Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 519.21

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Спеціальність 01.05.04 - Системний аналіз і теорія оптимальних рішень

Побудова оптимального портфеля в умовах невизначеності

Боднар Тарас Дмитрович

Київ - 2009

Дисертація є рукописом

Робота виконана у Львівському національному університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Єлейко Ярослав Іванович, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри теоретичної та прикладної статистики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Ясинський Володимир Кирилович, завідувач кафедри математичної і прикладної статистики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича кандидат технічних наук, доцент Кулян Віктор Романович, доцент кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Захист відбудеться 18 червня 2009 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: м. Київ, просп. Академіка Глушкова, 2, корпус 6, факультет кібернетики, а. 24.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01601, м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий 16 травня 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради П.М. Зінько.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. У двадцятих роках минулого століття, до яких відносять зародження теорії фінансів як частини мікроекономіки, відповідна їй “математика” зводилася, фактично, до обчислення складних відсотків. Основний інтерес тоді був пов'язаний із питаннями адміністрування та збільшення фондів підприємства.

Наступний розвиток теорії йшов у двох напрямках - у припущенні умов повної визначенності та невизначеності.

У першому випадку провідну роль зіграли роботи І. Фішера, а також роботи Ф. Моділіані і М. Міллера. В їх роботах розглянуто прийняття оптимальних рішень для індивідуумів та фірм. Математично все зводилося до максимізації або мінімізації функцій багатьох змінних при наявності певних обмежень.

У другому випадку класичною являється робота Г. Марковіца, у яких він розглядав проблему інвестиційних рішень індивідуумів у умовах невизначеності. Відповідний імовірностний аналіз, названий “mean-variance analysis”, виявив дуже важливу роль коваріації між цінами різних цінних паперів, як важливої компоненти, від якої залежить ступінь ризику портфеля.

Наступним важливим етапом у розвитку теорії фінансів є робота У. Шарпа, в якій ідеї і методи Марковіца дістали своє продовження в широко відомій моделі CAPM (“Capital Asset Pricing Model”), яка пояснює діяльність інвесторів на ринку, який перебуває у рівновазі. У 1976 р. вийшла у світ робота С. Росса, в якій для опису рівноваги ринку були використані ідеї арбітражу. Відповідна теорія APT (“Arbitrage Pricing Theory”) пояснювала поведінку інвесторів. Як частковий випадок вона включала в себе CAPM. Ринок, який знаходиться в стабільному стані, не має допускати арбітражних ситуацій, тобто можливостей збільшити прибуток без ризику.

У 1973 опубліковано роботу Блека та Шоулза і роботу Мертона, в яких вироблено певну методику, яку запропоновано для визначення раціональної ціни, що покупець має заплатити за покупку опціона. Одним із найбільших здобутків фінансової математики є “формула Блека-Шоулза”. Розвинута в роботі Блека та Шоулза теорія не тільки дала методи обчислення вартості опціона, але і дозволила знаходити ті оптимальні біржові операції продавця опціона, щоб обумовлені умовами контракту можливі платежі, залежні від випадкового стану цін на ринку, гарантованим чином були виконані. Дані публікації були дуже швидко використані в практиці фінансових обчислень.

Методи пошуку оптимальних рішень розглядаються в розділах класичної математики, пов'язаних із вивченням екстремумів функцій, в математичному програмуванні. В багатьох випадках оцінка рішенняпроводиться використовуючи один аспект або критерій. На практиці ж рішення потрібно оцінювати з різних точок зору, враховуючи економічні (вартість, ресурсомістність), технічні та інші аспекти. Це вимагає побудови оптимізаційних моделей за декількома критеріями одночасно.

Такі моделі розробляються в теорії вибору та прийняття рішення. Тут при постановці задачі вже не достатньо побудувати оптимізаційний функціонал чи функцію, а потрібно ввести принцип оптимізації, який визначатиме поняття оптимального рішення. Оскільки оптимальність рішення, навіть в одній і тій самій ситуації, має різні тлумачення, то можливі принципи оптимізації у моделях прийняття рішення передчасно не фіксуються.

Для того, щоб звести задачу прийняття рішення до стандартної задачі оптимізації, потрібно сформулювати додаткові гіпотези, які безпосередньо не випливають з умови задачі. У задачах теорії вибору з багатьма критеріями природнім є намагання зведення їх до задач із одним критерієм, оскільки для таких задач існують добре відпрацьовані методи розв'язування.

