Математичне моделювання квазіідеальних процесів із післядією в областях з вільними межами

20

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мiнiстерство освiти і науки, молоді та спорту України

Державний вищий навчальний заклад

“Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника”

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

01.05.02 математичне моделювання та обчислювальні методи

Математичне моделювання квазіідеальних процесів із післядією в областях з вільними межами

Гаврилюк Володимир Іванович

Івано-Франківськ - 2011

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Рівненському державному гуманітарному університеті Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор Бомба Андрій Ярославович, Рівненський державний гуманітарний університет, м. Рівне, професор кафедри інформатики та прикладної математики

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор Булавацький Володимир Михайлович Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, м. Київ, провідний науковий співробітник відділу математичних систем моделювання проблем екології та енергетики

доктор технічних наук, ст.н.с. П'янило Ярослав Данилович Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, м. Львів, завідувач відділом математичних методів обчислювального експерименту

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради С.В. Шарин

Анотація

квазіконформний відображення математичний модель

Гаврилюк В.І. Математичне моделювання квазіідеальних процесів із післядією в областях з вільними межами. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 математичне моделювання та обчислювальні методи. - Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника, Івано-Франківськ, 2011.

Дисертація присвячена розробці нових математичних моделей процесів фільтрації в пористих середовищах із вільними межами з урахуванням взаємовпливу характеристик середовища та процесу, оптимізацією параметрів, керуванням, врахуванням анізотропних збурень і розвинені числових методів квазіконформних відображень розв'язування відповідних нелінійних крайових задач.

Відповідні алгоритми в комбінації з методом фіктивних областей вперше застосовано при розрахунку фільтраційно-суфозійної взаємодії в ґрунтових греблях, дренажних спорудах та інших гідросистемах.

Вперше розроблено комплексних підхід до моделювання фільтраційних процесів в областях з вільними ділянками меж та алгоритм розв'язування відповідних крайових задач, що включає можливість передбачення різних типів ситуаційних станів в залежності від конструктивних параметрів гідроспоруд. Побудовано математичну модель фільтрації до шахтних створів, націлену на прогнозування процесу руйнування за рахунок суфозійних явищ.

Створено новий програмний комплекс для розрахунку положення вільної поверхні фільтраційної течії в тілі дамби за умови швидкого підняття (до деякої висоти) води перед нею, а також розрахунку гідродинамічної сітки та інших характеристик процесу.

Ключові слова: математичне моделювання, вільні межі, метод фіктивних областей, проміжок височування, післядія, квазіконформні відображення.

Аннотация

В.И. Гаврилюк Математическое моделирование квазиидеальных процессов с последействием в областях со свободными границами. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 математическое моделирование и вычислительные методы. - Прикарпатский национальный университет имени Василия Стефаника, Ивано-Франковск, 2011.

Диссертация посвящена разработке новых математических моделей процессов фильтрации в пористых средах со свободными границами с учетом взаимовлияния характеристик среды и процесса, оптимизацией параметров, управлением и развитием численных методов квазиконформных отображений решения соответствующих нелинейных краевых задач.

Соответствующие алгоритмы в комбинации с методом фиктивных областей впервые применены при учёте фильтрационно-суффозионного взаимодействия в грунтовых плотинах, дренажных сооружениях и других технических гидросистемах. На этой основе решены оптимизационные задачи на установление минимальной длины заложенного в грунтовой плотине дренажа для обеспечения отсутствия промежутка типа высачивания и расчета процесса притока к дренажу с определением минимальной глубины его залегания, обеспечивающей установление положения свободной кривой ниже заранее заданного уровня. Разработаны новые математические модели фильтрационных процессов в анизотропных средах со свободными границами с учетом анизотропных возмущений и алгоритмы решения соответствующих краевых задач.

В результате выполненного системного анализа (эвристического описания с последующим логическим обоснованием) возможных случаев формирования течения в областях с несколькими свободными участками их границ в зависимости от заданных значений потенциала управления (глубины залегания водозабора - перехватчика) разработан алгоритм решение задачи и процедура автоматизированного выбора оптимизационных случаев. Разработана методика расчета нестационарной фильтрации через плотину из местных материалов при быстром поднятии уровня воды с учетом времени прохождения паводка. Создан программный комплекс, для расчета положения свободной поверхности фильтрационного течения в теле плотины при условии быстрого поднятия (до некоторой высоты) воды перед ней, а также расчета гидродинамической сетки и других характеристик процесса для соответствующей области фильтрации. Построена математическая модель фильтрации к шахтным створам, направленная на прогнозирование процесса разрушения за счет суффозионных явлений.

Ключевые слова: математическое моделирование, свободные границы, метод фиктивных областей, промежуток высачивания, последействие, квазиконформные отображения.

Annotation

Gavryluk V.I. Mathematical modeling of quasi-ideal processes with aftereffect in free boundary domains. - Manuscript.

The thesis is presented for the Candidate of Technical Science degree by specialty 01.05.02 - mathematical modeling and computing methods. - Vasyl Stefanyk Precarpathian National University, Ivano-Frankivsk, 2011.

The thesis is devoted to development of new mathematical models of filtration processes with free boundary domains taking into account interaction process and medium characteristics, parameters optimization, control, anisotropic perturbation and numerical techniques of quasiconformal mappings development for solving nonlinear boundary value problem.

First respective algorithms combined with dummy boundary methods were applied for calculation of filtration suffusion interaction in soil dam, drainage contractions and other hydraulics. First the integrated approach to modeling processes of filtration in the free boundary domains and algorithm of solving corresponding boundary value problems with respect to different constructive parameters of hydraulics were firstly developed. The mathematical model of shaft filtration is made in order to predict the process of distraction caused by suffusion appearance. The new programming system for calculation of free surface seepage flow in the dam provided by fast rise of the water level in front of it and calculation of the hydrodynamic mesh and other characteristics of the process was developed.

