Математичні моделі систем, що структурно розвиваються, їх дослідження та застосування

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 517.925.5 : 681.5.07

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ СИСТЕМ, ЩО СТРУКТУРНО РОЗВИВАЮТЬСЯ, ЇХ ДОСЛІДЖЕННЯ ТА ЗАСТОСУВАННЯ

Бойко Тетяна Миколаївна

Київ - 2011



Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: заслужений діяч науки і техніки України, доктор технічних наук, професор Гаращенко Федір Георгійович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри моделювання складних систем.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Сопронюк Федір Олексійович, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, завідувач кафедри математичних проблем управління і кібернетики; диференціальний економічний фінансовий рівняння

кандидат фізико-математичних наук, Махорт Андрій Пилипович, Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, старший науковий співробітник відділу математичного моделювання.

Захист відбудеться 19 травня 2011 року о 1530 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35 в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: м. Київ, проспект Академіка Глушкова, 4д, факультет кібернетики, ауд.40.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01601, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розіслано "18" квітня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради П.М. Зінько



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Інтенсивний розвиток сучасних технологій обумовив необхідність розробки актуальних наукових напрямків прикладної математики. Серед них важливе місце займають якісний аналіз збурених процесів для нових класів математичних моделей та розробка числових методів розв'язування задач моделювання та оптимізації. Особливо актуальними є проблеми дослідження якісних характеристик, отримання оцінок відхилень збурених процесів та розробка алгоритмів оптимізації динамічних систем за умов невизначеності. Для їх розв'язання застосовуються різноманітні математичні підходи та створюються відповідні програмно-алгоритмічні комплекси. Одним з таких математичних засобів дослідження якісних характеристик динамічних систем є теорія стійкості. З її заснуванням та розвитком, перш за все, пов'язані роботи Єругіна М.П., Зубова В.І., Красовського М.М., Кунцевича В.М., Летова О.М., Ляпунова О.М., Малкіна І.Г., Румянцева В.В., Самойленка А.М., Серазетдінова Т.К., Фурасова В.Д., Четаєва М.Г. та багатьох інших. Конструктивним підходом до розв'язання прикладних задач теорії стійкості є аналіз систем на фіксованому інтервалі часу за заданих фазових обмежень. Це зумовило розвиток теорії практичної стійкості. Вона була започаткована Четаєвим М.Г. для аналізу нестійкості руху. У даному напрямі важливу роль відіграли і продовжують відігравати праці Бублика Б.М., Гаращенка Ф.Г., Зубова В.І., Камєнкова Г.В., Карачарова К.А., Кириченка М.Ф., Лебедєва А.А., Мартинюка А.А., Пілютіка А.Г. та інших. Під керівництвом Гаращенка Ф.Г. подальшого розвитку теорія практичної стійкості набула в роботах Башнякова О.М., Верченка А.П., Куценка І.А., Панталієнко Л.А., Пічкура В.В., Хітька І.В. та інших. У них автори запропонували аналізувати незбурений рух, виходячи з властивостей оптимальних множин початкових умов. Такі множини суттєвіше відображують математичні явища й дають змогу ефективніше аналізувати відповідні динамічні системи. В багатьох випадках дослідження задач практичної стійкості носить не тільки теоретичний, а й прикладний характер. Це пов'язано, насамперед, з тим, що багато задач оптимального проектування технічних систем, оптимального розвитку економічних систем (зокрема фінансово-промислових груп) у математичному сенсі зводяться до побудови областей практичної стійкості та їх оптимізації. Основним інструментом дослідження як стійкості, так і практичної стійкості є другий метод Ляпунова. Цей метод набув розвитку для різного класу динамічних систем. Відзначимо також, що певні математичні проблеми для систем зі змінною структурою можна вирішити за допомогою структурно-параметричної оптимізації. Для опису математичних моделей необхідно враховувати велику кількість параметрів. У деяких випадках більш доцільно будувати модель у блочно-структурній формі, що дозволяє використовувати оптимізацію параметрів у цих структурах. Моделюючи соціально-економічні процеси, ми часто маємо справу з параметричними моделями. Для їх аналізу використовують теорію чутливості, яка вивчає вплив варіації параметрів на властивості системи та її розв'язків.

