Математическое моделирование производства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ситуация 1

математический модель симплексный

Построить математическую модель задачи оптимизации производства.

Фабрика выпускает 3 вида тканей, причём суточное плановое задание составляет не менее 90 м тканей 1-го вида, 70 м - 2, 60 м - 3. Суточные ресурсы следующие: 780 единиц производственного оборудования, 850 единиц сырья и 790 единиц электроэнергии, расход которых на 1м представлен в таблице. Цена за 1м равна 80 у.е. - 1 вид, 70 - 2й, 60 - 3й. Определить сколько метров ткани каждого вида следует выпускать, чтобы общая стоимость выпускаемой продукции была максимальной.

Ресурсы	1	2	3
Оборудование	2	3	4
Сырьё	1	4	5
Электроэнергия	3	4	2

Обозначим за - количество метров первого вида ткани, - количество метров второго вида ткани, - количество метров третьего вида ткани. Далее составим математическую модель задачи, указав все условия согласно условия к задаче.

Учитывая минимальный объём производства преобразуем условие задачи.



Смысл данного преобразования заключается в том, чтобы уменьшить заданные ресурсы, на тот обязательный объём, который необходимо произвести и исключить данные ограничения. В дальнейшем при рассмотрении итогового решения данное условие будет добавлено в целевую функцию.

Далее решим задачу симплекс-методом.

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 80x₁ + 70x₂ + 60x₃ при следующих условиях-ограничений.

2x₁ + 3x₂ + 4x₃?150

x₁ + 4x₂ + 5x₃?180

3x₁ + 4x₂ + 2x₃?120

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₄. В 2-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₅. В 3-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₆.

2x₁ + 3x₂ + 4x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 150

1x₁ + 4x₂ + 5x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ = 180

3x₁ + 4x₂ + 2x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ = 120

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Базисные переменные -- это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x₄, x₅, x₆.

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,0,150,180,120)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	150	2	3	4	1	0	0
x5	180	1	4	5	0	1	0
x6	120	3	4	2	0	0	1
F(X0)	0	-80	-70	-60	0	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1 и из них выберем наименьшее: min (150 : 2, 180 : 1, 120 : 3) = 40

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x4	150	2	3	4	1	0	0	75
x5	180	1	4	5	0	1	0	180
x6	120	3	4	2	0	0	1	40
F(X1)	0	-80	-70	-60	0	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₆ в план 1 войдет переменная x₁.

Строка, соответствующая переменной x₁ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₆ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=3.

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₁ плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₁ и столбец x₁.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В) /РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (3), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Расчет каждого элемента

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
150-(120 * 2):3	2-(3 * 2):3	3-(4 * 2):3	4-(2 * 2):3	1-(0 * 2):3	0-(0 * 2):3	0-(1 * 2):3
180-(120 * 1):3	1-(3 * 1):3	4-(4 * 1):3	5-(2 * 1):3	0-(0 * 1):3	1-(0 * 1):3	0-(1 * 1):3
120 : 3	3 : 3	4 : 3	2 : 3	0 : 3	0 : 3	1 : 3
0-(120 * -80):3	-80-(3 * -80):3	-70-(4 * -80):3	-60-(2 * -80):3	0-(0 * -80):3	0-(0 * -80):3	0-(1 * -80):3

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	70	0	1/3	22/3	1	0	-2/3
x5	140	0	22/3	41/3	0	1	-1/3
x1	40	1	11/3	2/3	0	0	1/3
F(X1)	3200	0	362/3	-62/3	0	0	262/3

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₃, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i3 и из них выберем наименьшее: min (70 : 2²/₃, 140 : 4¹/₃, 40 : ²/₃) = 26¹/₄

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (2²/₃) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x4	70	0	1/3	22/3	1	0	-2/3	261/4
x5	140	0	22/3	41/3	0	1	-1/3	324/13
x1	40	1	11/3	2/3	0	0	1/3	60
F(X2)	3200	0	362/3	-62/3	0	0	262/3	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₄ в план 2 войдет переменная x₃.

Строка, соответствующая переменной x₃ в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x₄ плана 1 на разрешающий элемент РЭ=2²/₃

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₃ плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x₃ и столбец x₃.

