Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Харківський національний університет радіоелектроніки

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

Математичне моделювання розподілу корисних копалин методами інтерлінації та інтерфлетації функцій

Штепа Неля Ігорівна

Харків 2010

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Українській інженерно-педагогічній академії, м. Харків,

Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, Литвин Олег Миколайович, Українська інженерно-педагогічна академія, завідувач кафедри вищої і прикладної математики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Грищенко Олександр Юхимович, Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, професор кафедри обчислювальної математики

доктор фізико-математичних наук, професор Недашковський Микола Олександрович, Тернопільський національний економічний університет, завідувач кафедри автоматизованих систем і програмування

Захист відбудеться “_11_” березня 2010 р. о _14-00_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 64.052.07 при Харківському національному університеті радіоелектроніки: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Харківського національно-го університету радіоелектроніки: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14

Автореферат розісланий “_9_” лютого 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Гребеннік І.В.

1. Загальна характеристика роботи

математичний копалина інтерполяційний

Актуальність теми. Важливим напрямком в забезпеченні енергетичної незалежності України є розвиток вугледобувної та нафто - газодобувної промисловості, які є одними з головних складових економіки країни. При цьому вугілля має пріоритет у паливно-енергетичному комплексі України - вугілля є головним енергоносієм в нашій державі, частка якого складає більше ніж 90% запасів вітчизняних енергоресурсів (запаси кам'яного вугілля складають понад 43 млн. т., а бурого-понад 2,5 млн. т.) - Анциферов А.В. Теория и практика шахтной сейсморазведки. Донецк: ООО «Алан».-2003.- 311 с. Процес вугледобування є найскладнішим при розробці корисних копалин. У вугледобувній промисловості рентабельність, технологія, ефективність та безпека праці залежать від геологічних умов розроблюваних родовищ, тобто від структури кори Землі. Очевидним є зростання механізації та автоматизації виробничих процесів, збільшення виробничих потужностей, використання нових технологій розробки родовищ. Це накладає підвищені вимоги до повноти і вірогідності використовуваних даних про структуру кори Землі та до методів їх використання. Математичне моделювання (ММ), суть якого полягає в заміні досліджуваного об'єкта його "образом" - математичною моделлю - є , разом з подальшим вивченням моделі за допомогою відповідних обчислювально-логічних методів на ПЕОМ, основою розвитку сучасної науки і техніки. Цей метод пізнання, конструювання, проектування об'єднує в собі ряд достоїнств теорії та експерименту. Дослідження об'єкта (явища, процесу) замінюється дослідженням його моделі, дає можливість без істотних затрат і відносно швидко дослідити властивості об'єкту і його поведінку у різних ситуаціях, що притаманне теорії. З іншого боку, обчислювальний (комп'ютерний, імітаційний) експеримент з математичною моделлю об'єкта дозволяє вивчати об'єкти з достатньою повнотою, недоступною для чисто теоретичних досліджень, що притаманне експерименту.

Тому актуальною є розробка та дослідження нових методів побудови математичних моделей розподілу корисних копалин, на основі використання даних з кернів свердловин і сучасних методів теорії наближення функцій багатьох змінних.

Великий вклад в математичне моделювання об'єктів, процесів, явищ внесли Сергієнко І.В., Дейнека В.С., Скопецький В.В., Самарський А.А., Марчук Г.І., Яненко М.М., Рвачов В.Л., Литвин О.М. та інші.

Основними методами побудови і дослідження математичних моделей розподілу корисних копалин Землі є чисельні методи, тісно пов'язані з методами зондування кори Землі за допомогою свердловинного буріння, сейсмічного зондування, методами вивчення гравітаційного, магнітного полів Землі за допомогою даних, що поступають зі штучних супутників Землі, розв'язанням відповідних початково-крайових задач з граничними умовами на поверхні Землі тощо. Зокрема, важливими з теоретичної та практичної точок зору є методи сейсмічної томографії (зокрема, шахтної), у розвиток якої істотний вклад внесли Азаров М.Я., Анциферов А.В., Ю.Н. Воскресенський, А.А. Глухов, James G. Berryman, G. Nolet, David Gubbins, Richard C. Selley та інші.

Математичні моделі (ММ) кори Землі на основі даних свердловинного буріння істотно повинні враховувати наступні відомі факти.

Розміщення свердловин на поверхні Землі є нерегулярним, тобто їхні координати не мають явно вираженого аналітичного зв'язку, взагалі кажучи. Як відомо, в цьому випадку задача побудови інтерполяційного полінома з коефіцієнтами і властивостями (- задані) може не мати єдиного розв'язку (наприклад, на с.24 книги «Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир.- 1969» відомого математика Лотара Коллатца, написане наступне (переклад автора автореферату) : «Невеликі труднощі зустрічаються уже в зовсім простій задачі - по дев'яти заданих значеннях в дев'яти точках заданих, наприклад, координатами степеня (третього)». Враховуючи, що поліном третього степеня від двох змінних має десять коефіцієнтів, їх знаходження з дев'яти інтерполяційних умов буде, очевидно, неоднозначним.