Все це підкреслює актуальність подальшого розвитку та застосування методів аналізу практичної стійкості, чутливості та структурно-параметричної оптимізації для різних класів динамічних систем. Саме цим задачам й присвячена дисертаційна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційне дослідження виконано за планом наукових досліджень кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка в рамках бюджетної науково-дослідної теми №06БФ015-03 "Розвиток теорії та розробка технологій для моделювання, аналізу, оцінки та оптимізації складних систем" (державний номер реєстрації 0106U005858).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розробка методів аналізу практичної стійкості, чутливості та структурно-параметричної оптимізації систем диференціальних рівнянь, що розвиваються, та моделювання й аналіз за їх допомогою деяких економічних процесів, у тому числі діяльності фінансово-промислових корпоративних структур.

З огляду на мету в роботі ставляться такі задачі:

побудувати тип математичної моделі, яка б описувала економічні процеси, що структурно розвиваються;

сформулювати та довести теореми практичної стійкості систем диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються;

сформулювати критерії практичної стійкості для лінійних систем диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються, за різних фазових обмежень;

розробити та обґрунтувати алгоритми знаходження максимальних за включенням множин практичної стійкості лінійних систем диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються;

сформулювати умови оптимальності для структурно заданих систем диференціальних рівнянь, що розвиваються;

розробити математичні моделі та алгоритми обчислення функцій чутливості для систем диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються;

побудувати математичну модель розвитку фінансово-промислових груп складної структури й проаналізувати їх динаміку на основі розроблених методів аналізу практичної стійкості та чутливості. Розробити програмно-алгоритмічний комплекс для апробації отриманих результатів.

Об'єкт дослідження дисертаційної роботи - системи звичайних диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються.

Предмет дослідження: практична стійкість розв'язків систем диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються; оптимальні структури такого класу систем; функції чутливості динамічних систем, що структурно розвиваються.

Методи дослідження. Основні результати роботи отримано сучасними методами теорії стійкості, чутливості, оптимального керування та оптимізації. Зокрема, використовується другий метод Ляпунова та принцип оптимальності Беллмана. Отримані результати використано для моделювання й аналізу діяльності фінансово-промислових структур.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дисертаційної роботи отримані для нових математичних моделей в формі систем звичайних диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються, і є такими:

вперше побудовано математичну модель, яка описує процеси, що структурно розвиваються, зокрема динаміку розвитку фінансово-промислової групи;

вперше сформульовано умови стійкості в термінах функцій Ляпунова для задач практичної стійкості систем диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються;

доведено критерії практичної стійкості для систем лінійних диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються, за різних фазових обмежень;

розроблено числовий алгоритм знаходження оптимальних за включенням множин практичної стійкості для лінійних систем звичайних диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються;

отримано умови оптимальності для деяких задач структурно-параметричної оптимізації систем диференціальних рівнянь, що розвиваються;

отримано формули для обчислення параметричної чутливості для систем диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються;

на основі теоретичних результатів роботи розроблено і апробовано алгоритмічне та програмне забезпечення для аналізу діяльності фінансово-промислових структур.

Практичне значення одержаних результатів.

Результати дисертаційної роботи можуть бути використані: для математичного моделювання процесів, які описуються системами диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються; дослідження та оцінки якісних характеристик функціонування таких об'єктів; подальшого застосування методів аналізу практичної стійкості, чутливості та структурно-параметричної оптимізації систем диференціальних рівнянь, що розвиваються; цифрової обробки сигналів, апроксимації експериментальних даних та проектування прискорюючо-фокусуючих систем.

Окремі результати дисертаційної роботи Бойко Т.М. використовуються у навчальному процесі факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка при викладанні спеціальних дисциплін кафедри моделювання складних систем «Аналіз та оцінка програмних траєкторій в керованих системах» та «Основи фінансового менеджменту».