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Расчет каждого элемента

B	X 1	X 2	X 3	X 4	X 5	X 6
70 : 22/3	0 : 22/3	1/3 : 22/3	22/3 : 22/3	1 : 22/3	0 : 22/3	-2/3 : 22/3
140-(70 * 41/3):22/3	0-(0 * 41/3):22/3	22/3-(1/3 * 41/3):22/3	41/3-(22/3 * 41/3):22/3	0-(1 * 41/3):22/3	1-(0 * 41/3):22/3	-1/3-(-2/3 * 41/3):22/3
40-(70 * 2/3):22/3	1-(0 * 2/3):22/3	11/3-(1/3 * 2/3):22/3	2/3-(22/3 * 2/3):22/3	0-(1 * 2/3):22/3	0-(0 * 2/3):22/3	1/3-(-2/3 * 2/3):22/3
3200-(70 * -62/3):22/3	0-(0 * -62/3):22/3	362/3-(1/3 * -62/3):22/3	-62/3-(22/3 * -62/3):22/3	0-(1 * -62/3):22/3	0-(0 * -62/3):22/3	262/3-(-2/3 * -62/3):22/3

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	261/4	0	1/8	1	3/8	0	-1/4
x5	261/4	0	21/8	0	-15/8	1	3/4
x1	221/2	1	11/4	0	-1/4	0	1/2
F(X2)	3375	0	371/2	0	21/2	0	25

1. Проверка критерия оптимальности.

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	261/4	0	1/8	1	3/8	0	-1/4
x5	261/4	0	21/8	0	-15/8	1	3/4
x1	221/2	1	11/4	0	-1/4	0	1/2
F(X3)	3375	0	371/2	0	21/2	0	25

Оптимальный план можно записать так:

x₃ = 26¹/₄

x₁ = 22¹/₂

F(X)усл. = 60*26¹/₄ + 80*22¹/₂ = 3375

Конечная функция будет иметь вид:

Ответ: 19075

Ситуация 2

Построить математическую модель задачи. Составить задачу, двойственную к исходной.

Предприятие предложен на выбор выпуск 3 новых изделий, за счёт которых можно было бы расширить номенклатуру продукции предприятия при тех же запасах ресурсов. Нормы затрат ресурсов и прибыль от реализации единицы продукции для этих изделий представлены в таблице. Определить из предложенных видов изделия, выгодные для выпуска предприятием.

Ресурсы	Объективно обусловленные оценки ресурсов	Затраты ресурсов на 1 изделие
		А	Б	В
Труд	40	6	4	2
Сырьё	20	2	1	3
Оборудование	20	3	1	2
Прибыль на 1 изделие		80	70	45

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 80x₁ + 70x₂ + 45x₃ при следующих условиях-ограничений.

6x₁ + 4x₂ + 2x₃?40

2x₁ + x₂ + 3x₃?20

3x₁ + x₂ + 2x₃?20

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₄. В 2-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₅. В 3-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₆.

6x₁ + 4x₂ + 2x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 40

2x₁ + 1x₂ + 3x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ = 20

3x₁ + 1x₂ + 2x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ = 20

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Базисные переменные -- это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x₄, x₅, x₆.

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,0,40,20,20)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	40	6	4	2	1	0	0
x5	20	2	1	3	0	1	0
x6	20	3	1	2	0	0	1
F(X0)	0	-80	-70	-45	0	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1 и из них выберем наименьшее: min (40 : 6, 20 : 2, 20 : 3) = 6²/₃

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (6) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x4	40	6	4	2	1	0	0	62/3
x5	20	2	1	3	0	1	0	10
x6	20	3	1	2	0	0	1	62/3
F(X1)	0	-80	-70	-45	0	0	0	0

Поскольку в последнем столбце присутствует несколько минимальных элементов 6²/₃, то номер строки выбираем по правилу Креко.

Метод Креко заключается в следующем. Элементы строк, имеющие одинаковые наименьшие значения min=6²/₃, делятся на предполагаемые разрешающие элементы, а результаты заносятся в дополнительные строки. За ведущую строку выбирается та, в которой раньше встретится наименьшее частное при чтении таблицы слева направо по столбцам.

