Нелинейная регрессия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Применение аспектов математики в различных областях знании? (экономика, физика, химия, биология, социология и т.д.) принесло значительные успехи. В настоящее время идет накопление информации в различных областях экономических знании? с использованием эконометрики.

Эконометрика - одна из базовых дисциплин экономического образования во всем мире. Однако до недавнего времени она не была признана в СССР и России. Это было связано с тем, что из трех основных составляющих эконометрики - экономическои? теории, экономическои? статистики и математики - две первые были представлены в нашеи? стране неудовлетворительно. Но теперь ситуация изменилась коренным образом.

При постановке задач эконометрического моделирования следует определить их иерархическии? уровень и профиль. Анализируемые задачи могут относиться к макро- (страна, межстрановои? анализ), мезо- (регионы внутри страны) и микро- (предприятия, фирмы, семьи) уровням и быть направленными на решение вопросов различного профиля инвестиционнои?, финансовои? или социальнои? политики, ценообразования, распределительных отношении? и т.п.

В первой части данной работы мы определим понятие эконометрики, рассмотрим сущность эконометрического метода и сущность эконометрической модели. Во второй - рассмотрим подробнее нелинейные модели парной регрессии и корреляции.

эконометрика моделирование регрессия корреляция



1. Понятие эконометрики и сущность эконометрической модели

Существуют различные варианты определения эконометрики:

1) расширенные, при которых к эконометрике относят все, что связано с измерениями в экономике;

2) узко инструментально ориентированные, при которых понимают определенныи? набор математико-статистических средств, позволяющих верифицировать модельные соотношения между анализируемыми экономическими показателями.

На наш взгляд, наиболее точно объяснил сущность эконометрики один из основателеи? этои? науки Р. Фриш, которыи? и ввел этот название в 1926 г.: «Эконометрика - это не то же самое, что экономическая статистика. Она не идентична и тому, что мы называем экономическои? теориеи?, хотя значительная часть этои? теории носит количественныи? характер. Эконометрика не является синонимом приложении? математики к экономике. Как показывает опыт, каждая из трех отправных точек - статистика, экономическая теория и математика - необходимое, но не достаточное условие для понимания количественных соотношении? в современнои? экономическои? жизни. Это единство всех трех составляющих. И это единство образует эконометрику».

Эконометрика - это самостоятельная научная дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, приемов, методов и моделеи?, предназначенных для того, чтобы на базе экономическои? теории, экономическои? статистики и экономических измерении?, математико-статистического инструментария придавать конкретное количественное выражение общим (качественным) закономерностям, обусловленным экономическои? теориеи?.

Эконометрическии? метод складывался в преодолении следующих трудностеи?, искажающих результаты применения классических статистических методов (сущность новых терминов будет раскрыта в дальнеи?шем):

1. асимметричности связеи?; ?

2. мультиколлинеарности связеи?; ?

3. эффекта гетероскедастичности; ?

4. автокорреляции; ?

5. ложнои? корреляции; ?

6. наличия лагов. ?

Для описания сущности эконометрическои? модели удобно разбить весь процесс моделирования на шесть основных этапов:

1-и? этап (постановочныи?) - определение конечных целеи? моделирования, набора участвующих в модели факторов и показателеи?, их роли;

2-и? этап (априорныи?) - предмодельныи? анализ экономическои? сущности изучаемого явления, формирование и формализация априорнои? информации, в частности, относящеи?ся к природе и генезису исходных статистических данных и случаи?ных остаточных составляющих;

3-и? этап (параметризация) - собственно моделирование, т.е. выбор общего вида модели, в том числе состава и формы входящих в нее связеи?;

4-и? этап (информационныи?) - сбор необходимои? статистическои? информации, т.е. регистрация значении? участвующих в модели факторов и показателеи? на различных временных или пространственных тактах функционирования изучаемого явления;

5-и? этап (идентификация модели) - статистическии? анализ модели и в первую очередь статистическое оценивание неизвестных параметров модели;

6-и? этап (верификация модели) - сопоставление реальных и модельных данных, проверка адекватности модели, оценка точности модельных данных.

Эконометрическое моделирование реальных социально- экономических процессов и систем обычно преследует два типа конечных прикладных целеи? (или одну из них):

1) прогноз экономических и социально-экономических показателеи?, характеризующих состояние и развитие анализируемои? системы;

2) имитацию различных возможных сценариев социально-экономического развития анализируемои? системы (многовариантные сценарные расчеты, ситуационное моделирование).

При постановке задач эконометрического моделирования следует определить их иерархическии? уровень и профиль. Анализируемые задачи могут относиться к макро- (страна, межстрановои? анализ), мезо- (регионы внутри страны) и микро- (предприятия, фирмы, семьи) уровням и быть направленными на решение вопросов различного профиля инвестиционнои?, финансовои? или социальнои? политики, ценообразования, распределительных отношении? и т.п.

2. Нелинейные модели парной регрессии и корреляции

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Различают два класса нелинейных регрессий:

1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например

- полиномы различных степеней -

y_х = a + b x + c x² ,

y_х = a + b x + c x² + d x³ ;

- равносторонняя гипербола -

y_х = a + b?x ;

- полулогарифмическая функция -

y_х = a + b ln x .

2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например

- степенная - y_х = a x^b ;

- показательная - y_х = a b^x ;

- экспоненциальная - y_х = e^{a+b x} .

Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов. Рассмотрим некоторые функции.

