Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное образовательное

бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

Финансово-кредитный факультет

Кафедра экономико-математических методов и аналитических информационных систем

Методы оптимальных решений

Контрольная работа

Вариант 7



Оглавление

• Задание 1. Основы теории игр

1.1 Предмет и задачи теории игр

1.2 Терминология и классификация игр

1.3 Примеры игр

• Задание 2
• Задание 3
• Задание 4
• Задание 5
• Список литературы


Задание 1. Основы теории игр

1.1 Предмет и задачи теории игр

Математическая теория игр берёт своё начало из неоклассической экономики. Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (англ. Theory of Games and Economic Behavior). теория игра стратегия морра

Эта область математики нашла некоторое отражение в общественной культуре. В 1998 году американская писательница и журналистка Сильвия Назар издала книгу о судьбе Джона Нэша, нобелевского лауреата по экономике и учёного в области теории игр; а в 2001 по мотивам книги был снят фильм «Игры разума». Некоторые американские телевизионные шоу, например, «Friend or Foe», «Alias» или «NUMB3RS», периодически ссылаются на теорию в своих эпизодах.

Большой вклад в применения теории игр стала работа Томаса Шеллинга, нобелевского лауреата по экономике 2005 г. «Стратегия конфликта». Т.Шеллинг рассматривает различные «стратегии» поведения участников конфликта. Эти стратегии совпадают с тактиками управления конфликтами и принципами анализа конфликтов в конфликтологии (это психологическая дисциплина) и в управлении конфликтами в организации (теория менеджмента). В психологии и других науках используют слово «игра» в других смыслах, нежели чем в математике. Некоторые психологи и математики скептически относятся к использованию этого термина в других смыслах, сложившихся ранее. Культурологическое понятие игры было дано в работе Йохана Хёйзинга «Homo ludens» (статьи по истории культуры), автор говорит об использовании игр в правосудии, культуре, этике, говорит о том, что игра старше самого человека, так как животные тоже играют. Понятие игры встречается в концепции Эрика Бёрна «Игры, в которое играют люди, люди, в которые играют люди». Это сугубо психологические игры, основанные на трансакционном анализе. Понятие игры у Й.Хёзинга отличаться от интерпретации игры в теории конфликтов и математической теории игр. Игры также используются для обучения в бизнес-кейсах, семинарах Г. П. Щедровицкого, основоположника организационно-деятельностного подхода. Во время Перестройки в СССР Г. П. Щедровицкий провел множество игр с советскими управленцами. По психологическому накалу ОДИ (организационно-деятельностные игры) были так сильны, что служили мощным катализатором изменений в СССР. Сейчас в России сложилось целое движение ОДИ. Критики отмечают искусственную уникальность ОДИ. Основой ОДИ стал Московский методологический кружок (ММК).Математическая теория игр сейчас бурно развивается, рассматриваются динамические игры. Однако, математический аппарат теории игр -- затратен. Его применяют для оправданных задач: политика, экономика монополий и распределения рыночной власти и т. п. Например, с помощью теории игр делегация США моделировала поведение участников торговых переговоров с СССР, а потом с Россией. Результатом этих переговоров стали договоры крайне выгодные американцам и невыгодные России. Великолепный пример с играми мы видели в 2007--2008 годы в Украине при формировании и развале в Верховной Раде Украине коалиций. Пока ещё культурологические и бизнес-игры не интерпретируются с помощью математической теории игр по многим причинам, одна из которых -- это дело будущего.

Нобелевскими лауреатами по экономике за достижения в области теории игр стали: Роберт Ауманн, Райнхард Зелтен, Джон Нэш, Джон Харсаньи, Томас Шеллинг.

Игра - это идеализированная математическая модель коллективного поведения нескольких лиц (игроков), интересы которых различны, что и порождает конфликт. Конфликт не обязательно предполагает наличие антагонистических противоречий сторон, но всегда связан с определенного рода разногласиями. Конфликтная ситуация будет антагонистической, если увеличение выигрыша одной из сторон на некоторую величину приводит к уменьшению выигрыша другой стороны на такую же величину и наоборот. Антагонизм интересов порождает конфликт, а совпадение интересов сводит игру к координации действий (кооперации).