Keywords: mathematical modeling, free boundary, dummy boundary methods, seepage gape, aftereffect, quasi-conform mappings.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Захист територій і населених пунктів від затоплення і підтоплення ґрунтовими водами в результаті їх різкого підйому, регулювання водозаборів і пониження рівня підземних вод, а також інші практичні завдання пов'язані з необхідністю реконструкції та прогнозування роботи гідротехнічних споруд, зокрема дренажних систем. Особливо важливою ця проблема є для меліорації, де дренаж є основним елементом будь-якої гідромеліоративної системи. Також за останні десятиліття на території Українських Карпат збільшилась не лише кількість катастрофічних повеней, але і їхні масштаби та наслідки (процеси змиву ґрунтів, руйнування огороджувальних дамб, гребель, тощо). Важливе місце при моделюванні таких процесів, в областях обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, та числовому розв'язуванні відповідних нелінійних крайових задач займає метод конформних і квазіконформних відображень.

На сьогоднішній день розроблено підхід до моделювання відповідних фільтраційних процесів у заданих криволінійних областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, з урахуванням взаємовпливу характеристик середовища і процесу, наприклад, більших за критичні значення градієнтів напору і коефіцієнта фільтрації, та розв'язування відповідних нелінійних крайових задач з післядією, задач про стабілізацію середовища, задач фільтрації у випадку формування збурених зон змінним коефіцієнтом фільтрації із врахуванням нерівномірного заповнення пористого простору, нелінійних обернених крайових задач на конформні та квазіконформні відображення для багатозв'язних областей.

Важливе місце в теорії фільтрації займають крайові задачі з невідомими ділянками меж. Наприклад, такими межами можуть бути криві депресії. Наявність невідомих ділянок меж обумовлює особливу складність методу розв'язування. Також важливим, обумовлюючим складність процесу розв'язування задачі фактором є існування (наприклад, в ґрунтових греблях), крім самих депресійних кривих, так званих проміжків височування.

Проте, на даний час клас поставлених і розв'язаних нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення з врахуванням фільтраційних збурень, оптимізацією параметрів, керуванням в областях із вільними межами (ґрунтових греблях, дамбах, дренажних спорудах, шахтних створах) є надто вузьким. Отже, поширення і розвинення методики конформних та квазіконформних відображень стосовно розв'язування відповідних нелінійних крайових задач теорії фільтрації в областях з вільними межами, побудовою відповідних чисельних схем та алгоритмів, дослідженням їхньої збіжності є актуальною та практично важливою проблемою математичного моделювання та обчислювальних методів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у відповідності з планами науково-дослідних робіт Рівненського державного гуманітарного університету (РДГУ) “Числово-асимптотичні методи розв'язання нелінійних сингулярно-збурених задач типу “фільтрація-конвекція-дифузія” з післядією та керуванням” (номер державної реєстрації 0106U000591), “Системне математичне моделювання нелінійних збурень процесів типу “фільтрація-конвекція-дифузія” з післядією при неповних даних” (№ держ. реєстр. 0109U001065).

Мета і задачі дослідження. Мета роботи полягає у розробці нових математичних моделей процесів фільтрації в пористих середовищах із вільними межами з урахуванням взаємовпливу характеристик середовища та процесу, оптимізацією параметрів та керуванням і розвинені числових методів квазіконформних відображень розв'язування відповідних нелінійних крайових задач.

Для досягнення поставленої мети визначені і розв'язано такі завдання:

сформувати нові математичні моделі процесів фільтрації у схильних до деформацій обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями пористих середовищах з вільними ділянками меж, включеннями, післядією за умов оптимізації параметрів і керування та на основі комбінації і модифікації методів квазіконформних відображень і фіктивних областей розробити метод розв'язування відповідних крайових задач;

розробити математичну модель процесу фільтрації з післядією і керуванням та алгоритм розв'язування відповідних нелінійних задач для випадку, коли один із кінців вільної кривої є незакріпленим;

розробити математичну модель фільтрації в пористих анізотропних середовищах, обмежених двома еквіпотенціальними лініями та двома лініями течії, коли однією з ділянок границі є невідома (вільна) крива, а також з врахуванням анізотропних збурень;

побудувати системний опис та алгоритм розв'язування модельних крайових задач фільтрації на конформні відображення в областях з невизначеними ділянками меж, що включає можливість прогнозування різних типів ситуаційних станів в залежності від конструктивних параметрів гідроспоруд;

розробити математичну модель та алгоритм розв'язування крайових задач фільтрації на конформні відображення для випадку областей з вільними кривими, які не є ні лініями течії, ні еквіпотенціальними лініями, зокрема в дренажних спорудах;

розроблену методику поширити для моделювання та прогнозування процесів фільтрації в схилах долин (дамбах) при швидкому піднятті та опусканні рівня води та руйнуванні шахтних створів за рахунок фільтраційно-суфозійних явищ.

Об'єкт дослідження. Нелінійні процеси фільтрації в пористих середовищах з вільними межами за умов взаємовпливу характеристик процесу та фільтраційних параметрів.

Предмет дослідження. Математичні моделі процесів фільтрації в пористих середовищах з вільними межами з урахуванням зворотного впливу характеристик процесу на характеристики середовища, числові методи розв'язування відповідних нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення.

Методи дослідження. В процесі наукового дослідження поставлених завдань використано методи математичного моделювання, теорії функції комплексної змінної, багатосітковий метод розв'язування розріджених систем лінійних рівнянь, числові методи (методи скінчених різниць, блочних ітерацій, послідовних наближень в різного роду модифікаціях). В основу розробленого числового методу покладено ідею поетапної параметризації конформного (квазіконформного) інваріанту сіткової області, координат граничних внутрішніх вузлів гідродинамічної сітки з використанням ідей методу блочних ітерацій для обґрунтування його збіжності.

