Модифіковане адитивно-усереднене розщеплення, його паралельна реалізація та застосування до задач метеорології

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

УДК 519.62:519.63:004.272

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

МОДИФІКОВАНЕ АДИТИВНО-УСЕРЕДНЕНЕ РОЗЩЕПЛЕННЯ, ЙОГО ПАРАЛЕЛЬНА РЕАЛІЗАЦІЯ ТА ЗАСТОСУВАННЯ ДО ЗАДАЧ МЕТЕОРОЛОГІЇ

Черниш Руслан

Іванович

Київ - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі фізики атмосфери Українського науково-дослідного гідрометеорологічного інституту НАН України та Міністерства України з питань надзвичайних ситуацій та у справах захисту населення від наслідків Чорнобильської катастрофи.

Науковий керівник:доктор фізико-математичних наук, професор

Прусов Віталій Арсенійович, Український науково-дослідний гідрометеорологічний інститут, головний науковий співробітник відділу фізики атмосфери

Офіційні опоненти:академік НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор

Макаров Володимир Леонідович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу обчислювальної математики кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Попов Олександр Володимирович, Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, старший науковий співробітник відділу № 150

Захист відбудеться „ 25 ” лютого 2010 р. о 15 год. 30 хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03680, Україна, м. Київ, просп. академіка Глушкова, 2, корпус 6, факультет кібернетики, ауд. 24.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Україна, м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано „20” січня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35П.М. Зінько

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сучасна наука широко використовує математичне моделювання. Його застосування охоплює нові сфери діяльності людини. Дії, що супроводжують процес математичного моделювання, умовно поділяються на три етапи: „модель - алгоритм - програма”. Особливості реалізація кожного із них визначаються не лише математичною моделлю, а й умовами її використання, специфікою предметної галузі, технічними засобами та програмними інструментами здійснення обчислень тощо.

Математичне моделювання в метеорології є складною науковою задачею. Даній проблематиці присвячені роботи, зокрема, таких учених, як Річардсон, Кібель, Смагоринський, Манабе, Марчук, Белов, Бусінгер, Фараго, Дімов, Димніков, Володін, Толстих та інші. Перший та другий етапи процесу математичного моделювання мають ще не вирішені проблеми. Зокрема, неможливо математично точно описати всі впливи, обміни, взаємодії, явища та процеси, які реально існують в атмосферному та суміжних середовищах; не встановлено чіткої повної фізичної картини внутрішніх та зовнішніх зв'язків та взаємодій різноманітних чинників та факторів впливу на стан атмосфери тощо. Разом із цим ефективність існуючих чисельних методів та здобуті за їхньою допомогою результати у гідродинаміці нев'язкої стисливої рідини вже одержали широке визнання. Застосування ж цих методів до задач моделювання атмосферних процесів і явищ не завжди забезпечує задовільний результат і нині перебуває у стадії становлення. Саме тому, попри бурхливий розвиток обчислювальної техніки, розробка нових і вдосконалення існуючих обчислювальних методів та алгоритмів реалізації задач даної галузі зберігає свою актуальність.

Потреба оперувати із великими об'ємами інформації, складність математичних обчислень та оперативні умови експлуатації моделей вимагають використання високопродуктивної обчислювальної техніки для реалізації задач прогнозу. Паралельні обчислювальні системи, які здатні задовольнити ці вимоги, потребують відповідних методів та алгоритмів для їхнього ефективного програмного втілення. Відтак, на сучасному етапі розвитку науки розробка паралельних алгоритмів реалізації математичних моделей є актуальною для прогностичних метеорологічних задач.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Наукові результати, що наведені у дисертації, отримані в межах проведення досліджень за двома темами: «Комплексне дослідження механізмів утворення та еволюції мезомасштабних осередків сильних опадів та інших небезпечних явищ погоди над рівнинними та гірськими територіями України, а також розробка параметризації процесів підсіткового масштабу (радіаційний теплообмін в атмосфері з урахуванням впливу хмар, моделювання турбулентних пограничних шарів) для чисельних регіональних моделей атмосфери» (замовлення НАНУ для Українського науково-дослідного гідрометеорологічного інституту на 2006-2010 рр.; № ДР 0106U004750) і «Розробка та впровадження нових математичних моделей, чисельних методів і програмних засобів для ефективного розв'язання задачі моделювання і прогнозування метеорологічних процесів та явищ в Україні» (замовлення НАНУ для Інституту програмних систем НАНУ на 2005-2008 рр.; № ДР 0108U007073).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи було вдосконалення чисельних методів та алгоритмів другого етапу процесу математичного моделювання. Для її досягнення було виконано такі задачі:

? модифіковано адитивно-усереднений метод (АУМ) розщеплення задачі;

? поєднано модифікований метод зі спеціальною декомпозицією області;

? проведено теоретичний аналіз модифікованого методу та порівняно із аналогічними методами;

? окреслено коло задач, для яких використання методу є доцільним;

? реалізовано математичну модель циркуляції атмосфери із залученням головних результатів роботи та показано ефективність цієї реалізації.