Примерами конфликтной ситуации являются ситуации, складывающиеся во взаимоотношениях покупателя и продавца; в условиях конкуренции различных фирм; в ходе боевых действий и др. Примерами игр являются и обычные игры: шахматы, шашки, карточные, салонные и др. (отсюда и название “теория игр” и ее терминология).

В большинстве игр, возникающих из анализа финансово-экономических, управленческих ситуаций, интересы игроков (сторон) не являются строго антагонистическими ни абсолютно совпадающими. Покупатель и продавец согласны, что в их общих интересах договориться о купле-продаже, однако они энергично торгуются при выборе конкретной цены в пределах взаимной выгодности.

Теория игр - это математическая теория конфликтных ситуаций.

Цель теории игр - выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта (определение оптимальных стратегий поведения игроков).

От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным правилам. Эти правила устанавливают последовательность ходов, объем информации каждой стороны о поведении другой и результат игры в зависимости от сложившейся ситуации. Правилами устанавливаются также конец игры, когда некоторая последовательность ходов уже сделана, и больше ходов делать не разрешается.

Теория игр, как и всякая математическая модель, имеет свои ограничения. Одним из них является предположение о полной (“идеальной”) разумности противников. В реальном конфликте зачастую оптимальная стратегия состоит в том, чтобы угадать, в чем противник “глуп” и воспользоваться этой глупостью в свою пользу .

Еще одним недостатком теории игр является то, что каждому из игроков должны быть известны все возможные действия (стратегии) противника, неизвестно лишь то, каким именно из них он воспользуется в данной партии. В реальном конфликте это обычно не так: перечень всех возможных стратегий противника как раз и неизвестен, а наилучшим решением в конфликтной ситуации нередко будет именно выход за пределы известных противнику стратегий, “ошарашивание” его чем-то совершенно новым, непредвиденным .

Теория игр не включает элементов риска, неизбежно сопровождающего разумные решения в реальных конфликтах. Она определяет наиболее осторожное, “перестраховочное” поведение участников конфликта.

Кроме того, в теории игр находятся оптимальные стратегии по одному показателю (критерию). В практических ситуациях часто приходится принимать во внимание не один, а несколько числовых критериев. Стратегия, оптимальная по одному показателю, может быть неоптимальной по другим.

Сознавая эти ограничения и потому, не придерживаясь слепо рекомендаций, даваемых теорий игр, можно все же выработать вполне приемлемую стратегию для многих реальных конфликтных ситуаций.

В настоящее время ведутся научные исследования, направленные на расширение областей применения теории игр.

1.2 Терминология и классификация игр

В теории игр предполагается, что игра состоит из ходов, выполняемых игроками одновременно или последовательно.

Ходы бывают личными и случайными. Ход называется личным, если игрок сознательно выбирает его из совокупности возможных вариантов действий и осуществляет его (например, любой ход в шахматной игре). Ход называется случайным, если его выбор производится не игроком, а каким-либо механизмом случайного выбора (например, по результатам бросания монеты).

Совокупность ходов, предпринятых игроками от начала до окончания игры, называется партией.

Одним из основных понятий теории игр является понятие стратегии. Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры. В простых (одноходовых) играх, когда в каждой партии игрок может сделать лишь по одному ходу, понятие стратегии и возможного варианта действий совпадают. В этом случае совокупность стратегий игрока охватывает все возможные его действия, а любое возможное для игрока i действие является его стратегией. В сложных (многоходовых играх) понятие «варианта возможных действий» и «стратегии» может отличаться друг от друга.

Стратегия игрока называется оптимальной, если она обеспечивает данному игроку при многократном повторении игры максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный средний проигрыш, независимо от того, какие стратегии применяет противник. Могут быть использованы и другие критерии оптимальности.

Возможно, что стратегия, обеспечивающая максимальный выигрыш, не обладает другим важным представлением оптимальности, как устойчивостью (равновесностью) решения. Решение игры является устойчивым (равновесным), если соответствующие этому решению стратегии образуют ситуацию, которую ни один из игроков не заинтересован изменить.