Наукова новизна отриманих результатів. У результаті проведених досліджень у роботі отримано такі нові результати:

вперше сформовано математичні моделі процесів фільтрації у схильних до деформацій обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями пористих середовищах з вільними ділянками меж, включеннями, післядією за умов оптимізації параметрів і керування та на основі комбінації і модифікації методів квазіконформних відображень і фіктивних областей розроблено новий метод розв'язування відповідних крайових задач;

вперше сформульовано математичну модель процесу фільтрації з післядією та керуванням для випадку, коли один із кінців вільної кривої є незакріпленим, розроблено новий алгоритм розв'язування відповідних нелінійних задач стосовно прогнозування стабілізації суфозійно-фільтраційної взаємодії та підняття кривої депресії, зокрема, на цій основі розв'язано оптимізаційну задачу на встановлення мінімальної довжини закладеного в ґрунтовій греблі дренажу для забезпечення відсутності проміжку типу височування;

розроблено нові математичні моделі фільтраційних процесів в анізотропних середовищах з вільними межами за умов урахування анізотропних збурень і нові алгоритми розв'язування відповідних крайових задач;

вперше розроблено комплексних підхід до моделювання фільтраційних процесів в областях з вільними ділянками меж та алгоритм розв'язування відповідних крайових задач, що включає можливість прогнозування різних типів ситуаційних станів в залежності від конструктивних параметрів гідроспоруд;

вперше розроблено математичну модель та алгоритм розв'язування крайових задач фільтрації для випадку областей з вільними кривими, які не є ні лініями течії, ні еквіпотенціальними лініями, як засіб розрахунку процесу припливу до дренажу із визначенням мінімальної глибини його залягання, що забезпечує встановлення положення вільної кривої нижче наперед заданого рівня;

створено новий програмний комплекс для розрахунку положення вільної поверхні фільтраційної течії в тілі дамби за умови швидкого підняття (до деякої висоти) води перед нею, а також розрахунку гідродинамічної сітки та інших характеристик процесу; побудовано нову математичну модель фільтрації до шахтних створів для прогнозування процесу руйнування за рахунок фільтраційно-суфозійних явищ.

Достовірність отриманих у роботі результатів забезпечується застосуванням алгоритмів, побудованих із використанням теоретично обґрунтованих методів, стійкістю отриманих розв'язків, їх адекватністю як результатам, отриманим експериментально, так і відомим точним розв'язкам тестових прикладів.

Практичне значення отриманих результатів. Проведені у роботі дослідження дають можливість аналізувати фільтраційні характеристики середовища враховуючи різного роду збурення фільтраційного процесу в областях з вільними границями, оптимізувати параметри фільтраційних процесів в гідротехнічних спорудах. Побудований алгоритм розрахунку процесу фільтрації до дренажу, що дозволяє, в залежності від інтенсивності опадів, розраховувати таке (оптимальне) із значень тиску на дрені (що реалізується на практиці, наприклад, шляхом прикриття зазору у вихідному регулюючому пристрої), щоб крива депресії не виходила із певних меж.

Більшість результатів, отриманих в роботі, подано у вигляді формул, алгоритмів, таблиць і графіків, які можуть бути включені в різні посібники та довідники або використані в інженерній практиці.

Результати роботи впроваджено:

підприємством громадської організації “Технологічний парк “Машинобудівні технології - Полісся”;

центром “Геополітика” в інноваційному проекті „Створення підприємства видобуду міді на Рафалівському базальтовому кар'єрі” в Рівненській області;

науково-дослідним виробничим бізнес центром Національного університету водного господарства та природокористування при виконанні проекту „Стійкість схилів долин при швидкому піднятті та опусканні рівня води”;

фірмою Львівдніпроводгосп при проектуванні огороджувальних дамб в Львівській області.

Запропоновані методи числового розв'язування нелінійних обернених крайових задач теорії фільтрації на конформні та квазіконформні відображення використано при читанні спецкурсів “Методи теорії функції комплексної змінної” і “Моделювання екологічних, економічних і соціальних процесів” для студентів РДГУ за спеціальністю “Прикладна математика”.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційної роботи обговорювалися на XXXIII Міжнародному симпозіумі „Питання оптимізації обчислень” (Крим, Велика Ялта, 2007 р.); Міжнародній науковій школі-конференції „Тараповські читання” (Харків, 2008р.); PDMU-2008(09); International Conference „Problems of decision making under uncertainties” (Киів-Рівне, 2008 р., 2009 р.); X Міжнародній науково-технічній конференції “Системний аналіз та інформаційні технології” (Київ, 2008 р.); ІІ Міжнародній науково-практичній конференції „Наука, освіта, суспільство очима молодих” (Рівне, 2009 р.); III Міжнародній конференції „Обчислювальна та прикладна математика” (Київ, 2009 р.); XI Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2006 р.); XIV Всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (Львів, 2007 р.); І, II Всеукраїнській науково-практичних конференціях “Наука, освіта, суспільство очима молодих” (Рівне, 2006 р., 2007 р.); на звітних науково-практичних конференціях професорсько-викладацького складу, аспірантів та студентів Рівненського державного гуманітарного університету (Рівне, 2006-2010 р).

У повному обсязі дисертація обговорювалася на розширеному науковому семінарі при кафедрі інформатики і прикладної математики Рівненського державного гуманітарного університету під керівництвом д.т.н., проф. А.О. Сяського; на розширеному семінарі відділу № 175 Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України під керівництвом д.ф.-м.н., професора, член-кореспондента НАН України В. В. Скопецького; на семінарі Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України; на тематичному науковому семінарі № 2 Прикарпатського національного університету ім. Василя Стефаника.

