Оптимальні за точністю квадратурні формули обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій в умовах найбільш повного використання апріорної інформації про задачу

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

УДК 517.443; 519.85

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ОПТИМАЛЬНІ ЗА ТОЧНІСТЮ КВАДРАТУРНІ ФОРМУЛИ ОБЧИСЛЕННЯ ІНТЕГРАЛІВ ВІД ШВИДКООСЦИЛЮЮЧИХ ФУНКЦІЙ В УМОВАХ НАЙБІЛЬШ ПОВНОГО ВИКОРИСТАННЯ АПРІОРНОЇ ІНФОРМАЦІЇ ПРО ЗАДАЧУ

Луц Лілія

Володимирівна

Київ - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України Задірака Валерій Костянтинович, Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України,завідувач відділу

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Недашковський Микола Олександрович, Тернопільський національний економічний університет, завідувач кафедри автоматизованих систем і програмування, кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Яковлев Михайло Федорович, Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, старший науковий співробітник відділу методів комп'ютерного моделювання

Захист відбудеться “22” жовтня 2010 р. об 11-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26. 194. 02 в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України за адресою:

03680, МСП, Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України за адресою:

03680, МСП, Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40.

Автореферат розісланий “20” вересня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради ВАГІС О.А.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. На даний час суттєвим є питання створення оптимальних (або близьких до них) алгоритмів розв'язання складних задач, що виникають в багатьох областях досліджень. Ця складність перш за все пов'язана з необхідністю побудови більш точних математичних моделей явищ та процесів, які досліджуються, що, природно, призводить до збільшення обсягів оброблюваної інформації. В зв'язку з цим постійно зростають вимоги до якості чисельних методів, що застосовуються при розв'язанні задач, та їх програмної реалізації.

Все це зумовлює подальший розвиток таких розділів обчислювальної математики як створення оптимальних методів розв'язання типових задач обчислювальної та прикладної математики, а також аналіз точності та ефективності застосованих обчислювальних алгоритмів, дослідження питань порівняльного аналізу обчислювальних алгоритмів.

При розв'язуванні багатьох класів задач обчислювальної та прикладної математики, таких як краєві задачі для рівнянь в частинних похідних, спектральний та кореляційний аналізи випадкових процесів, автоматичне регулювання, вибір характерних ознак для розпізнавання образів, задачі аналізу акустичних сигналів, цифрової голографії, медичної електроніки, кристалографії та ін., виникає необхідність в обчисленні інтегралів вигляду

,

,

де , , , - множини функцій, визначених на відрізку . Інформація про значення функцій та задані не більше ніж в вузлових точках з відрізку , - довільне дійсне число ().

В останні роки для розв'язання багатьох задач цифрової обробки сигналів (ЦОС) тощо інтенсивно застосовується теорія вейвлетів. Тому, зокрема, потрібно вміти ефективно обчислювати інтеграли вигляду

,

де - вейвлет-функція, яка є дійсною функцією від , коливається навколо осі , має нульове значення інтегралу та швидко прямує до нуля на нескінченності.

У зв'язку з цим побудова оптимальних за точністю та близьких до них квадратурних формул обчислення наведених інтегралів в умовах максимального врахування апріорної інформації, комплексний підхід до аналізу їх точності та ефективності є актуальними задачами, які мають широкий спектр застосувань.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках держбюджетних тем Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України «Розробити ефективні за складністю алгоритми наближеного розв'язування задач цифрової обробки сигналів та зображень, задач Коші для систем звичайних диференційних рівнянь, деяких класів нелінійних рівнянь, глобальної мінімізації функцій та захисту інформації» (номер держреєстрації 0103U003259), «Розробити теоретичні основи комп'ютерних технологій розв'язання задач прикладної та обчислювальної математики із заданими значеннями характеристик якості» (номер держреєстрації 0108U001238).

Мета та завдання дослідження. Метою роботи є побудова нових оптимальних за точністю квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій (ШОФ) з деяких класів в умовах найбільш повного використання апріорної інформації про задачу та аналіз якості побудованих та інших відомих квадратурних формул, а також оптимальне інтегрування ШОФ загального вигляду та неперервного вейвлет-перетворення.

