Затраты на перевозку единицы груза

Размещено на http://www.allbest.ru/

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

Задание на работу

Пиловочное сырье, сосредоточенное в трех леспромхозах, необходимо доставить на пять лесозаводов. Запасы груза в пунктах отправления равны соответственно , и единиц. Потребности пунктов назначения составляют соответственно , , , , единиц. При этом суммарный запас груза у поставщиков равен суммарным потребностям: . Затраты на перевозку единицы груза от -го поставщика -му потребителю известны и равны руб. Требуется определить оптимальный план перевозок груза, т.е. найти количество груза, которое необходимо перевезти от каждого поставщика каждому потребителю, чтобы все запасы были бы вывезены из пунктов отправления, были бы удовлетворены потребности пунктов назначения и этот план имел бы минимальные затраты на все перевозки.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие пункты:

1. Исходные данные представить в виде таблицы перевозок.

2. Составить математическую модель транспортной задачи.

3. Определить планы перевозок и суммарные затраты двумя методами:

· «северо-западного» угла,

· минимальной стоимости.

4. Определить оптимальный план перевозок в Excel.

5. Вычислить затраты по оптимальному плану перевозок. Сравнить все планы по критерию суммарных затрат.

Предположим, что запасы груза в пунктах отправления равны соответственно 430, 260 и 190 единиц. Потребности пунктов назначения составляют соответственно 130, 160, 180, 190, 220 единиц. Затраты на перевозку единицы груза (тарифы) содержатся в матрице

.

1.Таблица перевозок

Имеем транспортную задачу с тремя поставщиками и пятью потребителями, исходные данные которой можно представить в виде Таблицы 1

Таблица 1

2. Математическая модель

Определим сначала вид транспортной модели. Для этого вычислим суммарные запасы груза у поставщиков

и суммарные потребности

Так как , то модель является закрытой, и задача обязательно имеет оптимальное решение.

Суммарные транспортные затраты на перевозки груза от поставщиков к потребителям составляют

(1)

Ограничения и показывают, что все запасы должны быть вывезены от поставщиков

(2)

и должны быть удовлетворены потребности пунктов назначения

(3)

Все поставки груза должны быть неотрицательными

, , . (4)

3.1 План перевозок, полученный методом «северо-западного» угла

транспортный перевозка затраты

В среде Excel на листе 1 в блоке ячеек B2 : F4 поместим тарифы на перевозки из Таблицы 1 блок ячеек B7 : F9 предусмотрим для записи плана перевозок. В ячейки H7 : H9 запишем запасы груза у поставщиков, а в ячейки B11 : F11 - потребности пунктов назначения. Суммарные затраты на перевозку будем рассчитывать в ячейке G2, в которую поместим формулу:

= СУММПРОИЗВ(B2 : F4; B7 : F9)

Содержимое этой ячейки сначала равно нулю. Однако, постепенно заполняя ячейки B7 : F9 числами, содержимое ячейки G2 будет меняться. Заполняем блок ячеек B7 : F9. В ячейку B7 («северо-западная» клетка) поставим максимально допустимую перевозку, равную . Тогда перевозки в пункт от других поставщиков должны быть равны нулю. Первый столбец оказался заполненным. Переходим к заполнению следующей «северо-западной» клетки C7, учитывая, что запас поставщика уменьшился на 130 и стал равен 300 ед. В ячейку C7 поставим перевозку, равную . Второй столбец оказался заполненным. Переходим к заполнению следующей «северо-западной» клетки D7, учитывая, что запас поставщика уменьшился ещё на 160 и стал равен 140 ед. В ячейку D7 поставим перевозку, равную . Тогда перевозки из пункта остальным потребителям должны быть равны нулю. Первая строка оказалась заполненной. При этом потребность пункта уменьшилась на величину 140 ед. и стала равной 40 ед. Продолжая этот процесс дальше, получим план перевозок, представленный в Таблице 2

Таблица 2

После заполнения перевозок методом «северо-западного» угла в клетке G2 получим суммарные затраты для этого плана, равные 4200 денежных единиц.