Особистий внесок здобувача.

Основні результати, викладені в дисертації, отримані автором самостійно. В працях, виконаних у співавторстві, науковому керівнику професору Гаращенку Ф.Г. належать постановки задач та рекомендації щодо методів їх розв'язання. Особистий внесок дисертанта: досліджено чутливість динамічної моделі фінансово-промислової корпоративної структури до зміни параметрів, проведено обчислювальний експеримент для знаходження функцій чутливості [1], [6]; побудовано математичну модель діяльності узагальненої фінансово-промислової структури, яка описується системою диференціальних рівнянь, що структурно розвивається [2]; побудовано математичну модель динамічної системи, що структурно розвивається, яка залежать від параметрів [5]; сформульовано та доведено теореми про практичну стійкість систем диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються, отримано умови оптимальності для деяких задач структурно-параметричної оптимізації таких систем [4].

Апробація результатів дисертації.

Матеріали дисертаційної роботи доповідалися на наукових семінарах кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету iменi Тараса Шевченка, а також на міжнародних наукових конференціях та форумах:

Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука (Київ, 2008);

13-й международный молодежный форум «Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке» (Харьков, 2009);

Міжнародна конференція “Dynamical system modeling and stability investigation” (Київ, 2009);

Міжнародна конференція „Problems of Decision Making Under Uncertainties” (PDMU-2009, Східниця, 2009).

Публікації.

Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 5 статтях у наукових журналах [1-4] та збірнику наукових праць [5], 4 тезах доповідей на міжнародних наукових конференціях [6-9]; з них 4 статті опубліковані у фахових виданнях, затверджених ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел (128 найменувань на 14 сторінках). Загальний обсяг дисертації становить 118 с., основний зміст викладено на 107 с.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику, заслуженому діячу науки і техніки України Гаращенку Федору Георгійовичу за постановку розглянутих в дисертаційній роботі задач та постійну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність вибраної теми, формулюється мета роботи, визначається наукова новизна отриманих результатів та висвітлюється їх теоретична та практична цінність.

У розділі 1 проведено огляд літератури за тематикою дисертаційної роботи. У ньому розглянуто сучасний стан та етапи розвитку математичного моделювання діяльності фінансово-промислових структур (підрозділ 1.1), наведені економічні моделі, які описуються системами диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються (підрозділ 1.2), розглянуто актуальність застосування практичної стійкості та структурно-параметричної оптимізації в задачах економіко-математичних досліджень (підрозділи 1.3-1.5).

У розділі 2 досліджуються задачі практичної стійкості розв'язків систем диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються. В підрозділі 2.1 наведені математичні моделі в формі систем звичайних диференціальних рівнянь для опису динамічних процесів, що структурно розвиваються.

Розглянемо деяке розбиття відрізка , де

.

Нехай - деяке підрозбиття розбиття , де

,

,

Припустимо, що динаміка системи задана у вигляді

(1)

, (2)

,

,

де - вимірний вектор фазових координат, - вектор-функції, які задовольняють умови теореми існування і єдиності розв'язку системи (1) при , - функції, що задають стрибок, а - задають зміну вимірності фазового стану.

Моделі такого вигляду й називатимемо системами звичайних диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються.

В підрозділі 2.2 сформульовано основні поняття та означення практичної стійкості вказаних систем.

Означення 1. Незбурений розв'язок системи (1), (2) називається -стійким, якщо для будь-якої точки відповідний розв'язок , .

Для побудови ефективних методів перевірки якості практичної стійкості динамічних систем розглядатимемо множину початкових умов виду , а також як частинний випадок - де В - додатно-визначена матриця розмірності - деяка стала ().

Нижче наведені означення практичної стійкості для множин початкових даних, що найчастіше використовуються на практиці.

Означення 2. Незбурений рух системи (1), (2) називатимемо -стійким, якщо для всіх початкових умов

Відповідно, якщо , то незбурений рух системи (1), (2) називатимемо -стійким.