Для досягнення поставленої мети розв'язуються наступні завдання:

· побудова оптимальних за точністю та близьких до них квадратурних формул обчислення інтегралів від ШОФ з таких класів: класи обмежених функцій, у тому числі клас функцій, що задовольняють умові Ліпшиця, класи диференційовних функцій;

· знаходження оцінок повної похибки побудованих та інших відомих квадратурних формул обчислення інтегралів від ШОФ із вище зазначених класів функцій;

· побудова оптимальних за порядком точності квадратурних формул обчислення інтегралів від ШОФ функцій загального вигляду у випадку, коли підінтегральні функції задовольняють умові Ліпшиця, отримання відповідних оцінок знизу та зверху похибки методу;

· побудова оптимальних за точністю та оптимальних за порядком точності квадратурних формул обчислення неперервного вейвлет-перетворення функцій із зазначених вище класів функцій та отримання відповідних оцінок знизу та зверху похибки методу побудованих квадратурних формул;

· розроблення комп'ютерної технології обчислення інтегралів від ШОФ з заданими значеннями характеристик якості за точністю та швидкодією;

· тестування якості запропонованих обчислювальних алгоритмів та відповідних оцінок їх основних характеристик.

Об'єкт дослідження - оптимальні квадратурні формули обчислення інтегралів від ШОФ.

Предмет дослідження - наближене обчислення перетворення Фур'є фінітних функцій, інтегралів від швидкоосцилюючих функцій загального вигляду, неперервних вейвлет-перетворень.

Методи дослідження. При виконанні дослідження використовуються методи функціонального аналізу, теорії чисельних методів, загальної теорії оптимальних алгоритмів, теорії наближення функцій, теорії складності. Методика побудови оптимальних за точністю квадратурних формул обчислення інтегралів від ШОФ і

вибір критерія оптимальності ґрунтуються на ідеях, викладених у працях

А.М. Колмогорова, С.М. Нікольського, М.П. Корнійчук., М.С. Бахвалова, В.В. Іва-нова, В.К. Задіраки, Я.М. Жилєйкіна та ін.

Наукова новизна одержаних результатів. Побудові квадратурних формул наближеного обчислення інтегралів від ШОФ присвячені праці Л. Файлона, Л. Коллатца, В.І. Крилова, Н.С. Скоблі, М.В. Ніколаєвої, В.Л. Рвачова, Б. Ейнар-сона та ін.. Основні результати дисертації є новими чи істотно розвивають відомі результати інших дослідників з тематики дисертаційної роботи.

У дисертаційному дослідженні одержані такі основні результати:

побудовані нові оптимальні за точністю та близькі до них (асимптотично оптимальні, оптимальні за порядком) квадратурні формули обчислення інтегралів від ШОФ. Побудова квадратурних формул відбувається в умовах найбільш повного врахування наявної інформації про підінтегральну функцію, що приводить до використання більш вузьких, інтерполяційних класів функцій, які краще описують підінтегральну функцію, підвищують "потенційну спроможність" чисельного методу, та у використанні різних способів представлення апріорної інформації (різних інформаційних операторів);

досліджена ефективність квадратурних формул на основі отримання конструктивних оцінок їх повної похибки. Це дає можливість дати гарантовану оцінку точності наближеного значення інтегралу, оскільки за такого підходу враховуються всі джерела похибок, які впливають на якість розв'язку;

у відповідності з теорією тестування якості алгоритмів-програм здійснено тестування якості розроблених алгоритмів та оцінок їх характеристик (точності, часу розв'язку задачі та потрібної пам'яті комп'ютера);

теоретично обгрунтована технологія обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій із заданими значеннями характеристик якості за точністю та швидкодією.

Практичне значення отриманих результатів полягає у створенні алгоритмічного та програмного забезпечення, яке може широко застосовуватись в різних областях науки і техніки, таких як цифрова обробка сигналів, теорія автоматичного регулювання, математична фізика, прикладна статистика, інформаційна безпека, моделювання оптичних систем і синтезованих голограм, медична електроніка, гідрологія, тощо.

На основі запропонованих в дисертації обчислювальних алгоритмів (о.а.) розроблена бібліотека програм розв'язання виділених класів задач та обчислення їх основних характеристик (точності, часу розв'язання задач, необхідної пам'яті комп'ютера), тестових задач.

Аналіз таблиць тестування оптимальних за точністю та близьких до них квадратурних формул на перелічених вище класах функцій підтверджує теоретичні висновки щодо їх якості і демонструє той факт, що повне використання апріорної інформації про підінтегральну функцію сприяє підвищенню якості розв'язку задачі обчислення інтегралів від ШОФ.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати дисертаційного дослідження, винесені до захисту, одержані автором особисто.