З проблемою прийняття рішення стикається багато підприємств. Перші з них у якості основного напрямку діяльності беруть максимізацію прибутку, другі - мінімізацію ризику, пов'язаного із виробничою діяльністю, треті - мінімізацію видатків на зберігання та доставку сировини і готової продукції. Тобто будь-яке підприємство намагається оптимізувати свою діяльність.

Важливу роль у розв'язанні цих проблем відіграє фінансова математика, яка бере свій початок з 1900 року. Одним із напрямків математичного моделювання в економіці є теорія прийняття рішення, провідну роль у якій відіграють марківські процеси прийняття рішення. Інтенсивний розвиток марківських процесів прийняття рішення започатковано в 1960 році.

Марківські процеси використовуються для розв'язування багатьох задач у системному аналізі, теорії надійності, діагностиці, управлінні запасами, прогнозуванні. Використання оптимальних стратегій управління, які отримуються за допомогою алгоритмів, що розроблені в теорії марківських процесів прийняття рішення, може дати вагомий економічний ефект при розв'язуванні практичних задач.

Знаходження стратегій, які в залежності від поставленої мети підприємства максимізують або мінімізують задану цільову функцію, є основною метою марківських процесів прийняття рішення. Математичним апаратом у цьому випадку є теорія дискретних ланцюгів Маркова.

Проте перехідна економіка вносить свої корективи в проблему прийняття рішення. Тут виникає питання не тільки про прийняття рішення, а й про стійкість цього рішення відносно зовнішнього середовища протягом деякого часу. У фінансовій математиці перехідній економіці відповідає збурене середовище, в якому функціонує підприємство.

У даній дисертації розглядаються способи вирішення цих та інших проблем. портфель інвестор торгівля марківський

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, проведені в дисертації, передбачені планами наукової роботи Львівського національного університету імені Івана Франка. Матеріал дисертації є складовою частиною досліджень держбюджетних тем: “Побудова математичних моделей та розробка методів дослідження крайових задач для диференціальних рівнянь і випадкових еволюцій”, що виконувалася на кафедрі теоретичної та прикладної статистики Львівського національного університету імені Івана Франка протягом 2000-2002 рр. (шифр МД-23Б, номер державної реєстрації 0100U001411), та “Аналітичні методи дослідження перехідних явищ у випадкових еволюціях”, що виконувалася на кафедрі теоретичної та прикладної статистики Львівського національного університету імені Івана Франка протягом 2003-2005 рр. (шифр МС-129Ф, номер державної реєстрації 0103U001876) за напрямком “Фундаментальні дослідження найважливіших проблем природничих, суспільних і гуманітарних наук”, Секція 1. Математика в рамках комплексної наукової програми “Інформатизація суспільства”.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є побудова стратегій для пошуку оптимальних рішень у перехідних економіках, а також аналіз стійкості знайдених стратегій відносно збуреності зовнішнього середовища.

Задачі дослідження:

аналіз поведінки векторів оптимальних стратегій і їхньої стійкості у збуреному зовнішньому середовищі;

побудувати оптимальний портфель інвестора у випадку торгівлі на ринку, який розвивається;

визначити залежність коефіцієнта ризику інвестора від типу еліптичного розподілу;

застосувати результати теоретичних досліджень на практиці, використавши індекси ринків цінних паперів країн, що перебувають у стадії розвитку.

Об'єктом дослідження є марківські процеси прийняття рішень в перехідних економіках, оптимальні портфельні ваги в сенсі максимізації очікуваної квадратичної функції корисності та відношення Шарпа.

Предметом дослідження є збіжність оптимальних стратегій у перехідних економіках і, зокрема, стохастична поведінка оптимальних портфельних ваг у випадку альтернативних нормальному розподілу - еліптичних розподілів.

Методи дослідження. Для встановлення збіжності оптимальних стратегій використовуються методи теорії ймовірності та математичної статистики, розвинуті у роботах Я.І. Єлейка. Стохастичні властивості оптимальних портфельних ваг для еліптичних розподілів отримуються використовуючи результати Мюірхеда, Андерсона, Фанга та Котца.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі отримані в дисертації результати є новими. У роботі

вперше вивчена поведінка сім'ї векторів сумарних середніх доходів та доведено її одностайну неперервність та передкомпакність;

вперше запропоновано використовувати вектори функцій розподілів оптимальних стратегій для пошуку оптимальних рішень;

вперше розглянуто поведінку оптимальних портфельних ваг для різних типів розподілів прибутковостей цінних паперів. Показано, що у випадку оптимальних портфельних ваг, які отримуються з максимізації очікуваної квадратичної функції корисності, припущення на розподіли прибутковостей цінних паперів прямо пов'язане з коефіцієнтом ризику інвестора.