Об'єкт дослідження. Чисельні алгоритми та методи, що використовуються для розв'язання задач математичної фізики.

Предмет дослідження. Адитивно-усереднений метод розщеплення та метод декомпозиції області визначення задачі.

Методи досліджень:

- теоретичне дослідження модифікованого АУМ (МАУМ) і його узгодження із покоординатними декомпозиціями області методами функціонального, математичного та чисельного аналізів;

- чисельні експерименти із тестовими задачами, що мають аналітичні розв'язки, та математичною моделлю циркуляції атмосфери проведено із метою підтвердження отриманих теоретично залежностей та оцінок;

- порівняння МАУМ із іншими методами розщеплення здійснено для виявлення його особливостей та визначення кола задач, для реалізації яких застосування методу є доцільним.

Наукова новизна одержаних результатів. Науково обгрунтовані результати, що представлені до захисту, є такими:

? вперше одержано множину парето оптимальних значень параметра МАУМ. Оскільки не існує єдиного значення параметра МАУМ, яке б визначало найточніший і найшвидший розв'язок, тому знайдено множину, де слід шукати його оптимальне значення для реалізації конкретної задачі;

? вперше узгоджено просторове та операторне розщеплення задачі. Новизною є узгодження декомпозицій області з оператором задачі. Таке поєднання породжує низку підзадач, що не потребують жодних додаткових умов чи дій на суміжних межах підобластей;

? вперше запропоновано використання МАУМ разом із узгодженою декомпозицією області для розпаралелювання обчислень реалізації математичної моделі. Алгоритм забезпечує розпаралелювання на рівні рівнянь моделі, просторових напрямків та підобластей декомпозицій. Новою є можливість регулювання часу та точності обчислень за допомогою значень параметра МАУМ;

? отримав подальший розвиток АУМ розщеплення завдяки його модифікації. Новизна модифікованого АУМ полягає у тому, що процедура усереднення розв'язків застосовується не на кожному кроці, а через певну кількість кроків (не обов'язково фіксовану). Така модифікація одночасно є і узагальненням методу.

Наукові результати дисертації розширюють множину чисельних методів і алгоритмів, які використовуються на етапі „алгоритм” процесу математичного моделювання.

Практичне значення отриманих результатів дисертаційної роботи полягає у наступному:

? окреслено коло задач, де використання МАУМ є доцільним. Ознаки цих задач такі: необхідність отримання розв'язку в короткі терміни; відсутність високоточних наближених розв'язків (недосконалість моделі чи суттєва похибка у початково-крайових умовах); опис лише якісної поведінки об'єкта; потреба у регулюванні точності розв'язку в процесі обчислень;

? з'явилася можливість регулювання співвідношення між витратами часу та точністю розв'язку;

? відсутність потреби будь-яким чином враховувати крайові умови на суміжних межах підобластей призводить до спрощення алгоритму та зменшення загальних часових витрат на розв'язання задачі;

? високий ступінь розпаралелювання моделі внаслідок поєднання алгоритмічного та геометричного методів забезпечує ефективніше використання ресурсів обчислювальної техніки та значне скорочення загальних часових витрат;

? для досягнення найкращого ефекту розпаралелювання обчислень слід використовувати програмні засоби та обчислювальну техніку, що базуються на концепції спільної пам'яті.

Одержані у дисертації наукові результати увійшли до тем спецкурсу наукового керівника здобувача. Також вони будуть використані у дослідженнях Українського науково-дослідного гідрометеорологічного інституту та Інституту програмних систем НАН України.

Особистий внесок здобувача полягає в:

? модифікації АУМ розщеплення;

? теоретичному дослідженні МАУМ та визначенні парето оптимальної множини значень його параметра та кроку часової дискретизації;

? узгодженні розщеплення за напрямками з відповідними покоординатними декомпозиціями області;

? отриманні кількісних оцінок паралельної реалізації чисельного алгоритму;

? реалізації математичної моделі циркуляції атмосфери на багатопроцесорній ЕОМ, проведенні чисельних експериментів та аналізі їхніх результатів.

У статтях, що опубліковані у співавторстві, здобувач здійснив: побудову МАУМ та його детальне теоретичне дослідження, що містить також і питання вибору оптимального значення параметра; застосування покоординатної декомпозиції області сумісно із МАУМ; отримання кількісних оцінок для паралельної реалізації математичної моделі; проведення чисельних експериментів та аналіз їхніх результатів.

Апробація результатів дисертації. Тези основних положень та окремі результати дисертаційної роботи було використано під час доповідей на: наукових семінарах в Інституті математики НАН України та в Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України; вченій раді та розширеному засіданні відділів Українського науково-дослідного гідрометеорологічного інституту; наукових семінарах на кафедрах моделювання складних систем та обчислювальної математики факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Окрім того, головні тези дисертації висвітлено на таких наукових конференціях: Шоста міжнародна науково-практична конференція з програмування УкрПРОГ'2008 (Україна, Київ, 2008); Fourth International Conference on Numerical Analysis and Applications, NAA'08 (Болгарія, Лозенець, 2008); Конференція молодих вчених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (Україна, Львів, 2009); міжнародна конференція „Моделювання та дослідження стійкості динамічних систем” (Україна, Київ, 2009); Український математичний конгрес (Україна, Київ, 2009).