Наведемо також приклад розміщення свердловин на поверхні реального об'єкта - рудника №1 Артемівського родовища кам'яної солі.

Ці та інші приклади приводять нас до висновку: актуальною є задача побудови і дослідження методів математичного моделювання розподілу корисних копалин методами інтерлінації та інтерфлетації функцій трьох змінних, що відрізняються високою точністю і можливістю використання даних про структуру кори в кожній свердловині (структуру керна), в залежності від глибини і, що є найбільш цінним для практики, можуть бути використані для нерегулярно розміщених у просторі прямих - свердловин.

Дисертація виконана впродовж 2005 - 2009 років на кафедрі прикладної математики, а з вересня 2009 р. - на кафедрі вищої і прикладної математики Української інженерно-педагогічної академії (м. Харків) в рамках наукових програм, планів, тем кафедри, присвячених розвиненню теорії інтерлінації, інтерфлетації, мішаної апроксимації функцій багатьох змінних та застосуванням цієї теорії.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова математичних моделей розподілу корисних копалин на базі даних з кернів свердловин методами поліноміальної, узагальненої поліноміальної, сплайн-інтерлінації та сплайн-інтерфлетації функцій трьох змінних і узагальнених глобальних інтерполяційних формул Дональда Шепарда або Олега М. Литвина.

Для досягнення цієї мети було поставлено такі задачі:

1. Побудувати і дослідити ММ просторового розподілу корисних копалин методами поліноміальної та сплайн-інтерлінації (невідомої, взагалі кажучи) функції 3-х змінних - просторового розподілу корисних копалин - на системі регулярно розміщених у просторі прямих - свердловин.

2. Побудувати і дослідити ММ просторового розподілу корисних копалин у корі Землі методами інтерлінації функції 3-х змінних на системі нерегулярно розміщених у просторі прямих - свердловин та кусково-поліноміальних за змінними допоміжних функцій.

3. Побудувати і дослідити ММ просторового розподілу корисних копалин методами інтерлінації функцій трьох змінних узагальненими поліномами.

4. Побудувати і дослідити ММ розподілу корисних копалин методами інтерлінації функції на нерегулярно розміщених у просторі прямих - свердловин з використанням узагальнень глобальної інтерполяційної формули Дональда Шепарда.

5. Побудувати і дослідити ММ розподілу корисних копалин методами інтерлінації функцій на нерегулярно розміщених у просторі прямих - свердловин з використанням узагальнень глобальної інтерполяційної формули Олега М.Литвина.

6. Побудувати і дослідити ММ розподілу корисних копалин методами інтерфлетації функцій на системі взаємно-перпендикулярних площин.

7. Перевірити ефективність запропонованих моделей за допомогою обчислювального експерименту на основі створених дисертантом програм, які реалізують вказані вище методи побудови ММ розподілу корисних копалин.

8. Побудувати і дослідити ММ поверхонь даху або підошви родовищ за допомогою точок в регулярно або нерегулярно розміщених свердловинах.

9. Побудувати і дослідити метод оцінки запасів корисних копалин родовищ за допомогою системи точок в нерегулярно розміщених свердловинах.

Об'єкт дослідження - процес математичного моделювання внутрішньої структури кори Землі.

Предмет дослідження - математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою даних в кернах свердловин, інтерлінації та інтерфлетації функцій 3-х змінних, що описують розподіл корисних копалин у всіх точках.

Методи дослідження. Теоретичні дослідження опираються на загальні методи функціонального аналізу, обчислювальної математики, теорії наближення функцій кількох змінних з використанням інтерлінації та інтерфлетації. В основу чисельної реалізації покладено інтерлінацію функцій з використанням даних про розподіл корисних копалин, отриманих шляхом аналізу вмісту кернів свердловин.

Наукова новизна одержаних результатів. В роботі отримано нові результати, що виносяться на захист:

1. Вперше побудовані ММ розподілу корисних копалин методами поліноміальної та сплайн - інтерлінації функції на системі регулярно розміщених у просторі прямих - свердловин та даних про розподіл копалин в кернах свердловин.

2. Вперше побудовані ММ розподілу корисних копалин за допомогою інтерлінації функцій на системі нерегулярно розміщених у просторі прямих - свердловин з використанням кусково-лінійних або кусково-квадратичних за змінними допоміжних функцій та даних про розподіл копалин в кернах свердловин, що дозволяє досліджувати реальні практичні ситуації розміщення свердловин.