Повторим, что задача теории игр - нахождение оптимальных стратегий.

Классификация игр представлена на рис. 1.

1. В зависимости от видов ходов игры подразделяются на стратегические и азартные. Азартные игры состоят только из случайных ходов - ими теория игр не занимается. Если наряду со случайными ходами есть личные ходы, или все ходы личные, то такие игры называются стратегическими.

2. В зависимости от числа участников игры подразделяются на парные и множественные. В парной игре число участников равно двум, в множественной - более двух.

3. Участники множественной игры могут образовывать коалиции, как постоянные, так и временные. По характеру взаимоотношений игроков игры делятся на бескоалиционные, коалиционные и кооперативные.

Бескоалиционными называются игры, в которых игроки не имеют право вступать в соглашения, образовывать коалиции, и целью каждого игрока является получение по возможности наибольшего индивидуального выигрыша.

Игры, в которых действия игроков направлены на максимизацию выигрышей коллективов (коалиций) без последующего их разделения между игроками, называются коалиционными.



Рис.1. Классификация игр

Исходом кооперативной игры является дележ выигрыша коалиции, который возникает не как следствие тех или иных действий игроков, а как результат их наперед определенных соглашений.

В соответствии с этим в кооперативных играх сравниваются по предпочтительности не ситуации, как это имеет место в бескоалиционных играх, а дележи; и сравнение это не ограничивается рассмотрением индивидуальных выигрышей, а носит более сложный характер.

4. По количеству стратегий каждого игрока игры подразделяются на конечные (число стратегий каждого игрока конечно) и бесконечные (множество стратегий каждого игрока бесконечно).

5. По количеству информации, имеющейся у игроков относительно прошлых ходов, игры подразделяются на игры с полной информацией (имеется вся информация о предыдущих ходах) и неполной информацией. Примерами игр с полной информацией могут быть шахматы, шашки и т.п.

6. По виду описания игры подразделяются на позиционные игры (или игры в развернутой форме) и игры в нормальной форме. Позиционные игры задаются в виде дерева игры. Но любая позиционная игра может быть сведена к нормальной форме, в которой каждый из игроков делает только по одному независимому ходу. В позиционных играх ходы делаются в дискретные моменты времени. Существуют дифференциальные игры, в которых ходы делаются непрерывно. Эти игры изучают задачи преследования управляемого объекта другим управляемым объектом с учетом динамики их поведения, которая описывается дифференциальными уравнениями.

Существуют также рефлексивные игры, которые рассматривают ситуации с учетом мысленного воспроизведения возможного образа действий и поведения противника.

7. Если любая возможная партия некоторой игры имеет нулевую сумму выигрышей f_i, всех N игроков (), то говорят об игре с нулевой суммой. В противном случае игры называются играми с ненулевой суммой.

Очевидно, что парная игра с нулевой суммой является антагонистической, так как выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, а следовательно цели этих игроков прямо противоположны.

Конечная парная игра с нулевой суммой называется матричной игрой. Такая игра описывается платежной матрицей, в которой задаются выигрыши первого игрока. Номер строки матрицы соответвует номеру применяемой стратегии первого игрока, столбец - номеру применяемой стратегии второго игрока; на пересечении строки и столбца находится соответствующий выигрыш первого игрока (проигрыш второго игрока).

Конечная парная игра с ненулевой суммой называется биматричной игрой. Такая игра описывается двумя платежными матрицами, каждая для соответствующего игрока.

1.3 Примеры игр

Игра 1. Зачет

Пусть игрок 1 - студент, готовящийся к зачету, а игрок 2 - преподаватель, принимающий зачет. Будем считать, что у студента две стратегии: А₁- хорошо подготовиться к зачету; А₂ - не подготовиться. У преподавателя имеется тоже две стратегии: В₁ - поставить зачет; В₂ - не поставить зачет. В основу оценки значений выигрышей игроков можно положить, например, следующие соображения, отраженные в матрицах выигрышей

	В1	В2			В1	В2
А1	+ (5) (оценили по заслугам)	- (-6) (обидно)		А1	+ (0) (все нормально)	- (-3) (проявил несправедли вость)
А2	(1) (удалось словчить)	(0) (получил по заслугам)		А2	-2 (дал себя обмануть)	- 1 (студент придет еще раз)
Выигрыши студента	Выигрыши преподавателя

Данная игра в соответствии с приведенной выше классификацией является стратегической, парной, бескоалиционной, конечной, описана в нормальной форме, с ненулевой суммой. Более кратко данную игру можно назвать биматричной.