У роботах, опублікованих у співавторстві, внеском автора є: у роботі [1] аналітичний огляд робіт з оптимізації обчислення інтегралів від ШОФ; у роботі [4] доведення теорем, що стосуються знаходження оптимальної оцінки знизу та оцінки зверху квадратурних формул обчислення інтегралів від ШОФ на класі обмежених функцій; у роботі [6] доведення теорем 1, 2, що стосуються побудови оптимальних квадратурних формул на класі функцій, що задовольняють умові Ліпшиця, у випадку сильної осциляції (); у роботі [7] побудова квадратурних формул обчислення неперервного вейвлет-перетворення на класах функцій , отримання оцінок знизу та зверху похибки чисельного інтегрування на зазначених вище класах функцій.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідалися на III міжнародній науково-практичній конференції «Штучний інтелект - 2002» (ШІ - 2002), міжнародному симпозіумі «Питання оптимізації обчислень (ПОО-XXXIІI)» (Крим, смт. Кацивелі, 2007), IX міжнародній науково-технічній конференції «Штучний інтелект. Інтелектуальні системи - 2008» (ШІ - 2008), міжнародному симпозіумі „Питання оптимізації обчислень (ПОО-XXXV)” (Крим, смт. Кацивелі, 2009), неодноразово доповідалися та обговорювалися на семінарах відділу Оптимізації чисельних методів Ін-ту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України (науковий керівник - член-кореспондент НАН України, д. ф.-м. н. В.К. Задірака).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 10 робіт, із них 5 - у фахових виданнях з переліку ВАК України, 2 - у наукових журналах, 3 - у збірниках матеріалів наукових форумів.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків, переліку літературних джерел та додатків. Загальний обсяг роботи складає 172 сторінки, у тому числі 135 сторінок основного тексту, 12 сторінок додатків, перелік використаних джерел містить 96 найменувань і розташований на 10 сторінках.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету й основні задачі дослідження, визначено об'єкт, предмет і методи досліджень, наукову новизну та практичне значення отриманих результатів, особистий внесок автора в роботи, виконані у співавторстві, апробацію результатів дисертації та кількість публікацій за темою дисертації.

У розділі 1 наведений аналітичний огляд робіт за тематикою дисертаційної роботи, основна увага приділяється чисельному інтегруванню ШОФ методом типу Файлона на основі апроксимації підінтегральної функції інтерполяційним многочленом Лагранжа, сплайн-апроксимації, оптимальному інтегруванню ШОФ з деяких класів, оптимальним за порядком квадратурним формулам обчислення інтегралів від ШОФ загального вигляду, деяким напрямкам ЦОС на основі вейвлет-перетворень та вейвлет-апроксимації.

У розділі 2 викладені основні поняття та деякі результати обчислювальної математики, що неодноразово використовуються в дисертації і в той же час мають самостійне значення. Визначені основні характеристики обчислювальних алгоритмів (точність, необхідний на розв'язання задачі час, необхідна пам'ять ЕОМ), викладені постановка задачі оптимізації обчислень, визначення оптималь-них за точністю, асимптотично оптимальних та оптимальних за порядком точності квадратурних формул, визначення та властивості вейвлет-функцій, прямого та оберненого вейвлет-перетворень, розглядаються особливості вейвлет-аналізу функцій, що базується на застосуванні неперервного вейвлет-пере-творення, викладені теоретичні основи та практичні аспекти тестування якості алгоритмів-програм, запропонований покроковий опис технологічної схеми, що забезпечує побудову розв'язку задачі з заданими значеннями характеристик якості за точністю та швидкодією.

Для отримання оптимальних оцінок похибки чисельного інтегрування на класі і обґрунтування оптимальності квадратурних формул застосовується мінімаксний підхід, який полягає у побудові найкращого алгоритму для найгіршої функції класу. Як найгірша функція з класу приймається функція, що реалізує

,

де , - результат наближеного обчислення інтегралу (1), - похибка чисельного інтегрування. Оптимальною за точністю на множині квадратурних формул називається квадратурна формула , на якій досягається оптимальна оцінка :

.

Якщо для квадратурної формули , то називається оптимальною за точністю з точністю до . Якщо , то називається відповідно асимптотично оптимальною або оптимальною за порядком точності.

Для побудови й обґрунтування асимптотично оптимальних та оптимальних за порядком точності квадратурних формул на класах підінтегральних функцій використовується метод "капелюхів". Суть його полягає у побудові на відрізках ( - число напівхвиль функції на відрізку ), "поганої" функції , яка поза відрізком дорівнює нулю, а на відрізку максимально віддалена від нуля. Обчислюючи оцінки інтегралів , , знаходять оцінку знизу похибки чисельного інтегрування.