Практичне значення одержаних результатів. Результати даної роботи мають теоретичний характер і є вагомим внеском у теорію прийняття оптимальних рішень і дослідження їх стійкості у перехідних економіках. Результати можуть бути використані для пошуку оптимальних рішень, для формування оптимального портфеля і керування ним.

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що увійшли у дисертацію, отримані її автором самостійно. Результати дисертації опубліковано в шістьох наукових статтях, з них чотири одноосібні, одна - у співавторстві з науковим керівником професором Я.І. Єлейком, в якій здобувачеві належать лема 1, теореми 1, 2, 3 та їхні доведення [1], одна - у співавторстві з Я.І. Єлейком та В.І. Єлейком [4], в якій здобувач довів передкомпакність сім'ї векторів сумарних середніх ризиків.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що увійшли в дисертацію, доповідались та обговорювались на:

Міжнародній конференції “Прогнозування і прийняття оптимальних рішень в умовах невизначеності” (м. Київ, 2001 р.);

Міжнародній студентської конференції EERC “Права власності в перехідних економіках” (м. Київ, 2001 р.);

Львівському регіональному семінарі з теорії імовірності та математичної статистики (кер. проф. Я.І. Єлейко),

а також анонсовані у тезах:

Міжнародній конференції “Проблеми прийняття оптимальних рішень в умовах невизначеності” (м. Алушта, 2006 р.);

Міжнародній конференції “Проблеми прийняття оптимальних рішень в умовах невизначеності” (м. Східниця, 2006 р.);

Міжнародній конференції “Прогнозування і прийняття оптимальних рішень в умовах невизначеності” (м. Київ, 2002 р.);

Міжнародній науково-практичній конференції “Ризик в економіці та підприємництві” (м. Київ, 2001 р.);

Другій міжнародній економетричній конференції “Економетричні методи і моделі в економіці” (2001 р.)

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 10 наукових працях (5 у співавторстві) загальним обсягом 1,74 д.а. (0,34 д.а), з яких 1,46 належать особисто автору. Серед них 3 статті, загальним обсягом 0,91 д.а., опубліковано у фахових виданнях з переліку ВАК України, 2 статті у наукових журналах та 5 тези міжнародних конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел (65 найменувань на 6 сторінках). Повний обсяг роботи - 131 сторінки, з них 119 стор. - основного тексту.

Основний зміст роботи

У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертаційної роботи, вказується зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами, формулюються мета і задачі досліджень, наводяться наукова новизна і практичне значення одержаних у дисертації результатів. Також тут вказано на особистий внесок здобувача, наведено апробацію результатів дисертації, описано структуру та обсяг дисертаційної роботи.

Перший розділ містить огляд літератури за тематикою дисертаційної роботи та за спорідненими задачами. У ньому також вводяться основні поняття, формулюються означення, подається розгорнутий огляд результатів дисертації.

У другому розділі дисертації досліджено поведінку векторів оптимальних стратегій у перехідних економіках та їхню стійкість у збуреному зовнішньому середовищі.

У теоремі 2.1 встановлено неперервність векторів сумарних середніх прибутків на метричному просторі стратегій.

У теоремах 2.2-2.4 та наслідку 2.1 доведено неперервність, одностайна неперервність, рівномірна обмеженість та передкомпакність даної сім'ї.

Існування та єдиність вектора функцій розподілів стратегій для кожної стратегії показано в теоремі 2.6.

Використовуючи результати теореми встановлюється взаємнооднозначне відображення між функціями розподілів стратегій та стратегіями.

У лемі 2.2 та теоремі 2.7 показано, що дана функція є метрикою на просторі векторів функцій розподілів і встановлено неперервність векторів функцій розподілів на просторі стратегій.

У розділах 3 і 4 розглядається формування оптимального портфеля та його стохастичні властивості у випадку торгівлі на фондових ринках країн, що розвиваються. Результати отримано за умови еліптичного розподілу прибутковостей цінних паперів. Сім'я еліптичних розподілів дуже часто використовується для опису прибутковостей цінних паперів, оскільки вона включає в себе багато відомих у практичному застосуванні багатовимірних розподілів, такі як: нормальний розподіл, мішаний нормальний розподіл, II і VII типи розподілу Пірсона, багатовимірний -розподіл, багатовимірний Коші розподіл, логістичний розподіл та інші. Еліптичні розподіли, контури яких мають подібний до нормального розподілу вигляд густини, є привабливою альтернативою багатовимірної нормальності. Ця сім'я розподілів може застосовуватися для моделювання фондових ринків країн з перехідною економікою, оскільки вона включає в себе велику кількість розподілів з повільно спадаючими хвостами.