3. Вперше побудована ММ розподілу корисних копалин за допомогою даних про розподіл копалин в кернах свердловин та інтерлінації функцій трьох змінних узагальненими поліномами на системі регулярно розміщених у просторі прямих - свердловин, що відкриває шлях до побудови ММ загального типу.

4. Вперше побудована ММ розподілу корисних копалин за допомогою даних в кернах нерегулярно розміщених у просторі прямих - свердловин та узагальненої глобальної інтерполяційної формули Дональда Шепарда.

5. Вперше побудовані ММ розподілу корисних копалин за допомогою даних в кернах нерегулярно розміщених у просторі прямих -свердловин та узагальнень глобальної інтерполяційної формули Олега М. Литвина. Вказані узагальнення глобальних інтерполяційних формул Д. Шепарда і О. М. Литвина дозволяють отримувати ММ, які зберігають глобальний клас гладкості.

6. Вперше побудовані ММ розподілу корисних копалин методами інтерфлетації функцій на системі взаємно-перпендикулярних площин, що дозволяє розширити типи інформаційних даних.

7.Розроблено метод оцінки запасів корисних копалин на основі запропонованих в дисертації математичних моделей їх розподілу.

Практичне значення одержаних результатів роботи полягає в тому, що результати дисертації можуть бути використані при розв'язанні таких важливих технічних задач, як знаходження оцінки запасів корисних копалин на основі результатів свердловинного буріння, проектуванні добувних підприємств. Запропонований метод побудови математичних моделей дозволяє розв'язувати задачу оптимального вибору підземних напрямків розробки родовищ корисних копалин з метою досягнення найбільшої продуктивності добувного підприємства, задачу дослідження зони вилужування в соляних шахтах тощо.

Запропонований метод побудови ММ просторового розподілу корисних копалин між свердловинами дозволяє, після відповідного узагальнення, будувати ММ структури кори Землі із використанням всіх складових, що містяться в кернах свердловин. Це дозволяє стверджувати, що на основі таких ММ можуть бути створені нові ефективні методи розвідки корисних копалин та розробки родовищ.

Особистий внесок здобувача. Основний зміст дисертаційної роботи опубліковано у 7 роботах [1-7]. Основні результати за темою дисертації отримані особисто автором. У працях, опублікованих у співавторстві, особистий внесок здобувача полягає у побудові і дослідженні властивостей операторів інтерлінації лагранжевого типу на системі взаємно-перпендикулярних прямих з використанням узагальнених поліномів [1]; побудові і дослідженні математичної моделі розподілу корисних копалин за допомогою інтерлінації функцій трьох змінних з використанням аналізу вмісту кернів свердловинного буріння [2]; побудові та дослідженні операторів інтерлінації на системі взаємно-перпендикулярних прямих з використанням узагальнених поліномів [3]; проведена перевірка методу оцінки запасів корисних копалин на основі аналізу результатів свердловинного буріння і узагальненої інтерлінації функцій 3-х змінних [4]; дисертант приймала участь у розробці методу математичного моделювання розподілу корисних копалин з використанням інтерлінації функцій трьох змінних[5]; дисертант приймала участь у доведенні лем і теорем про властивості узагальнених на тривимірний випадок формул О.М.Литвина і Д. Шепарда., а також у розробці і програмній реалізації алгоритмів, проведенні тестування і аналізі отриманих результатів [6].

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на міжнародному симпозіумі "Питання оптимізації обчислень", с. Кацивелі, Крим (вересень 2009 року); на IV міжнародній школі-семінарі «Теорія прийняття рішень». Ужгород (29 вересня- 4 жовтня). 2008 р., на XLII науково-практичній конференції УІПА, Харків ( грудень 2008 р).

Публікації. Основні результати опубліковано у 7 роботах [1-7], з них 2 - у Доповідях НАН України, 1 стаття в журналі «Компьютерная математика», 2 статті в працях міжнародного симпозіуму «Питання оптимізації обчислень», 1 публікація у тезах доповідей на міжнародній школі-семінарі «Теорія прийняття рішень», 1 публікація у тезах доповідей науково-практичної конференції УІПА.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація включає вступ, чотири розділи, список використаних джерел із 101 найменування (на 12 сторінках) і 5-ти додатків. Загальний обсяг роботи складає 175 сторінок, включаючи 121 сторінку основного тексту, 14 ілюстрацій.