3.2 План перевозок, полученный методом минимальной стоимости

На листе 2 составим план перевозок методом минимальной стоимости. Отличие от предыдущего плана состоит только в заполнении блока ячеек B7 : F9. Поэтому можно скопировать лист 1 на лист 2 и изменить только содержимое указанного блока. Заполнение плана перевозок начнем с ячейки, имеющей минимальную стоимость, а именно, с ячейки В8, в которой тариф (ячейка В3) равен 2. В ячейку D8 поместим максимально допустимую перевозку, равную . Поскольку потребность пункта будет удовлетворена, то перевозки в этот пункт от других поставщиков будут равны нулю. Тем самым оказывается заполненным первый столбец, а запас поставщика уменьшится на 130 и составит 200 - 130 = 130 ед. Из оставшихся незаполненных ячеек выбираем новую ячейку с минимальной стоимостью. Пусть это будет D7, у которой тариф равен 2. В ячейку D7 поместим перевозку, равную ед., и тогда в ячейки D8 и D9 ставим нулевые перевозки. Заполненным оказывается второй столбец, а запас поставщика уменьшится на 180 ед. и составит 430 - 180 = 250 ед.

Продолжая этот процесс дальше, получим план перевозок, представленный в Таблице 3

Таблица 3

После заполнения перевозок методом минимальной стоимости в клетке G2 получим суммарные затраты для этого плана, равные 2720 денежных единиц.

4. Определение оптимального плана перевозок

Планы перевозок груза, полученные ранее и содержащиеся в таблице 2 и 3, образованы без привлечения надлежащего математического аппарата, и потому, вряд ли являются оптимальными. Лучшим, т.е. наиболее близким к оптимальному, из двух рассмотренных планов является в данном случае план, полученный методом минимальной стоимости, так как суммарные затраты по нему наименьшие и составляют 2720 денежных единиц.

Оптимальный план перевозок определим в Excel с помощью процедуры «Поиск решения». Скопируем один из предыдущих листов на другой лист и дополним его двумя графами. В блок ячеек G7 : G9 поместим левые части системы (2). Для этого в ячейку G7 поместим формулу:

= СУММ(B7 : F7)

Которую протянем на ячейки G8 и G9. В блок ячеек B10 : F10 поместим левые части системы (3). Для этого в ячейку B10 поместим формулу:

= СУММ(B7 : B9)

Которую протянем на блок ячеек C10 : F10. Чтобы определить оптимальный план перевозок, следует обратиться к процедуре «Поиск решения»

Согласно сделанному выше замечанию, последнее уравнение системы (3) опущено. Кроме того, если будет получено не целочисленное решение, то можно ввести дополнительное ограничение на целочисленность. Результаты оптимизации представлены Таблице 4

Таблица 4

В ячейке G2 находятся минимальные суммарные затраты для оптимального плана перевозок, составляющие 2360 денежных единиц.

Вывод

Используя Excel мы можем определить оптимальный план перевозок груза, т.е. найти количество груза, которое необходимо перевезти от каждого поставщика каждому потребителю, чтобы все запасы были бы вывезены из пунктов отправления, были бы удовлетворены потребности пунктов назначения и этот план имел бы минимальные затраты на все перевозки. Определить оптимальный план перевозок груза можно несколькими методами мы взяли два из них, а именно метод «северо-западного» угла и метод минимальной стоимости, а также определили оптимальный план перевозок груза с помощью процедуры «Поиск решения».

Сравним все планы по критерию суммарных затрат.

После заполнения перевозок методом «северо-западного» угла получили суммарные затраты для этого плана, равные 4200 денежных единиц.

После заполнения перевозок методом минимальной стоимости получили суммарные затраты для этого плана, равные 2720 денежных единиц.

Лучшим, т.е. наиболее близким к оптимальному, из двух рассмотренных планов является в данном случае план, полученный методом минимальной стоимости, так как суммарные затраты по нему наименьшие и составляют 2720 денежных единиц.

При определении оптимального плана перевозок груза с помощью процедуры «Поиск решения» суммарные затраты составили 2360 денежных единиц.

Поэтому в Excel для определения оптимального плана лучше всего использовать очень удобную процедуру «Поиск решения»

Размещено на Allbest.ru