Публікації. За основними матеріалами роботи опубліковано 27 наукових праць, у тому числі 13 статей, з яких 7 у фахових наукових виданнях з технічних наук, 8 публікацій у матеріалах міжнародних конференцій, 3 праці опубліковано без співавторів.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що складають основний зміст дисертаційної роботи, отримані автором самостійно. У публікаціях, опублікованих у співавторстві, здобувачеві належить: у роботах [4, 21, 24] - побудова алгоритмів розв'язування задач, реалізація алгоритмів у вигляді пакету комп'ютерних програм, проведення числових розрахунків для модельних задач, обґрунтування комп'ютерної збіжності за даними розрахунків; у роботах [2, 15] - системний опис можливих варіантів формування течії в залежності від глибини залягання водозабору, та побудова числових алгоритмів розв'язування відповідних задач; у роботах [5, 18, 26] - модифікація алгоритму числового розв'язування обернених задач на квазіконформні відображення для випадку областей з вільними межами; у роботах [12, 16, 22, 23] - розвинення методу конформних та квазіконформних відображень на випадки областей з вільними межами, побудова алгоритмів розв'язування відповідних задач; у роботах [1, 3, 17] - побудова нових математичних моделей фільтраційних процесів в анізотропних середовищах з вільними межами за умов урахування анізотропних збурень; у роботах [9, 19, 20] - розробка нового методу розв'язування відповідних крайових задач в областях з вільними межами за умов керування фільтраційним процесом; у роботах [8, 14] - створені алгоритмів розв'язування нових нелінійних крайових задач фільтрації в пористих середовищах з вільними межами з врахуванням включень та оптимізації параметрів; у роботах [7, 10, 11, 25] - алгоритми знаходження динамічної сітки та поля швидкості, проведення відповідних числових розрахунків.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел (148 бібліографічних найменувань) та 5 додатків. Загальний обсяг дисертаційної роботи - 146 сторінок, з них 125 сторінок основного тексту, в тому числі 42 рисунки та 2 таблиці.

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність роботи, сформульовано мету та основні задачі дослідження, визначена наукова новизна роботи та її зв'язок із науковими програмами, планами і темами. Наведено також основні результати, отримані у роботі, їх практичне значення, особистий внесок здобувача та дані про апробацію результатів.

У першому розділі міститься короткий огляд праць за темою дисертаційного дослідження. Зокрема, відзначено, що основні положення теорії фільтрації були розроблені такими видатними вченими, як А. Дарсі, Ж. Дюпюі, Ж. Бусінеском, А.М. Костяковим, С.М. Нумеровим, Ф. Форхгеймером, М.Є. Жуковським, В.В. Ведерніковим, М.М. Павловським, І.А. Чарним, П.Я. Полубариновою-Кочиною, Ф.Б. Нельсон-Сконяковим, В.А. Аравіним, М.М. Верігіним та ін. Дослідженням деформаційних процесів у ґрунті під дією градієнту напору в області гідротехніки займалися С.В. Ізбаш, В.С. Істоміна, Д.М. Мінц, О.М. Патрашев, В.М. Кондратьєв, Г.Х. Праведний, О.Я. Олійник, М.Г. Пивовар, А.І. Мурашко, Р. Коллінз, Р.Р. Чугаєв, М.І. Хрисанов та ін., однак вони не розкривали фізичної суті явища і його вплив на процес фільтрації. Суттєвий вклад в розвиток теорії фільтрації і числових методів розв'язування задач фільтрації, зокрема конформних відображень, внесли вчені С.Ф. Авер'янов, В.М. Еміх, В.Л. Поляков, Б.Б. Девісон, Е.А. Замарін, А.М. Костяков, С.Ф. Авер'янов, М.Г. Бернардинер, О.Б. Стеля, П.Ф. Фільчаков, О.В. Голубєва, С.І. Ляшко, І.І. Ляшко, В.І. Лаврик, А.Я. Глущенко, І.В. Сергієнко, В.В. Скопецький, Г.М. Положій, В.М. Булавацький, В.С. Дейнека, Г.В. Голубєв, Н.Д. Якімов, В.Ф. Півень, Я.Г. Савула, Я.Й. Бурак, Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, Я.Д. П'янило, Б.В. Гера, М.М. Хлапук, А.П. Кузьменко, А.П. Власюк.

Важливе місце в теорії фільтрації займають крайові задачі з невідомими ділянками меж, аналітичні методи дослідження та розв'язування яких розробляло багато вчених, зокрема В.Н. Монахов, Н.М. Герсеванов, А.Б. Бегматов, Л.А. Галин, П.Я. Полубаринова-Кочина, М.А. Лаврентьєв, О.А. Олійник, А. Фридман, Т. Тинг, И. Ханзава, Л. Кафарелли, та інші. Однак аналітичні розв'язки задач фільтрації з вільними поверхнями припускають значні обмеження на форму області фільтрації, характер неоднорідності грунтів, вид крайових умов, і т.п. На сьогоднішній день Бомбою А.Я. та його учнями розроблено підхід до моделювання відповідних фільтраційних процесів у криволінійних областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями з урахуванням взаємовпливу характеристик середовища і процесу, розв'язування відповідних нелінійних крайових задач з післядією на квазіконформні відображення. Актуальним, а також важливим для науки і практики є поширення і розвинення відповідної методики на випадки фізичних областей з вільними поверхнями. У цьому ж розділі здійснено загальну постановку задач дослідження.

У другому розділі розроблено нові математичні моделі нелінійних процесів фільтрації в пористих середовищах з вільними межами з урахуванням післядії, анізотропних збурень та методологію розв'язування нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення вперше узагальнено на випадки модельних задач у деформівних пористих середовищах з вільними границями, включеннями, оптимізацією параметрів та керуванням. В основу досліджень покладено процес фільтрації у пористих середовищах з вільними межами, який описується законом Дарсі та рівнянням нерозривності , де - швидкість фільтрації; - деяка обмежена неперервна в функція (чи тензор другого рангу), що характеризує провідність середовища, його неоднорідність, анізотропію та схильність до деформації; - квазіпотенціал швидкості фільтраційного поля.

Зокрема, у п. 2.1 розглядається процес фільтрації в ґрунтовій греблі на непроникній основі. Відповідну фізичну область фільтрації зображено на рис. 1, де - вільна (невідома) поверхня (крива депресії), - проміжок височування, - непроникна основа греблі, та , - відповідно висота греблі та напори на ній, - ширина гребеня, та - проекції верхового та низового укосів, - фіктивна ділянка розглядуваної області фільтрації, , - шукана абсциса точки .



