Моделювання фізичних процесів на основі системи одномірних диференціальних перетворень

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МОДЕЛЮВАННЯ В ЕНЕРГЕТИЦІ ІМ. Г.Є. ПУХОВА НАН УКРАЇНИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

МОДЕЛЮВАННЯ ФІЗИЧНИХ ПРОЦЕСІВ НА ОСНОВІ СИСТЕМИ ОДНОМІРНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ

01.05.02. Математичне моделювання та обчислювальні методи

Костюченко Руслана Михайлівна

Київ 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Відділенні гібридних моделюючих та керуючих систем в енергетиці Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова нан України

Науковий керівник Заслужений діяч науки і техніки України, доктор технічних наук, професор БАРАНОВ Володимир Леонідович, провідний науковий співробітник Відділення гібридних моделюючих та керуючих систем в енергетиці Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова нан України

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, старший науковий співробітник ВИННИЧУК Степан Дмитрович, провідний науковий співробітник Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова нан України

доктор технічних наук, доцент Засядько Аліна Анатоліївна, професор кафедри вищої математики і інформаційних технологій Черкаського інституту банківської справи Університету банківської справи НБУ

Захист відбудеться „25” вересня 2008 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.185.01 Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова нан України за адресою: 03164, м. Київ, вул. Генерала Наумова,15

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту проблем моделювання в енергетиці ім.. Г.Є. Пухова нан України за адресою: 03164, м. Київ, вул. Генерала Наумова,15

Автореферат розісланий „15” серпня 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 26.185.01, кандидат технічних наук Семагіна Е.П.

Анотація

Костюченко Руслана Михайлівна. Моделювання фізичних процесів на основі системи одномірних диференціальних перетворень. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02. Математичне моделювання та обчислювальні методи. Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України, Київ, 2008.

Дисертація присвячена питанням розробки багатомірних моделей та методів моделювання фізичних процесів на основі системи одномірних диференціальних перетворень. Розглянуто символічний метод опису фізичних процесів з крайовими умовами, який дає змогу уникнути методичної похибки та отримати аналітичний опис фізичних процесів. Розвинуто системоаналоговий метод моделювання на двомірні фізичні процеси, які описуються змішаними крайовими задачами. Системоаналоговий метод дозволяє синтезувати аналітичну структуру математичної моделі фізичного процесу в кусковооднорідних середовищах. Набув подальшого розвитку метод балансу диференціальних спектрів для моделювання двомірних фізичних процесів, який дає змогу отримати математичний опис фізичного процесу, а з нього відновити його аналітичну модель. Наведено результати моделювання і експериментального дослідження фізичних процесів і полів, що підтвердили ефективність і достовірність розроблених моделей і методів.

Ключові слова: моделювання, фізичний процес, диференціальні перетворення, системоаналогові моделі.

АННОТАЦИЯ

Костюченко Руслана Михайловна. Моделирование физических процессов на основании системы одномерных дифференциальных преобразований. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02. Математическое моделирование и вычислительные методы. Институт проблем моделирования в энергетике им. Г.Е.Пухова НАН Украины, Киев, 2008.

Диссертация посвящена вопросам разработки моделей и методов моделирования физических процессов на основании системы одномерных дифференциальных преобразований. Предложены системоаналоговые модели физических процессов или полей, основанные на системе одномерных дифференциальных преобразований по каждому аргументу. Предложен символический метод описания физических процессов с краевыми условиями, который даёт возможность избежать методической погрешности и получить аналитическое описание физических процессов. Развит системоаналоговый метод моделирования на двумерные физические процессы, которые описываются смешанными краевыми задачами. Системоаналоговый метод даёт возможность синтезировать аналитическую структуру математической модели физического процесса в кусочно-однородных средах. Получил дальнейшее развитие метод баланса дифференциальных спектров для моделирования двумерных физических процессов, который даёт возможность получить приближённое описание физического процесса, а из него восстановить его аналитическую модель. Приведены результаты моделирования и экспериментального исследования физических процессов и полей, которые подтвердили эффективность и достоверность разработанных моделей и методов. Выполнено аналитическое моделирование температурного профиля низкотеплоповодных материалов символическим методом на основании системы двух одномерных дифференциальных преобразований, что позволило обосновать точное решение краевой задачи, которое согласовывается с экспериментальными исследованиями теплового поля в легированной кварцевой стеклокерамике.

Предложено системоаналоговое моделирование процесса оптимального управления распределённой колебательной системой на основании двух одномерных дифференциальных преобразований, что дало возможность получить оптимальное управление в аналитическом виде и применить для его реализации быстродействующие аналоговые, дискретные или гибридные генераторы периодических функций.

SUMMARY

Ruslana Kostyuchenko. Physical processes modelling based on the system of one-dimensional differential transforms. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.05.02 - Mathematical Modeling and Computing Methods. - G. Pukhov's Institute of Simulation Problems in Power Engineering, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2008.

The problems of multidimensional models and simulation techniques development of physical processes are considered. The methods based on the system of one-dimensional differential transformations. The symbolic method of description of physical processes with boundary conditions has been introduced; it enables avoiding methodic error and provides analytical description of physical processes. There has been developed the system-analogue simulation technique for two-dimensional physical processes, described by mixed boundary value problems. The system-analogue technique enables synthesizing analytic structure of mathematical model for physical process in piecewise-homogeneous media. Further development of differential spectra balance method for modelling two-dimensional physical processes has been practised. This method provides mathematic description of physical process from which it is possible to restore the analytical model of this process. The results of modelling and experimental researches on physical processes justified the efficiency and reliability of models and methods developed.