Публікації. За результатами дисертаційного дослідження опубліковано 10 наукових праць загальним обсягом 3,54 д. а. (3,14 д. а. належать автору особисто). Серед них 5 статей у фахових виданнях затверджених ВАК України (2,73 д. а. із них 2,34 д.а. авторські): 2 одноосібні та 3 у співавторстві. Також є 5 публікацій у збірниках тез та матеріалів наукових конференцій (3 одноосібні).

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається з переліку умовних позначень та скорочень, вступу (8 сторінок), трьох розділів, висновків, трьох додатків (14 сторінок) та списку використаних джерел (143 найменування на 15 сторінках). Повний обсяг дисертаційної роботи становить 150 сторінок; основний текст займає 121 сторінку. Робота містить 5 таблиць та 22 рисунки.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, показано її зв'язок із планами та темами двох наукових установ, сформульовано мету та завдання, вказано основні методи дослідження, висвітлено наукову новизну та практичне значення. Також відмічено особистий внесок здобувача, подано перелік конференцій та семінарів, де було апробовано результати роботи, та висловлено подяку М. М. Москалькову.

Перший розділ присвячено МАУМ розщеплення задачі. Спочатку зроблено огляд методів розщеплення в цілому. Наведено аналіз не лише схем повної, але й схем сумарної апроксимації. Зазначено про сучасну тенденцію розвитку методів розв'язання задач, яка полягає у використанні асинхронних алгоритмів пошуку наближених розв'язків. Серед множини наведених методів виокремлено АУМ завдяки його особливій паралельній структурі. Проте наголошено, що недоліком методу є досить висока інформаційна взаємозалежність між підзадачами, яка призводить до зниження показників ефективності паралельних обчислень. Відтак, запропоновано модифікацію АУМ, яка дозволяє регулювати ступінь цієї взаємозалежності.

Розглядається коректно поставлена задача, що має достатньо гладкий розв'язок

Також припускається, що ці апроксимації забезпечують стійкість обчислень та збіжність наближеного розв'язку не лише для задачі (1) - (3), але й для підзадач () із рівняннями (обов'язкове задоволення умов стійкості відповідних схем)

Побудова модифікації АУМ розщеплення базувалася на порівнянні двох наближених розв'язків. Перший розв'язок було отримано з рівняння (1) після його безпосередньої часової дискретизації та заміни оператора матричними апроксимаціями:

З метою визначення невідомих коефіцієнтів схеми (6) та забезпечення відповідного до АУМ (першого) порядку точності наближеного розв'язку зроблено порівняння та отримано систему рівнянь

Серед множини її розв'язків обрано симетричний із міркувань рівнозначності усіх підзадач системи (6). Таким чином, схема МАУМ набула такого остаточного вигляду:

Особливостями запропонованої схеми (7) - (9) є:

1) параметр регулює ступінь інформаційної взаємозалежності між підзадачами (7) та безпосередньо впливає на частоту застосування усереднення (9) до розв'язків підзадач (7);

2) якщо , то модифікація співпадає із АУМ розщеплення (Д. Г. Гордезіані та Г. В. Меладзе, 1974). З цієї позиції МАУМ також є і узагальненням АУМ;

3) всі підзадачі (7) реалізуються взаємно незалежно (паралельно) протягом кроків та використовують однакові початкові умови (8).

Основними результатами теоретичного дослідження МАУМ є таке: апроксимація задачі (1) - (3) схемою (7) - (9) є сумарною першого порядку; наближений розв'язок збігається до точного із першим порядком за часом. Обмеженість наближеного розв'язка за початковою умовою та правою частиною засвідчується наступним твердженням.

Теорема 1. Для наближеного розв'язку задачі (1) - (3), що отриманий за схемою (7) - (9), має місце оцінка:

Згідно з якісними та кількісними характеристиками, які відповідають особливості 1) схеми, маємо, що зміна значень параметра протилежно впливає на точність наближеного розв'язку та його часову вартість. Характер головної частини цього впливу на точність роз'язку є лінійним, а на часову вартість - гіперболічним (лінійним відносно ). Тому було розглянуто питання пошуку оптимальних значень параметра.

Першим кроком стало визначення діапазону оптимальних значень параметра завдяки розгляду допоміжної нормованої функції, що не залежить від параметра часової дискретизації задачі :

Внаслідок чого встановлено, що значення із діапазону від 1 до 10 є практично доцільними для використання. Саме вони забезпечують зниження часових витрат до 90% від теоретично можливого зменшення (при ) незалежно від значень параметра часової дискретизації.