Підвищення “потенційної спроможності” квадратурних формул може бути здійснене шляхом “звуження” класів підінтегральних функцій. Практично важливим є розгляд випадку, коли і фіксовані (наприклад, випадок, коли функція задана таблицею значень з її області визначення). Такий спосіб представлення вихідної інформації призводить до значного “звуження” відповідного класу на інтерполяційний клас .

У цьому випадку можна ввести за аналогією з (4), (5) наступні характеристики:

,

,

,

і визначити оптимальні за точністю, асимптотично оптимальні й оптимальні за порядком точності квадратурні формули на класі .

Для побудови й обґрунтування оптимальних за точністю і близьких до них квадратурних формул обчислення в класах застосовується метод граничних функцій, який полягає в наступному.

Будуються верхня (мажоранта) і нижня (міноранта) границі області можливих значень інтеграла на функціях класу :

, .

 досягаються на - відповідно мажоранті і міноранті класу .

Таким чином, задача зводиться до побудови функцій , значення яких у вузлах мають збігатися із значеннями . Функції , , необхідно будувати з урахуванням поведінки осцилюючих функцій (,). Далі знаходяться чебишевський центр і чебишевський радіус області невизначеності розв'язку задачі (1):

, ,

які являють собою відповідно оптимальну за точністю квадратурну формулу обчислення і оптимальну оцінку похибки чисельного інтегрування на класі . Квадратурна формула обчислення , для якої

і , ,

буде відповідно асимптотично оптимальною або оптимальною за порядком точності. Для інтерполяційних класів чебишевський радіус співпадає з оптимальною оцінкою.

Як класи розглядаються наступні:

- клас обмежених на функцій, що мають кусково-неперервні перші похідні, обмежені константою ;

- клас визначених на функцій, що задовольняють умові Ліпшиця

;

- клас функцій і заданих фіксованими значеннями у вузлах фіксованої сітки ;

, - клас визначених на функцій , які мають абсолютно неперервну -у похідну, причому задовольняє умові Ліпшиця з константою , тобто ,

;

- клас функцій і заданих фіксованими значеннями функції та її першої похідної у вузлах фіксованої сітки .

Третій розділ присвячений побудові оптимальних за точністю та близьких до них (асимптотично оптимальних та оптимальних за порядком) квадратурних формул обчислення інтегралів від ШОФ вигляду (1) у випадку, коли підінтегральна функція належить деякому класу функцій , інформація про задана у вузлових точках із відрізку своїми значеннями , - довільне дійсне число, .

Пункт 3.1.1 присвячений побудові оптимальних квадратурних формул обчислення інтегралів , в класі у випадку , , при виконанні умови У2:

вузлів на входять в число нулів функції , .

Побудовані мажоранта і міноранта класу (лема 3.1, теорема 3.1).

Теорема 3.1. Нехай , , на відрізках міститься коливань функції і виконується умова У2. Тоді функції

, ,

де ,

є відповідно мажорантою і мінорантою області невизначеності класу .

Доведено (теорема 3.2), що в умовах теореми 3.1 квадратурна формула

,

де

- чебишевський центр області невизначеності на відрізках , є оптимальною квадратурною формулою обчислення в класі при . Отримана оптимальна оцінка (теорема 3.2)

.

Аналогічний результат отриманий для обчислення інтегралу (зауваження 3.1).

У пункті 3.1.2 досліджується повна похибка оптимальної за точністю при та в класі квадратурної формули

,

де

.

Побудовані похибка за рахунок неточності вихідних даних (неусувна похибка) та похибка заокруглення (теорема 3.3).

У пункті 3.2.1 доведена асимптотична оптимальність квадратурних формул

,

для обчислення інтегралу у випадку, коли , , і на елементарних відрізках є коливання функції .

Отримана наступна оцінка зверху (теорема 2.4):

.

Аналогічний результат отриманий для обчислення інтегралу (зауваження 3.4).

У пункті 3.2.2 знайдена оцінка повної похибки квадратурної формули обчислення інтегралу у випадку, коли (теорема. 3.5).

У пункті 3.3.1 побудована оптимальна за порядком за точністю квадратурна формула обчислення інтегралу у класі при , вигляду

,

де - ермітовий кубічний сплайн, , , , та знайдена оцінка її повної похибки (теорема 3.6).

У пункті 3.3.2 розглянуто задачу обчислення інтегралу у випадку, коли , інформаційний оператор (і. о.) заданий фіксованою таблицею своїх значень двома способами:

,

, , , значення , , , задані.