У дисертації вивчено поведінку оцінок оптимальних ваг для заданого стану зовнішнього середовища у випадку скінченновимірної та асимптотичної вибірок. Через ми позначимо вимірний вектор очікуваних прибутковостей цінних паперів портфеля, а через коваріаційну матрицю. У роботі отримано асимптотичні розподіли оцінок оптимальних ваг. Для цього припущено, що прибутковості цінних паперів описуються багатовимірним стаціонарним процесом.

У розділі 4 вивчаються стохастичні властивості оптимальних портфельних ваг для різних типів еліптичних розподілів. Показується, що вибір еліптичного розподілу є прямо пов'язаний з коефіцієнтом ризикованості інвестора. Також розглядається питання існування моментів оптимальних портфельних ваг для різних типів розподілів.

Для застосування отриманих результатів на практиці ми розглянемо величини індексів ринків цінних паперів країн, що розвиваються (України, Польщі та Росії) у часовому періоді з 8 січня 2003 по 30 березня 2004. Базуючись на даній даті, можна порахувати прибутковості і сформувати оптимальний портфель в сенсі максимізації очікуваної квадратичної функції корисності.

Висновки

Дисертаційна робота присвячена розв'язанню проблеми оптимального рішення в збуреному середовищі та побудові оптимального портфеля на фондових ринках країн, що розвиваються.

У дисертаційній роботі вперше вивчена поведінка сім'ї векторів сумарних середніх доходів та доведено її одностайну неперервність та передкомпакність, вперше для пошуку оптимальних рішень в збуреному середовищі використано вектори функцій розподілів оптимальних стратегій, вперше розглянуто поведінку оптимальних портфельних ваг для різних типів розподілів прибутковостей цінних паперів. Показано, що у випадку оптимальних портфельних ваг, які отримуються з максимізації очікуваної квадратичної функції корисності, припущення на розподіли прибутковостей цінних паперів прямо пов'язане з коефіцієнтом ризику інвестора. Отримані в дисертації результати застосовано для аналізу поведінки оптимальних портфельних ваг у залежності від типу еліптичного розподілу прибутковостей цінних паперів, а також розглянуто їх застосування на практиці.

У дисертації вперше:

- доведено неперервність, одностайну неперервність, рівномірну обмеженість та передкомпактність сім'ї векторів сумарних середніх прибутків;

- встановлено взаємнооднозначну відповідність між метричним простором стратегій та метричним простором векторів-функцій розподілів стратегій;

- виведено формулу середнього і коваріації оптимальних портфельних ваг у сенсі максимізації очікуваної квадратичної функції корисності для еліптичних розподілів;

- одержано формули вищих моментів у випадку двох цінних паперів;

- показано, що не існують моменти порядку вище першого для оптимальних портфельних ваг, що максимізують відношення Шарпа;

- доведено, що оцінки оптимальних портфельних ваг асимптотично нормально розподілені;

- встановлено пряму залежність між коефіцієнтом ризику інвестора і типом еліптичного розподілу прибутковостей цінних паперів;

- сформовано оптимальний інвестиційний портфель для різних типів еліптичних розподілів, використовуючи величини індексів фондових ринків трьох країн, що розвиваються - України, Польщі та Росії.

Основні результати дисертаційної роботи мають завершений характер, їх доведення є повними і вони застосовані на практиці для формування оптимального портфеля на ринках цінних паперів країн, що розвиваються - України, Польщі та Росії.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Боднар Т.Д. Статистичні властивості двовимірного оптимального портфеля / Т.Д. Боднар // Математичні методи і фізико-механічні поля. - 2006. - T.49. - C. 37-42.

Боднар Т.Д. Формування оптимального портфеля в альтернативних моделях / Т.Д. Боднар // Вісник Київського університету Серія: фізико-математичні науки. - 2007. - T. І. - C. 109-113.

Боднар Т.Д. Оптимальний інвестиційний портфель для різних типів розподілів повернень / Т.Д. Боднар // Вісник Львівського університету Серія: механіко-математична. - 2007. - T.67. - C. 5-13.