Другим кроком стало визначення найкращого методу для реалізації задачі. Для цього було розглянуто двокритеріальну задачу вибору

Критеріями вибору слугували загальний час розв'язання задачі та похибка розв'язку. Точці із множини альтернатив відповідає: АУМ при та МАУМ при (див. особливість 2). Варто зазначити, що дана задача мала загальний характер, оскільки значення сталих та не конкретизувалися. Розглянуто два випадки: часовий крок є фіксованим (оптимізація лише за параметром ) та оптимізація за обома параметрами. Для першого випадку знайдено парето оптимальну множину розв'язків у явному вигляді, а також виокремлено із неї єдину альтернативу методами послідовних поступок та ідеальної точки. Результатом розгляду другого випадку стало якісне визначення множини парето оптимальних розв'язків задачі завдяки конструктивній побудові множини ефективних оцінок. Спільним наслідком розгляду обох постановок задачі є те, що їхнім оптимальним розв'язкам відповідають не лише АУМ, але і його модифікація. Ця обставина засвідчує доцільність та важливість запропонованої модифікації АУМ.

Наступні пункти присвячено адаптації МАУМ для реалізації задач метеорології. Окреслено фізичну картину процесів та явищ в атмосферному середовищі з метою показати принципову складність їхнього моделювання. Наголошено, що не лише побудова адекватної фізичної чи математичної моделі є невирішеною проблемою для сучасної науки, а й забезпечення високоякісними фактичними даними спостережень ще потребує свого вдосконалення. Таким чином обґрунтовується, що навіть застосування чисельних методів першого чи другого порядку точності є цілком прийнятним для прикладних задач метеорології, оскільки помилки чисельних розрахунків є меншими за неточності, які містяться у рівняннях та початково-крайових умовах моделі. Запропоновано використовувати розщеплення за просторовими напрямками для МАУМ та обрано метод явного рахунку розв'язання задачі конвективної дифузії, що розроблений останнім часом в УкрНДГМІ, для чисельної реалізації підзадач (7). Цей вибір обумовлено поєднанням в одному методі простоти обчислень та безумовної стійкості. Короткий опис методу явного рахунку наведено у додатку. Здійснено уточнення основних формул та оцінок для випадку поєднання МАУМ із цим методом.

Теорема 2. Для наближеного розв'язку багатовимірної задачі конвективної дифузії зі сталими коефіцієнтами, що отриманий за схемою (7) - (9) із залученням методу явного рахунку для розв'язання підзадач (7), має місце оцінка:

Також для цього поєднання методів наведено структуру матричних операторів та зауважено, що вони є досить розрідженими.

Розділ завершено тестовою задачею, яка має аналітичний розв'язок. Результати чисельних експериментів підтвердили отримані кількісні залежності точності розв'язку та часу обчислень від часового кроку та параметра МАУМ. Також підтверджено перший порядок за часом збіжності розв'язку. У висновку наведено посилання на опубліковані праці за темою розділу.

Другий розділ присвячено паралельній реалізації математичної моделі. Спочатку проведено класифікацію методів розщеплення з позиції можливості застосування до них основних парадигм розпаралелювання обчислень. Вказано сучасні тенденції у розвитку асинхронних методів розв'язання задач.

Розглянуто еволюційну модель, до складу якої входить рівнянь:

Припускається, що існує такий зв'язок: просторовий диференційний оператор для діє лише за -м просторовим напрямком, тобто не містить мішаних похідних чи похідних за іншим напрямком. Наприклад, .

Для отримання характеристичних кількісних показників розпаралелювання обчислень використано PRAM-модель паралельної машини із MIMD-архітектурою. Розглянуто можливість застосування до моделі двох парадигм розпаралелювання: за керуванням (алгоритмічне) та за даними (геометричне).

Першу реалізовано на рівні рівнянь. Завдяки використанню певних скінченно-різнецевих методів можливе незалежне безітераційне розв'язання рівнянь моделі протягом кількох часових кроків. Також алгоритмічний метод досить природньо реалізується на рівні МАУМ. Фактично це є розпаралелювання за просторовими напрямками (див. особливість 3) для кожного рівняння. Реалізація моделі на процесорах має такі параметри:

– коефіцієнт мультипроцесорного прискорення рівний

– ефективність використання процесорів становить

де,, - витрати часу на здійснення обчислень для підзадачі (7) за фіксованих значень та; - витрати часу на усереднення результатів (9).

Другий метод реалізовано шляхом застосування спеціальної декомпозиції розрахункової області. Покоординатною декомпозицією (розбиттям) області вздовж -го просторового напрямку називається декомпозиція, що має такі дві властивості:

а) відрізок довільної прямої, що паралельна вісі та перетинає, цілком належить лише одній із підобластей декомпозиції;

б) можливе існування інших напрямків, що мають властивість а.