Рис. 1. Грунтова гребля на непроникній основі з проміжком височування

Процес фільтрації рідини в області розглядається за умов:

, , ; (1) ,

де - напір в точці , ,

- відповідна функція течії; Q - повна витрата (невідомий параметр), - параметр, що характеризує ступінь впливу градієнту напору на коефіцієнт фільтрації, функція шукається в процесі розв'язку задачі. Обернену задачу на квазіконформне відображення області на при невідомій витраті отримано у вигляді

де фільтраційна витрата (кількість води, що за одиницю часу поступає з верхнього у нижній б'єф) шукається в процесі розв'язку задачі, .

Проведено повну дискретизацію задачі, де диференціальні рівняння у частинних похідних другого порядку еліптичного типу апроксимовано дев'ятиточковою різницевою симетричною схемою, умови ортогональності ліній течії та еквіпотенціальних ліній до відповідних ділянок границі фізичної області - спеціальними числово-аналітичними різницевими рівняннями, а конформний інваріант - рівнянням, що забезпечує виконання умови “конформної подібності у малому” відповідних чотирикутників областей та . На основі методу блочної ітерації шляхом поетапної параметризації величини конформного інваріанта області, граничних та внутрішніх вузлів сітки побудовано алгоритм числового розв'язування задачі в результаті знайдено шукані параметри та , координати граничних та внутрішніх вузлів побудованої в області фільтрації динамічної сітки (,), де , , , положення вільної кривої , координати проміжку височування та зони збурення. При цьому , що відповідає „фіктивній області”, на кожному ітераційному кроці визначається з умови , тобто значення квазіпотенцiалу на вільній кривій корегується таким чином, щоб виконувалася умова на проміжку височування.

Побудований алгоритм модифіковано для випадів, коли в області фільтрації розглядаються різного роду включення (інородні тіла). На основі проведених чисельних розрахунків побудовано залежність зміни фільтраційної витрати та положення кривої депресії від зміни коефіцієнта фільтрації в області включення.

У п. 2.4 запропоновано методику та алгоритм числового розв'язування модельних нелінійних крайових задач фільтрації на квазіконформні відображення в областях, обмежених двома еквіпотенціальними лініями та двома лініями течії, коли однією з ділянок границі є невідома (вільна) крива із закріпленим та вільним кінцями (без проміжку типу „височування”), що „звільняє” від необхідності добудови фіктивних ділянок області. А саме: розглядається процес фільтрації в однозв'язнiй чотирикутній криволiнiйній областi (пористому пласті) , обмеженій чотирма гладкими кривими , , , , які в точках перетинаються під прямими кутами, де - вільна (невідома) крива, що знаходиться в процесі розв'язування, , , - задані функції, невідома точка С належить кривій DF, при умовах типу (1) та умові , - обмежена неперервно-диференційована функція.

Розроблено алгоритми розв'язування сформульованих задач, на цій основі розв'язано оптимізаційну задачу на встановлення мінімальної довжини закладання дренажу в грунтовій греблі для забезпечення відсутністі проміжку височування.

У п. 2.5 запропоновано методику розв'язування обернених нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення для випадку, коли область фільтрації (рис. 2а) є анізотропною. На основі проведених числових розрахунків встановлено, що поворот осей еліпса анізотропії навіть на незначний кут (близько ) призводить до підвищення положення вільної кривої приблизно до 15%.

Рис. 2. Область фільтрації з вільною кривою і проміжком височування а) та відповідна їй область комплексного квазіпотенціалу б)

Виявлено, що на положення вільної кривої значно вливає урахування зворотного впливу градієнта квазіпотенцiалу (зокрема, більших за його критичні значення) на фільтраційні характеристики середовища, або у випадку анізотропних середовищ - врахування збурюючої середовище анізотропії.

Так в п. 2.6 розроблено нову математичну модель та алгоритм числового розв'язування модельних нелінійних крайових задач фільтрації на квазіконформні відображення в областях з вільними межами з метою врахування анізотропних збурень. Причому характер залежності (поетапного переформування) тензора анізотропії в залежності від характеристик процесу (в першу чергу градієнта потенціалу) є таким, що провідність середовища змінюється в залежності не тільки від величини градієнта, але і від його напрямку (а саме, вважатимемо, що більша вісь еліпса анізотропії спрямована в напрямку градієнта). Зокрема, провівши розрахунки в області фільтрації (рис. 1) встановлено, що врахування анізотропних збурень середовища призводить до зміни положення вільної кривої та фільтраційної витрати до 6%. У третьому розділі запропоновано системний опис та побудовано алгоритм розв'язування модельних крайових задач фільтрації на конформні відображення в областях з невизначеними ділянками меж в залежності від зміни конструктивних параметрів середовища. Серед усіх можливих варіантів формування течії виділені ті із них, що характеризуються певними умовами оптимізації та керування.

Відповідні дослідження процесу фільтрації проводились в однозв'язній восьмикутній криволінійній області з вільними (невідомими) кривими (рис. 3), де - лінія течії, - еквіпотенціальні лінії (водні резервуари), за умов: , - зовнішня нормаль до відповідної ділянки границі даної області, , - обмежені неперервно-диференційовані функції (зокрема розглянуто випадок, коли , , ).



Рис. 3. Схема фільтрації до водозабору

У п. 3.2 розглянуто різні випадки формування течії в однозв'язній криволінійній області в залежності від параметрів, що характеризують розміри та взаємне розміщення об'єктів та (рис. 4), а саме - від висоти залягання “водозабору” при фіксованих та .