Єлейко Я.І. Про використання векторів функцій розподілів стратегій для пошуку оптимальних рішень / Я.І. Єлейко, Т.Д. Боднар // Економічна кібернетика. - 2002. - T. 5-6. - C. 49-54.

Єлейко Я.І. Економетричний аналіз сім'ї векторів сумарних середніх ризиків / Я.І. Єлейко, В. І. Єлейко, Т.Д. Боднар // Вісник Львівської комерційної академії Серія: економіки. - 2002. - T .12. - C. 329-330.

Bodnar T. D. Markov decision processes in the transition economics / T. D. Bodnar, Y. I. Yelejko // Prediction and decision making under uncertainties : international conference, September 11-14, 2001 : abstracts - Кyiv, 2001.- P. 46-48.

Боднар Т.Д. Про сім'ю векторів сумарних середніх доходів у перехідному періоді / Т.Д. Боднар // Права власності в перехідних економіках: збірка наукових праць за матеріалами студенської конференції EERC, 28-29 квітня 2001 р. - Київ : EERC, 2001. - C. 369-377.

Єлейко Я.І. Вектори функцій розподілів стратегій у випадковому середовищі / Я.І. Єлейко, Т.Д. Боднар // Problems of decision making and control under uncertainties : international workshop, May 14-20, 2002 : abstracts - Кyiv-Kaniv, 2002. - P. 71-72.

Боднар Т.Д. Статистичний аналіз інвестиційного портфеля / Т.Д. Боднар // Problems of decision making under uncertainties : International workshop, May 21-25, 2006 : abstracts - Kyiv-Skhidnytsia, 2006. - P. 77-78.

Bodnar T. D. On a statistical test in portfolio management / T. D. Bodnar, W. Schmid // Problems of decision making under uncertainties : International conference, September 18-23, 2006 : abstracts - Kyiv-Alushta, 2006. - P. 10-12.

Анотації

Боднар Т.Д. Побудова оптимального портфеля в умовах невизначеності. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рішень. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2009.

Дисертаційна робота присвячена розв'язанню проблеми оптимального рішення в збуреному середовищі та побудові оптимального портфеля на фондових ринках країн, що розвиваються.

У дисертації доведено неперервність, одностайну неперервність, рівномірну обмеженість та передкомпактність сім'ї векторів сумарних середніх прибутків, а також встановлено взаємнооднозначну відповідність між метричним простором стратегій та метричним простором векторів функцій розподілів стратегій. Розв'язано проблему формування оптимального портфеля в сенсі максимізації очікуваної квадратичної функції корисності і побудови оптимального портфеля в сенсі максимізації відношення Шарпа. Виведено формулу середнього і коваріації оптимальних портфельних ваг у сенсі максимізації очікуваної квадратичної функції корисності для еліптичних розподілів. Одержано формули вищих моментів для оцінок портфельних ваг даного портфеля у випадку двох цінних паперів. Показано, що для оптимальних портфельних ваг, що максимізують відношення Шарпа, моменти порядку вище першого не існують. Доведено, що оцінки оптимальних портфельних ваг асимптотично нормально розподілені. Встановлено пряму залежність між ризикованістю інвестора і типом еліптичного розподілу прибутковостей цінних паперів. Побудовано оптимальний інвестиційний портфель для різних типів еліптичних розподілів, використовуючи величини індексів фондових ринків трьох країн, що розвиваються - України, Польщі та Росії.

Ключові слова: портфельний аналіз, матричний еліптичний розподіл, статистичні методи в фінансах, прийняття оптимального рішення в умовах невизначеності, невизначеність у параметрах розподілу.

Bodnar T.D. Optimal portfolio construction under uncertainty. - Manuscript.

The thesis for Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph. D), specialization 01.05.04 - System Analysis and Decision Making Theory. Taras Shevchenko Kyiv National University, Kyiv, 2009.

The thesis is devoted to investigate the problem of optimal decision making in perturbed environment and to construct an optimal portfolio in the emerging capital markets.

In Section 2, we study the behaviour of the family of the average middle profit vectors. In Theorem 2.1, it is shown that the family of the average middle profit vectors is continuous on the space of strategies, while in Theorems 2.2, 2.3, and 2.4, the properties of the perturbed family of the average middle profit are derived. It is shown that this family is continuous and uniformly bounded. In Section 2.2, the distributional properties of the average middle profit vectors are studied. It is shown, that the moments of an arbitrary order exist (Theorem 2.5). In Theorem 2.6, a one-to-one transformation is investigated between the metric space of strategies and the metric space of the vectors of the strategies' distribution functions.