Key words: modelling (simulation), physical process, differential transformations, system-analogue models.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження і проектування об'єктів технічного призначення вимагають застосування методів моделювання фізичних процесів, які протікають в розподілених системах. Подібність полів різної фізичної природи дозволяє описувати ці фізичні поля диференціальними рівняннями з частинними похідними і граничними умовами. Моделювання фізичних процесів пов'язано з великою кількістю математичних і технічних труднощів. Якщо моделювання фізичних процесів пов'язане з проблемами управління технічними об'єктами з розподіленими параметрами, то на перший план висуваються вимоги моделювання в реальному або прискореному часі.

Ці вимоги можна виконати, якщо застосувати методи операційного числення, до яких відносяться інтегральні і диференціальні перетворення. Основні переваги операційних методів в порівнянні з дискретними аналогами і сітковими методами полягають в еквівалентному перетворенні вихідної математичної моделі в область зображень і виключенні часового аргументу при описі нестаціонарних фізичних процесів. Виключення часового аргументу в області зображень дозволяє реалізувати моделювання нестаціонарних швидкопротікаючих процесів в реальному або прискореному часі. В зв'язку з цим дослідження методів моделювання, які застосовують методи операційного числення є актуальним для моделювання фізичних процесів в реальному або прискореному часі. Область застосування інтегральних перетворень обмежена моделюванням фізичних процесів, які описуються лінійними крайовими задачами.

Диференціальні перетворення розроблені академіком Пуховим Г.Є. для розв'язку нелінійних задач. Враховуючи, що значна кількість фізичних процесів описується нелінійними крайовими задачами, тема дисертаційних досліджень, які пов'язані з розробкою нових моделей і методів моделювання фізичних процесів на основі диференціальних перетворень, є актуальною.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Здобувач приймав участь, як виконавець, у розробці методів комп'ютерного моделювання динамічних процесів і систем з розподіленими параметрами в межах НДР „Розвиток теорії моделювання складних динамічних систем і розробка методів моніторингу, оптимізації і прогнозування стану об'єктів і процесів енергетики”, шифр МУЛЬТІЛІНК за номером державної реєстрації 0105U003064 (постанова президії НАН України, бюро відділення фізико - технічних проблем енергетики від 19.04.05, §42), яка виконувалась у Відділенні моделюючих і керуючих систем в енергетиці Інституту проблем моделювання в енергетиці ім.. Г.Є. Пухова НАН України.

Мета і завдання дослідження. Метою дослідження є розробка моделей та методів моделювання фізичних процесів на основі системи одномірних диференціальних перетворень.

Завданням досліджень є:

1. Побудова системоаналогових моделей фізичних процесів.

2. Створення символічного методу опису фізичних процесів на основі системоаналогових моделей.

3. Розробка системоаналогового методу моделювання фізичних процесів.

4. Розвиток методу балансу диференціальних спектрів для моделювання двомірних фізичних процесів.

Об'єкт дослідження: математичне моделювання фізичних процесів в області диференціальних перетворень.

Предмет дослідження: моделі та методи моделювання фізичних процесів на основі системи одномірних диференціальних перетворень.

Методи дослідження. Для розв'язання поставлених задач у роботі використовувались методи моделювання фізичних процесів, метод диференціальних перетворень, загальні принципи дослідження складних систем, системоаналогове моделювання, методи оптимізації, методи регуляризації некоректних задач, а також методи теорії оптимального управління.

Наукова новизна одержаних результатів:

1. Вперше запропоновано системоаналогові моделі фізичних процесів, які відрізняються від відомих застосуванням системи одномірних диференціальних перетворень, що дає можливість спростити моделювання фізичного процесу, відносно багатомірних перетворень, в області зображень;

2. Набув подальшого розвитку символічний метод моделювання двомірних фізичних процесів з крайовими умовами, який відрізняється від відомих застосуванням системоаналогової моделі на основі системи двох одномірних диференціальних перетворень, що дає змогу уникнути методичної похибки та отримати аналітичний опис фізичних процесів;

3. Розвинуто системоаналоговий метод моделювання на двомірні фізичні процеси, які описуються змішаними крайовими задачами. Системоаналоговий метод відрізняється від відомих застосуванням декількох одномірних диференціальних перетворень, що дає змогу синтезувати аналітичну структуру математичної моделі фізичного процесу в кусково - однорідних середовищах із змішаними крайовими умовами;

4. Набув подальшого розвитку метод балансу диференціальних спектрів для моделювання двомірних фізичних процесів, який відрізняється від відомих застосуванням системи двох одномірних диференціальних перетворень, що надає можливість отримати наближений опис фізичного процесу, а з нього відновити аналітичну модель фізичного процесу.

Практичне значення одержаних результатів.

На основі наукових результатів дисертаційної роботи було отримано:

1. Аналітичне моделювання температурного профілю низькотеплопровідних матеріалів символічним методом на основі системи двох одномірних диференціальних перетворень, що дозволило обґрунтувати точний розв'язок крайової задачі, який узгоджується з експериментальними дослідженнями теплового поля в легірованій кварцовій склокераміці. Це дає змогу прогнозувати прогрів низькотеплопровідних матеріалів, які використовуються в якості теплозахисних матеріалів для ракетно - космічної техніки.

2. Системоаналогове моделювання процесу оптимального управління розподіленою коливальною системою на основі двох одномірних диференціальних перетворень, що дозволило отримати оптимальне по витратам енергії управління в аналітичному вигляді і застосувати для його реалізації швидкодіючі аналогові, дискретні або гібридні генератори періодичних функцій.

Практичне значення результатів дисертаційної роботи підтверджено актами впровадження в Інституті проблем матеріалознавства ім.. І.М. Францевича НАН України та в Житомирському військовому інституті ім.. С.П. Корольова Національного авіаційного університету.

