное отклонение случайной величины b.

Доверительные интервалы для зависимой переменной.

Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.

(a + bx_p ± е)

где t_крит (n-m-1;б/2) = (8;0.025) = 2.306

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X_p = 1200

Вычислим ошибку прогноза для уравнения y = bx + a

y(1200) = 0.701*1200 + 81.804 = 923.587

923.587 ± 13.29

(910.3;936.88)

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Вычислим ошибку прогноза для уравнения y = bx + a + е

(891.7;955.48)

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.

(a + bx_i ± е)

где

t_крит (n-m-1;б/2) = (8;0.025) = 2.306

xi	y = 81.8 + 0.7xi	еi	ymin = y - еi	ymax = y + еi
1000	783.29	30.92	752.37	814.21
900	713.14	33.18	679.96	746.32
950	748.22	31.84	716.37	780.06
1020	797.32	30.68	766.64	828
1100	853.44	30.47	822.97	883.91
950	748.22	31.84	716.37	780.06
1150	888.51	30.95	857.56	919.46
1200	923.59	31.89	891.7	955.48
1220	937.62	32.38	905.23	970

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.

1) t-статистика. Критерий Стьюдента.

t_крит (n-m-1;б/2) = (8;0.025) = 2.306

Отметим значения на числовой оси.

Отклонение H0, принятие H1	Принятие H0	Отклонение H0, принятие H1
2.5%	95%	2.5%
	-2.306 2.306	21.18

Поскольку 21.18 > 2.306, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).



Поскольку 2.29 < 2.306, то статистическая значимость коэффициента регрессии a не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в данном случае коэффициентом a можно пренебречь.

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:

(b - t_крит S_b; b + t_крит S_b)

(0.7 - 2.306 * 0.0331; 0.7 + 2.306 * 0.0331)

(0.625;0.778)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

(a - t_крит S_a; a + t_крит S_a)

(81.804 - 2.306 * 35.79; 81.804 + 2.306 * 35.79)

(-0.735;164.343)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента a статистически незначима.

2) F-статистика. Критерий Фишера.



Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=8, F_табл = 5.32

Отметим значения на числовой оси.

Принятие H0	Отклонение H0, принятие H1
95%	5%
5.32	448.58

Поскольку фактическое значение F > F_табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством:

Задача 2

Выберите подходящую нелинейную модель, линеаризуйте ее и оцените параметры, если имеются следующие данные (- объясняющая переменная, - зависимая переменная).

X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y	5	12,3	20,9	30,3	40,5	51,4	62,7	74,6	87,0	99,8

Решение

Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a

Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = b ln(x) + a + е, где e_i - наблюдаемые значения (оценки) ошибок е_i, а и b соответственно оценки параметров б и в регрессионной модели, которые следует найти.

Для оценки параметров б и в - используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений.

a*n + b?x = ?y

a?x + b?x² = ?y*x

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 6.56 b = 484.5

6.56 a + 5.22 b = 403.4

Домножим уравнение (1) системы на (-0.66), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-6.56a -4.33 b = -319.77

6.56 a + 5.22 b = 403.4

Получаем:

0.89 b = 83.63

Откуда b = 93.8252

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

10a + 6.56 b = 484.5

10a + 6.56 * 93.8252 = 484.5

10a = -130.99

a = -13.0971

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 93.8252, a = -13.0971

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 93.8252 ln(x) + 13.0971

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

ln(x)	y	ln(x)2	y2	ln(x) * y
0	5	0	25	0
0.3	12.3	0.0906	151.29	3.7
0.48	20.9	0.23	436.81	9.97
0.6	30.3	0.36	918.09	18.24
0.7	40.5	0.49	1640.25	28.31
0.78	51.4	0.61	2641.96	40
0.85	62.7	0.71	3931.29	52.99
0.9	74.6	0.82	5565.16	67.37
0.95	87	0.91	7569	83.02
1	99.8	1	9960.04	99.8
6.56	484.5	5.22	32838.89	403.4

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

Индекс корреляции.

Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y

Экспоненциальное уравнение регрессии имеет вид y = a e^bx

Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = a e^bx + е, где e_i - наблюдаемые значения (оценки) ошибок е_i, а и b соответственно оценки параметров б и в регрессионной модели, которые следует найти.

После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + bx

Система нормальных уравнений.

a*n + b?x = ?y

a?x + b?x² = ?y*x

10a + 55 b = 15.52

55 a + 385 b = 96.08

-55a -302.5 b = -85.35

55 a + 385 b = 96.08

Получаем:

82.5 b = 10.73

b = 0.1301

10a + 55 b = 15.52

10a + 55 * 0.1301 = 15.52

10a = 8.36

a = 0.8363

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.1301, a = 0.8363

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 10^0.83633088e^0.1301x = 6.86011e^0.1301x

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)



x	ln(y)	x2	ln(y)2	x * ln(y)
1	0.7	1	0.49	0.7
2	1.09	4	1.19	2.18
3	1.32	9	1.74	3.96
4	1.48	16	2.19	5.93
5	1.61	25	2.58	8.04
6	1.71	36	2.93	10.27
7	1.8	49	3.23	12.58
8	1.87	64	3.51	14.98
9	1.94	81	3.76	17.46
10	2	100	4	19.99
55	15.52	385	25.62	96.08

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

Индекс корреляции.

Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y

Степенное уравнение регрессии имеет вид y = a x^b

Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = a x^b + е, где e_i - наблюдаемые значения (оценки) ошибок е_i, а и b соответственно оценки параметров б и в регрессионной модели, которые следует найти.

После линеаризации получим:

ln(y) = ln(a) + b ln(x)

Для оценки параметров б и в - используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений.

a*n + b?x = ?y

a?x + b?x² = ?y*x

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 6.56 b = 15.52

6.56 a + 5.22 b = 11.36

Домножим уравнение (1) системы на (-0.66), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-6.56a -4.33 b = -10.24

6.56 a + 5.22 b = 11.36

Получаем:

0.89 b = 1.12

Откуда b = 1.3

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

10a + 6.56 b = 15.52

10a + 6.56 * 1.3 = 15.52

10a = 6.99

a = 0.699

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 1.3, a = 0.699

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 10^0.69900427x^1.3 = 5.00039x^1.3

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)



ln(x)	ln(y)	ln(x)2	ln(y)2	ln(x) * ln(y)
0	0.7	0	0.49	0
0.3	1.09	0.0906	1.19	0.33
0.48	1.32	0.23	1.74	0.63
0.6	1.48	0.36	2.19	0.89
0.7	1.61	0.49	2.58	1.12
0.78	1.71	0.61	2.93	1.33
0.85	1.8	0.71	3.23	1.52
0.9	1.87	0.82	3.51	1.69
0.95	1.94	0.91	3.76	1.85
1	2	1	4	2
6.56	15.52	5.22	25.62	11.36

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

Индекс корреляции.

Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y

Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a

Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид вид y = b/x + a + е, где e_i - наблюдаемые значения (оценки) ошибок е_i, а и b соответственно оценки параметров б и в регрессионной модели, которые следует найти.

После линеаризации получим: y=bx + a

Для оценки параметров б и в - используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений.

a*n + b?(1/x) = ?y

a?1/x + b?(1/x²) = ?y/x

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 2.93 b = 484.5

2.93 a + 1.55 b = 80.29

Домножим уравнение (1) системы на (-0.29), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-2.93a -0.85 b = -140.51

2.93 a + 1.55 b = 80.29

Получаем:

0.7 b = -60.22

Откуда b = -89.0634

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

10a + 2.93 b = 484.5

10a + 2.93 * (-89.0634) = 484.5

10a = 745.46

a = 74.5364

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -89.0634, a = 74.5364

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = -89.0634 / x + 74.5364

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)



1/x	y	1/x2	y2	y/x
1	5	1	25	5
0.5	12.3	0.25	151.29	6.15
0.33	20.9	0.11	436.81	6.97
0.25	30.3	0.0625	918.09	7.58
0.2	40.5	0.04	1640.25	8.1
0.17	51.4	0.0278	2641.96	8.57
0.14	62.7	0.0204	3931.29	8.96
0.13	74.6	0.0156	5565.16	9.33
0.11	87	0.0123	7569	9.67
0.1	99.8	0.01	9960.04	9.98
2.93	484.5	1.55	32838.89	80.29

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

Индекс корреляции.

Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y

Показательное уравнение регрессии имеет вид y = a b^x

Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = a b^x + е, где e_i - наблюдаемые значения (оценки) ошибок е_i, а и b соответственно оценки параметров б и в регрессионной модели, которые следует найти.

После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + x ln(b)

Для оценки параметров б и в - используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений.

a*n + b?x = ?y

a?x + b?x² = ?y*x

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 55 b = 15.52

55 a + 385 b = 96.08

Домножим уравнение (1) системы на (-5.5), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-55a -302.5 b = -85.35

55 a + 385 b = 96.08

Получаем:

82.5 b = 10.73

Откуда b = 0.1301

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

10a + 55 b = 15.52

10a + 55 * 0.1301 = 15.52

10a = 8.36

a = 0.8363

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.1301, a = 0.8363

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 10^0.8363*10^0.1301x = 6.86011*1.3492^x

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

x	ln(y)	x2	ln(y)2	x * ln(y)
1	0.7	1	0.49	0.7
2	1.09	4	1.19	2.18
3	1.32	9	1.74	3.96
4	1.48	16	2.19	5.93
5	1.61	25	2.58	8.04
6	1.71	36	2.93	10.27
7	1.8	49	3.23	12.58
8	1.87	64	3.51	14.98
9	1.94	81	3.76	17.46
10	2	100	4	19.99
55	15.52	385	25.62	96.08

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

Индекс корреляции.

Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y

Задача 3

Рассматривается модель .

Получены матрицы

.

Рассчитайте оценки параметров модели.

Ответ.

Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:

где х_ji - значение переменной х_ji в i-ом наблюдении.

Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S.

Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:

t_y = ?в_jt_xj

Для оценки в-коэффциентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:

r_x1y=в₁+r_x1x2*в₂ + ... + r_x1xm*в_m

r_x2y=r_x2x1*в₁ + в₂ + ... + r_x2xm*в_m

r_xmy=r_xmx1*в₁ + r_xmx2*в₂ + ... + в_m

Для наших данных (берем из матрицы парных коэффициентов корреляции):

-0.06 = в₁ -0.002в₂

-0.06 = -0.002в₁ + в₂

Данную систему линейных уравнений решаем методом Гаусса: в₁ = -0.0601; в₂ = -0.0601;

Искомое уравнение в стандартизованном масштабе: t_y=в₁t_x1+в₂t_x2

Расчет в-коэффициентов можно выполнить и по формулам:



Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:

y⁰ = -0.0601x₁ -0.0601x₂

Найденные из данной системы в-коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:

Для нашего примера непосредственное влияние фактора x₁ на результат Y в уравнении регрессии измеряется в_j и составляет -0.0601; косвенное (опосредованное) влияние данного фактора на результат определяется как:

r_x1x2в₂ = -0.002 * -0.0601 = 0.00012

Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и в-коэффициентов.

Коэффициент детерминации

R² = 0.00721

Задача 4

Чему равны коэффициент детерминации - статистика в случае строгой функциональной зависимости от ?

Ответ: Для модели линейной регрессии с одним признаком коэффициент детерминации равен квадрату обычного коэффициента корреляции между у от х. Поскольку , F-статистика для коэффициента R2 (5.8) является в точности квадратом t-статистики для (5.9). Как и следовало ожидать, критическое значение F будет равно квадрату критического значения t-статистики, при любом уровне значимости, и эти два теста всегда дают один и тот же результат, поскольку переменная, имеющая распределение Фишера, при условии, что первое число степеней свободы равно 1, имеет распределение квадрата Стьюдента.

Размещено на Allbest.ru

...