У випадку побудована оптимальна за точністю на класі квадратурна формула обчислення інтегралу (теорема 3.7)

,

де - чебишевський центр області невизначеності класу на елементарному відрізку :

де , ,

,

,

, , , - константа Ліпшиця.

Отримана оптимальна оцінка похибки методу:



.

У випадку для побудови оптимальної квадратурної формули та відповідної оцінки похибки запропоновано використовувати оптимальний за точністю алгоритм обчислення значення похідних за відомими значеннями у вузлах і заданою константою , який ґрунтується на побудові області невизначеності значень похідних класу .

Нехай величини , , , отримані внаслідок застосування даного алгоритму, є максимально і мінімально можливими значеннями похідної у вузлах, тоді , - відповідно оптимальне значення похідної у вузлах та оцінка її похибки.

У цьому випадку отримана наступна оптимальна на класі оцінка наближеного обчислення інтегралу (теорема 3.8):

,

де збігається з , а з'являється внаслідок наближеного обчислення значення похідних у вузлах :

,

причому доведено, що оптимальною за точністю квадратурною формулою обчислення інтегралу є

,

де при , ,

,

, , , ,

, ,

Аналогічний результат справедливий для обчислення інтегралу (зауваження 3.5)

У пункті 3.3.3 знайдена оцінка повної похибки квадратурної формули обчислення інтегралу у випадку, коли (теорема. 3.9).

Розділ 4 присвячений побудові оптимальних за точністю та близьких до них квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих інтегралів загального вигляду.

У підрозділі 4.1 розглядається наближене обчислення інтегралів вигляду (2) у випадку, коли , ( - клас функцій , що задовольняють на додатковій умові ).

Теорема 4.1. Справедлива оцінка

,

де - константа, що залежить тільки від , , , причому оптимальною за порядком точності квадратурною формулою обчислення інтеграла (2) буде квадратурна формула

,



, ,

, , .

У підрозділі 4.2 розглядається наближене обчислення неперервного вейвлет-перетворення вигляду (3) при .

Позначимо .

Теорема 4.2. Нехай , має компактний носій та змінює на ньому знак разів. Тоді для оптимальної оцінки обчислення інтегралу (3) при та будь-якому справедлива наступна оцінка знизу:

,

де ,

- деяка константа, що залежить від .

Доведено (теорема 4.3), що в умовах теореми 4.2 квадратурна формула

,

де при ,

 при та

при та ,

є оптимальною за порядком точності, причому

, де .

Теорема 4.4. Нехай , має компактний носій та змінює на ньому знак разів. Тоді для оптимальної оцінки обчислення інтегралу (3) при та будь-якому справедлива наступна оцінка знизу: квадратурний формула інтеграл швидкоосцилюючий

,

де ,

- деяка константа, що залежить від .

Розглянемо клас . Нехай у вузлових точках задані значення деякої функції та її похідної : , , . Для обчислення вейвлет-перетворення (3) на цьому класі побудована оптимальна за порядком точності квадратурна формула



,

де , ,

причому (теорема 4.5)

,

де .

Теорема 4.6. Нехай , має компактний носій та змінює знак у точках , , а також всі точки , які належать відрізку , збігаються з вузлами . Тоді при та будь-яких квадратурна формула

,

де

є оптимальною за точністю, причому

.

Теорема 4.7. Нехай , має компактний носій та змінює знак у точках , , а також всі точки , які належать відрізку , збігаються з вузлами та виконується умова

.

Тоді при та будь-яких квадратурна формула

,

де

є оптимальною за точністю, причому

.

Розділ 5 дисертаційної роботи присвячений тестуванню якості запропонованих алгоритмів-програм та викладенню технології обчислення інтегралів від ШОФ із заданими значеннями характеристик якості.

У підрозділі 5.1 проведене тестування оптимальних за точністю та близьких до них квадратурних формул обчислення інтегралів (1) в класах функцій , на наборі тестових задач, який у тому числі включає “погані” задачі класів. Отримані таблиці апріорних та апостеріорних оцінок точності розглянутих квадратурних формул.

Аналіз таблиць тестування оптимальних за точністю та близьких до них квадратурних формул на класах функцій , та відповідних програм підтверджує теоретичні висновки щодо їх якості і демонструє той факт, що найбільш повне використання апріорної інформації про підінтегральну функцію сприяє підвищенню якості розв'язку задачі (1).