Особистий внесок здобувача. У роботах, написаних у співавторстві автору належать: системоаналогові моделі фізичних процесів [1, 2], метод системоаналогових диференціальних перетворень [3], символічний метод опису двомірних фізичних процесів з крайовими умовами [4], метод балансу диференціальних спектрів для моделювання двомірних фізичних процесів [5], метод системоаналогового моделювання фізичних процесів на основі системи одномірних диференціальних перетворень [6, 7], моделювання температурного профілю низько теплопровідних матеріалів символічним методом [8, 9], аналітичне моделювання температурного поля порожнинного циліндра з нелінійними крайовими умовами [10], моделювання процесу оптимального управління розподіленою коливальною системою [11].

Апробація результатів дисертації. Основні результати доповідались і обговорювались на 6 міжнародних і 2 регіональних конференціях, у тому числі: Міжнародній науковотехнічній конференції „Сучасні проблеми і досягнення в галузі радіотехніки, телекомунікацій та інформаційних технологій” (Запоріжжя, 2006), VІ Міжнародноій науковоій конференції студентів та молодих вчених „Політ” (Київ, 2006), IV Міжнародній науково-технічній конференції "АВІА-2007" (Київ, 2007), ХХХІ науковопрактичноій міжвузівськоій конференції присвяченої Дню університету, (Житомир, 2006) IV Міжнародній науково-технічній конференції "АВІА-2006", (Київ, 2006), Міжнародній науково-технічній конференції „Розвиток наукових досліджень 2005” (Полтава, 2005), ХV науковотехнічній конференції „Наукові проблеми розробки, модернізації та застосування інформаційно вимірювальних систем космічного і наземного базування”, (Житомир 2006), Четвертая международная конференция «Материалы и покрытия в экстремальных условиях: исследования, применение, экологически чистые технологии производства и утилизации изделий», (Жуковка, АР Крим, 2006).

Публікації. Результати дисертації викладені у 11 публікаціях, із них 11 у фахових виданнях та у 8 матеріалах конференцій.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел з 75 найменувань на 8 сторінках, 3 додатків на 45 сторінках, 10 рисунків, 4 таблиць. Повний обсяг дисертації складає 212 сторінок, у тому числі 148 сторінок повного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ Роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовані мета і завдання досліджень, визначені наукова новизна та практичне значення роботи, наведено відомості про публікації, апробацію і впровадження результатів роботи.

У першому розділі проаналізовано відомі математичні моделі фізичних процесів, які протікають в розподілених системах. Встановлено, що подібність між електричним полем постійного струму, тепловим, електричним, магнітостатичним полями, полем концентрації стаціонарного процесу дифузії і полем швидкостей потенціальної течії нестискуваної рідини дозволяє моделювати ці фізичні процеси на основі математичних моделей у вигляді рівнянь з частинними похідними із заданими граничним і початковими умовами. Обґрунтовано обмеження на моделювання таких фізичних процесів, які описуються коректним крайовими задачами. Встановлено, що основний недолік чисельних методів моделювання на ЕОМ полягає в труднощах встановлення в загальному випадку адекватності сіткового аналогу фізичному процесу, який моделюється. Показано, що моделювання фізичних процесів на ЕОМ характеризується лінійною залежністю часу моделювання від загальної кількості точок сіткового аналогу, яка обмежує застосування ЕОМ по розв'язку прикладних задач управління в реальному або прискореному часі. Встановлено, що застосування паралельних однорідних цифрових сіток в процесах управління є проблематичним в зв'язку з виникненням автоколивань при заданих граничних умовах. Тому актуальним є розв'язання проблем моделювання фізичних процесів в реальному або прискореному часі новими методами моделювання, до яких відносять методи диференціальних перетворень і системоаналогового моделювання. Сутність концепції системоаналогового моделювання полягає в моделюванні складного об'єкта або процесу системою аналогів. Встановлено, що підхід до моделювання фізичного процесу на основі диференціальних перетворень і концепції системоаналогово моделювання зберігає переваги диференціальних перетворень по еквівалентному відображенню фізичного процесу в області зображень і спрощує моделювання складного фізичного процесу в області зображень завдяки виключенню однієї з незалежних змінних функції багатьох змінних, якою описується фізичний процес.

Таким чином у першому розділі обґрунтовано актуальність теми дисертаційних досліджень та сформульовано наукове завдання: розробка моделей і методів моделювання фізичних процесів на основі системи одномірних диференціальних перетворень.

У другому розділі запропоновані системоаналогові моделі фізичних процесів, які розроблені у вигляді системи одномірних диференціальних перетворень. Розглянемо математичну модель фізичного процесу, у вигляді функції багатьох змінних u=u(x, y, z, t), яка неперервна разом із своїми частинними похідними по незалежним координатам x, y, z, t в області, що визначається обмеженнями:

, , , ,

де H_x, H_y, H_z, H_t, деякі додатні сталі.

Запропоновано моделювати фізичний процес в області зображень на основі системи одномірних диференціальних перетворень по кожному аргументу x, y, z, t

, ,	(1)
,,

де p, q, r, k - цілочисельні аргументи, яким надають значення 0, 1, 2,….

Системоаналогова модель (1) складається з чотирьох аналогів, кожен з яких формує диференціальний спектр в області зображень.

Основні властивості одномірних диференціальних перетворень, які встановлені в роботах академіка Пухова Г.Є. справедливі для кожного з чотирьох аналогів (1).

, , , .	(2)

Моделювання фізичного процесу, який описується рівнянням з частинними похідними в багатьох практичних випадках не вимагає застосування повної системоаналогової моделі. Це пов'язано з тим, що шукану функцію u=u(x, y, z, t) достатньо знайти одним з чотирьох способів, використовуючи один з аналогів (1):

Системоаналогова модель (1) побудована за принципом системоаналогового моделювання, згідно якого складний фізичний процес у вигляді функції багатьох змінних моделюється системою аналогів фізичного процесу в області зображень. Згідно з (2) кожен диференціальний спектр (1) є аналогом в області зображень фізичного процесу, що описується функцією u(x, y, z, t).