Задача состоит в определении оптимальных стратегий для студента и для преподавателя.

Игра 2. Морра

Игрой “морра” называется игра любого числа лиц, в которой все игроки одновременно показывают (“выбрасывают”) некоторое число пальцев. Каждой ситуации приписываются выигрыши, которые игроки в условиях этой ситуации получают из “банка”. Например, каждый игрок выигрывает показанное им число пальцев, если все остальные игроки показали другое число; он ничего не выигрывает во все остальных случаях. В соответствии с приведенной классификацией данная игра является стратегической; в общем случае, множественной (в этом случае игра может быть бескоалиционной, коалиционной, и кооперативной) конечной.

В частном случае, когда игра парная - это будет матричная игра (матричная игра всегда является антагонистической).

Пусть два игрока «выбрасывают» одновременно один, два или три пальца. При четной сумме выигрывает первый игрок, при нечетной - второй. Выигрыш равен сумме «выброшенных пальцев». Таким образом, в данном случае каждый из игроков имеет по три стратегии, а матрица выигрышей первого игрока (проигрышей второго) имеет вид:

	В1	В2	В3
А1	2	-3	4
А2	-3	4	-5
А3	4	-5	6

где А_i - стратегия первого игрока, заключающаяся в «выбрасывании» i пальцев;

В_j - стратегия второго игрока, заключающаяся в «выбрасывании» j пальцев.

Игра 3. Борьба за рынки

Некая фирма А, имея в своем распоряжении 5 условных денежных единиц, пытается удержать два равноценных рынка сбыта. Ее конкурент (фирма В), имея сумму равную 4 условным денежным единицам, пытается вытеснить фирму А с одного из рынков. Каждый из конкурентов для защиты и завоевания соответствующего рынка может выделить целое число единиц своих средств. Считается, что если для защиты хотя бы одного из рынков фирма А выделит меньше средств, чем фирма В, то она проигрывает, а во всех остальных случаях - выигрывает. Пусть выигрыш фирмы А равен 1, а проигрыш равен (-1), тогда игра сводится к матричной игре, для которой матрица выигрышей фирмы А (проигрышей фирмы В) имеет вид:

	В0	В1	В2	В3	В4
А0	1	-1	-1	-1	-1
А1	1	1	-1	-1	-1
А2	-1	1	1	-1	-1
А3	-1	-1	1	1	-1
А4	-1	-1	-1	1	1
А5	-1	-1	-1	-1	1



Здесь А_i - стратегия фирмы А, заключающаяся в выделении i условных денежных единиц на защиту первого рынка; В_j - стратегия фирмы В, заключающаяся в выделении j условных денежных единиц на завоевание первого рынка.

Если бы на защиту или завоевание рынков фирмы могли выделить любое количество средств из имеющихся, то игра стала бы бесконечной.



Задание 2

Решите графическим методом типовую задачу оптимизации. Осуществите проверку правильности решения с помощью средств MS Excel (надстройка Поиск решения).

Завод - производитель высокоточных элементов выпускает два различных вида деталей - Х и Y. Фонд рабочего времени составляет 4000 чел.-ч в неделю. Для производства одной детали Х требуется 1 чел.-ч, детали Y - 2 чел.-ч. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей Х и 1750 деталей Y в неделю. Для производства одной детали Х требуется2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а производства одной детали Y - 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла - 10 000 кг в неделю. Еженедельно завод поставляет 600 деталей Х своему постоянному заказчику. В соответствии с профсоюзным соглашением общее число деталей, производимых в течение одной недели, должно составлять не менее 1500 штук.