У підрозділі 2.3 сформульовано теореми та числові методи аналізу практичної стійкості систем, що структурно розвиваються. В пункті 2.3.1 доведено загальні теореми про достатні умови практичної стійкості розв'язків систем диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються. Наведемо деякі з них.

Теорема 1. Якщо для системи (1), (2) знайдуться додатно-визначені функції Ляпунова , які задовольняють умови:

, , ; (3)

, при , ,;(4)

,

(5)

, (6)



то незбурений рух системи (1), (2) буде -стійким.

Теорема 2. Якщо для системи (1), (2) знайдуться додатно-визначені функції Ляпунова , , які задовольняють умови (3) - (5) та

, (7)

то незбурений рух , , , системи (1), (2) -стійкий.

Теорема 3. Нехай система (1), (2) -стійка, функції , однакової розмірності , існують обернені функції , тобто , . Тоді знайдуться функції Ляпунова , , , які задовольняють умови теореми 2.

Пункти 2.3.2 та 2.3.3 присвячені дослідженню практичної стійкості лінійних систем диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються, за наявності постійно діючих збурень та без них. Доведено критерії практичної стійкості для обох випадків при лінійних та нелінійних фазових обмеженнях.

Нехай маємо лінійну систему диференціальних рівнянь, що структурно розвивається:

(8)

де -вимірний вектор; - матриці розмірності , неперервні на , . Послідовність припускається такою, що .

Розглянемо вектори та подамо вектор у вигляді Умови в точках перемикання та зміни вимірності фазового простору запишуться у наступному вигляді:

, (9)

,

,

де - сталі матриці; - сталі матриці розмірності ., - -вимірний вектор початкових умов, що задовольняє фазовим обмеженням.

В цьому випадку одержимо наступну матричну систему рівнянь для визначення фундаментального розв'язку системи (8), (9):

Якщо ввести до розгляду та - матриці розмірності та відповідно, які є блоками матриці , тоді умови зміни вимірності можна записати у вигляді

де - матриця розмірності , ; - одинична матриця розмірності , а інші елементи матриці нульові. Тобто матриця має блочну структуру:

.

Розглянемо вектор

У загальному вигляді



Припустимо, що всі початкові умови , - фіксовані, а обираються із множини початкових значень. Тоді розв'язок можна подати в наступному вигляді:

.

Визначимо умови -стійкості таких систем. Нагадаємо, що множина початкових значень вибирається з еліпсоїда . Матриця В - додатно-визначена.

Означення 3. Незбурений рух системи (8), (9) називатимемо -стійким, якщо для всіх початкових умов

Надалі наведемо умови практичної стійкості лінійної системи диференціальних рівнянь (8), (9), що структурно розвивається, для випадку лінійних фазових обмежень . У такому разі говоритимемо про -стійкість.

Сформулюємо критерій -стійкості при відокремленні тієї частини розв'язків, що пов'язана із зафіксованими компонентами, які відповідають умовам зміни вимірності фазового простору. Для цього розв'язок лінійного рівняння подамо у більш зручному вигляді. А саме:

тут - вектори розмірностей відповідно, . Для зручного формулювання критеріїв введемо наступне позначення:

.

Теорема 4. (критерій -стійкості). Для того, щоб нульовий розв'язок системи (8), (9) був -стійким, необхідно й достатньо, щоб виконувалась нерівність

Сформульовано та доведено критерій - стійкості лінійної системи диференціальних рівнянь (8), (9), що структурно розвивається, для випадку нелінійних фазових обмежень.

Розглянуто лінійні неоднорідні системи диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються, з постійно діючими збуреннями. Сформульовано критерії практичної стійкості таких систем у випадку, коли фазові обмеження лінійні. Обґрунтовано критерії практичної стійкості для випадку, коли фазовий стан досліджуваних об'єктів повинен задовольняти нелінійні фазові обмеження вигляду

де - неперервні по t разом зі своїми похідними функції, - обмежені опуклі множини, що містять нульовий розв'язок.

В підрозділі 2.4 приведено конструктивні умови максимальних за включенням областей практичної стійкості.