У другому розділі запропоновано також узагальнену системоаналогову модель процесу, який описується функцією багатьох змінних в області багатомірного простору, обмеженого умовами:

, , ... , ,

де H₁, H₂, ..., H_n - задані додатні сталі.

Узагальнена системоаналогова модель, яку будемо називати зміщеною моделлю, формується на основі на основі системи зміщених одномірних диференціальних перетворень по кожному аргументу x₁, x₂, x₃, …, x_n

U1н(k1, x2, x3, …, xn)=,	(3)
U2н(x1, k2, x3, …, xn)=,
Unн(x1, x2, x3, …, kn)=,

де координати фіксованої точки в межах області моделювання, k₁, k₂, k₃, …, k_n -цілочисельні аргументи, що приймають значення 0,1,2,3,...,.

Моделювання фізичних процесів на основі системоаналогової зміщеної моделі (3) виконують згідно з основними властивостями одномірних зміщених диференціальних перетворень, які встановлено в роботах академіка Г.Є.Пухова Обернений перехід з області зображень в область оригіналів здійснюється оберненими диференціальними перетвореннями виду:

u(x1, x2, x3, …, xn )=U1н(k1, x2, x3, …, xn),	(4)
u(x1, x2, x3, …, xn)=U2н(x1, k2н, x3, …, xn),
u(x1, x2, x3, …, xn)=Unн(x1, x2, x3, …, kn),

У другому розділі запропоновано методику застосування системоаналогових моделей (1), (3) для моделювання фізичних процесів, які описуються крайовими задачами та задачами Коші для диференціальних рівнянь з частинними похідними. На відміну від методів, що використовують кінцево-різницеві апроксимації частинних похідних, системоаналогові моделі (1), (3) не мають методичної похибки алгебраїзації рівняння з частинними похідними в області зображень. Це дає змогу моделювати фізичні процеси в області зображень (1), (3) в аналітичному і чисельно-аналітичному вигляді.

У третьому розділі розглянуто моделювання двомірних фізичних процесів на основі системоаналогових моделей (1), (3).

Двомірні фізичні процеси або поля описуються функцією u(x₁, x₂) двох незалежних змінних в області:

У двомірному випадку системоаналогова модель (1) набуває вигляду:

U(k1, x2)=, U(x1, k2)=,	(5)

де цілочисельні аргументи k₁ і k₂ приймають значення 0, 1, 2, 3, ….

У роботі набув подальшого розвитку символічний метод опису двомірних фізичних процесів або полів, який відрізняється від відомих застосуванням системоаналогової моделі (5). Основні математичні операції в області зображень (5) виконуються за правилами відповідності, які визначаються наступними виразами:

u(x1, x2)±v(x1, x2)	(6)
С u (x1, x2)
u(x1, x2)·v(x1, x2)
= U(k1+m, x2), = U(x1, k2+m),

де символами , i позначено m-кратне диференціювання функції u(x₁,x₂) відповідно по зміннім х₁ та x₂, символом * позначена операція множення в області зображень (5), С задана стала, символ відповідності оригіналів і зображень.

Символічний метод моделювання фізичних процесів або полів полягає у наступному. Математичну модель фізичного процесу або поля у вигляді диференціального рівняння в частинних похідних

f(x1, x2, u, , , , )=0	(7)

переводять в область зображень на основі системоаналогової моделі (5) і правил відповідності (6). В результаті отримаємо два зображення вигляду:

F1 [k1, x2, U(k1, x2), D1U(k1, x2), , D1, U(k1, x2), ]=0,	(8)
F2 [x1, k2, U(x1, k2), , D2U(x1, k2), D2, , U(x1, k2)]=0,

де F₁ F₂ - зображення функції f, отримані відповідно першим і другим перетворенням (5). Моделювання фізичних процесів або полів вимагає вибору з усіх розв'язків рівняння (7) такого розв'язку, який задовольняє граничним умовам. Граничні умови задають на межі середовища, в якому моделюється фізичний процес або поле.

Граничні умови Діріхле виражаються через диференціальні спектри наступним чином:

u(0, x2)=U(0, x2), u(x1, 0)=U(x1, 0),	(9)
u(H1, x2)=, u(x1, H2)=,

Граничні умови Неймана також визначаються через зображення (5):

U(1, x2)=, U(x1, 1)= ,	(10)
=,
=.

Змішані граничні умови через зображення (5) виражаються на основі виразів (9), (10).

В загальному випадку крайова задача моделювання фізичних процесів або полів на основі системоаналогової моделі (5) звелась до розв'язку в області зображень звичайних диференціальних рівнянь (8) відносно диференціальних спектрів U(k₁, x₂), U(x₁, k₂) при крайових умовах (9), (10). У випадку лінійних диференціальних рівнянь (8) застосовуються загальні методи розв'язку звичайних лінійних диференціальних рівнянь, методи на основі різних інтегральних перетворень або методи на основі одномірних диференціальних перетворень, які запропоновані в роботах академіка Г.Є. Пухова. У випадку нелінійних диференціальних рівнянь (8) їх розв'язок виконується в аналітичному вигляді на основі одномірних диференціальних перетворень академіка Г.Є. Пухова.

Після розв'язку задачі в області зображень (5) переводять зображення U(k₁, x₂), U(x₁, k₂) в область оригіналів. Цей перехід можна здійснити різними способами.

Перший спосіб полягає у використанні таблиць відповідності оригіналів і зображень, які наведено в роботах академіка Г.Є. Пухова.

Другий спосіб використовує обернені диференціальні перетворення (4):

u(x1, x2)=U(k1, x2), u(x1, x2)=U(x1, k2).