In Sections 3 and 4, we consider the problem of optimal portfolio construction under the parameter uncertainty. There is no unique way how the optimal portfolio can be defined. Usually, the variance of portfolio is used as a measure of risk when the optimal portfolio is constructed. From the other side the expected return of the portfolio is measured by its mean. In the Ph.D. thesis, the well-known optimal portfolios are considered. The weights of the first optimal portfolio are obtained by maximizing the expected quadratic utility function. Note that there is no unique solution of this optimazation problem. The obtained weights depend on the coefficient of the investor's risk aversion. Varying this coefficient a set of optimal portfolios is obtained, which is the same as one obtained by solving the Markowitz's optimization problem. This is a reason, why the expected utility portfolio is very popular within the researchers and practitioners of the financial sector. The second considered optimal portfolio is the portfolio in the sence of maximizing the Sharpe ratio. The Sharpe reatio is defined as a ratio of the expected return of the portfolio defided by its standard deviation. It is a wide-spread measure of the portfolio performance in the financial literature. The Sharpe ratio is usually applied for determing the performance of optimal portfolios obtained as a solution of different optimization problems.

Because the mean vector and the covariance matrix of the asset returns are unknown parameters in practice, the investor cannot make use of calculated formulas of the weights when the optimal portfolio is constructed. Instead the estimated weights are used which are obtained by plugging the sample estimators of the mean vector and the covariance matrix instead of the unknown parameters in the expression for the optimal portfolio weights. This is a common method for determining the weights of optimal portfolio in a situation of practical interest. However, the estimated portfolio weights are no longer deterministic quantities. An important problem is to study their distributional properties in order to make a decision what we estimate at all and how close are the estimated weights to the population counterparts. This point is treated in detail in Section 3 of the Ph.D. thesis.

In Theorem 3.1, an expression of the mean vector and the covariance matrix is derived for the optimal portfolio weights in the sense of maximizing the expected quadratic utility function for elliptical contoured distributions. An expression for the moments of higher order is obtained in the case of the two dimensional portfolio (Theorem 3.2). We show that the moments of order higher than one do not exist for the estimated weights obtained by maximizing the Sharpe ratio (Theorem 3.3). In Section 3.4, the asymptotic normality of the estimated optimal portfolio weights is derived. The dependence between the coefficient of the investor's risk aversion and the type of the elliptically contoured distribution is investigated in Section 4. Here, the stochastic behaviour of the estimated optimal portfolio weights is studied for different classis of the elliptically contoured distributions. Moreover, using the index returns of the Ukrainian, the Polish and the Russian capital markets, we construct the optimal portfolio in the sense of maximizing the expected quadratic utility function for various types of elliptically contoured distributions (Section 4.11).

Key words: portfolio analysis, matrix elliptically contoured ditributions, statistical methods in finance, optimal decision making under uncertainty, parameter uncertainty.

Боднар Т.Д. Построение оптимального портфеля в условиях неопределенности. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 - системный анализ и теория принятия решений. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2009.

Диссертация посвящена исследованию проблемы принятия оптимального решения в условиях неопределенности и построению оптимального портфеля на фондовых рынках стран, что развиваются.

В диссертационной работе получены следующие результаты:

доказано непрерывность, равномерную ограниченность, и предкомпактность семьи векторов суммарных средних доходов;

определено взаимооднозначное соответствие между метрическим пространством стратегий и метрическим пространством векторов функций распределений стратегий;

получено формулу для среднего и ковариации оптимальных портфельных ваг в смысле максимизации ожидаемой квадратической функции полезности для эллиптических распределений;

выведено формулы высших моментов в случае двух ценных бумаг;

показано, что для оптимальных портфельных ваг, которые максимизируют отношение Шарпа, моменты выше первой степени не существуют;

доказано, что оценки оптимальных портфельных ваг асимптотически нормально распределены;

установлено зависимость между коэффициентом риска инвестора и типом эллиптического распределения возвращений ценных бумаг;

сформировано оптимальный инвестиционный портфель для разных типов эллиптических распределений, используя значения индексов фондовых рынков трех стран, которые развиваются - Украины, Польши та России.

Ключевые слова: портфельный анализ, матричное эллиптическое распределение, статистические методы в финансах, принятие оптимального решения в условиях неопределенности, неопределенность в параметрах распределения.

Размещено на Allbest.ru