На рис. 4а зображено один із так званих „проміжних” випадків, коли глибина залягання “водозабору” є не надто великою, а саме - меншою деякого її критичного (шуканого) значення (). На рис. 4б зображено один із „ключових” випадків, а саме - “повного затоплення” за умов мінімальної глибини “водозабору” . На рис. 4в проілюстровано один із наступних „проміжних” випадків (), який характеризується наявністю кривої розділу течії = (), а на рис. 4г зображено „ключовий” із них, що характеризується умовою (початок спільної лінії розділу течії лежить на границі області: =, ). Випадок, зображений на рис. 4д, також є „ключовим”, для якого характерним є те, що (через позначено відповідне значення висоти ). На рис. 4е-4є зображено „проміжні” випадки формування течії за умови . На рис. 4ж наведено „ключовий” випадок, коли “водозабір” лежить на границі області (). Зауважимо, що граничний перехід від відповідного „проміжного” випадку до ключового () є нерівномірним, а саме має місце відомий парадокс типу Герсеванова.

а) б)

в) г)

д) е)

є) ж)

Рис. 4. Різні випадки формування течії в залежності від висоти залягання водозабору

На основі проведених досліджень розроблено комплексних підхід до моделювання фільтраційних процесів в областях з вільними ділянками меж та алгоритм розв'язування відповідних крайових задач, що включає можливість прогнозування різних типів ситуаційних станів в залежності від конструктивних параметрів гідроспоруд.

У четвертому розділі розроблено: варіант поєднання методу „фіктивних областей” і методологію розв'язування крайових задач фільтрації на конформні відображення для випадку областей з вільними кривим, які не є ні лініями течії, ні еквіпотенціальними лініями; методику розрахунку фільтраційних процесів в схилах долин (дамб) при швидкому піднятті рівня води; математичну модель фільтрації до шахтних створів для прогнозування процесу руйнування за рахунок суфозійних явищ.

Зокрема у п. 4.1.1 розглянуто квазіідеальний, (зокрема, ідеальний), процес (поле) в однозв'язній чотирикутній криволінійній області (пористому пласті) (рис. 5), обмеженій чотирма гладкими кривими , , , , якi в точках перетинаються під прямими кутами, де - вільна (невідома) крива, що знаходиться в процесі розв'язування задачі, , , , - задані функції, невідома точка належить кривій , а точка - кривій . Даний процес розглядається при умовах: , , , - обмежена неперервно-диференційована функція. Замість другої з (однієї із традиційних) умов на вільній кривій задано певні умови на деякій фіктивній області, що прилягає до даної ділянки межі. А саме, вважаємо, що на ділянці також має місце деякий процес (який є певним “продовженням” (розширенням) вихідного процесу), наприклад, вважатимемо, що рух в даній області відбувається за законом , де - деякий фіктивний тензор фільтрації, зокрема . Отже, відповідну задачу розв'язуємо у визначеній області за “незмінної” умови , “продовжених” умов та додаткової умови , при цьому вільну криву шукаємо за умови .

Рис. 5. Область фільтрації з вільною кривою , фіктивною підобластю а) та відповідна їй область комплексного потенціалу б)



Рис. 6. Оптимізаційна схема залягання дренажу

Вихідна задача зведена до конформного відображення розглядуваної області на відповідну область комплексного потенцiалу із заданою повною витратою та невідомим параметром . Побудований алгоритм у п. 4.1.1. модифіковано для випадку (п. 4.1.2), коли розглядається оптимізаційна задача () на встановлення мінімальної глибини залягання дрени, для забезпечення виконання умови (значення задається).

У п. 4.2 розроблено математичну модель нестаціонарного руху безнапірного фільтраційного потоку в однорідному клині, який моделює береговий укіс, схил долини, або укіс земляної греблі при нестаціонарній зміні рівнів біля нього, для подальшого розрахунку стійкості схилів долин. Розглянуто однорідний масив ґрунту, обмежений горизонтальною лінією (віссю оx), та прямою лінією, проведеною під кутом до осі оx. Криву депресії (у фіксований момент часу ) знайдено в результаті розв'язку рівняння, що є наслідком класичного рівняння теплопровідності „трансформованого” за допомогою конформного відображення області на відповідну область (тобто є граничним випадком , коли верховий укіс є вертикальним). Проведено ряд основних серії чисельних експериментів, які розрізняються кутом нахилу укосу до горизонталі та висотою підняття рівня води (висотою укосу).

Запропоновано математичну модель нестаціонарної фільтрації через дамбу із місцевих матеріалів при швидкому піднятті рівня води з врахуванням часу проходження паводка. Для побудови гідродинамічної сітки та розрахунку інших характеристик фільтраційного процесу використано спеціальну методологію „зміни стаціонарних станів” та існуючі алгоритми розв'язування крайових задач на конформні відображення для випадку областей з вільними кривими (а саме почергового “замороження” шуканих параметра конформності, внутрішніх та граничних вузлів криволінійної області, які проводились із використанням ідей методу блочної ітерації). При цьому „часову компоненту” задачі на кожному часовому етапі замінювалось деяким „фіктивним джерелом”, і задача зводилась до локально-конформного відображення відповідної області комплексного потенціалу на . В залежності від співвідношення між біжучим часом t та часом розглянуто 2 випадки: а) за наявності проміжку типу „височування”, б) за відсутності проміжку типу „височування”.

Побудовано математичну модель фільтрації до шахтних створів (п.4.4), націлену на прогнозування процесу руйнування за рахунок суфозійних явищ. А саме: розглядається процес фільтрації в оточуючому середовищі шахти (рис. 7), що має вигляд прямокутного паралелепіпеда (довжина якого є настільки великою в порівнянні з його шириною , що поперечними перетоками можна знехтувати, а відповідну задачу вважати двовимірною). В силу симетрії в якості вихідної (фізичної) розрахункової області приймаємо двовимірну область , обмежену кривою депресії (вільною кривою, яку знайдено в процесі розв'язку задачі), вертикальними ділянками (довжина якої визначається деякою усередненою висотою рівня підземних вод, або висотою відповідного пласта), (проміжок типу височування, величину якого знайдено в процесі розв'язування задачі), та горизонтальною непроникною ділянкою , яку в процесі розв'язування задачі певним чином доповнюємо так, що в відповідній розширеній (фіктивній) області криві , є еквіпотенціальними лініями, а та -лініями течії. При чому - має такий же характер „вільності”, як і , а різниця потенціалів (напорів) між та характеризується висотою пласта .