Третій спосіб полягає в переході в область зображень інтегральних перетворень Лапласа за виразами

U(s, x2)=, U(x1, s)= .

Після переходу в область зображень за Лапласом використовують методи переходу до оригіналу, які розроблені для інтегральних перетворень Лапласа.

Запропонований символічний метод моделювання двомірних фізичних процесів або полів із застосуванням системоаналогової моделі (5) дає змогу уникнути методичної похибки в порівнянні з відомими кінцево-різницевими методами апроксимації частинних похідних. Символічний метод є точним операційним методом і у випадку аналітичного розв'язку задачі (8) - (10) відносно зображень дає точний аналітичний опис фізичного процесу або поля. Розв'язок крайових задач в аналітичному або чисельно - аналітичному вигляді на основі запропонованого символічного методу значно понижує обчислювальну складність моделювання фізичних процесів або полів на ЕОМ в порівнянні з чисельними методами.

В третьому розділі роботи набув подальшого розвитку метод балансу диференціальних спектрів, запропонований академіком Г.Є. Пуховим для моделювання нелінійних фізичних процесів в одномірному випадку.

Запропонований метод балансу диференціальних спектрів для моделювання двомірних фізичних процесів або полів реалізується наступним чином.

На першому етапі на основі експериментальних досліджень фізичних процесів або полів , або в результаті попереднього аналізу їх математичних моделей вибирається наближений аналітичний опис фізичного процесу або поля, який задовольняє заданим граничним умовам:

u(x1,x2)= ,	(11)

де f₁ і f₂ - задані диференційовані функції;

, сукупність функцій однієї змінної x₁ або x₂, які потрібно визначити;

, сукупність незалежних параметрів.

На другому етапі аналітичний опис (11) фізичного процесу або поля переводять в область зображень (5):

U(k1, x2)=, U(x1, k2)=,	(12)

де F₁ - зображення функції f₁, F₂ - зображення функції f₂.

На третьому етапі математичну модель (7) фізичного процесу або поля представляють у вигляді двох форм:

=ц1(x1, x2, u, , ,, ),	(13)
=ц2(x1, x2, u, , ,, ).

Рівняння (13) переводять в область зображень (5) згідно з правилами відповідності (6):

U(k1+2, x2)=Ф1[k1, x2, U(k1, x2), U(k1+1,x2), , , ],	(14)
U(х1, k2+2)=Ф2[x1, k2, U(x1, k2), , U(x1, k2), , ],

На четвертому етапі за рекурентними виразами (14) з початкових дискрет диференціального спектра (12) розраховують при k=0, 1, 2, 3 … диференціальні спектри U(k₁+2, x₂), U(x₁, k₂+2).

Заключний етап реалізується складанням балансу однойменних дискрет диференціальних спектрів зображень (14) математичної моделі фізичного процесу або поля і його аналітичного опису (12):

U(k1+2, x2)= ,	(15)
U(x1, k2+2)= де k1, k2=0, 1, 2, …

Система звичайних диференціальних рівнянь (15) визначає сукупність невідомих функцій B(x₂) або A(x₁), а також невідомі параметри в або б. Початкові умови для системи звичайних диференціальних рівнянь (15) визначають з заданих граничних умов. Розмірність системи (15) задається вибором максимального значення цілочисельних аргументів k₁ або k₂, таким чином, щоб кількість рівнянь відповідала кількості невідомих функцій і параметрів.

Метод балансу диференціальних спектрів зводить крайову задачу для рівнянь в частинних похідних до більш простої задачі інтегрування системи звичайних диференціальних рівнянь (15), яка в свою чергу, може бути розв'язана одномірними диференціальними перетвореннями, або чисельними методами інтегрування на ЕОМ.

У загальному випадку метод балансу диференціальних спектрів дає наближений опис (11) фізичного процесу або поля, який може бути відновлений до точної аналітичної моделі фізичного процесу або поля. Ця можливість реалізується таким чином.

Спочатку по одному рекурентному виразу (14), використовуючи в якості початкових дискрет задані граничні умови, розраховують один диференціальний спектр, наприклад U(k₁, x₂). Оберненими диференціальними перетвореннями (4) відновлюється структура аналітичного опису фізичного процесу або поля , яка має невідому сукупність функцій А(х₁) і параметрів . Ці невідомі функції А(х₁) і параметри знаходимо методом балансу диференціальних спектрів (11)-(15). Таке удосконалення методу балансу диференціальних спектрів надає змогу спочатку отримати наближений аналітичний опис фізичного процесу або поля, а потім з нього отримати аналітичну модель фізичного процесу або поля.

У третьому розділі системоаналоговий метод моделювання розвинутий на двомірні фізичні процеси або поля, які описуються змішаними крайовими задачами. Системоаналоговий метод моделювання в кусково-однорідних середовищах із змішаними крайовими умовами реалізується таким чином. В змішаних крайових задачах фізичний процес описується функцією u(x₁, x₂) в області Щ, що складається із зон Щ₁, Щ₂,..., Щ_n, які не перетинаються, де .

Для шуканої функції u(x₁, x₂) крім граничних умов задаються умови спряженості вздовж контакту різнорідних середовищ:

,	(16)

де і=1, 2, 3,…, n-1, Г_і- поверхня контакту зон Щ_i і Щ_i+1, х - нормаль до поверхні контакту Г_і, л_і - фізична характеристика середовища в зоні Щ_і.