2. Основні результати роботи та висновки

У вступі обґрунтовано актуальність проблем, що досліджуються у роботі, сформульовано мету та задачі досліджень, визначено наукову новизну роботи і практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі дисертаційної роботи проведено аналіз сучасного стану методу побудови математичних моделей (ММ) структури кори Землі на основі обробки даних з кернів свердловинного буріння. Важливим висновком до першого розділу є наступне твердження: оскільки свердловини розміщені на поверхні регулярно та нерегулярно (взагалі кажучи), то актуальною є розробка і дослідження ММ розподілу корисних копалин за допомогою операторів інтерлінації функцій 3-х змінних на системі прямих - свердловин, регулярно та нерегулярно розміщених у просторі.

У другому розділі “Математичне моделювання розподілу корисних копалин методами інтерлінації функцій» наведені означення інтерлінації, інтерфлетації функцій багатьох змінних (див. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування. Харків: Основа, 2002.-544 с.).

Хай- задане число ліній (наприклад, прямих)

у просторі і - сліди деякої (взагалі кажучи, невідомої) неперервної функції - просторового розподілу корисних копалин- на цих лініях, тобто функції, що задовольняють умови: .

Означення 1. Оператором інтерлінації (англ. inter-між, line-лінія) функції на системі ліній називається оператор з властивостями.

Таким чином, оператори інтерлінації мають на лініях інтерлінації ті ж сліди, що і наближувана функція. Тому їх можна використовувати для наближеного обчислення функції між вказаними лініями.

Хай- задане число поверхонь

у просторі і - сліди деякої (взагалі кажучи, невідомої) неперервної функції на цих поверхнях , тобто функції, що задовольняють умови:.

Означення 2. Оператором інтерфлетації (від англ. inter-між, flat-поверхня плоска) функції на системі поверхонь називатимемо оператор з властивостями.

Таким чином, оператори інтерфлетації мають на вказаних поверхнях (поверхнях інтерфлетації) ті ж сліди, які має функція. Тому оператори інтерфлетації можна використовувати для наближеного обчислення функції між поверхнями.

У підрозділах 2.2-2.3 побудовані ММ розподілу корисних копалин методами поліноміальної та сплайн - інтерлінації функцій на системі регулярно-розміщених у просторі прямих - свердловин .

Введемо допоміжні базисні поліноми або сплайни (деякого степеня), з властивостями

Оператор є оператором поліноміальної інтерлінації (якщо - алгебраїчні поліноми) або сплайн - інтерлінації (якщо - сплайни) на системі прямих - свердловин .

Теорема 2.1. Оператори мають властивості.

Для оцінки похибки наближення функції операторами сплайн-інтерлінації виконується оцінка, порядок сплайна.

Теорема 2.2. Похибка наближення функції операторами поліноміальної інтерфлетації може бути зображена у вигляді

Теорема 2.3. Для похибки наближення функції операторами сплайн - інтерфлетації виконується наступна оцінка,.

У підрозділі 2.4 досліджується інтерлінація функцій двох змінних за допомогою узагальнених поліномів двох змінних, а також аналізуються деякі аспекти використання отриманих формул для побудови ММ просторового розподілу корисних копалин за допомогою слідів цієї функції на деякій системі площин. При цьому вважаються відомими:

- системи взаємно-перпендикулярних прямих,;

- система слідів на цих прямих деякої, взагалі кажучи, невідомої функції;

- дві системи лінійно-незалежних на функцій однієї змінної ( або ).

У роботі за допомогою цієї інформації побудовані оператори інтерлінації з властивостями;.

При побудові цих формул використовуються наступні леми, що стосуються наближення узагальненими поліномами функцій однієї змінної ; на випадок змінної твердження цих лем переносяться без істотних змін.

Лема 2.1. Хай система функцій задовольняє умову і коефіцієнти у формулі знаходяться з умов

Лема 2.3. Хай алгебраїчні доповнення до го елемента го рядка детермінанта Вронського.

У дисертаційній роботі, крім широко використовуваної системи функцій детальніше досліджена також система.

Твердження цих лем використовуються для побудови операторів узагальненої інтерлінації на системі прямих - свердловин та операторів узагальненої інтерфлетації на системі площин.

Теорема 2.4. Оператор інтерлінує функцію трьох змінних на системі прямих - свердловин:

Теорема 2.5. Оператор є оператором інтерфлетації функції на площинах

Теорема 2.6. Похибка наближення кожної неперервної функції задовольняє наступне співвідношення

Для порівняння вказаних двох типів операторів наближення, в дисертаційній роботі доведено наступне співвідношення для похибки

Ці оцінки дійсні для написаних вище операторів інтерлінації з регулярним розміщенням прямих інтерлінації - свердловин. Але практика свідчить про те, що свердловини розміщені на поверхні Землі нерегулярно.

Тому у розділі 3 будуються ММ методами інтерлінації функцій на системі нерегулярно розміщених у просторі прямих - свердловин з використанням кусково-поліноміальних за змінними функцій. При цьому змінна розглядається, як параметр.