Запропоновано узгоджувати декомпозицію області із оператором підзадачі: якщо оператор діє за -м просторовим напрямком, то для цієї підзадачі слід використовувати декомпозицію вздовж -го просторового напрямку. Приклади покоординатних декомпозій наведено на рис. 1 та рис. 2, а узгодження декомпозицій із оператором відображено в табл. 1.

Перевагою такого налаштування декомпозиції на оператор задачі є відсутність будь-якого узгодження розв'язків, що отримані в суміжніх підобластях. Дійсно, за вказаних умов задача, що визначена на підобласті, є повноцінною, оскільки наявної частини крайових умов достатньо для здійснення обчислень. Теоретично досліджено регіональний МАУМ на основі узгодженої декомпозиції області, та отримано наступний результат.

Теорема 3: Нехай для задачі (1) - (3) виконується наступне:

1) кількість компонент адитивного подання в (1) рівна розмірності просторової області;

2) кожна операторна компонента, пов'язана лише зі своїм -м просторовим напрямком.

Тоді наближений розв'язок цієї задачі, що отриманий МАУМ (7) - (9) із використанням узгодженої покоординатної декомпозиції області, оцінюється нерівністю:

де, - суперпозиція усіх покоординатних декомпозицій.

Обидві парадигми розпаралелювання поєднано в так званому трирівневому паралельному алгоритмі, який забезпечує можливість розпаралелювання обчислень за рівняннями, напрямками та підобластями. Цей алгоритм має досить високий ступінь розпаралелювання та регульовані зв'язки між підзадачами, що і є його важливими позитивними рисами. Якщо алгоритм реалізовувати на обчислювачах, то:

– коефіцієнт мультипроцесорного прискорення рівний

– ефективність використання процесорів становитиме

де - кількість підобластей у кожній декомпозиції.

Задля кращого розуміння переваг та недоліків МАУМ проведено його порівняння з такими загальновідомими методами розщеплення, як послідовний, симетричний та зважений. Критеріями порівняння були загальний час реалізації задачі, необхідний об'єм пам'яті, точність розв'язку та можливі рівні розпаралелювання обчислень. Перевагою МАУМ стали малі часові витрати у разі паралельної реалізації; недоліками - значна потреба у ресурсах пам'яті та невисока точність розв'язку. Тому рекомендовано використовувати для практичних потреб саме паралельну версію МАУМ.

Розділ завершено тією ж тестовою задачею, що й попередній. Програма для її реалізації використовувала інтерфейс MPI для здійснення паралельних обчислень. Всі чисельні експерименти проведено на суперкомп'ютері SGI Altix 4700. Для об'єктивного порівняння згаданих методів розщеплення у випадку послідовного алгоритму побудовано графіки залежності часових витрат від точності розв'язку. Також ці залежності наведено і для розпаралеленого за напрямками та підобластями алгоритму МАУМ для кількох значень параметра . Разом із цим для порівняння наведено відповідні показники послідовного методу розщеплення для випадку розпаралелювання обчислень за підобластями. Посилання на наукові праці за темою розділу містяться у висновку.

Третій розділ присвячено застосуванню набутків попередніх двох на прикладі реалізації математичної моделі циркуляції атмосфери. Спочатку наведено огляд сучасних проблем і тенденцій у розвитку моделей чисельного прогнозування стану атмосфери. Також згадано основні фізичні чинники виникнення циркуляційних рухів в атмосфері: періодичність припливу сонячної енергії та нерівномірність у її розподілі та засвоєнні по всій поверхні планети. Наведено перелік основних фізичних законів, що справджуються в атмосфері та є основою для її математичних моделей: рівняння стану; закон збереження імпульсу (рівняння руху); закон збереження маси (рівняння нерозривності); перший закон термодинаміки (рівняння збереження енергії). Серед важливих чинників, що впливають на стан атмосфери, згадується турбулентність та орографія.

Розглянуто спрощену постановку модельної задачі з метою уникнення опису складної фізичної взаємодії процесів і явищ не лише безпосередньо в атмосфері, але й у суміжних середовищах. Тому зроблено такі спрощення: повітря - сухе та нестисливе; впливом орографії та підстильної поверхні знехтувано; розглянуто частину вільної атмосфери; характерним розміром для моделі були сотні - тисячі кілометрів (наприклад, синоптичні вихорі, пасатні та мусонні течії тощо). Просторово задача розглядалася на октановому сферичному шарі. Геометрія області визначалася наявними цифровими даними спостережень за станом атмосфери. До складу моделі увійшло п'ять рівнянь, які записані в сферичній системі координат. Модель відтворювала лише основні термодинамічні процеси в атмосфері:

де - довгота, - широта, - висота над рівнем моря, - вектор швидкості вітру, - густина повітря, - тиск, - абсолютна температура, - кутова швидкість обертання Землі, - радіус Землі, - питома газова стала сухого повітря, , - коефіцієнти горизонтального та вертикального турбулентного обмінів. модифікований математичний циркуляція атмосфера

Освітлено питання перетворення метеоданих із системи координат, де вертикаллю є тиск (-система), у звичайну сферичну систему. Також уточнено вигляд операторів просторово-часової інтерполяції, що використовувалися для визначення початково-крайових умов моделі, залежно від фізичної природи метеорологічної величини та змінної інтерполювання. Всі інтерполяційні оператори обрано лінійними. Задля узгодження кількості рівнянь та невідомих, тиск вважався відомою величиною. Для задання коефіцієнтів турбулентного обміну та використано наближення Прандтля та Смагоринського відповідно.