Парабола второй степени y_х = a + b x + c x² приводится к линейному виду с помощью замены x = x₁ , x² = x₂ . В результате приходим к двухфакторному уравнению y_х = a + b x₁ + c x₂ , оценка параметров которого при помощи метода наименьших квадратов приводит к системе следующих нормальных уравнений:

А после обратной замены переменных получим



Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую.

Равносторонняя гипербола y_х = a + b?x может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива от объема выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, процента прироста заработной платы от уровня безработицы (например, кривая А.В. Филлипса), расходов на непродовольственные товары от доходов или общей суммы расходов (например, кривые Э. Энгеля) и в других случаях. Гипербола приводится к линейному уравнению простой заменой: Система линейных уравнений при применении метода наименьших квадратов будет выглядеть следующим образом:

Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости

и другие.

Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не приводятся).

К внутренне линейным моделям относятся, например, степенная функция - ,

показательная - ,

экспоненциальная -

, логистическая - ,

обратная - .

К внутренне нелинейным моделям можно, например, отнести следующие модели:

Среди нелинейных моделей наиболее часто используется степенная функция , которая приводится к линейному виду логарифмированием:

где Y = ln y , X = ln x , A = ln a , E = ln е . То есть метод наименьших квадратов мы применяем для преобразованных данных:



а затем потенцированием находим искомое уравнение.

Широкое использование степенной функции связано с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование - он является коэффициентом эластичности (Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%). Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:

Так как для остальных функций коэффициент эластичности не является постоянной величиной, а зависит от соответствующего значения фактора x , то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности:

Приведем формулы для расчета средних коэффициентов эластичности для наиболее часто используемых типов уравнений регрессии:



Таблица 1

Возможны случаи, когда расчет коэффициента эластичности не имеет смысла. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения в процентах.

Уравнение нелинейной регрессии, так же, как и в случае линейной зависимости, дополняется показателем тесноты связи. В данном случае это индекс корреляции:

где - общая дисперсия результативного признака y,

- остаточная дисперсия.

Величина данного показателя находится в пределах: 0 ? P_xy? 1.

Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака y , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

то есть имеет тот же смысл, что и в линейной регрессии;

Индекс детерминации P²_xy можно сравнивать с коэффициентом детерминации r²_xy для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина r²_xy меньше P²_xy . А близость этих показателей указывает на то, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию.

Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения регрессии по F - критерию Фишера:

где P²_xy индекс детерминации, n - число наблюдений, m - число параметров при переменной x. Фактическое значение F -критерия сравнивается с табличным при уровне значимости б и числе степеней свободы k₂ = n - m - 1 (для остаточной суммы квадратов) и k₁ = m (для факторной суммы квадратов).

О качестве нелинейного уравнения регрессии можно так же судить и по средней ошибке аппроксимации.

Рассмотрим пример: предположим, что связь между признаками носит нелинейный характер, и найдем параметры следующих нелинейных уравнений:

, ,

Для нахождения параметров регрессии делаем замену z = ln x и составляем вспомогательную таблицу (е = y - y_х).

Таблица 2

Найдем уравнение регрессии:

То есть получаем следующее уравнение регрессии:

Теперь заполняем столбцы 8-11 нашей таблицы.

Индекс корреляции находим по формуле:

а индекс детерминации P²_xy = 0,918 , который показывает, что 91,8% вариации результативного признака объясняется вариацией признака-фактора, а 8,2% приходится на долю прочих факторов.

Средняя ошибка аппроксимации В = 14,51% , что недопустимо велико.

F - критерий Фишера:

значительно превышает табличное F_табл = 5,99.

Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:

Рис. 1.



Для нахождения параметров регрессии делаем замену z = vx и составляем вспомогательную таблицу (е = y - y_х).

Таблица 3

Найдем уравнение регрессии:

То есть получаем следующее уравнение регрессии:

Теперь заполняем столбцы 8-11 нашей таблицы.

Индекс корреляции находим по формуле:



а индекс детерминации P² = 0,991 , который показывает, что 99,1% вариации результативного признака объясняется вариацией признака-фактора, а 0,9% приходится на долю прочих факторов.

Средняя ошибка аппроксимации: В = 0,0498 ? 100% = 4,98% показывает, что линия регрессии хорошо приближает исходные данные.

F - критерий Фишера:

значительно превышает табличное значение F_табл = 5,99.

Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:

Рис. 2.

Для нахождения параметров регрессии y = a ? x^b ? е необходимо провести ее линеаризацию, как было показано выше:

Составляем вспомогательную таблицу для преобразованных данных:



Таблица 4.

Найдем уравнение регрессии:

То есть получаем следующее уравнение регрессии:

После потенцирования находим искомое уравнение регрессии:

Теперь заполняем столбцы 7-10 нашей таблицы.

Индекс корреляции находим по формуле:



а индекс детерминации P² = 0,967 , который показвает, что 96,7% вариации результативного признака объясняется вариацией признака-фактора, а 3,3% приходится на долю прочих факторов.

Средняя ошибка аппроксимации: В = 4,39% показывает, что линия регрессии хорошо приближает исходные данные.

F - критерий Фишера:

значительно превышает табличное значение F_табл = 5,99.

Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:

Рис. 3.

Сравним построенные модели по индексу детерминации и средней ошибке аппроксимации:



Таблица 5.

Наиболее хорошо исходные данные аппроксимирует модель с квадратным корнем. Но в данном случае, так как индексы детерминации линейной модели и модели с квадратным корнем отличаются всего на 0,004, то вполне можно обойтись более простой линейной функцией.

Размещено на Allbest.ru

...