Рис. 7. Схема прогнозованих зон вимиву у шахтних створах за рахунок фільтраційно-суфозійних процесів

На основі проведених чисельних експериментів (при ) вста-новлено зону вимиву і найбільш імовірнісного обвалування шахти, визначено ступінь деформаційних процесів в масиві навколишнього простору шахти, що може бути використано для подальшого прогнозування її роботи.

Основні результати роботи та висновки

У дисертаційній роботі вирішена важлива науково-технічна задача розробки нових математичних моделей процесів фільтрації у схильних до деформації пористих середовищах з вільними ділянками меж із врахуванням фільтраційних збурень, післядією, включеннями та оптимізацією параметрів, розвиненні методів конформних і квазіконформних відображень розв'язування відповідних нелінійних крайових задач, а також створенні алгоритмів їхньої комп'ютерної реалізації.

Найбільш важливі наукові і практичні результати, висновки і рекомендації полягають у наступному:

1. Вперше сформовано математичні моделі процесів фільтрації у схильних до деформацій обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями пористих середовищах з вільними ділянками меж, включеннями, післядією за умов оптимізації параметрів і керування та на основі комбінації і модифікації методів квазіконформних відображень і фіктивних областей розроблено метод розв'язування відповідних крайових задач.

2. Вперше сформульовано математичну модель процесу фільтрації з післядією та керуванням для випадку, коли один із кінців вільної кривої є незакріпленим, розроблено алгоритм розв'язування відповідних нелінійних задач стосовно прогнозування стабілізації суфозійно-фільтраційної взаємодії та підняття кривої депресії, зокрема, на цій основі, розв'язано оптимізаційну задачу на встановлення мінімальної довжини закладеного в ґрунтовій греблі дренажу для забезпечення відсутності проміжку типу височування.

3. Розроблено нові математичні моделі фільтраційних процесів в анізотропних середовищах з вільними межами за умов урахування анізотропних збурень і алгоритми розв'язування відповідних крайових задач.

4. Вперше розроблено комплексних підхід до моделювання фільтраційних процесів в областях з вільними ділянками меж та алгоритм розв'язування відповідних крайових задач, що включає можливість передбачення різних типів ситуаційних станів в залежності від конструктивних параметрів гідроспоруд. Отримано інтегральні характеристики побудованих розв'язків задач (повна фільтраційна витрата; величини перетоків, тощо); відповідні їм “оптимізаційні” співвідношення, що дозволяють встановлювати найдоцільніші значення конструктивних параметрів гідроспоруд в залежності від характеристик ґрунту та гідродинамічної дії фільтраційного потоку.

5. Розроблено математичну модель та алгоритм розв'язування відповідних крайових задач фільтрації на конформні відображення для випадку областей з вільними кривими, які не є ні лініями течії, ні еквіпотенціальними лініями. Зокрема, на цій основі проведено розрахунок процесу фільтрації до дренажу із визначенням мінімальної глибини його залягання, що забезпечує встановлення положення вільної кривої нижче наперед заданого рівня.

6. Розроблено математичну модель та алгоритм розрахунку характеристик процесу фільтрації в схилах долин при швидкому піднятті та опусканні рівня води. Відповідну методику застосовано для розрахунку нестаціонарної фільтрації через дамбу із місцевих матеріалів при швидкому піднятті рівня води з врахуванням часу проходження паводка.

7. Практичне значення дисертаційної роботи полягає у наступному: створено програмний комплекс для розрахунку положення вільної поверхні, гідродинамічної сітки та інших характеристик процесу фільтрації у тілі дамби за умови швидкого підняття (до деякої висоти) води перед нею; побудовано математичну модель фільтрації до шахтних створів, націлену на прогнозування процесу руйнування за рахунок фільтраційно-суфозійних явищ; побудовано алгоритм розрахунку процесу фільтрації до дренажу за умови встановлення такого (оптимального) значення тиску на дрені (що реалізується на практиці, наприклад, шляхом прикриття зазору у вихідному регулюючому пристрої), щоб крива депресії не виходила із певних меж. На основі проведених числових розрахунків встановлено, що врахування анізотропних збурень середовища призводить до зміни положення вільної кривої та фільтраційної витрати до 6%.

Результати проведених комп'ютерних експериментів, порівняння їх з натурними даними є підтвердженням того, що запропоновані у роботі постановки задач та алгоритми їх числового розв'язування можуть бути застосовані при вирішенні різного роду проблем гідробудівництва, зокрема, при проектуванні дамб, оптимізації параметрів дренажних споруд та автоматизованому керуванні процесами в еко-енергосистемах. Вирішена проблема “обернення” крайових задач фільтрації на конформні та квазіконформні відображення є основою для розв'язання не менш важливої й актуальної проблеми моделювання процесів конвективної дифузії (міграції забруднень) на відповідних фільтраційних фонах.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Бомба А.Я. Нелінійні обернення крайових задач на квазіконформні відображення в анізотропних середовищах з вільними межами / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк, В.В. Скопецький // Доповіді НАН України. - 2010. - № 1 - С. 27-33.

2. Бомба А.Я. Системна методологія моделювання фільтраційних процесів в криволінійних областях з невизначеними ділянками меж / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк // Міжнародний науково-технічний журнал “Системні дослідження та інформаційні технології”. - 2009. - Вип. 4. - С. 117-128.

3. Бомба А.Я. Моделювання анізотропних збурень квазіідеальних процесів в середовищах з вільними межами / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк // Журнал обчислювальної та прикладної математики. - № 3(99). - 2009. - С. 3-9.

4. Бомба А.Я. Математичне моделювання фільтраційних процесів у криволінійних областях складної геометрії з невизначеними ділянками меж / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк // Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки. - 2009. - Вип. 4. - С. 73-76.