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₆ в план 1 войдет переменная x₁.

Строка, соответствующая переменной x₁ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₆ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=6.

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₁ плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₁ и столбец x₁.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (6), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Расчет каждого элемента

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
40-(20 * 6):3	6-(3 * 6):3	4-(1 * 6):3	2-(2 * 6):3	1-(0 * 6):3	0-(0 * 6):3	0-(1 * 6):3
20-(20 * 2):3	2-(3 * 2):3	1-(1 * 2):3	3-(2 * 2):3	0-(0 * 2):3	1-(0 * 2):3	0-(1 * 2):3
20 : 3	3 : 3	1 : 3	2 : 3	0 : 3	0 : 3	1 : 3
0-(20 * -80):3	-80-(3 * -80):3	-70-(1 * -80):3	-45-(2 * -80):3	0-(0 * -80):3	0-(0 * -80):3	0-(1 * -80):3

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	0	0	2	-2	1	0	-2
x5	62/3	0	1/3	12/3	0	1	-2/3
x1	62/3	1	1/3	2/3	0	0	1/3
F(X1)	5331/3	0	-431/3	81/3	0	0	262/3

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2 и из них выберем наименьшее: min (0 : 2, 6²/₃ : ¹/₃, 6²/₃ : ¹/₃) = 0

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x4	0	0	2	-2	1	0	-2	0
x5	62/3	0	1/3	12/3	0	1	-2/3	20
x1	62/3	1	1/3	2/3	0	0	1/3	20
F(X2)	5331/3	0	-431/3	81/3	0	0	262/3	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₄ в план 2 войдет переменная x₂.

Строка, соответствующая переменной x₂ в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x₄ плана 1 на разрешающий элемент РЭ=2.

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₂ плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x₂ и столбец x₂.

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Расчет каждого элемента

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
0 : 2	0 : 2	2 : 2	-2 : 2	1 : 2	0 : 2	-2 : 2
62/3-(0 * 1/3):2	0-(0 * 1/3):2	1/3-(2 * 1/3):2	12/3-(-2 * 1/3):2	0-(1 * 1/3):2	1-(0 * 1/3):2	-2/3-(-2 * 1/3):2
62/3-(0 * 1/3):2	1-(0 * 1/3):2	1/3-(2 * 1/3):2	2/3-(-2 * 1/3):2	0-(1 * 1/3):2	0-(0 * 1/3):2	1/3-(-2 * 1/3):2
5331/3-(0 * -431/3):2	0-(0 * -431/3):2	-431/3-(2 * -431/3):2	81/3-(-2 * -431/3):2	0-(1 * -431/3):2	0-(0 * -431/3):2	262/3-(-2 * -431/3):2

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x2	0	0	1	-1	1/2	0	-1
x5	62/3	0	0	2	-1/6	1	-1/3
x1	62/3	1	0	1	-1/6	0	2/3
F(X2)	5331/3	0	0	-35	212/3	0	-162/3

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₃, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i3 и из них выберем наименьшее: min (-, 6²/₃ : 2, 6²/₃ : 1) = 3¹/₃

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x2	0	0	1	-1	1/2	0	-1	-
x5	62/3	0	0	2	-1/6	1	-1/3	31/3
x1	62/3	1	0	1	-1/6	0	2/3	62/3
F(X3)	5331/3	0	0	-35	212/3	0	-162/3	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₅ в план 3 войдет переменная x₃.

Строка, соответствующая переменной x₃ в плане 3, получена в результате деления всех элементов строки x₅ плана 2 на разрешающий элемент РЭ=2.

На месте разрешающего элемента в плане 3 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₃ плана 3 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 3 заполнены строка x₃ и столбец x₃.