Определите, сколько деталей каждого вида следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства детали Х составляет 30 ден. ед./шт., а детали Y -40 ден. ед./шт.

Постройте экономико-математическую модель задачи, дайте необходимые комментарии к ее элементам и получите решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

Целевая функция:

max z = 30 • x + 40 • у

Необходимо максимизировать общий доход завода.

Ограничения:

х + 2• у ? 4000 Фонд рабочего времени в неделю ограничен 4000 часами

х ? 2250

у ? 1750Ограничение по производственной мощности завода (может производить максимум 2250 ед. деталей Х и 1750 деталей У в неделю)

2 • х + 5 • у ? 10 000Уровень запасов стержней ограничен 10 000 ед.

5 • х + 2 • у ? 10 000Уровень запасов листов ограничен10 000 ед.

х ? 600Ограничение по количеству деталей Х (необходимо минимум 600 ед. в неделю)

x + y ? 1500Ограничение по количеству деталей, производимых на заводе (необходимо минимум 1500 ед. в неделю)

x; у ? 0Количество потребляемых кормов не может быть отрицательным

Решим задачу графически.

Рисунок 1. Графическое решение задачи

Область решения задачи ограничена кривыми ограничений целевой функции и представлена на графике штриховкой.

Направление роста целевой функции показывает градиент этой функции.

Исходя из графика, максимальное значение функции z будет при пересечении графиков х + 2у = 4000 и 5х + 2у = 10000. Решив систему уравнений получим х = 1500 у = 1250

Таким образом, максимально возможная прибыль составляет

z = 30 • 1500 + 40 • 1250 = 95000 ден.ед.

Минимальная выручка будет в точке х = 1500 у = 0 и составит

z_min = 30 • 1500 = 45000 ден.ед

Проверка правильности решения с помощью средств MS Excel

1. Введение исходных данных.

2. Введем зависимость для целевой функции.

3. Введем зависимости для ограничений.

4444

44

4. Запустим команду поиск решения.

5. Найдем решение.



Поскольку результаты графического и автоматизированного расчетов совпадают, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: Доход от реализации продукции будет максимальным, т.е. 95000 ден. ед., если производить 1500 деталей в неделю типа Х и 1250 деталей в неделю типа Y, если решать задачу на минимум то минимальная выручка будет 45000 ден. ед., так как целевая функция ограничена снизу.



Задание 3

Рассчитайте параметры моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий.

Годовая потребность автозавода в аккумуляторах «АКБ Подольск 6 СТ44А» составляет 18 тыс. шт. Затраты на размещение заказа - 220 руб. Доставка заказа осуществляется в течение семи дней. Годовые издержки на хранение запасов - 20 руб. на одно изделие. Предприятие работает 365 дней в году.

Определите:

а) оптимальный объем заказа;

б) период поставок;

в) точку заказа;

г) затраты на управление запасами за год.

Решение.

1. Введем входные параметры.



2. Определим оптимальный объем заказа.

3. Определим период поставок.



4. Определим затраты на управление запасами за год.



5.Определим точку заказа.

5. Момент времени подачи заявки на новую поставку найдем по формуле:



Ответ: автозавод должен заказывать по 630 аккумуляторов каждые 12 дней. Заказ на поставку новой партии должен размещаться на 5 день после предшествующей поставки, когда величина наличного запаса составит 342 штуки. При этих условиях суммарные годовые затраты будут минимальными и составят 12586 руб.



Задание 4

В бухгалтерии организации в определенные дни непосредственно с сотрудниками работают два бухгалтера. Если сотрудник заходит в бухгалтерию для оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и пр.) в тот момент, когда оба бухгалтера заняты обслуживанием ранее обратившихся коллег, то он уходит из бухгалтерии, не ожидая обслуживания. Статистический анализ показал, что среднее число сотрудников, обращающихся в бухгалтерию в течение часа, равно, а среднее время, которое затрачивает бухгалтер на оформление документа, - Тср мин (значения и Тср по вариантам приведены в таблице).