До моделі застосовано трирівневий паралельний алгоритм із залученням методу явного рахунку для розв'язання одновимірних задач конвективної дифузії. Кожне із трьох еволюційних рівнянь (10) - (12) реалізовано за такою схемою:

- розв'язано підзадачі, які отримано розщепленням за напрямками згідно з (7) із застосуванням відповідної узгодженої декомпозиції області,

- усереднено розв'язки через кожні кроків згідно з

Спрощене рівняння нерозривності (13) інтегрувалося за формулою

де - номер вертикального рівня, - крок вертикальної сітки,

Програмним засобом розпаралелювання моделі слугував OpenMP. Нажаль, не вдалося досягти повного розпаралелювання основної чисельної частини алгоритма. Програмна реалізація мала дві ділянки, фактичне виконання яких було послідовним для кожного еволюційного рівняння. Специфікою цих частин алгоритму була робота зі спільними глобальними масивами даних, доступ до яких є монопольним. Програмний код реалізації наведено у додатку.

Параметрами, що варіювалися у процесі чисельних експериментів, були кількість підобластей у декомпозиціях та -параметр МАУМ. Головним результатом стали побудова та аналіз графіків на рис. 3 та рис. 4.

За графіком на рис. 3 чітко простежується гіперболічна залежність часових витрат від одного параметра при фіксованому другому, що підтверджує теоретичні формули. Як видно, варіацією значень параметра можна суттєво впливати на час реалізації моделі.

Графіки на рис. 4 відображають прискорення обчислень відносно випадку залежно від кількості задіяних потоків. Максимальне значення визначалося максимально можливою кількістю потоків, яка становила 48. Характер залежностей на рис. 4 є майже лінійним для усіх випадків заданого діапазону значень . Також тут простежується вплив на прискорення параметра . Найбільше прискорення досягається у випадку =1, що пояснюється найменшою часовою часткою паралельної ланки у головному обчислювальному циклі серед усіх можливих значень цього параметра.

Безпосередні результати моделювання подано у вигляді полів метеорологічних величин (, , ) та розміщено в додатку. Як і очікувалося, вони лише якісно відображають стан атмосфери, що відтворювався за даними спостережень. Причиною цьому була недостатня адекватність математичної моделі. Зроблено висновки про прийнятність застосування набутків дисертаційної роботи до задач метеорології. Наведено посилання на праці за темою розділу.

ВИСНОВКИ

Дисертацію присвячено вдосконаленню чисельних методів та алгоритмів, які використовуються у процесі математичного моделювання. Проведені дослідження стосувалися адитивно-усередненого та просторового методів розщеплення задачі, а також використання паралельних обчислень для їхньої реалізації. Основні результати дисертації висвітлюються такими пунктами.

1. Модифіковано АУМ розщеплення задачі, що дозволило регулювати параметром ступінь інформаційної взаємозалежності окремих частин алгоритму. Це забезпечує ефективніше застосування паралельних обчислень. Окрім того, наявність параметра-регулятора дозволяє знайти його оптимальне значення для конкретної задачі. Для цього вказано множини його практично доцільних та парето оптимальних значень. Також обгрунтовано доцільність та важливість модифікації методу.

2. Запропоновано узгоджувати декомпозицію області з оператором задачі. Для цього побудовано спеціальну покоординатну декомпозицію розрахункової області. Таке поєднання дозволяє отримати абсолютно незалежні підзадачі, які не потребують жодних узгоджень свого розв'язку із розв'язками, що отримані у суміжних підобластях.

3. Побудовано трирівневий паралельний алгоритм для реалізації математичної моделі. Цей алгоритм поєднав розпаралелювання за керуванням і за даними. Його особливостями є досить високий ступінь розпаралелювання та регульовані інформаційні зв'язки між підзадачами.

4. Вказано, що прийнятною для реалізації є саме паралельна версія МАУМ та окреслено коло задач, де застосування методу є доцільним. До цього кола належать такі задачі: потребують розв'язку у найкоротші терміни; не потребують чи не мають високоточних наближених розв'язків; описують лише якісну поведінку об'єкта; вимагають регулювання точності розв'язку в процесі обчислення.

5. Проілюстровано на тестовий задачах і математичній моделі циркуляції атмосфери застосування МАУМ, узгодженої декомпозиції області та паралельного алгоритму. Результати проведених чисельних експериментів підтвердили теоретичні кількісні та якісні оцінки щодо точності, часових витрат, прискорення обчислень, ролі параметра в алгоритмі тощо.