Означення 4. Множина називається максимальною (за включенням) множиною -стійкості розв'язку системи (1), (2), якщо:

траєкторія є -стійкою;

для довільної іншої множини , такої, що нульовий розв'язок є

-стійким, виконується включення .

Для алгоритмічного знаходження оптимальної за включенням множини практичної стійкості будемо використовувати поняття стійкості за напрямком.

Означення 5. Нульовий розв'язок лінійної системи диференціальних рівнянь (8), (9) є -стійким за напрямком , якщо для всіх .

Сформулюємо необхідні й достатні умови стійкості за напрямком .

Теорема 5. Для -стійкості за напрямком нульового розв'язку системи (8), (9) необхідно й достатньо, щоб виконувалось співвідношення

.

Описано алгоритм чисельного розрахунку оптимальної за включенням множини практичної стійкості розв'язку лінійної системи диференціальних рівнянь, що структурно розвивається, який ґрунтується на доведених критеріях.

У розділі 3 розглядаються деякі задачі структурно-параметричної оптимізації та аналіз чутливості систем диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються. На початку розділу, в підрозділі 3.1, будується математична модель динамічної системи, що структурно розвивається, яка залежать від параметрів.

Припустимо, що динаміка системи задана у вигляді

(10)

(11)

,

,

де функції функції задають стрибки. Тобто на кожному проміжку часу змінюється вимірність фазового простору та система має перемикання на кожному з проміжків зі сталою вимірністю фазового простору. Послідовність задає зміну вимірності фазового простору на проміжках . Розглядається система співвідношень така, що для будь-якого вектор-параметра з деякої множини початкових значень можна однозначно побудувати розв'язки на відрізку .

Тут - вектор параметрів розмірності , , - -вимірний вектор стану системи при , - знак транспонування.

Підрозділ 3.2 присвячений задачам структурно-параметричної оптимізації для систем звичайних диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються. Наводяться постановки деяких з цих задач та обґрунтовується доцільність застосування принципу Беллмана для їх розв'язання. В підрозділі 3.3 отримано умови оптимальності для класу досліджуваних в дисертаційній роботі систем, завдяки яким вдається звести задачу про вибір оптимальної структури до рівняння Беллмана.

В підрозділі 3.4 виведено формули для обчислення функцій чутливості систем диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються. Питання чутливості досліджується для системи диференціальних рівнянь (10), (11).

Означення 6. Частинні похідні

називатимемо функціями чутливості першого порядку від компонент вектора стану.

Теорема 6. Нехай не залежать від вектора параметрів і виконуються умови диференційованості розв'язку системи (10), (11) за елементами вектора . Тоді вектор-функції задовольняють системі диференціальних рівнянь

за умов переходу від одного рівняння до іншого

та нульових початкових умов

У випадку, коли початковий момент часу та моменти перемикання залежать від вектора параметрів, умови перемикання та зміни вимірності фазового простору набувають наступного вигляду:

Початкові умови:

Розділ 4 присвячений математичному моделюванні та аналізу діяльності фінансово-промислових структур. У підрозділі 4.1 описується загальна взаємодія учасників фінансово-промислової групи. В підрозділі 4.2 побудовано узагальнену модель фінансово-промислової групи та показано, що діяльність групи в такому випадку може бути описана системою звичайних диференціальних рівнянь, що структурно розвивається.

Нехай діяльність фінансово-промислової структури розгортається в три етапи (рис. 1). До складу корпоративної групи на першому етапі (рис. 1а) входять: виробниче підприємство - виробник основної продукції; виробниче підприємство - споживач основної продукції у вертикально-інтегрованому ланцюзі; фінансово-інвестиційна структура (банк) . На другому етапі (рис. 1б), в момент часу підприємство приймає рішення щодо створення інноваційного підприємства , задачею якого є розробка та впровадження інноваційного проекту з подальшим випуском нової продукції. На третьому етапі банк продовжує співпрацювати з підприємствами та і знаходить собі нових клієнтів (підключається незалежно до нової фінансово-промислової групи): виробника , що виробляє продукцію, та споживача цієї продукції.