5. Бомба А.Я. Модифікація алгоритму числового розв'язання обернених задач на квазіконформні відображення для випадку областей з вільними межами / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк // Вісник Харківського національного університету. Серія „Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління”, № 833. - 2008. - С. 39-46.

6. Гаврилюк В.І. Метод фіктивних областей та оптимізація параметрів фільтраційних процесів у криволінійних областях з невизначеними ділянками меж / В.І. Гаврилюк // Вісник Тернопільського державного технічного університету. - 2010. - Вип. 1. - С. 204-209.

7. Барановський С.В. Про один підхід до апроксимації характеристик в'язкої водної течії та проблеми моделювання деформацій дна русла / С.В. Барановський, А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк // Вісник Тернопільського державного технічного університету. - 2006. - № 2. - С. 170-177.

8. Бомба А.Я. Новая методика решения нелинейных краевых задач со свободными границами и включениями / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк, В.В. Скопецький // Компьютерная математика. - 2007. - № 1. - С. 31-39.

9. Бомба А.Я. Метод фіктивних областей та керування фільтраційними процесами в областях з невизначеними ділянками меж / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк // Труды межд. школ-семинаров МДОЗМФ, вып. 7, изд. Орловского госуд. ун-та. - г. Орел, 2009. - C. 40-45.

10. Бомба А.Я. Чисельне розв'язання обернених нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення для двозв'язних областей з вільними поверхнями / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк, Д.О. Пригорницький // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. праць Кам'янець-Подільського національного університету. - 2008. - Вип. 1. - С. 33-41.

11. Бомба А.Я. Чисельно-асимптотичне розв'язання сингулярно збурених задач типу „фільтрація-конвекція-дифузія” в областях з вільними межами / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк, І.М. Присяжнюк // Волинський математичний вісник (серія “прикладна математика”). - 2008. - Вип. 5(14).- C. 27-38.

12. Бомба А.Я. Застосування методу фіктивних областей та методології квазіконформних відображень до моделювання нелінійних фільтраційно-суфозійних процесів в середовищах з вільними межами / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк, С.С. Каштан // Волинський математичний вісник (серія “прикладна математика). - 2005. - Вип. 12(3). - C. 28-38.

13. Гаврилюк В.І. Чисельне розв'язання модельних крайових задач на квазіконформні відображення в областях з вільними межами та однорідними включеннями / В.І. Гаврилюк // Волинський математичний вісник (серія “прикладна математика”). - 2007.- Вип. 4(13). - С. 65-76.

14. Бомба А.Я. Оптимізація параметрів розв'язків нелінійних модельних крайових задач на квазіконформні відображення з вільними межами і післядією / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк, Д.О. Пригорницький // Міжнародний симпозіум „Питання оптимізації обчислень” (ПОО-XXXIII). - Україна, Крим, Велика Ялта, смт. Кацивелі, 2007. - C. 34-35.

15. Бомба А.Я. Системна методологія нелінійного моделювання збурень фільтраційних процесів в криволінійних областях з невизначеними ділянками меж / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк // Системний аналіз та інформаційні технології: матеріали Х міжнародної науково-технічної конференції. - К.: НТУУ «КПІ», 2008. - С. 56.

16. Бомба А.Я. Метод фіктивних областей і конформних відображень розв'язання крайових задач з вільними межами / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк // XI міжнародна конференція ім. акад. М. Кравчука. - м. Київ, Національний технічний університет України “КПІ”, 2006. - C. 36.

17. Бомба А.Я. Моделювання квазіідеальних процесів в середовищах з вільними межами та врахуванням анізотропних збурень / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк // III міжнародна конференція „Обчислювальна та прикладна математика”. - Київ, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2009. - С. 24.

18. Бомба А.Я. Чисельне розв'язання обернених задач на квазіконформні відображення в областях з вільними межами / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк // Збірник матеріалів міжнародної наукової школи-конференції „Тараповські читання”. - Харків: Видавничий центр ХНУ ім. В.Н. Каразіна, 2008. - С. 218-219.

19. Бомба А.Я. Прийняття рішень та керування фільтраційними процесами у криволінійних областях з невизначеними ділянками меж / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк // PDMU-2008 international conference „Problems of decision making under uncertainties”. - Kyiv-Rivne, Ukraine. - 2008. - р. 64-65.

20. Бомба А.Я. Прийняття рішень та керування нелінійними фільтраційними процесами у криволінійних анізотропних областях з невизначеними ділянками меж / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк // PDMU-2009 International Conference „Problems of decision making under uncertainties”. - Kyiv-Rivne, Ukraine. - 2009. - р. 67.

21. Гаврилюк В.І. Моделювання нестаціонарного процесу розмиву ґрунтового масиву на схилі греблі / В.І. Гаврилюк, І.М. Присяжнюк // ІІ Міжнародна науково-практична конференція „Наука, освіта, суспільство очима молодих”. - Рівне, 2009. - С. 166.

22. Бомба А.Я. Метод фіктивних областей розв'язання крайових задач на конформні відображення в областях з невизначеними ділянками меж / А. Я. Бомба, В.І. Гаврилюк // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача. - Львів: ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України, 2009. - С. 116-117.

23. Бомба А. Я. Метод фіктивних областей і квазіконформних відображень розв'язання крайових задач з вільними межами / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк // XIII всеукраїнська наукова конференція “Сучасні проблеми прикладної математики” присвячена 150-річчю з дня народження Івана Франка. - Львів: Львівський національний університет імені Івана Франка, 2006. - C. 20.

24. Бомба А.Я. Чисельно-асимптотичний розв'язок нелінійних сингулярно збурених задач типу “фільтрація-конвекція-дифузія” в областях з вільними межами / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк, І.М. Присяжнюк // XIV Всеукраїнська наукова конференція „Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” присвячена 90-річчю з дня народження проф. О.М. Костовського. - Львів: Львівський національний університет імені Івана Франка, 2007. - C. 30-31.

...