Таким чином, результати дисертаційної роботи є новими та розширюють набір засобів для реалізації різноманітних математичних моделей із урахуванням сучасних тенденцій у розвитку обчислювальних технологій.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Наукові статті:

1. Прусов В. А. Выбор параметра модифицированного аддитивно-усредненного метода / В. А. Прусов, А. Е. Дорошенко, Р. И. Черныш. // Кибернетика и системный анализ. - 2009. - №4. - С. 98-105. - (Здобувачем виведено формули залежності часу розв'язання задачі та точності розв'язку від параметра модифікованого методу, знайдено оптимальні множини значень параметра).

2. Прусов В. А. Метод численного решения многомерной задачи конвективной диффузии / В. А. Прусов, А. Е. Дорошенко, Р. И. Черныш. // Кибернетика и системный анализ. - 2009. - №1. - С. 100-107. - (Здобувачем побудовано модифікацію адитивно-усередненого методу розщеплення задачі, показано його сумарну апроксимацію та отримано оцінку для наближеного розв'язку).

3. Черниш Р. І. Паралельна реалізація моделі макромасштабної циркуляції атмосфери / Р. І. Черниш. // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка: серія фізико-математичні науки. - 2009. - №2. - С. 155-158.

4. Черниш Р. І. Побудова паралельного алгоритму чисельного розв'язання багатовимірної задачі моделювання навколишнього середовища / Р. І. Черниш, Ю. М. Тирчак, П. А. Іваненко. // Проблеми програмування. - 2009. - №1. - C. 85-91. - (Здобувачем поєднано просторове розщеплення модельної задачі із операторним, побудовано паралельний алгоритм та знайдено кількісні оцінки його ефективності).

5. Черниш Р. І. Покоординатна декомпозиція області для еволюційних задач математичної фізики / Р .І. Черниш. // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка: серія фізико-математичні науки. - 2008. - №4. - С. 191-194.

Тези та матеріали конференцій:

6. Тирчак Ю. М. Паралельна реалізація розщепленої моделі однієї задачі фізики атмосфери / Ю. М. Тирчак, Р. І. Черниш. // Проблеми програмування - 2008. - №2-3. - С. 133 - 138. - (Матеріали 6-ої міжнар. наук.-практ. конф. з програмування УкрПРОГ, 27-29 травн. 2008 р.). - (Здобувачем побудовано математичну модель динаміки атмосфери та здійснено її дискретизацію згідно із модифікованим адитивно-усередненим методом розщеплення).

7. Черниш Р. І. Модифікована адитивно-усереднена схема розщеплення / Р. І. Черниш // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача : науков. конф., 25-27 травн. 2009 р. : тези допов. - Львів, 2009. - 242 с.

8. Черныш Р. И. О согласовании геометрического и операторного расщеплений задачи : (Український математичний конгрес (до 100-річчя від дня народження Миколи М. Боголюбова), 27-29 серп. 2009 р)

9. Черниш Р. І. Реалізація моделі циркуляції атмосфери на багатопроцесорній ЕОМ / Р. І. Черниш // Моделювання динамічних систем та дослідження стійкості : міжнар. науков. конф., 27-29 травн. 2009 р. : тези допов. - К., 2009. - 352 с.

10. Prusov V. Using additive splitting for numerical solving the multidimensional convection-diffusion problem / V. Prusov, A. Doroshenko, R. Chernysh // Fourth International Conference on Numerical Analysis and Applications, June 16-20, 2008 : abstracts. - Rousse, 2008. - 60 p. - (Здобувачем запроповано модифікацію адитивно-усередненого методу розщеплення).

АНОТАЦІЯ

Черниш Р. І. Модифіковане адитивно-усереднене розщеплення, його паралельна реалізація та застосування до задач метеорології. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2010.

Дисертацію присвячено вдосконаленню чисельних методів і алгоритмів, які використовуються у процесі математичного моделювання. Проведені дослідження стосувалися модифікації адитивно-усередненого методу розщеплення, яка забезпечила можливість регулювання інформаційної взаємозалежності підзадач. Наявність параметра-регулятора дозволяє знайти його оптимальне значення для реалізації конкретної задачі та ефективніше застосовувати паралельні обчислення. Завдяки пошуку цих значень визначено оптимальні множини параметра та обгрунтував доцільність та важливість здійсненої модифікації методу. Також у роботі побудовано спеціальну покоординатну декомпозицію області та запропоновано узгоджувати її із оператором підзадачі. Перевагою такого поєднання є уникнення будь-якого узгодження розв'язків, що отримані в суміжних підобластях. Логічним наслідком модифікації та узгодження декомпозиції області з оператором підзадачі стало створення трирівневого паралельного алгоритму для реалізації математичних моделей. Його головними рисами є високий ступінь розпаралелюваності та регульованість зв'язків між асинхронними гілками. Проте застосування цього алгоритму є доцільним лише для окресленого кола задач. Продемонстровано реалізацію математичної моделі циркуляції атмосфери за допомогою паралельного алгоритму.