а) схема взаємодії учасників корпоративної групи

б) схема взаємодії учасників корпоративної групи, яка впроваджує інновації

в) схема взаємодії учасників міжкорпоративного об'єднання

Рис. 1. Схема діяльності узагальненої фінансово-промислової структури

Всі три етапи діяльності узагальненої фінансово-промислової структури запишемо у вигляді системи диференціальних рівнянь, що структурно розвивається:

,

де ,. Тут - обсяг коштів, що використовується цільовим призначенням для зниження питомих витрат у момент ; - банківська процентна ставка; - визначає ціну продажу одиниці продукції підприємству ; - максимальний прибуток підприємства ; - частка власності підприємства , якою володіє банк у момент початку роботи в групі; - вільний ресурс банку, яким він може розпоряджатися на свій розсуд; - визначає ціну продажу одиниці продукції підприємству в період існування інноваційного підприємства ; - визначає ціну продажу нової одиниці продукції підприємству ; - банківська процентна ставка; - частка власності , якою володіє банк ; - частка відрахувань від прибутку , яку отримує банк пропорційно коштам, вкладеним на впровадження інновацій; - кошти, що відраховуються з прибутку у кожну одиницю часу. Інші коефіцієнти мають відповідний економічний сенс.

Підрозділ 4.3 присвячено побудові оптимальних за включенням множин практичної стійкості для моделі, побудованої у підрозділі 4.2, за розглянутим у підрозділі 2.4 алгоритмом. Також для цієї моделі будуються функції чутливості за допомогою методів підрозділу 3.4. Опис розробленого програмного забезпечення та проведеного обчислювального експерименту наведено у підрозділі 4.5. Програмне забезпечення розроблено за допомогою середовища DELPHI мовою програмування Object Pascal та пакету прикладних програм Matlab R2008a.



ВИСНОВКИ

В дисертації отримано нові науково обґрунтовані результати в області практичної стійкості, структурно-параметричної оптимізації та аналізу чутливості систем звичайних диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються; математичного моделювання й аналізу деяких економічних процесів, у тому числі діяльності фінансово-промислових груп. Результати дисертації можуть бути використані для дослідження та оцінки якісних характеристик функціонування об'єктів, які описуються системами диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються, для цифрової обробки сигналів, апроксимації експериментальних даних та проектування прискорюючо-фокусуючих систем.

Основні результати дисертаційної роботи:

побудовано математичну модель, яка описує процеси, що структурно розвиваються;

сформульовано та доведено теореми про практичну стійкість систем диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються;

доведено критерії практичної стійкості для лінійних динамічних систем, що структурно розвиваються, за різних фазових обмежень та відсутності чи наявності постійно діючих збурень;

на основі поняття стійкості за напрямком приведено критерії для розрахунку оптимальних за включенням множин практичної стійкості розв'язків лінійних систем, що структурно розвиваються. Розроблено алгоритми чисельного розрахунку цих областей;

отримано умови оптимальності для деяких задач структурно-параметричної оптимізації систем диференціальних рівнянь, що розвиваються;

побудовано математичні моделі для обчислення функцій чутливості для систем диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються;

побудовано математичну модель, що описує діяльність фінансово-промислових груп складної структури, та проаналізовано їх розвиток за допомогою розроблених у дисертаційній роботі методів аналізу практичної стійкості та чутливості.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Бойко Т.М. Аналіз чутливості параметрів моделі фінансово-промислової корпоративної структури / Т.М. Бойко, Ф.Г. Гаращенко // Вісник Київського університету. Сер.: фіз.-мат. науки. - 2007. - №4. - С. 139 144.

2. Бойко Т.М. Математичні моделі зі зміною вимірності фазового простору для опису діяльності фінансово-промислових структур / Т.М. Бойко, Ф.Г. Гаращенко // Вісник Київського національного університету. Сер.: фіз.-мат. науки. - 2009. - №1. - С. 79 81.

3. Бойко Т.Н. Практическая устойчивость развивающихся динамических систем / Т.Н. Бойко // Компьютерная математика. - 2010. - №1. - С. 43 49.