Хай множина точок на поверхні Землі (у Балтійській системі вимірювання глибин) належить опуклій оболонці Розіб'ємо на трикутники. Виберемо довільний трикутник з вершинами і побудуємо нескінчену область, яка при кожному значенні змінної є трикутником з вершинами . Ця область є циліндричною областю з твірною, паралельною осі і має форму трикутної призми з гранями, паралельними осі . Вважаємо, що для відновлення розподілу корисних копалин кори Землі у внутрішніх точках вказаної циліндричної області задані функції , отримані шляхом аналізу вмісту кернів свердловинного буріння. У кожній точці невідому функцію - щільність розподілу корисної копалини у точці - представляємо у вигляді функції, побудованої нижче. Введемо до розгляду систему функцій

Теорема 3.1. Оператор має наступні властивості: а) він є оператором інтерлінації функцій 3-х змінних на системі прямих

б) кожній неперервній функції цей оператор ставить у відповідність теж неперервну функцію:.

Написані вище у п. 3.1 лінійні за змінними та оператори інтерлінації можна узагальнити наступним чином. Введемо допоміжних функцій з властивостями і побудуємо оператори

Теорема 3.2. Оператор має наступні властивості:

а) він є оператором інтерлінації функцій 3-х змінних на системі прямих В роботі також досліджується кусково-квадратична інтерлінація для випадку, коли посередині між кожними двома вершинами трикутника з вершинами розміщена ще одна свердловина. Тобто, для відновлення розподілу корисних копалин усередині використовуються дані про розподіл корисної копалини в кернах з шести свердловин.

Теорема 3.3. Узагальнена формула Д. Шепарда (Shepard D. Two-Dimensional Interpolation Function for Irregulary Spaced Data, Proc. 23rd Nat. Conf. ACM, 1968.- Р.517-524) для функцій трьох змінних є формулою інтерлінації на системі прямих - свердловин з властивостями

Теорема 3.4. Узагальнена формула О.М. Литвина (Литвин О.М. Формули Тейлора і Даламбера. Інтерлінація функцій. Методика вивчення. Рекомендації викладачам і студентам. Київ: УМК ВО, 1990. - 48 с. ) для функцій є формулою інтерлінації на системі прямих - свердловин з властивостями,

Теорема 3.5. Узагальнена формула О.М. Литвина для функцій є формулою інтерлінації на системі прямих - свердловин з властивостями:

При з вказаних узагальнених формул отримаємо формули Дональда Шепарда і Олега М. Литвина, відповідно.

Практика показує, що допоміжні функції у формулах інтерлінації О.М.Литвина мають менші варіації між свердловинами, порівняно з допоміжними функціями, запропонованими Д. Шепардом.

У четвертому розділі наведено результати тестування методів створення математичних моделей розподілу корисних копалин на основі використання даних вмісту кернів свердловин.

В підрозділі 4.1 наведено тестування для прикладу Л. Коллатца. В підрозділі 4.2 аналізуються результати обчислювального експерименту з підрахунку запасів корисних копалин на основі запропонованих методів. Хай множина точок на поверхні Землі (у Балтійській системі вимірювання глибин) належить опуклій оболонці Розіб'ємо на трикутники. Виберемо довільний трикутник з вершинами і побудуємо нескінчену область, яка при кожному значенні змінної є трикутником з вершинами . Ця область є циліндричною областю з твірною, паралельною осі і має форму трикутної призми з гранями, паралельними осі . Для обчислення запасів корисних копалин на основі даних з кернів свердловинного буріння вважаємо, що у свердловинах - ребрах області нам задані числа:

- глибини точок у свердловинах, які відповідають верхній точці залягання пласта корисної копалини та щільність корисної копалини у цій точці - глибини точок у свердловинах, які відповідають нижній точці залягання пласта корисної копалини та щільність корисної копалини у цій точці отримані шляхом аналізу вмісту кернів свердловинного буріння.

Введемо до розгляду систему функцій.

Зауважимо, що поверхня є кусково-лінійною поверхнею. Її графік є багатогранником, кожна грань якого є площиною, яка проходить через точки . Будемо надалі вважати, що ці точки визначаються формулами. Якщо вважати, що на глибинах щільності розподілу корисних копалин однакові то графік функції є поверхнею, яка описує дах родовища.

Аналогічні міркування приводять нас до висновку: якщо на глибинах щільності розподілу корисних копалин однакові то графік функції

є поверхнею, яка описує підошву родовища. Тому оцінку об'єму запасів корисних копалин можна обчислити за формулою (при умові, що між поверхнями даху і підошви родовища щільність стала)

- площа трикутника.

Для порівняння знайдені об'єми порівнювалися з об'ємами для різних функцій . Розглянуто два приклади.