Все остальные элементы нового плана 3, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Расчет каждого элемента

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
0-(62/3 * -1):2	0-(0 * -1):2	1-(0 * -1):2	-1-(2 * -1):2	1/2-(-1/6 * -1):2	0-(1 * -1):2	-1-(-1/3 * -1):2
62/3 : 2	0 : 2	0 : 2	2 : 2	-1/6 : 2	1 : 2	-1/3 : 2
62/3-(62/3 * 1):2	1-(0 * 1):2	0-(0 * 1):2	1-(2 * 1):2	-1/6-(-1/6 * 1):2	0-(1 * 1):2	2/3-(-1/3 * 1):2
5331/3-(62/3 * -35):2	0-(0 * -35):2	0-(0 * -35):2	-35-(2 * -35):2	212/3-(-1/6 * -35):2	0-(1 * -35):2	-162/3-(-1/3 * -35):2

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x2	31/3	0	1	0	5/12	1/2	-11/6
x3	31/3	0	0	1	-1/12	1/2	-1/6
x1	31/3	1	0	0	-1/12	-1/2	5/6
F(X3)	650	0	0	0	183/4	171/2	-221/2

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₆, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i6 и из них выберем наименьшее: min (-, -, 3¹/₃ : ⁵/₆) = 4

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (⁵/₆) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x2	31/3	0	1	0	5/12	1/2	-11/6	-
x3	31/3	0	0	1	-1/12	1/2	-1/6	-
x1	31/3	1	0	0	-1/12	-1/2	5/6	4
F(X4)	650	0	0	0	183/4	171/2	-221/2	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₁ в план 4 войдет переменная x₆.

Строка, соответствующая переменной x₆ в плане 4, получена в результате деления всех элементов строки x₁ плана 3 на разрешающий элемент РЭ=⁵/_6.

На месте разрешающего элемента в плане 4 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₆ плана 4 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 4 заполнены строка x₆ и столбец x₆.

Все остальные элементы нового плана 4, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Расчет каждого элемента

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
31/3-(31/3 * -11/6):5/6	0-(1 * -11/6):5/6	1-(0 * -11/6):5/6	0-(0 * -11/6):5/6	5/12-(-1/12 * -11/6):5/6	1/2-(-1/2 * -11/6):5/6	-11/6-(5/6 * -11/6):5/6
31/3-(31/3 * -1/6):5/6	0-(1 * -1/6):5/6	0-(0 * -1/6):5/6	1-(0 * -1/6):5/6	-1/12-(-1/12 * -1/6):5/6	1/2-(-1/2 * -1/6):5/6	-1/6-(5/6 * -1/6):5/6
31/3 : 5/6	1 : 5/6	0 : 5/6	0 : 5/6	-1/12 : 5/6	-1/2 : 5/6	5/6 : 5/6
650-(31/3 * -221/2):5/6	0-(1 * -221/2):5/6	0-(0 * -221/2):5/6	0-(0 * -221/2):5/6	183/4-(-1/12 * -221/2):5/6	171/2-(-1/2 * -221/2):5/6	-221/2-(5/6 * -221/2):5/6

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x2	8	12/5	1	0	3/10	-1/5	0
x3	4	1/5	0	1	-1/10	2/5	0
x6	4	11/5	0	0	-1/10	-3/5	1
F(X4)	740	27	0	0	161/2	4	0

1. Проверка критерия оптимальности.

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x2	8	12/5	1	0	3/10	-1/5	0
x3	4	1/5	0	1	-1/10	2/5	0
x6	4	11/5	0	0	-1/10	-3/5	1
F(X5)	740	27	0	0	161/2	4	0

Оптимальный план можно записать так:

x₂ = 8

x₃ = 4

F(X) = 70*8 + 45*4 = 740

Анализ оптимального плана.

В оптимальный план вошла дополнительная переменная x₆. Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 3-го вида в количестве 4.

Значение 27> 0 в столбце x₁ означает, что использование x₁ - не выгодно.

Значение 0 в столбце x₂ означает, что использование x₂ - выгодно.

Значение 0 в столбце x₃ означает, что использование x₃ - выгодно.

Значение 16¹/₂ в столбце x₄ означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 16¹/₂.

Значение 4 в столбце x₅ означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 4.

Составим двойственную задачу к прямой задаче.

6y₁ + 2y₂ + 3y₃?80

4y₁ + y₂ + y₃?70

2y₁ + 3y₂ + 2y₃?45

40y₁ + 20y₂ + 20y₃ > min

y₁ ? 0

y₂ ? 0

y₃ ? 0

Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.

Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи.

Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A^-1.

Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.