Згідно концепції системоаналогового моделювання загальна модель u(x₁, x₂) фізичного процесу або поля формується як система аналогів локальних процесів або поля u_j(x₁, x₂) в кожній зоні Щ_j, j=1, 2, 3,…, n. Моделювання в кожній локальній зоні Щ_j виконується на основі системоаналогових моделей (1) - (4) символічним методом або методом балансу диференціальних спектрів. Початкові дискрети диференціальних спектрів U_j(k₁, x₂), U_j(x₁, k₂) в кожній локальній зоні Щ_j визначається з граничних умов і умов спряженості (16). Після побудови диференціальних спектрів U_j(k₁, x₂), U_j(x₁, k₂) в кожній локальній зоні Щ_j визначається оригінал локального фізичного процесу або поля u_j(x₁, x₂). Загальна модель u(x₁, x₂) фізичного процесу або поля в області формується з системи локальних аналогів u_j(x₁, x₂), при умові виконання умов спряженості (16) вздовж контакту різнорідних середовищ. Системоаналоговий метод моделювання двомірних фізичних процесів або полів, які описуються змішаними крайовими задачами відрізняється від відомих застосуванням декількох системоаналогових моделей (1) - (4), що дає змогу синтезувати аналітичну структуру математичного опису фізичного процесу або поля в кусково-однорідних середовищах із змішаними крайовими умовами.

У четвертому розділі роботи наведені приклади застосування наведених системоаналогових моделей і методів для моделювання фізичних процесів і полів.

В якості першого прикладу розглядається моделювання температурного профілю низькотеплопровідних матеріалів. Розробка теплозахисних матеріалів має важливе значення для проектування аерокосмічних літальних апаратів. Експериментальне вивчення фізичних процесів в теплозахисних матеріалах поблизу їх поверхні є проблемним тому, що температура поблизу поверхні теплозахисних матеріалів перевищує робочий діапазон термопар. В зв'язку з цим виникає задача математичного моделювання температурного профілю низькотеплопровідних матеріалів. Математична модель теплових процесів у теплозахисних матеріалах при їх постійних теплофізичних властивостях описується у вигляді лінійного рівняння теплопровідності:

,	(17)

при наступних граничних умовах першого роду:

,, ,	(18)

де а - коефіцієнт температуропроводності, стаціонарна температура поверхні, що нагрівається, Т₀ температура непрогрітого матеріалу, у координата, яка відраховується від поверхні зразка, ф час нагрівання, л-теплопровідність, сгустина матеріалу, степлоємність, товщина знесеного шару матеріалу, - швидкість лінійного зносу матеріалу. Крайова задача (17), (18) описує тепловий процес у теплозахисному матеріалі при в умовах стаціонарного руйнування поверхні матеріалу з швидкістю . Застосування символічного методу і зміщеної моделі (3) дозволило отримати точний аналітичний опис температурного профілю в зразку:

, де .	(19)

Встановлення експоненціального температурного профілю при підтверджується експериментальними даними.

У випадку моделювання температурного профілю на ділянці рівняння (17) слід розглядати при граничних умовах:

, .	(20)

Моделювання теплового процесу, який описується рівнянням (17) і граничними умовами (20), виконано символічним методом на основі зміщеної моделі (3). В результаті отриманий розв'язок крайової задачі (17), (20) на ділянці , який точно задовольняє рівнянню (17) і граничним умовам (20):

,де.	(21)

Математичне моделювання, виконане на основі зміщеної моделі (3), добре узгоджується з експериментальними дослідженнями температурного профілю в легірованій кварцовій склокераміці (КСК). Ці дослідження виконані в Інституті проблем матеріалознавства ім.. І.М. Францевича НАН України. Результати цих досліджень наведені на рисунках 1а)в). Температурний профіль (крива 2) за виразами (19), (21) співпадає з експериментальними даними, зображеними точками.

Слід відмітити, що розв'язок (19) крайової задачі (17), (18) може бути отриманий також інтегральними перетвореннями Лапласа. Його на рис. 1. зображає крива 1. Але цей розв'язок співпадає з експериментальними даними тільки поблизу поверхні зразка в межах прогрітого шару, а далі суттєво відхиляється від експериментальних даних. З іншої сторони, розв'язок рівняння (17) без першої крайової умови (18) на основі інтегральних перетворень Лапласа описує температурний профіль зразка у вигляді:

.	(22)

Розв'язок (22) на рис. 1 зображає крива 3. Цей розв'язок суттєво розбігається з експериментальними даними поблизу поверхні зразка, а потім наближається до експериментальних даних (крива 3). Результати моделювання символічним методом диференціальних перетворень співпадають з експериментальними даними в усіх режимах прогріву матеріалу по всій довжині зразка (крива 2).

а) б)



в)

Рис. 1

Порівняння розрахункових та експериментальних профілів температури в легігованій КСК: а) і б) - =0,05·10^-3м/с, T_w=2400 K, a=0,65·10^-6м²/с, Т₀=300 К, а) - на 30 секунді нагріву; б) - на 50 секунді нагріву; в) - =0,11·10^-3м/с, T_w=2390 K, a=0,6·10^-6м²/с, Т₀=300 К, на 50 секунді нагріву; 1 - розрахунок за Лапласом від рухомої поверхні, 2 - за СА методом при і при, 3 - за Лапласом від нерухомої поверхні, 4 - положення поверхні, що нагрівається; точки - експеримент.

Таким чином, символічний метод на основі системоаналогової (СА) зміщеної моделі (3) дозволив виконати аналітичне моделювання температурного профілю низькотеплопроівдних матеріалів, що дозволило обґрунтувати точний розв'язок крайової задачі, який узгоджується з експериментальними дослідженнями теплового процесу в легірованій кварцовій склокераміці.

В якості другого прикладу у четвертому розділі розглядається моделювання температурного поля u(,z) порожнинного циліндра, внутрішня поверхня якого = підтримується при постійній температурі , а торець z=0 теплоізольований, а інша частина поверхні випромінює тепло за законом СтефанаБольцмана.

Задача зводиться до розв'язку рівняння Лапласа:

,	(23)
з граничними умовами: , , , ,	(24)

де , , , - задані додатні сталі.