Приклад 4.1. Для функції розподілу знайти об'єм у області, що обмежена зверху площиною, а знизу - площиною і у проекції на площину збігається з областю , яка є об'єднанням трикутників розбиття.

Точне значення обсягу запасів: VT=7.732, а наближене:V=7.732

Таким чином, значення інтегралу від точної функції та від сплайн-інтерлінанта по заданій області , що є об'єднанням трикутників і обмежена зверху площиною , а знизу - площиною для даного прикладу збіглися.

Приклад 4.2. Наступна функція, що описує щільність залягання корисних копалин в точках з координатами, яка була використана у даній дисертаційній роботі для тестування методу математичного моделювання розподілу корисних копалин, має вигляд .

При цьому, для оцінки запасів корисної копалини, розподіленої за вказаною формулою у області, проекція якої на площину дорівнює області , що є об'єднанням трикутників і обмежена зверху площиною , а знизу - площиною отримані такі результати. Тобто, у цьому прикладі похибка при обчисленні запасів корисних копалин дорівнює

Аналіз результатів обчислювального експерименту підтверджує теоретичні твердження роботи про те, що похибка наближення функції за допомогою операторів інтерлінації на системі прямих - свердловин з використанням кусково-лінійних за змінними допоміжних функцій, зменшується при умові, що крок - максимальна сторона трикутників розбиття - є величиною, меншою одиниці , а також при умові, що наближувана функція має невеликі за модулем частинні похідні. Наближуюча функція точно відновлює сталі і лінійні розподіли: Якщо, то.

Якщо функція збігається з узагальненою формулою Д. Шепарда або О.М. Литвина і ММ розподілу корисних копалин використовує для опису розподілу теж ці узагальнені формули Д. Шепарда або О.М.Литвина, відповідно, то ця ММ буде точно відновлювати розподіл.

Висновки

Робота присвячена побудові нових математичних моделей розподілу корисних копалин методами інтерлінації функцій 3-х змінних на системі прямих - свердловин з використанням даних про розподіл в кернах свердловин. В роботі використовується припущення про наявність системи функцій, які є розподілами корисної копалини в свердловинах у залежності від глибини , або наявність системи функцій, які є розподілами корисної копалини на площинах або, відповідно. В роботі:

1. Вперше побудовані і досліджені просторові ММ розподілу корисних копалин між свердловинами, регулярно розміщені на поверхні Землі методами поліноміальної або узагальненої поліноміальної інтерлінації, а також методами сплайн - інтерлінації. Це дозволяє побудувати ММ для класичних випадків розподілу свердловин.

2. Вперше побудовані і досліджені просторові ММ розподілу корисних копалин між свердловинами, розміщеними нерегулярним чином на поверхні Землі методами кусково-поліноміальної інтерлінації функцій, допоміжні функції яких є кусково-лінійними або кусково-квадратичними за змінними. Це дозволяє розглядати реальні випадки розміщення свердловин.

3. Вперше побудовані і досліджені ММ розподілу корисних копалин між свердловинами, розміщеними нерегулярно на поверхні Землі методами інтерлінації з використанням узагальнених глобальних інтерполяційних формул Д. Шепарда.

4. Вперше побудовані і досліджені ММ розподілу корисних копалин між свердловинами, розміщеними нерегулярно на поверхні Землі методами інтерлінації з використанням узагальнених глобальних інтерполяційних формул О. М.Литвина.

5. Вперше побудовані і досліджені ММ розподілу корисних копалин у просторі між системою взаємно-перпендикулярних площин, паралельних осі , якщо на кожній з вказаних площин відомий розподіл корисних копалин.

6. Використання розроблених ММ у практиці розвідки та розробки родовищ корисних копалин відкриває нові можливості для аналізу родовищ, зокрема, оптимізації вибору горизонтів, напрямків видобування корисних копалин, підрахунку їх запасів, дослідження границі зон вилужування кам'яної солі тощо.

7. Запропонований в даній роботі метод побудови ММ просторового розподілу корисних копалин між свердловинами дозволяє, після відповідного узагальнення, будувати ММ структури кори Землі із використанням всіх складових кернів свердловин, що приведе до створення ефективних методів розвідки корисних копалин та розробки родовищ.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Литвин О.М. Оператори інтерлінації лагранжевого типу на системі взаємно-перпендикулярних прямих з використанням узагальнених поліномів/ О. М. Литвин, Н. І. Штепа // Доповіді НАН України. - 2008. - № 5. - С. 25-29.

2. Литвин О.М. Математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою інтерлінації функцій трьох змінних/ О.М. Литвин, Н.І. Штепа // Доповіді НАН України. - 2009. - № 1. - С. 25-29.