У підрозділі 5.2 розроблена технологія знаходження оптимальних параметрів о.а.-програм для визначення -розв'язку задачі (1).

Загальна ситуація забезпечення заданої якості розв'язку задачі (1) може бути описана наступним чином.

Потрібно розробити або вибрати серед відомих таку о.а.-програму ( - скінченні множини параметрів), де - множина о.а.-програм, орієнтованих на розв'язання задачі обчислення інтегралів , , яка забезпечує при вибраній архітектурі комп'ютера обчислення , із заданими характеристиками якості:

E(I,X,Y) ,

T(I,X,Y,) T0(),

M(I,X,Y,) M0(),

де , T0, M0 - задані числа. Наближений розв'язок задачі (1), що задовольняє умові (10), називається -розв'язком. О.а.-програма, яка задовольняє умовам (10), (11), називається Т-ефективною

У пункті 5.2.1 досліджено підхід, що дозволяє отримати оцінку - кількості необхідної вихідної інформації для знаходження -розв'язку задачі (1).

Нехай повна похибка

.

При дві інші складові повної похибки обмежуються умовою

.

Відомо, що для о.а.-програми розв'язку задачі обчислення , у випадку, коли і обчислення проводяться в режимі плаваючої коми з розрядами у мантис чисел у двійковому представленні, в загальному вигляді справедливі наступні оцінки:

,

,

де р- порядок точності чисельного методу і залежить від гладкості класу , - кількість двійкових розрядів у мантис чисел.

Представимо ці рівності у вигляді

, , де .

Тоді умова (10) має вигляд

або .

Запишемо її у вигляді

, де .

Отже, для знаходження області параметра , яка б задовольняла умовам (10), (11), необхідно знайти дійсні корені поліному .

У пункті 5.2.2 досліджено підхід, що дозволяє отримати оцінку , яка забезпечує знаходження розв'язку задачі з мінімально можливою похибкою на класі. Для цього достатньо знайти дійсні корені рівняння

, або .

Розглянуто конкретні приклади: знаходження параметра , що забезпечує розв'язання задачі з мінімально можливою похибкою на класах та .

У висновках сформульовані основні результати роботи.

У додатках наведені тексти розроблених програм і результати чисельного експерименту.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі отримані такі основні результати:

1. Побудовані :

– нові оптимальні за точністю та близькі до них квадратурні формули обчислення інтегралів від ШОФ для наступних класів підінтегральних функцій: клас обмежених функцій, клас функцій, що задовольняють умові Ліпшиця, клас диференційовних функцій;

– оцінки повної похибки запропонованих квадратурних формул обчислення інтегралів від ШОФ із зазначених вище класів функцій;

– нова оптимальна за порядком точності квадратурна формула обчислення інтегралів від ШОФ функцій загального вигляду у випадку, коли підінтегральні функції задовольняють умові Ліпшиця, отримані відповідні оцінки похибки (, );

– нові оптимальні за точністю та оптимальні за порядком точності квадратурні формули обчислення неперервного вейвлет-перетворення функцій із класу функцій, що задовольняють умові Ліпшиця, та класу диференційовних функцій. Отримані відповідні оцінки похибок методу побудованих квадратурних формул.

2. Теоретично обгрунтована комп'ютерна технологія обчислення інтегралів від ШОФ із заданими значеннями характеристик якості за точністю та швидко-дією.

3. Проведено тестування якості створених о.а.-програм, аналіз таблиць тестування підтверджує теоретичні висновки щодо їх якості і демонструє той факт, що найбільш повне використання апріорної інформації про підінтегральну функцію сприяє підвищенню якості розв'язку задачі.

У дисертаційній роботі запропонований підхід для розв'язання задач (1)-(3), який забезпечує найбільш повне використання апріорної інформації про класи підінтегральних функцій, що дозволяє значно звузити відповідні класи F на інтерполяційні класи FN та підвищити «потенційну спроможність» побудованих у дисертації квадратурних формул.

Уперше запропонована методика тестування відомих та запропонованих алгоритмів обчислення інтегралів від ШОФ з метою аналізу їх якості, визначення областей їх диференційної поведінки та гарантування заданої якості розв'язку задачі.

Результати дисертації можуть бути використані при розв'язанні багатьох задач обчислювальної та прикладної математики, таких як цифрова обробка сигналів, теорія автоматичного регулювання, математична фізика, прикладна статистика, інформаційна безпека, моделювання оптичних систем і синтезованих голограм, медична електроніка, радіолокація тощо.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Задирака В.К. К вопросу построения оптимальных квадратурных формул решения одной задачи численного интегрирования / В.К. Задирака, Л.В. Луц // Компьютерная математика. - 2001. - С. 81-91.