Крайова задача (23), (24) містить нелінійні граничні умови (24) і тому відноситься до нелінійних крайових задач з зовнішньою нелінійністю. Моделювання теплового поля, яке описується нелінійною крайовою задачею (23), (24), виконано на основі зміщеної моделі (3). Це дало змогу отримати розв'язок нелінійної крайової задачі (23), (24) в аналітичному вигляді:

,	(25)

де С₁, С₂, С₃ - сталі, які визначаються граничними умовами (24)

Аналітична модель (25) температурного поля порожнинного циліндра згідно з нелінійною крайовою задачею (23), (24) узгоджується з чисельними розрахунками цієї задачі за відомими методами в роботах В.Л. Рвачова.

В якості третього прикладу застосування запропонованих системоаналогових моделей і методів розглядається моделювання процесів оптимального управління розподіленими системами на прикладі задачі заспокоювання коливань пружного середовища, які описуються хвильовим рівнянням:

,	(26)

де відхилення точок коливального середовища від положення рівноваги в просторовій точці y за час t, а швидкість розповсюдження коливань в середовищі, що моделюється.

Розглянемо коливання середовища в межах просторового відрізку . Перейдемо до нових змінних:

, , ,	(27)

де максимально допустиме відхилення точок коливального середовища.

Рівняння (26) в нових змінних (27) набуває вигляду:

.	(28)

Введемо позначення , де верхня межа відрізку .

В початковий момент часу маємо збурення фізичного процесу, яке описується початковими умовами:

, .	(29)

Граничні умови задані у вигляді:

, Q(х1, 0)=u(х1),	(30)

де u(х₁) управління, яке зосереджено в точці х₂=0.

Потрібно знайти таке управління u(х₁) на фіксованому відрізку , щоб фізичний процес досяг термінального стану, заданого умовами:

, .	(31)

Задача оптимального управління полягає в синтезі такого управління u(х₁), яке на фіксованому інтервалі переводить фізичний процес з початкового стану (29) в заданий термінальний стан (31), а функціонал вигляду:

,	(32)

повинен досягати мінімального значення. Функціонал (32) характеризує витрати енергії на управління, яке переводить фізичний процес в заданий термінальний стан (31).

Моделювання процесу оптимального управління розподіленою системою (28) (32) при виконано на основі системоаналогової моделі (1), що дало змогу отримати оптимальне управління затуханням коливань пружного середовища в аналітичному вигляді:

	(33)

Реалізація оптимального управління (33) засобами обчислювальної техніки в реальному або прискореному часі не є складною. З цією метою можуть бути використані різні аналогові, цифрові або гібридні генератори періодичних функцій.

Додатки містять теоретичні відомості про метод одномірних диференціальних перетворень і акти впровадження результатів роботи.

Висновки

фізичний одномірний диференціальний перетворення

В результаті наукових досліджень вирішено наукове завдання розробки системоаналогових моделей і методів моделювання фізичних процесів на основі системи одномірних диференціальних перетворень. У рамках досягнення мети досліджень і вирішення наукового завдання були отримані наступні результати:

1. Вперше запропоновано системоаналогові моделі фізичних процесів, які відрізняються від відомих застосуванням системи одномірних диференціальних перетворень, що дає можливість спростити моделювання фізичного процесу, відносно багатомірних перетворень, в області зображень.

2. Набув подальшого розвитку символічний метод опису двомірних фізичних процесів з крайовими умовами, який відрізняється від відомих застосуванням системоаналгової моделі на основі системи двох одномірних диференціальних перетворень, що дає змогу уникнути методичної похибки та отримати аналітичний опис фізичних процесів.

3. Розвинуто системоаналоговий метод моделювання на двомірні фізичні процеси, які описуються змішаними крайовими задачами. Системоаналоговий метод відрізняється від відомих застосуванням декількох одномірних диференціальних перетворень, що дає змогу синтезувати аналітичну структуру математичної моделі фізичного процесу в кусково - однорідних середовищах із змішаними крайовими умовами.

4. Набув подальшого розвитку метод балансу диференціальних спектрів для моделювання двомірних фізичних процесів, який відрізняється від відомих застосуванням системи двох одномірних диференціальних перетворень, що дає змогу отримати наближений опис фізичного процесу, а з нього відновити аналітичну модель фізичного процесу.

5. Виконано аналітичне моделювання температурного профілю низько теплопровідних матеріалів символічним методом на основі системи двох одномірних диференціальних перетворень, що дозволило обґрунтувати точний розв'язок крайової задачі, який узгоджується з експериментальними дослідженнями теплового поля в легірованій кварцовій склокераміці.

6. Запропоновано системоаналогове моделювання процесу оптимального управління розподіленою коливальною системою на основі двох одномірних диференціальних перетворень, що дає змогу отримати оптимальне управління в аналітичному вигляді і застосувати для його реалізації швидкодіючі аналогові , дискретні або гібридні генератори періодичних функцій.

Таким чином, можна зробити висновок, що в дисертаційній роботі здійснена розробка нових моделей та методів моделювання фізичних процесів на основі системи одномірних диференціальних перетворень, мета дослідження досягнута і поставлене наукове завдання вирішене повністю.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Костюченко Р. М. Системоаналогова модель фізичних процесів, що описуються рівняннями в частинних похідних / Р.М. Костюченко, В.Л. Баранов, С.В. Водоп'ян // Проблеми створення, випробовування, застосування та експлуатації складних інформаційних систем: зб. наук. пр. - Вип.. 10. - Житомир: ЖВІРЕ, 2006. - С. 25 - 30.

2. Костюченко Р. М. Зміщені системоаналогові диференціальні перетворення для розв'язку крайових задач / Баранов В.Л., Водоп'ян С.В., Костюченко Р.М. // Вісник ЖДТУ.2005.-№4(35).С. 4248.