4. Бойко Т.Н. Моделирование и оптимизация функционирования современных финансово-промышленных структур / Т.Н. Бойко, Ф.Г. Гаращенко // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». - 2010. - №3. - С. 148 156.

5. Гаращенко Ф.Г. Математичне моделювання діяльності фінансово-промислових груп з допомогою систем диференціальних рівнянь що розвиваються / Ф.Г. Гаращенко, Т.М. Бойко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки. : зб. наук. праць. - Кам'янець-Подільський : Кам'янець-Подільський національний университет імені Івана Огієнка, 2010. - Вип. 3. - C. 46 52.

6. Гаращенко Ф.Г. Дослідження параметрів моделі фінансово-промислової корпоративної структури на основі методів чутливості / Ф.Г. Гаращенко, Т.М. Бойко // Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 15-17 травня 2008 р., Київ : Матеріали конференції. - К.: ТОВ «Задруга», 2008. - С. 85.

7. Бойко Т.Н. Практическая устойчивость «эволюционирующих» динамических систем и модели финансово-промышленных корпоратитвных структур / Т.Н. Бойко // Міжнародна конференція “Ppoblems of Decision Making under Uncertainties”, 27-30 квітня 2009 р. : тези доповідей. - Східниця, 2009. - С. 66.

8. Бойко Т.М. Параметрична стійкість «еволюціонуючих» динамічних систем / Т.М. Бойко // Міжнародна конференція “Dynamical system modeling and stability investigation”, 27-29 травня 2009 р. : тези доповідей. - К., 2009. - С. 51.

9. Бойко Т.М. Математичні моделі і методи дослідження еволюціонуючих фінансово-промислових структур / Т.М. Бойко // Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке. Материалы XIII Международного молодежного форума, 30 марта-1 апреля 2009 г., г. Харьков / Зб. матеріалів форуму, Ч.2, Харків: ХНУРЕ, 2010. - С. 364.



АНОТАЦІЯ

Бойко Т.М. Математичні моделі систем, що структурно розвиваються, їх дослідження та застосування. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2011.

У дисертаційній роботі отримано нові науково обґрунтовані результати в галузі практичної стійкості, структурно-параметричної оптимізації та аналізу чутливості систем звичайних диференціальних рівнянь, що структурно розвиваються. Побудовано математичну модель, яка описує процеси, що структурно розвиваються. Сформульовано та доведено теореми про практичну стійкість систем, що структурно розвиваються. Обґрунтовано конструктивні критерії для аналізу практичної стійкості лінійних систем, що структурно розвиваються, без та з постійно діючими збуреннями. Побудовано алгоритм оцінки максимальної за включенням множини практичної стійкості для таких систем. Знайдено умови оптимальності в структурах для деяких систем, що розвиваються. Для параметричних систем, що структурно розвиваються, виведено формули для обчислення функцій чутливості. Розроблену методику застосовано до моделювання оптимальної динаміки діяльності фінансово-промислових структур і визначення оптимальних параметрів систем, що розглядаються.

Ключові слова: системи, що структурно розвиваються, практична стійкість, структурно-параметрична оптимізація, чутливість, фінансово-промислова структура, математичні моделі.



АННОТАЦИЯ

Бойко Т.Н. Математические модели структурно развивающихся систем, их исследование и применение. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2011.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию задач практической устойчивости и оптимизации динамических структурно развивающихся систем. Среди актуальных научных направлений прикладной математики важное место занимает разработка численных методов решения задач моделирования, анализа устойчивости и оптимизации систем. Проблемы математического моделирования, исследования качественных характеристик функционирования объектов, разработки конструктивных алгоритмов оценивания возмущенных процессов и оптимизации динамических систем особенно актуальны в условиях неопределенности. Для их решения развиваются разнообразные математические средства и создаются соответствующие программно-алгоритмические комплексы. Среди таких математических подходов исследования динамических систем важное место занимают практическая устойчивость, чувствительность и структурно-параметрическая оптимизация.