3. Литвин О.Н. Операторы интерлинации на системе взаимно-перпендикулярных прямых с использованием обобщенных полиномов/ О.Н. Литвин, Н.И. Штепа // Компьютерная математика. - 2008. - № 1. - С. 99-108.

4. Литвин О.М. Метод оцінки запасів корисних копалин на основі аналізу результатів свердловинного буріння і узагальненої інтерлінації функцій 3-х змінних /О.М. Литвин, Н.І. Штепа // Збірник тез доповідей XLII науково-практичної конференції УІПА.10-15 грудня 2008 р. Частина 1.Харків. - 2008. - С.84.

5. Литвин О.М. Про математичне моделювання структури кори Землі з використанням інтерлінації функцій трьох змінних/ О.М. Литвин, Н.І. Штепа // Праці IV міжнародної школи-семінару «Теорія прийняття рішень». Ужгород: УжНУ. 29 вересня - 4 жовтня. 2008. - С.105.

6. Литвин О.М. Математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою інтерлінації функцій трьох змінних/ О.М. Литвин, Н.І. Штепа // Праці міжнародного симпозіуму «Питання оптимізації обчислень (ПОО-XXXV)», Крим, смт. Кацивелі, 24-29 вересня 2009. т.2.Київ. -2009. - С. 20-24.

7. Штепа Н.І. Математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою інтерлінації функцій трьох змінних // Праці міжнародного симпозіуму «Питання оптимізації обчислень (ПОО-XXXV)», Крим, смт. Кацивелі, 24-29 вересня 2009. т.2. Київ.-2009. - С. 415-419.

Анотація

Штепа Н. І. Математичне моделювання розподілу корисних копалин методами інтерлінації та інтерфлетації функцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. -м. Харків, 2010.

Дисертацію присвячено розробці і дослідженню нового методу побудови математичної моделі тривимірної структури кори Землі за допомогою даних вмісту кернів свердловин, операторів інтерлінації та інтерфлетації невідомої функції трьох змінних , яка описує просторовий розподіл копалин у всіх точках. Розроблено теоретичні основи побудови операторів інтерлінації функцій трьох змінних, які мають задані сліди на системі прямих - свердловин, розміщених регулярним і нерегулярним чином на поверхні Землі. Таке розміщення свердловин є типовим для практики, про що свідчать також наведені в роботі приклади поверхні даху Солотвинського родовища кам'яної солі (Західна Україна), а також поверхні однієї з дільниць Артемівського родовища кам'яної солі (Донецька область).

Особлива увага приділена побудові і дослідженню операторів інтерлінації функцій трьох змінних на системі прямих - свердловин, розміщених нерегулярно на поверхні Землі. Це пов'язане з тим, що у цьому випадку авторові довелось розробляти принципово нові формули інтерлінації функцій трьох змінних на системі прямих -свердловин.

Для розв'язання цієї задачі в роботі пропонується використовувати узагальнені поліноми, оператори сплайн - інтерлінації, яка використовує кусково-поліноміальні за змінними допоміжні функції, параметри яких є функціями змінної - глибини біжучої точки у свердловині. Такі сплайн-інтерлінанти функцій трьох змінних є узагальненням (на випадок наближення функцій трьох змінних) кусково-лінійних функцій двох змінних, що використовуються в методі опису рельєфу поверхні Землі у вигляді багатогранної поверхні, кожна грань якої є площиною (вершини такої грані розміщені в точках тріангуляції Землі).

В роботі запропоновано і досліджено загальний метод побудови математичної моделі внутрішньої структури кори Землі за допомогою узагальнень глобальної інтерполяційної формули Дональда Шепарда та узагальнень глобальної інтерполяційної формули Олега М. Литвина у наступному вигляді: за змінними наближуючі функції є формулами Дональда Шепарда або Олега М. Литвина з параметрами, які є функціями змінної - глибини у свердловині.

Для отриманих теоретичних результатів проведене тестування за допомогою створеного автором пакету програм.

В дисертаційній роботі наведені приклади реальних об'єктів, які підтверджують актуальність досліджень: розміщення свердловин і даних, отриманих з кернів цих свердловин для зображення поверхні даху Солотвинського родовища кам'яної солі (Західна Україна), а також опис розміщення свердловин і даних, отриманих з кернів цих свердловин для зображення поверхні даху однієї з дільниць Артемівського родовища кам'яної солі (Донецька область України).

Ключові слова та словосполучення: корисні копалини, математична модель, керни свердловин, глобальна інтерполяційна формула Дональда Шепарда, глобальна інтерполяційна формула Олега М. Литвина, сплайни, інтерлінація, інтерфлетації функцій.

Аннотация

Штепа Н. И. Математическое моделирование распределения полезных ископаемых методами интерлинации и интерфлетации функций. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. -г.Харьков, 2010.