3. Костюченко Р. М. Метод системоаналогових диференціальних перетворень для розв'язку рівнянь в частинних похідних / Баранов В.Л., Водоп'ян С.В., Костюченко Р.М. // Вісник ЖДТУ.2006.-№2(37).С. 120125.

4. Костюченко Р. М. Символічний метод розв'язку рівнянь в частинних похідних на основі системоаналогових диференціальних перетворень / Баранов В.Л., Водоп'ян С.В., Костюченко Р.М. // Вісник ЖДТУ. 2005 - № 3(34). С. 8995.

5. Костюченко Р. М. Метод балансу диференціальних спектрів для моделювання фізичних процесів / Баранов В.Л., Водоп'ян С.В., Костюченко Р.М. // Проблеми інформатизації та управління: зб. наук. пр. - Вип. 4(15). - К.: НАУ, 2005. - С. 22 - 27.

6. Костюченко Р. М. Моделювання фізичних процесів методом одномірних диференціальних перетворень крайових задач / Баранов В.Л., Водоп'ян С.В., Костюченко Р.М. // Проблеми інформатизації та управління: зб. наук. пр. - Вип. 3(14). - К.: НАУ, 2005. - С. 25 - 30.

7. Костюченко Р.М. Метод системоаналогового моделювання фізичних процесів, які описуються змішаними крайовими задачами / Баранов В.Л., Водоп'ян С.В., Костюченко Р.М. // Зб. наук. пр. Харківського університету Повітряних Сил імені Івана Кожедуба. - Вип.. 3(39). - Харків.: ХУПС, 2006. - С. 62 - 64.

8. Костюченко Р. М. Моделювання на основі диференціальних перетворень температурного профілю низькотеплопровідних матеріалів / Баранов В.Л., Водоп'ян С.В., Костюченко Р.М. // Проблеми інформатизації та управління: зб. наук. пр. - Вип.. 1(16). - К.: НАУ, 2006. - С. 22 - 27.

9. Режимы прогрева и теплового разрушения поверхности теплозащитных материалов / Фролов Г.А., Баранов В.Л., Боровик Д.В., Костюченко Р.М. // Вісник Дніпропетровського університету. 2006. № 2/2.С. 197204.

10. Костюченко Р. М. Метод моделювання фізичних процесів на основі диференціальних перетворень нелінійних крайових задач / Баранов В.Л., Водоп'ян С.В., Костюченко Р.М. // Вісник ЖДТУ.2007.-№ 2(41).С. 5965.

11. Костюченко Р. М. Моделювання процесів оптимального управління розподіленими системами на основі диференціальних перетворень нелінійних крайових задач / Баранов В.Л., Водоп'ян С.В., Костюченко Р.М. // Вісник ЖДТУ.2008.-№1 (44).С. 6773.

12. Костюченко Р. М. Метод комп'ютерного моделювання фізичних процесів диференціальними спектрами / Баранов В.Л., Водоп'ян С.В., Костюченко Р.М. // Тези доповідей Міжнар. наук.техн. конф. [„Сучасні проблеми і досягнення в галузі радіотехніки, телекомунікацій та інформаційних технологій”], (Запоріжжя, 1315 квітня 2006 р.) / Мво освіти і науки України, Запорізький нац. техн. унт [та ін.]. Запоріжжя: ЗНТУ, 2006.С. 114117.

13. Костюченко Р.М. Метод комп'ютерного моделювання фізичних процесів, які описуються змішаними крайовими задачами: матеріали VІ Міжнародної наукової конференції студентів та молодих вчених [„Політ”], (Київ, 1112 квітня 2006 р.) / Мво освіти і науки України, Нац. авіац. унт. К.: НАУ, 2006.С. 122.

14. Костюченко Р.М. Метод комп'ютерного моделювання фізичних процесів в областях складної форми / Баранов В.Л., Водоп'ян С.В., Костюченко Р.М.: матеріали IV Міжнар. наук.-техн. конф. ["АВІА-2006"], (Київ, 25 - 27 вер. 2006 р.). - Т. 1. - К.: НАУ, 2006. - С. 13.9 - 13.12.

15. Костюченко Р. М. Метод системоаналогового моделюваня для розв'язку рівнянь у частинних похідних: Тези ХХХІ науковопрактичної міжвузівської конференції присвяченої Дню університету, (Житомир, 1416 березня 2006 р.). / Мво освіти і науки України, Житом. держ. технолог. унт. [та ін.]. Житомир: ЖДТУ, 2006. С. 38.

16. Костюченко Р.М. Системоаналогове моделювання фізичних процесів диференціальними перетвореннями / Костюченко Р.М., Мартинова О.П.: матеріали IV Міжнар. наук.-техн. конф. ["АВІА-2007"], (Київ, 25 - 27 квітн. 2007 р.) - Т. 1. - К.: НАУ, 2006. - С. 13.41 - 13.44.

17. Костюченко Р.М. Метод системоаналогового моделювання фізичних полів / Водоп'ян С.В., Костюченко Р.М.: Матеріали Міжнар. наук.-техн. конф. [„Розвиток наукових досліджень 2005”], (Полтава,7 - 9 листопада 2005 р.) - Т. 6. - Полтава: Видво „ІнтерГрафіка”, 2005. - С. 9 - 10.

18. Костюченко Р.М. Моделювання фізичних процесів методом балансу диференціальних спектрів: Тези доповідей ХV наук.техн. конф. [„Наукові проблеми розробки, модернізації та застосування інформаційно вимірювальних систем космічного і наземного базування”], (Житомир, 2021 квітня 2006 р.) Ч.1 Житомир: ЖВІРЕ, 2006. С. 107.

...