Исследования задач практической устойчивости связаны с решением многих прикладных проблем в науке и технике. Это обусловлено, прежде всего, тем, что многие задачи оптимального развития экономических систем (в частности финансово-промышленных групп) в математическом смысле сводятся к исследованию задач построения областей практической устойчивости и их оптимизации. Особенно важно иметь конструктивные алгоритмы для численного расчета оптимальных множеств практической устойчивости. Например, для широкого спектра задач, описываемых структурно развивающимися системами дифференциальных уравнений, в том числе для оценивания и оптимизации динамики развития финансово-промышленных групп.

Некоторые задачи математического моделирования оказываются эквивалентными выбору оптимальных структур развивающихся систем. При решении таких оптимизационных задач используется структурно-параметрическая оптимизация для того, чтобы находить оптимальные структуры динамических систем.

Как и в теории устойчивости, задача теории чувствительности состоит в анализе и исследовании дополнительного движения, которое возникает вследствие вариации параметров системы.

Поэтому тема диссертационной работы является актуальной и имеет теоретическое и практическое значение.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.

Во введении обосновывается актуальность проведенных в работе исследований.

В первом разделе сделан обзор литературы по теме диссертации, приведены примеры различных экономических моделей, которые описываются структурно развивающимися системами дифференциальных уравнений, раскрыта актуальность применения методов практической устойчивости, структурно-параметрической оптимизации и чувствительности к исследованию таких систем.

Во втором разделе рассматриваются вопросы анализа практической устойчивости решений структурно развивающихся систем дифференциальных уравнений. Сформулированы и доказаны теоремы о практической устойчивости таких систем, приведены конструктивные критерии анализа практической устойчивости для случая линейных структурно развивающихся динамических систем. Для линейных структурно развивающихся систем на основе понятия устойчивости по направлению построен алгоритм оценивания максимального за включением множества практической устойчивости, т.е. множества всех начальных значений для которых соответствующие решения не покидают заданных фазовых ограничений.

В третьем разделе диссертации рассмотрены некоторые задачи структурно-параметрической оптимизации развивающихся систем дифференциальных уравнений и представлены алгоритмы для их решения. Приведены условия оптимальности для параметрических структурно развивающихся систем, которые помогают свести задачу о выборе оптимальной структуры к уравнению Беллмана. Для параметрических структурно развивающихся систем выведены формулы для вычисления функций чувствительности.

В четвертом разделе построена обобщенная математическая модель функционирования финансово-промышленной корпоративной структуры. Проведен анализ развития финансово-промышленных групп с помощью разработанных в диссертации методов практической устойчивости и чувствительности. В этом же разделе описано разработанное программное обеспечение, с помощью которого проведен вычислительный эксперимент.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Ключевые слова: структурно развивающиеся системы, практическая устойчивость, структурно-параметрическая оптимизация, чувствительность, финансово-промышленная структура, математические модели.



ABSTRACT

Boiko T.M. Mathematical models of structurally evolving systems, their research and application. - Manuscript.

Dissertation for a candidate's degree of sciences in physics and mathematics, specialty 01.05.02 - mathematical modeling and numerical methods. - Taras Shevchenko National University of Kiev, Kiev, 2011.

The thesis deals with problems of practical stability and optimization of dynamics of systems of differential equations that are structurally evolving. The mathematical model that describes structurally evolving processes is constructed. Theorems about the practical stability of structurally evolving systems are formulated and proved. Constructive conditions for analysis of linear structurally evolving systems with and without a permanent disturbance are substantiated. An algorithm is constructed for evaluation of the maximal, in the sense of set inclusion, area of practical stability of such systems. Conditions of optimality in some structures for evolving systems are discovered. For parametrical structurally evolving systems, formulas for evaluating the sensitivity functions are derived. The method elaborated in the thesis is applied to modeling of the optimal dynamics of financial-industrial structures and to evaluating the optimal parameters of systems being concerned.

Keywords: structurally evolving systems, practical stability, structural and parametric optimization, sensitivity, financial and industrial structure, mathematical models.

Размещено на Allbest.ru

...