Ключові слова: модифікований адитивно-усереднений метод, оптимальне значення параметра, покоординатна декомпозиція області, паралельний алгоритм, модель циркуляції атмосфери.

Черныш Р. И. Модифицированное аддитивно-усредненное расщепление, его параллельная реализация и применение к задачам метеорологии. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2010.

Работа посвящена усовершенствованию численных методов и алгоритмов, применяемых в процессе математического моделирования. Предложена модификация аддитивно-усредненного метода расщепления, которая позволяет регулировать степень информационной взаимозависимости между подзадачами и по своей сути является его обобщением. Данная модификация характеризуется наличием параметра, регулирующего частоту применения усреднения к решениям подзадач. Этот параметр влияет как на точность решения, так и на временные затраты на его получение: улучшение значений одного критерия сопровождается их ухудшением для другого. Поэтому рассмотрена задача поиска оптимального значения для пары «параметр метода расщепления - параметр временной дискретизации» в понимании указанных критериев. В результате это найдено множество практически приемлемых значений параметра метода и парето оптимальные множества решений задачи выбора. Также показаны целесообразность и важность предложенной модификации аддитивно-усредненного метода расщепления.

Для повышения эффективности применения параллельных вычислений предложено согласовывать декомпозицию области с оператором подзадачи. С этой целью построена специальная покоординатная декомпозиция расчетной области. Отличительной чертой такого метода от обычных, применяемых при геометрическом расщеплении задачи, является отсутствие какой-либо необходимости в согласовании решений, полученных в смежных подобластях. Данный метод также применим и в случаях произвольной области и произвольных пространственных дифференциальных операторов. Предложен параллельный алгоритм для реализации математических моделей, который основывается на модифицированном методе и согласованной декомпозиции области. Распараллеливание вычислений в нем осуществляется на трех уровнях: уравнения модели, пространственные направления и подобласти декомпозиции. Особенностями алгоритма являются высокая степень распараллеливаемости и регулируемость связей между асинхронными ветвями.

Проведено сравнение модифицированного метода с последовательным, симметричным и взвешенным расщеплениями задачи по основным количественно-качественным показателям алгоритма: общее время решения, объем необходимой памяти, точность решения, возможные уровни распараллеливания. Достоинством предлагаемой модификации стали малые временные затраты в случае параллельной реализации; недостатками - значительная потребность в ресурсах памяти и невысокая точность решения. Согласно приведенным особенностям рекомендовано использование параллельной реализации метода и определен круг задач, для которых его применение целесообразно.

Использование результатов диссертации продемонстрировано на примере математической модели циркуляции атмосферы. С этой целью рассмотрена упрощенная постановка модельной задачи, т. е. сделаны некоторые предположения. В частности, воздух сухой и несжимаемый, влияние орографии ничтожно мало и др. Математическая модель включала в себя три эволюционных и два диагностических уравнения, корректно описывающих только основные термодинамические процессы. Для проведения расчетов по модели использован предложенный трехуровневый параллельный алгоритм, который реализован с помощью OpenMP на суперкомпьютере. Серии численных экспериментов отличались количеством подобластей в декомпозициях и значением параметра модифицированного метода. Вычисленные поля метеорологических величин качественно соответствовали реальному физическому состоянию атмосферы. Полученные результаты также подтвердили теоретические оценки и характер влияния параметров алгоритма на точность решения и его временную стоимость.

Ключевые слова: модифицированный аддитивно-усредненный метод, оптимальное значение параметра, покоординатная декомпозиция области, параллельный алгоритм, модель циркуляции атмосферы.

Chernysh R.I. Modified additive-averaged splitting algorithm, its parallel realization and application to meteorological problems. - Manuscript.

The thesis is for a scientific degree of a candidate of Physics and Mathematics Sciences in the research area 01.05.02 - mathematical modeling and numerical analysis. - Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2010.

The thesis deals with improvement of numerical methods used for mathematical modeling. The conducted scientific researches concern the modification of additive-averaged splitting algorithm. This method provides a possibility to control the informational interdependency of subproblems. The existence of the control parameter makes it possible to find its optimal value for the best realization of particular problem and to apply parallel computations more effectively. This approach helped to determine optimal values sets of this parameter. It also gave proof of expediency and importance of the algorithm modification. The present thesis also constructs a special coordinate-wise domain decomposition and suggests to coordinate it with the subproblem operator. Such combination grants an advantageous possibility to avoid the need adjusting the solutions of adjacent subdomains. As a consistent consequence of this modification the three-level parallel algorithm was constructed. Its distinctive features are high-level parallelism and controllability of asynchronous lines connections. However the described parallel algorithm applies only to a specific range of problems. The present work illustrates this algorithm used for realization of the mathematical model of atmosphere circulation.

Key words: modified additive-averaged splitting algorithm, optimal parameter value, coordinate-wise domain decomposition, parallel algorithm, atmosphere circulation model.

Размещено на Allbest.ru

...