№ варианта, задачи	Параметр	Параметр Тср=1/м
4.7	10	10

Оцените основные характеристики работы данной бухгалтерии как СМО с отказами (указание руководства не допускать непроизводительных потерь рабочего времени!). Определите, сколько бухгалтеров должно работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%.

Решение.

1. Рассчитаем вероятность отказа в обслуживании по формуле:



2. Относительная пропускная способность В, т.е. вероятность того, что заявка будет обслужена:

3. Абсолютная пропускная способность А:

4. Среднее число занятых каналов:

5. Введем входные и расчетные параметры.



6. Составим таблицу.



7. Расчитаем относительную (В) и абсолютную (А) пропускную способность, среднее число занятых каналов М (n=2).

Видно, что СМО в значительной мере перегружена: из двух бухгалтеров занято в среднем около 1, а из обращающихся в бухгалтерию рабочих около 20% остаются необслуженными.

Из графика видно, что что минимальное число каналов обслуживания, при котором вероятность обслуживания работника будет выше 85%, равно n=4.

Ответ: 4 бухгалтера.



Задание 5

Статистический анализ показал, что случайная величина Х (длительность обслуживания клиента в парикмахерской) следует показательному закону распределения с параметром µ, а число клиентов, поступающих в единицу времени (случайная величина Y), - закону Пуассона с параметром л .

Значения параметров л и µ по вариантам приведены в таблице.

№ варианта, задачи	Параметр	Параметр м
5.7	2,2	0,9

Организуйте датчики псевдослучайных чисел для целей статистического моделирования (использования метода Монте - Карло).

Получите средствами MS Excel 15 реализаций случайной величины Х и 15 реализаций случайной величины Y.

Решение

Имитационный эксперимент проведем с использованием MS Excel (рис.1).

Рис. 1. 15 реализаций случайных величин Х и Y.

1. Вводим значения параметров данных законов распределения

µ==0,9 и л=2,2 в ячейки В1 и В5.

2. Получим 15 реализаций случайной величины Х (длительность обслуживания клиента в парикмахерской, мин.). Для этого:

В ячейку В3 вводим формулу:

=60*(-1/B1)*LN(СЛЧИС())

Копируем эту формулу в ячейки С3:Р3.

3. Получим 15 реализаций случайной величины Y (время между приходом в парикмахерскую двух клиентов, мин.). Для этого:

В ячейку В7 вводим формулу:

=60*(-1/B5)*LN(СЛЧИС()).

Копируем эту формулу в ячейки С7:Р7.



4. Введем учет времени прихода в парикмахерскую клиентов (мин.). Для этого:

В ячейку В9 вводим формулу: = В7 (время прихода первого клиента).

В ячейку С9 вводим формулу: =В9+С7 (время прихода второго клиента).

Копируем последнюю формулу в ячейки D9:Р9 (время прихода следующих клиентов).

5. Для контроля генерации псевдослучайных чисел вводим:

- в ячейку Q1 формулу: =60/B1;

- в ячейку Q3 формулу: =СРЗНАЧ(B3:P3);

- в ячейку Q5 формулу: =60/B5;

- в ячейку Q7 формулу: =СРЗНАЧ(B7:P7).

Примечание: при организации датчиков псевдослучайных чисел использованы следующие факты:

1) Функция СЛЧИС возвращает равномерно распределенное случайное число Р_i из промежутка от 0 до 1.

2) Формула х_i = - (1/µ) * _i возвращает случайное число с показательным законом распределения с параметром µ.

3) Если поток клиентов (требований) является простейшим потоком с параметром л , то случайная величина - длительность интервала между очередными поступлениями требований (клиентов) - имеет показательный закон распределения с параметром л.



Список литературы

1. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебник для бакалавров. -3-е изд., перераб. и доп. - М.: Юрайт, 2012.

2. Гармаш А.Н., Орлова И.В. Математические методы в управлении: учебное пособие. - М.: Вузовский учебник, 2012.

3. Вентцель Е.С. Исследование операций. - М.: Наука, 1980. - 206 с.

4. Воробьев Н.Н, Теория игр для экономистов-кибернетиков. - М.: Наука, 1985. - 272 с.

Размещено на Allbest.ru

...