Определив обратную матрицу D = А^-1 через алгебраические дополнения, получим:

Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A^-1 расположена в столбцах дополнительных переменных.

Тогда Y = C*A^-1 =

Оптимальный план двойственной задачи равен:

y₁ = 16¹/₂

y₂ = 4

y₃ = 0

Z(Y) = 40*16¹/₂+20*4+20*0 = 740

Ситуация 3

Решить транспортную задачу с использованием вычислительных средств Excel.

Имеются n пунктов производства и m пунктов распределения продукции. Стоимость перевозки единицы продукции с i-го пункта производства в j-й центр распределения Сij приведена в таблице, где под строкой понимается пункт производства, а под столбцом - пункт распределения. Кроме того, в этой таблице в i-й строке указан объем производства в i- м пункте производства, а в j-м столбце указан спрос в j-м центре распределения. Необходимо составить план перевозок по доставке требуемой продукции в пункты распределения, минимизирующий суммарные транспортные расходы.

	1	2	3	4	Потребность
A	6	3	4	5	20
B	5	2	3	3	70
C	3	4	2	4	50
D	5	6	2	7	30
Объём производства	15	30	80	20

Первоначально перенесём исходные данные в excel. Добавив дополнительный центр распределения, так как задача несбалансированная, объём производства неравен распределению. Фиктивный центр под номером 5.

Далее введём вспомогательную таблицу и пропишем формулы.

Так же введём целевую функцию = СУММ(D22:H25)

И решим задачу через поиск решения, введя все необходимые ограничения

Окончательное решение примет вид.

Ответ: минимальные расходы составляют 340 у.е.

Ситуация 4

Решить задачу о назначениях преподавателей на проведение занятий в соответствии с заданной таблицей.

Преподаватели	Стоимость выполнения
	Виды занятий
	1	2	3	4
1	860	620	200	500
2	510	230	910	860
3	300	800

Подобные документы

• Запись математической модели в форме стандартной задачи линейного программирования

  Построение экономической модели по оптимизации прибыли производства. Разработка математической модели задачи по оптимизации производственного плана и её решение методами линейного программирования. Определение опорного и оптимального плана производства.
  
  дипломная работа [311,3 K], добавлен 17.01.2014
  

• Оптимизация плана производства

  Симплекс метод решения задач линейного программирования. Построение модели и решение задачи определения оптимального плана производства симплексным методом. Построение двойственной задачи. Решение задачи оптимизации в табличном процессоре MS Excel.
  
  курсовая работа [458,6 K], добавлен 10.12.2013
  

• Разработка производственных и управленческих решений

  Пример решения задачи симплексным методом, приведение ее к каноническому виду. Составление экономико-математической модели задачи. Расчеты оптимального объёма производства предприятия при достижении максимальной прибыли. Построение симплексной таблицы.
  
  практическая работа [58,0 K], добавлен 08.01.2011
  

• Математические методы и модели в экономике

  Построение одноиндексной математической модели задачи линейного программирования, ее решение графическим методом. Разработка путей оптимизации сетевой модели по критерию "минимум исполнителей". Решение задачи управления запасами на производстве.
  
  контрольная работа [80,8 K], добавлен 13.12.2010
  

• Решение задачи линейного программирования симплекс-методом

  Цель работы: изучить и научиться применять на практике симплекс - метод для решения прямой и двойственной задачи линейного программирования. Математическая постановка задачи линейного программирования. Общий вид задачи линейного программирования.
  
  реферат [193,4 K], добавлен 28.12.2008
  

• Моделирование работы экономической системы

  Построение модели планирования производства. Использование инструментального средства "Поиск решения" для решения задачи линейного программирования. Решение оптимальной задачи, с использованием методов математического анализа и возможностей MathCad.
  
  лабораторная работа [517,1 K], добавлен 05.02.2014
  

• Методы принятия управленческих решений

  Использование симплексного метода решения задач линейного программирования для расчета суточного объема производства продукции. Проверка плана на оптимальность. Пересчет симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса. Составление модели транспортной задачи.
  
  контрольная работа [613,3 K], добавлен 18.02.2014
  

• Задачи о распределении ресурсов

  Характерные черты задач линейного программирования. Общая постановка задачи планирования производства. Построение математической модели распределения ресурсов фирмы. Анализ чувствительности оптимального решения. Составление отчета по устойчивости.
  