2. Луц Л.В. Оптимальне інтегрування швидкоосцилюючих функцій загаль-ного вигляду для інтерполяційних класів Ліпшиця / Л.В. Луц // Искусственный интеллект. - 2002. - № 4. - С. 20-27.

3. Луц Л.В. Тестирование качества квадратурных формул вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций класса / Л.В. Луц // Компьютерная математика. - 2007. - №2. - С. 107-116.

4. Задирака В.К. Оптимальные квадратурные и кубатурные формулы вычисления преобразования Фурье финитных функций одного класса (случай сильной осцилляции) / В.К. Задирака, С.С. Мельникова, Л.В. Луц // Кибернетика и системный анализ. - 2007. - № 5. - С. 144-164.

5. Луц Л.В. Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій / Л.В. Луц // Штучний інтелект - 2008. - №.4. - С. 671- 682.

6. Задирака В.К. Оптимальные квадратурные вычисления интегралов от быстроосцилирующих функций в случае сильной осцилляции в интерпо-ляционном классе Липшица / В.К. Задирака, С.С. Мельникова, Л.В. Луц // Кибернетика и системный анализ. - 2010. - № 2. - С. 105-112.

7. Задирака В.К. Оптимальные квадратурные формулы вычисления непрерывных вейвлет-преобразований функций некоторых классов. / В.К. Зади-рака, С.С. Мельникова, Л.В. Луц // Проблемы управления и информатики, - 2010. - № 3. - С. 110-123.

8. Задирака В.К., Мельникова С.С., Луц Л.В. Оптимальные и близкие к ним квадратурные формулы вычисления преобразования Фурье финитных функций одного класса. / В.К. Задирака, С.С. Мельникова, Л.В. Луц // Питання оптимізації обчислень (ПОО - XXXIІI): міжнародний симпозіум, Україна, Крим, Велика

Ялта, смт. Кацивелі, 23 - 28 вересня, 2007: тез. доп. - Київ: Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України. - 2007. - С. 106-107.

9. Задирака В.К., Мельникова С.С., Луц Л.В. Оптимальные квадратурные формулы вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций для интерполяционного класса Липшица в случае сильной осцилляции. / В.К. Зади-рака, С.С. Мельникова, Л.В. Луц // Питання оптимізації обчислень (ПОО-XXXIІI): міжнародний симпозіум, Україна, Крим, Велика Ялта, смт. Кацивелі, 23-28 вересня, 2007: тез. доп. - Київ: Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН Укра-їни. - 2007. - С. 108-109.

10. Задірака В.К. Теорія обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій в умовах найбільш повного використання інформації про підінтегральну функцію. / В.К. Задірака, С.С. Мельникова, Л.В. Луц. // Питання оптимізації обчис лень (ПОО-XXXV): міжнародний симпозіум, Україна, Крим, Велика Ялта, смт. Ка-цивелі, 24-29 вересня, 2009: стаття. - Київ: Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 2009. - С. 247-252.

АНОТАЦІЇ

Луц Л.В. Оптимальні за точністю квадратурні формули обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій в умовах найбільш повного використання апріорної інформації про задачу. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2010.

Дисертація присвячена побудові оптимальних за точністю та близьких до них (оптимальних за порядком, асимптотично оптимальних) квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій для деяких класів підінтегральних функцій, інтегралів від швидкоосцилюючих функцій загального вигляду та неперервного вейвлет-перетворення. Особливістю досліджень є найбільш повне врахування апріорної інформації про підінтегральну функцію шляхом занурення її у більш вузький, інтерполяційний клас функцій FN, який складається з функцій класу F, що інтерполюють задану функцію у вузлах xi. Використання інтерполяційних класів функцій підвищує “потенційну спроможність” квадратурних формул та наближує нас до реальної ситуації, що виникає при розв'язанні конкретної задачі.

Знайдені оцінки повної похибки запропонованих квадратурних формул. Це дає можливість дати гарантовану оцінку якості наближеного значення інтегралу, оскільки за такого підходу враховуються всі джерела похибок, які впливають на якість розв'язку.

Обгрунтована методика тестування обчислювальних алгоритмів - програм з метою аналізу їх якості, визначення областей їх диференційованої поведінки. Здійснено тестування якості розроблених алгоритмів та оцінок їх характеристик (точності, часу розв'язку задачі та потрібної пам'яті комп'ютера).

Розроблена комп'ютерна технологія обчислення інтегралів від швидкоосци-люючих функцій з заданими значеннями характеристик якості за точністю та швидкодією.

Ключові слова: інтеграли від швидкоосцилюючих функцій, неперервне вейвлет-перетворення, оптимальні за точністю квадратурні формули, характе-ристики якості обчислювальних алгоритмів.

Луц Л.В. Оптимальные по точности квадратурные формулы вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций в условиях наиболее полного использования априорной информации о задаче. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2010.

Диссертация посвящена построению оптимальных по точности и близких к ним (оптимальных по порядку, асимптотически оптимальных) квадратурных формул вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций для некоторых классов подынтегральных функций, интегралов от быстроосцил-лирующих функций общего вида и непрерывного вейвлет-преобразования. Особенность исследований заключается в наиболее полном использовании априорной информации о подынтегральной функции путем погружения ее в более узкий, интерполяционный класс функций FN, который состоит из функций класса F, интерполирующих заданную функцию в узлах xi. Использование интерполяционных классов функций повышает “разрешающую способность” квадратурных формул и приближает нас к реальной ситуации, возникающей при решении конкретной задачи.

Построены оптимальная по точности квадратурная формула вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций в интерполяционном классе функций, удовлетворяющих условию Липшица, и асимптотически оптимальная по точности квадратурная формула вычисления интегралов от быстроос-циллирующих функций в классе ограниченных функций в случае сильной осцилляции.

Построены новые оптимальные по порядку точности квадратурные формулы вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций в классе диф-ференцируемых функций. При этом рассмотрены два случая задания исходной информации о подынтегральной функции: когда заданы значения производной в узловых точках, и когда они не заданы.

Получены оценки полной погрешности предложенных квадратурных формул. Это дает возможность дать гарантированную оценку качества приближенного значения интеграла, поскольку при таком подходе учитываются все источники погрешности, влияющие на качество решения.

Построена новая оптимальная по порядку точности квадратурная формула вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций общего вида в случае, когда подынтегральная функция принадлежит интерполяционному классу ограниченных функций, удовлетворяющих условию Липшица.

Впервые построены оптимальные по точности и оптимальные по порядку точности квадратурные формулы вычисления непрерывного вейвлет-преобразования функций из классов функций, удовлетворяющих условию Липшица, и классов дифференцируемых функций.

Предложена методика тестирования вычислительных алгоритмов - программ с целью анализа их качества, определения областей их дифференцированного поведения. Осуществлено тестирование качества разработанных алгоритмов и оценок их характеристик (точности, времени решения задачи и необходимой памяти компьютера).

Разработана компьютерная технология вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций с заданными значениями характеристик качества по точности и быстродействию.

Ключевые слова: интегралы от быстроосциллирующих функций, непрерывное вейвлет-преобразование, оптимальные по точности квадратурные формулы, интерполяционные классы функций, характеристики качества вычислительных алгоритмов.

Luts L.V. Optimal accuracy quadrature formulas for computing integrals of rapidly oscillating functions in the fullest possible use of a priori information about the problem. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree in physical and mathematical sciences, speciality 01.05.02 - mathematical modeling and numerical methods. - V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2010.

This thesis is devoted to constructing optimal accuracy and close to them (the best of order, asymptotically optimal) quadrature formulas for computing integrals of rapidly oscillating functions for certain classes of integrands, integrals of rapidly oscillating functions of general form and the continuous wavelet transform. Feature of research is the most complete use of a priori information about the integrand by immersing it in a more narrow class of interpolation functions FN, which consists of functions of class F, interpolating a function at the nodes xi. Using the interpolation functions of classes increases, the “resolving power” quadrature formulas and brings us closer to the real situation that arises when solving a particular problem.

Results assessing the total error of the proposed quadrature formulas calculating integrals of rapidly oscillating functions. This makes it possible to give guaranteed quality assessment of the approximate value of the integral, since such an approach takes into account all sources of error affecting the quality of the solution.

The method of testing computational algorithms - programs to assess their quality, identifying areas of efficiency and given the quality of the solution. Implemented testing the quality of the developed algorithms and evaluate their performance (accuracy, time required to solve the problem and the required computer memory).

The computer technology of computing integrals of rapidly oscillating functions with given values of quality characteristics on the accuracy and speed.

Keywords: integrals of rapidly oscillating functions, the continuous wavelet transform, optimal quadrature formulas for accuracy, interpolation function classes, quality characteristics of computational algorithms.

Размещено на Allbest.ru

...