Дисертация посвящена разработке и исследованию нового метода построения математической модели трехмерного распределения полезных ископаемых в структуре коры Земли с помощью данных, содержащихся в кернах скважин, операторов интерлинации и интерфлетации функций трех переменных. Разработаны теоретические основы построения операторов интерлинации функций трех переменных, которые имеют заданные следы на системе прямых - скважин, распределенных регулярным и нерегулярным образом на поверхности Земли. Особое внимание уделено построению и исследованию математических моделей на основе операторов интерлинации функций трех переменных на системе прямых - скважин, распределенных нерегулярно на поверхности Земли. Для решения этой задачи в работе предлагается использовать обобщенные полиномы, операторы сплайн-интерлинации, использующие кусочно-полиномиальные по переменным вспомогательные функции, параметры которых являются функциями переменной - глубины текущей точки в скважине. Такие сплайн-интерлинанты функций трех переменных являются обобщениями (на случай приближения функций трех переменных) кусочно-линейных функций двух переменных, которые используются в методе описания рельефа поверхности Земли в виде многогранной поверхности, грани которой являются плоскостями (вершины такой грани размещены в точках триангуляции Земли).

В работе предложен и исследован общий метод построения математической модели распределения полезных ископаемых в структуры коры Земли с помощью обобщений глобальной интерполяционной формулы Дональда Шепарда и глобальной интерполяцинной формулы Олега Н. Литвина в следующем виде: по переменным приближающие функции являются формулами Дональда Шепарда или Олега Н. Литвина с параметрами, которые являются функциями переменной - глубины текущей точки в скважине.

Для предложенных теоретических результатов проведено тестирования с помощью созданного автором пакета программ.

В диссертационной работе приведены примеры реальных объектов, подтверждающие актуальность исследований: описание размещения скважин и данных, полученных из кернов этих скважин для изображения поверхности крыши Солотвинского месторождения каменной соли (Западная Украина), а также описание размещения скважин и данных, полученных путем анализа кернов этих скважин для одного из участков Артемовского месторождения каменной соли (Донецкая область Украины).

Ключевые слова и словосочетания: полезные ископаемые, математическая модель, керны скважин, глобальная интерполяционная формула Дональда Шепарда, глобальная интерполяционная формула Олега Н. Литвина, сплайны, интерполяция, интерлинация, интерфлетация функций.

Abstract

Shtepa N. І. Mathematical modelling of distribution of minerals by means of methods of interlineation and interflatation of the functions. - the Manuscript

The dissertation on competition of scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on a speciality 01.05.02 - mathematical modelling and computing methods. Kharkov, 2010.

The dissertation is devoted working out of a new method of construction of mathematical model of three-dimensional structure of a bark of the Earth with the help data, chinks containing in cores, operators interlineation and interflatation functions of three variables. Theoretical bases of construction of operators interlineations of the functions of three variables which have the set traces on system of straight lines - the chinks distributed in the regular and irregular image on a surface of the Earth are developed. A lot of attention is given construction and research of operators interlineations functions of three variables on system of straight lines - the chinks distributed irregularly on a surface of the Earth. For the decision of this problem in work it is offered to use the generalized polynomial operators a spline - interlineation, using piecewise-polinomial on variables of the auxiliary function which parametres are functions of variable - those depths - points in a chink. Such a spline - interlineation functions of three variables are generalizations (on a case of approach of functions of three variables) piecewise-linear functions of two variables which are used in a method of the description of a relief of a surface of the Earth in the form of the many-sided surface which sides are planes (tops of such side are placed in points of a triangulation of the Earth). In work the general method of construction of mathematical model of internal structure of a bark of the Earth with the help generalizations global interpolation formulas Donald Shepard and generalizations global interpolation formulas Oleg N. Lytvyn a following kind is offered: on variables approaching functions are global interpolation formulas Donald Shepard or global interpolation formulas Oleg N.Lytvyn with parametres which are functions of variable - depths of a current point in a chink.

For the offered theoretical results it is spent testings by means of the software package created by the author of dissertation.

In dissertation the examples of the real objects are given, which confirming an urgency of researches are resulted: the description of placing of chinks and the data received from cores of these chinks, for the image of a surface of a roof of the Solotvinsky deposit of stone salt (West Ukraine), and also the description of placing of chinks and the data received by the analysis of cores of these chinks, for one of sites of the Artemovsky deposit of stone salt (Donetsk region of Ukraine)

Keywords and word-combinations: minerals, mathematical model, cores of chinks, global interpolation Donald Shepard formula, global interpolation Oleg N. Lytvyn formula, a splines, interpolation, interlineation, interflatation of the functions.

Размещено на Allbest.ru

...