  презентация [1,1 M], добавлен 02.12.2014
  

• Линейное программирование и методы оптимизации

  Решение задачи линейного программирования графическим способом. Построение математической модели задачи с использованием симплекс-таблиц, её экономическая интерпретация. Поиск оптимального плана перевозки изделий, при котором расходы будут наименьшими.
  
  задача [579,8 K], добавлен 11.07.2010
  

• Экономико-математическое моделирование в менеджменте

  Решение графическим методом задачи линейного программирования с двумя неизвестными. Решение транспортной задачи методом северо-западного угла и методом минимальной стоимости. Системы массового обслуживания. Стохастическая модель управления запасами.
  
  контрольная работа [458,1 K], добавлен 16.03.2012
  

• Решение задач линейного программирования

  Решение задачи линейного программирования графическим способом. Определение экстремальной точки. Проверка плана на оптимальность. Правило прямоугольников. Анализ и корректировка результатов решения задач линейного программирования симплексным методом.
  
  контрольная работа [40,0 K], добавлен 04.05.2014
  

• Исследование зависимости между объемом производства, капитальными вложениями и выполнением норм выработки

  Формулирование экономико-математической модели задачи в виде основной задачи линейного программирования. Построение многогранника решений, поиск оптимальной производственной программы путем перебора его вершин. Решение задачи с помощью симплекс-таблиц.
  
  контрольная работа [187,0 K], добавлен 23.05.2010
  

• Разработка экономико-математической модели по оптимизации отраслевой структуры производства

  Решение экономико-математических задач методами линейного программирования. Геометрическая интерпретация и решение данных задач в случае двух переменных. Порядок разработки экономико-математической модели оптимизации отраслевой структуры производства.
  
  курсовая работа [116,4 K], добавлен 23.10.2011
  

• Решение транспортной задачи распределения методом потенциалов

  Формулировка проблемы в практической области. Построение моделей и особенности экономико-математической модели транспортной задачи. Задачи линейного программирования. Анализ постановки задач и обоснования метода решения. Реализация алгоритма программы.
  
  курсовая работа [56,9 K], добавлен 04.05.2011
  

• Решение задач о планировании перевозок

  Разработка экономико-математической модели и решение задачи линейного программирования с использованием математических методов. Транспортная задача в матричной постановке и ее свойства. Построение исходного допустимого плана. Критерий оптимальности.
  
  курсовая работа [111,1 K], добавлен 16.01.2011
  

• Сравнительный анализ методов оптимизации

  Суть математического моделирования процессов и теории оптимизации. Метод дихотомии и золотого сечения. Поиск точки min методом правильного симплекса. Графическое решение задачи линейного программирования, моделирование и оптимизация трёхмерного объекта.
  
  курсовая работа [1,8 M], добавлен 15.01.2010
  

• Экономико-математические методы и прикладные модели

  Построение экономико-математической модели задачи, комментарии к ней и получение решения графическим методом. Использование аппарата теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.
  
  контрольная работа [2,2 M], добавлен 27.03.2008
  

• Примеры использования графического и симплексного методов в решении задач линейного программирования

  Экономико-математическая модель получения максимальной прибыли, её решение графическим методом. Алгоритм решения задачи линейного программирования симплекс-методом. Составление двойственной задачи и её графическое решение. Решение платёжной матрицы.
  
  контрольная работа [367,5 K], добавлен 11.05.2014
  

• Исследование операций

  Составление математической модели, целевой функции, построение системы ограничений и симплекс-таблиц для решения задач линейного программирования. Решение транспортной задачи: определение опорного и оптимального плана, проверка методом потенциалов.
  
  курсовая работа [54,1 K], добавлен 05.03.2010
  

• Применение линейного программирования для решения задач оптимизации

  Транспортная задача линейного программирования, закрытая модель. Создание матрицы перевозок. Вычисление значения целевой функции. Ввод зависимостей из математической модели. Установление параметров задачи. Отчет по результатам транспортной задачи.
  
  контрольная работа [202,1 K], добавлен 17.02.2010
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам