Кількісний аналіз ризику

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кількісний аналіз ризику



1. Концепція ризику та методи його оцінки

Ризик та дохідність у фінансовому аналізі розглядаються як дві тісно пов'язані категорії і можуть асоціюватись як з окремим видом фінансового активу, так і з їх комбінацією (у подальшому під активами будуть розумітися такі фінансові інструменти, як акції та облігації).

У найбільш загальному розумінні ризик - це імовірність виникнення збитків або недоотримання доходів порівняно з прогнозованим варіантом. Можна сформулювати і більш деталізовані підходи до визначення цього поняття. Зокрема, ризик може бути визначений як рівень конкретних фінансових втрат, що виражаються: а) можливістю недосягнення поставленої цілі; б) невизначеністю прогнозованого результату; в) суб'єктивністю оцінки прогнозованого результату.

Ризик є досить складною і багатовекторною категорією. Не випадково в науковій літературі приводяться десятки видів ризику: виробничий, валютний, інвестиційний, екологічний, політичний та інші. При цьому основною класифікаційною ознакою частіше всього слугує об'єкт, ризиковість якого намагаються проаналізувати. Інвестиції в цінні папери пов'язані також із ризиком. При цьому виділяють два основних ризики - кредитний ризик (credit risk) та ринковий ризик (market risk). Кредитний ризик визначається, як можливість відмови виплати процентів та основної суми боргу (викупної ціни). Він характеризує кредитоспроможність і надійність самого емітента. Ринковий ризик (процентний - interest rate) значною мірою визначається змінами процентної ставки на ринку кредитів.

Ризик фінансового активу характеризується степенем варіації доходу (або дохідності), який може бути отриманий завдяки володінню даним активом. Так, державні цінні папери володіють відносно невеликим ризиком, оскільки варіація доходу по них у державі зі стабільною економікою практично рівна нулю. Навпаки, звичайна акція будь-якої компанії має значно більший ризик, оскільки дохід по таких акціях може дуже сильно варіюватись.

Оскільки ризик є імовірнісною оцінкою, його кількісне вимірювання не може бути однозначним і безумовним. Більше того, проблема оцінки ризику фінансових активів має багато аспектів як з позиції методів оцінки, так і з позиції стратегії і тактики управління цими активами.

Кількісно ризик може бути охарактеризований як деякий показник, що вимірює варіацію доходу або дохідності. Таким чином, для цієї цілі можна використати ряд статистичних показників, зокрема: розмах варіації, дисперсію, середнє квадратичне відхилення (що іноді називають стандартним відхиленням) та коефіцієнт варіації.

Згадаємо коротку характеристику цих показників. Нехай задано ряд статистичних величин:.

Розмах варіації:

(1)

Недоліки: дає грубу оцінку; є абсолютним показником і його застосування в порівняльному аналізі обмежено; його значення дуже залежить від значень на кінцях рангажованого ряду.

Дисперсія:

. (2)

Середнє квадратичне відхилення вказує на середнє відхилення значень ознаки відносно середньої арифметичної:

. (3)

Спільний недолік: абсолютні показники, значення яких залежить від абсолютних значень ознаки.

Коефіцієнт варіації:

. (4)

По відношенню до оцінки ризику цінних паперів необхідно зробити три зауваження:

1. Кількісно ризик може бути оцінений як варіація доходу або дохідності. Перевагу віддають дохідності, як відносному показнику, що не залежить від розміру інвестицій і може бути використаний для співставлень у просторово-часовому розрізі.

2. Основними показниками ризику на ринку капіталів є дисперсія та середнє квадратичне відхилення, оскільки базовим показником при розрахунках є дохідність (відносний показник). Тому застосовувати коефіцієнт варіації нагальної потреби немає.

3. Наведені формули розраховані на дискретні ряди. Стосовно фінансових активів вони можуть застосовуватися в ретроспективному аналізі. Проте більш важливим є перспективний аналіз, у рамках якого більшість величин, які мають інтерес для інвестора, оцінюються в імовірнісних термінах. Тому при оцінці ризику використовують модифікацію формул (2) та (3), у яких вагами значень очікуваної дохідності є імовірності їх появи.

Необхідно відмітити ще одну дуже важливу особливість аналізу ризику та дохідності. Як і будь-яка імовірнісна категорія, ризик може бути оцінений по-різному. Проте повинно мовитися не тільки і не скільки про відмінності в алгоритмах та критеріях оцінки, скільки про те, чи розглядається даний фінансовий актив окремо, чи як складова частина набору активів. При розгляді активу окремо ніяких проблем теоретичного характеру не виникає і його ризиковість може бути виміряна з допомогою однієї з розглянутих вище статистик. Проте, як і в будь-якому перспективному аналізі, інвестор стикається з однією проблемою - проблемою оцінки очікуваних значень вихідних параметрів. Зокрема, якою б оцінкою інвестор не користувався, йому необхідно оцінити очікувану дохідність активу. Частіше за все роблять три оцінки: песимістичну , найімовірнішу та оптимістичну . Безумовно, число наслідків може бути збільшене, проте степінь вірогідності очікуваних значень дохідності та імовірностей їх здійснення при цьому очевидно знизиться.

Якщо обмежитися трьома оцінками, то найбільш загальною мірою ризику може бути розмах варіації очікуваної дохідності, що розраховується за формулою:

(5)

Приклад 1. Підприємцю необхідно вибрати кращий із двох альтернативних фінансових активів, якщо відомі такі їх характеристики:

Показник	Варіант А	Варіант В
Ціна цінного паперу ($)	2000	3000
Дохідність (експертна оцінка), %
песимістична	13	12
найімовірніша	14	14,5
оптимістична	15	16
Розмах варіації	2	4

Із наведених розрахунків видно, що обидва фінансових активи мають приблизно однакову найбільш імовірнісну дохідність, проте другий із них може вважатися вдвічі ризикованим. Зауважимо, що якби був вибраний якийсь інший критерій оцінки ризику, його степінь міг бути іншим.

Можна розраховувати й інші міри ризику, основані на побудові імовірнісного розподілу значень дохідності та обчисленні стандартного відхилення від середньої дохідності й коефіцієнта варіації, які і розглядаються як степінь ризику, що асоціюється з даним активом.

Очевидно, чим вищий коефіцієнт варіації, тим більш ризиковим є даний вид активу. Послідовність аналітичних кроків в цьому випадку така:

· визначаються прогнозні оцінки значень дохідності та імовірності їх здійснення , де - число наслідків;

· розраховується найбільш імовірнісна дохідність за формулою:

; (6)

· розраховується стандартне відхилення за формулою:

; (7)

· розраховується коефіцієнт варіації за формулою:

. (8)

Приклад 2. За умовами попереднього прикладу оцінити ризик кожного з фінансових інструментів, якщо в обох випадках імовірність найімовірнішої дохідності складає 50 %, а імовірність песимістичної та оптимістичної оцінок рівні і складають 25 %.

Варіант А: ,

,

.

Варіант В:

.

При такому розподілі ймовірностей наслідків як і раніше ми можемо стверджувати, що в обох активів приблизно однакова найімовірніша дохідність і другий актив може вважатися вдвічі ризиковим. Проте у випадку, коли імовірність найімовірнішої дохідності складатиме 60 %, песимістичної оцінки - 10 %, а оптимістичної оцінки - 30 % для обох варіантів, то коефіцієнти варіації активів А та В відповідно складуть 4,22 % і 7,64 %. У такому випадку не можна стверджувати, що другий актив вдвічі ризиковий.

2. Ризик інвестиційного портфеля

Приймаючи рішення про доцільність інвестування грошових коштів у фінансові активи, інвестор повинен перш за все оцінити ризик, який притаманний цим активам, потім очікувану їх дохідність, а далі визначити, чи достатня ця дохідність для компенсації очікуваного ризику. Частіше за все інвестор працює не з окремим активом, а з деяким їх набором, що називають портфелем цінних паперів або інвестиційним портфелем. Звідси випливає, що оцінюючи ризик конкретного активу з інвестиційного портфеля, можна діяти у двох напрямках: або розглядати цей актив окремо від інших, або вважати його невід'ємною частиною портфеля. Виявляється, що оцінка ризику активу і доцільності операцій з ним при цьому змінюються. Більше того, актив, що має високий рівень ризику при розгляді його окремо, може бути практично безризиковим з позиції портфеля і при певному сполученні активів, які входять до нього. Наприклад, теоретично можна підібрати два фінансових активи, кожен із яких має високий рівень ризику, а їх поєднання складає абсолютно безризиковий портфель.

Отже, ризик активу ? величина змінна і залежить, зокрема, від того, у якому контексті розглядається даний актив: окремо чи як складова частина інвестиційного портфеля. У першому випадку визначальним є загальний ризик активу, який кількісно вимірюється, наприклад, стандартним відхиленням можливих наслідків відносно очікуваної його дохідності. У другому випадку визначальним уже є ринковий ризик активу, який являє собою частку ризику даного активу в ризику портфеля в цілому.

При оцінці портфеля і доцільності операцій з активами, що є його складовими частинами, необхідно оперувати показниками дохідності й ризику портфеля в цілому. Оцінюючи можливість тієї чи іншої операції, пов'язаної зі зміною структури портфеля і його об'ємних характеристик, частіше за все розмірковують у термінах очікуваної дохідності портфеля і відповідного їй ризику.

Нехай пакет (портфель) цінних паперів складається з видів цінних паперів і дохідність від одного цінного папера виду є випадковою величиною із середнім значенням . Очевидно, що дохідність портфеля () представляє лінійну функцію показників дохідності активів, які входять до нього, і може бути розрахована за формулою середнього арифметичного:

, (9)

де - дохідність -го активу, - доля -го активу в портфелі, - число активів у портфелі.

Як і у випадку з окремими активами, мірою ризику портфеля може бути варіація його дохідності. Оскільки всі розглянуті вище міри ризику є нелінійними відносно дохідності, зв'язок між ризиком портфеля і ризиком активів, що входять до нього, носить більш складний характер і не описується формулою середнього арифметичного. Як відомо з курсу статистики, у багатовимірному випадку необхідно враховувати взаємозв'язок значень дохідності активів портфеля з допомогою показника коваріації та коефіцієнта кореляції.

Зокрема, якщо мірою ризику вибрано середнє квадратичне відхилення, то його значення для портфеля, що містить активів, може бути знайдене за формулою:

, (10)

де - доля -го активу в портфелі, - варіація дохідності -го активу, - коефіцієнт кореляції між очікуваними дохідностями -го і -го активів:

.

Для портфеля із двох активів ця формула суттєво спрощується і має вигляд:

, (11)

Безумовно, якщо інвестор володіє портфелем цінних паперів, він зацікавлений у першу чергу в середній дохідності портфеля в цілому, проте задача оцінки окремого активу також представляє певний інтерес, зокрема для граничного випадку, коли інвестиційний портфель складається з одного цінного папера. Оцінки, які використовуються в цьому випадку і знаходяться на основі наведених вище формул, достатньо прості й наочні в плані їх інтерпретації. Ситуація ускладняється при переході до портфеля з великим числом активів, які його складають. У цьому випадку виникає ряд проблем як теоретичного, так і обчислювального характеру.

По-перше, у ситуації з портфелем ризик, який асоціюється з якимось конкретним активом, не може розглядатись окремо. Будь-яка нова інвестиція повинна аналізуватися з позиції її впливу на зміну дохідності та ризику інвестиційного портфеля в цілому. Таким чином, у цьому випадку визначальним буде не ризик активу, що розглядається окремо, а ризик портфеля в цілому і вплив того чи іншого активу у випадку включення його в портфель чи вилучення звідти. ризик інвестування диверсифікація дюрація

По-друге, оскільки всі фінансові інвестиції відрізняються по рівню дохідності та ризику, їх можливі сполучення в портфелі осереднює ці кількісні характеристики, а у випадку оптимальної їх комбінації можна добитися значного зниження ризику інвестиційного портфеля.

По-третє, оптимальність портфеля, під якою розуміється таке сполучення активів, що входять до нього, яке забезпечує найбільшу прийнятну дохідність у середньому із всіх доступних варіантів, не може бути досягнута простим відбором найбільш прибуткових активів. Така на перший погляд правильна методика не завжди правильна, оскільки майже завжди призводить до збільшення ризику портфеля.

По-четверте, варіація дохідності має місце не тільки в просторі, а і в динаміці, тобто тенденції дохідності двох випадково вибраних із портфеля активів зовсім не обов'язково співпадають, більше того, вони можуть бути різнонаправленими. Користуючись різнонаправленістю тенденцій дохідності, можна оптимізувати портфелі, наприклад, за рахунок зниження ризику при незмінній дохідності.

По-п'яте, оскільки йдеться про очікувані значення показників, яких у рамках імітаційного аналізу може бути нескінченно багато, то суттєво ускладняються і обчислювальні процедури.

3. Ефекти диверсифікації, що понижують ризик

Щоб продемонструвати ефекти диверсифікації, що понижують ризик, припустимо, що цінний папір А має стандартне відхилення 15 %, а цінний папір В має стандартне відхилення 14 %. Припустимо також, що всі вагові коефіцієнти активів у портфелі однакові.

Розглянемо спочатку випадок, коли доходи по активах повністю корельовані і зв'язок прямий, тобто коефіцієнт кореляції

Середнє квадратичне відхилення портфеля складе:

.

Це показує, що в даному конкретному випадку ризик портфеля - це середній зважений ризик окремих активів.

Розглянемо, що трапиться, коли цінні папери мають кореляцію . У цьому випадку середнє квадратичне відхилення портфеля складе:

.

Відмітимо, що число 11,24 % менше, ніж середнє квадратичне відхилення обох окремо взятих цінних паперів.

Наступний крок - дослідження другого особливого випадку, коли два активи мають повністю негативну кореляцію, тобто .

Середнє квадратичне відхилення портфеля буде рівне:

.

Ризик портфеля практично зведений до нуля, тому що у випадку, коли один актив зростає, другий знижується на таку ж величину, а отже, вартість портфеля не змінюється. Це є базою для операцій хеджування, у яких негативна кореляція досягається продажем позиції по інструменту, який має високий ступінь позитивної кореляції з тим активом, який потребує хеджування. Таким чином, коротка позиція по хеджуючому інструменту утворює негативну кореляцію між довгою та короткою позиціями.

Оскільки доходи по цінних паперах у цілому не повністю корельовані, середнє квадратичне відхилення портфеля буде менше, ніж середнє значення середніх квадратичних відхилень окремих цінних паперів. Більше того, середнє квадратичне відхилення зменшується, коли знижується ступінь кореляції пар активів.

Таким чином, ефективна диверсифікація - це не просто додання активів до портфеля, а додання таких активів, доходи яких мають найнижчу кореляцію з активами, присутніми в портфелі.

Раніше ми бачили ефект степені кореляції на диверсифікацію. Корисно розглянути ситуацію, коли кількість активів у портфелі зростає. Розглянемо знову вираз (10), що визначає середнє квадратичне відхилення портфеля:

, (12)

Припустимо, що є велика кількість активів, доступних для інвестицій і всі доходи по активах незалежні. Вираз (12) скоротиться до такого:

. (13)

Оскільки передбачається, що всі доходи по активах незалежні, коваріації рівні нулю. Припустимо також, що інвестовані суми в кожний з активів рівні між собою, тоді всі вагові коефіцієнти стануть рівними , і стандартне відхилення портфеля матиме вигляд:

. (14)

Вираз у дужках представляє середню дисперсію активів у портфелі. При збільшенні числа активів у портфелі, дисперсія портфеля знижується, тому що величина зменшується.

4. Використання показників дюрації для оцінки процентного ризику

а) Співвідношення між ризиком зміни ціни та дохідністю. Поточну вартість фінансового інструменту в загальному вигляді можна розрахувати за формулою (2.9):

(15)

де - поточна вартість фінансового інструменту;

- грошові потоки (наприклад, відсотки за кредит);

- номінальна вартість інструменту.

З урахуванням (15) для малих змін дохідності ціновий ризик можна вважати приблизно рівним відношенню зміни ціни до відповідної зміни дохідності:

(16)

де - малі зміни дохідності; - зміна ціни, яка відповідає зміні дохідності .

Оскільки ціна завжди зменшується зі зростанням дохідності, знак "мінус" у (16) забезпечує позитивне значення цінового ризику. Шляхом диференціювання рівняння (15) отримуємо так звану "формулу цінового ризику":

(17)

Із диференціального числення відомо, що нахил дотичної до неперервної кривої дорівнює частинній похідній функції, яка описує криву. Тому в результаті ціновий ризик дорівнює:

Як правило, значення цінового ризику ділять на 100, щоб відобразити зміну в ціні, яка відповідає зміні дохідності на 1 % (знак "мінус" перед значенням похідної забезпечує позитивне значення зміни ціни):

(18)

Показник, який визначається формулою (18), називають ще "доларовою дюрацією" (або "гривневою дюрацією" тощо відповідно до того, яка валюта є базовою для розрахунків), тому що він вимірює абсолютні обсяги ризику в одиницях валюти, що відповідає зміні дохідності на 1 %.

Приклад 1. Облігація номіналом $100 та терміном до погашення 6 років, проценти по якій виплачуються раз на рік по нормі 8 %, була випущена рік тому. Сьогодні її ціна складає $70. Визначити ціновий ризик для даного фінансового інструменту.

Розв'язок. Для даної облігації повна дохідність складає 17.49 % (див. приклад 3.4). Застосувавши формули (17) та (18), при отримаємо:

.

Отже, при зміні дохідності даного фінансового інструменту на 1 % його ціна зміниться на 2,48$.

б) Вимірювання ризику зміни ціни фінансових інструментів. При оцінюванні процентного ризику як імовірності понести грошові збитки або недоотримати прибуток через несприятливі зміни процентних ставок на фінансових ринках важливу роль відіграють методи, які дають змогу кількісно оцінити його можливі обсяги. Один із сучасних методів базується на розрахунку показників дюрації, що характеризують чутливість вартості фінансових інструментів до зміни процентних ставок і допомагають визначити ступінь процентного ризику, на який наражається інвестор, купуючи той чи інший фінансовий інструмент.

Для обґрунтованого вибору фінансових інструментів недостатньо мати дані про їх дохідності. Необхідно якимось чином оцінити і ризик. Раніше одним із основних способів вимірювання ризиковості фінансових інструментів фактично залишався показник "строк до погашення", оскільки, за інших рівних обставин, чим довшим є строк до погашення, тим більшою волатильність ціни фінансового інструменту, тобто ризик. Однак за такого вимірювання ризику беруть до уваги лише фінальні виплати, не враховуючи періодичних виплат і зміну вартості коштів у часі, внаслідок чого ризик такого фінансового інструменту не пропорційний строку до погашення. Ясно, що облігації з нульовим купоном більш ризикові, ніж облігації з періодичною виплатою процентів при одному й тому ж їх терміні. Для характеристики фінансових інструментів з цієї точки зору застосовують два види середніх термінів платежів. Перша середня - середній арифметичний термін (average life), друга - середній термін дисконтованих платежів (duration).

Середній арифметичний термін узагальнює терміни всіх видів виплат у вигляді середньої зваженої арифметичної величини. Ваговими коефіцієнтами беруть розміри виплат. Для облігацій із щорічною виплатою купонів і погашенням номіналу в кінці терміну маємо:

(19)

де - середній термін, - терміни платежів по купонах у роках,

- сума платежу, - купонна ставка, - загальний термін облігації.

Відомо, що для .

,

тому замість (19) можна застосувати:

. (20)

Очевидно, що . В облігацій із нульовим купоном . Неважко зрозуміти, що чим більший купонний процент, тим менший середній термін.

Приклад 2. Знайти середній арифметичний термін для двох облігацій із виплатами по купонах 6 та 12 % від номіналу, термін облігацій 10 років.

Розв'язок. За формулою (20) при отримаємо:

роки.

У випадку, коли купони виплачуються разів на рік, то врахувавши, що:

,

. (21)

Очевидно, що перехід від річної виплати процентів до виплат по півріччях або щоквартально дещо зменшує середній арифметичний термін облігації. Чим менший середній арифметичний термін, тим швидше отримує віддачу від облігації її власник, а, отже, менший ризик.

Скориставшись поняттям "кредитна послуга", під якою зазвичай розуміють добуток суми кредиту на термін, чисельник у формулі (19) можна розглядати як повний розмір кредитної послуги по облігації. Середній арифметичний термін вказує на момент у терміні облігації, коли розміри кредитних послуг до середнього терміну і після цього моменту врівноважені. Механічний аналог середнього терміну - точка рівноваги платежів у часі.

Середній термін дисконтованих платежів представляє також середню зважену величину термінів платежів, проте зважування тут більш "тонке", яке враховує часову цінність грошей. Щоб отримати кращу, ніж строк до погашення, оцінку ризику інвестування у фінансовий інструмент і відповідно оцінки ризику з точки зору отримання прибутку, американський учений Фредерік Макколі (F.R. Macaulay) на основі інтерпретації фінансового інструменту як потоку платежів увів поняття дюрації як середньозваженого строку до погашення всіх компонентів фінансового інструменту, кожний із яких зважується за своєю поточною вартістю. Інакше кажучи, дюрація є оцінкою середньозваженого строку потоку платежів за фінансовим інструментом з урахуванням дисконтування вартості окремих виплат. Нині поняття дюрації, запроваджене Ф. Макколі, прийнято називати стандартною дюрацією, або дюрацією Макколі. Позначатимемо даний показник як . Стандартна дюрація залежить не лише від структури відповідного потоку платежів, а й від поточної процентної ставки. Нехай проценти виплачуються щорічно, тоді маємо:

, (22)

- дисконтний множник, - поточна ринкова ставка.

Знаменник формули за означенням дорівнює ринковій поточній вартості фінансового інструменту. Для купонної облігації з річними купонними виплатами по нормі , номіналом та терміном до погашення після перетворень легко отримати таку формулу:

. (23)

Дисконтування проводиться за ставкою поміщення.

Приклад 3. Знайти середній термін дисконтованих платежів для облігації з терміном 5 років, проценти по якій виплачуються раз на рік по нормі 8 %, купленої за курсом 70.

Розв'язок. Для даної облігації була визначена повна дохідність (ставка поміщення), і вона склала 17,49 % (див. приклад 3.4). Дисконтуємо платежі по цій ставці.

				.
1	0,85114	0,08	0,06809	0,06809
2	0,72443	0,08	0,05795	0,11591
3	0,61659	0,08	0,04933	0,14798
4	0,52480	0,08	0,04198	0,16794
5	0,44668	0,08	0,03573	0,17867
			0,25308	0,67859

Знайдемо середній термін дисконтованих платежів за формулою (23)

.

Нагадаємо, що середній арифметичний термін для цієї облігації дорівнює

.

Очевидно, що для облігацій з нульовим купоном . В інших випадках .

Для вимірювання процентного ризику застосовують також показник зміни ціни, яка відповідає зміні дохідності на 1 базисний пункт (Price Value of Basis Point - PVBP) Близький за змістом до показника ризику зміни ціни , він дає змогу з'ясувати величину ризику зміни в абсолютному вимірі (грошових одиницях):

, (24)

оскільки базисний пункт дорівнює 0,01 %.

Ще однією інтерпретацією стандартної дюрації є цінова еластичність інструменту відносно дохідності, як процентна зміна ціни інструменту, викликана певною процентною зміною дохідності:

,

або з урахуванням (24):

(25)

Стандартна дюрація портфеля інструментів розраховується як середньозважена сума стандартних дюрацій фінансових інструментів, що входять до його складу:

(26)

де - стандартна дюрація -го інструменту;

- доля поточної (ринкової) вартості -го інструменту в поточній (ринковій) вартості усього портфеля активів.

Стандартна дюрація, будучи відносною мірою ризику, є однією з основних характеристик потоку платежів і визначає його чутливість до незначної зміни рівня процентної ставки на ринку. Для оцінки чутливості поточної вартості фінансового інструменту до зміни процентної ставки застосовується не сама величина , а її модифікація, яку називають модифікованою дюрацією і позначають (modified duration).

(27)

де - поточна ринкова процентна ставка.

Модифікована дюрації - це процентна зміна ціни , викликана зміною дохідності на 1 %; її розраховують як відношення першої похідної ціни за дохідністю до самої ціни:

. (28)

З урахуванням виразів (18) та (28) модифіковану дюрацію можна подати як функцію цінового ризику :

(29)

Термін "модифікована дюрація" не відповідає фінансовому змісту цього показника - його точніше б характеризували слова "чутливість" або "еластичність". Вірогідно на назву показника вплинув вигляд результуючої формули, що його визначає: формально це стандартна дюрація, поділена (тобто "модифікована") на вираз . Зауважимо, що модифікована дюрація відрізняється від показника цінового ризику в основному тим, що вимірює зміну ціни відносно всієї інвестованої суми коштів, тоді як ціновий ризик відображає лише зміну ціни відносно її поточної вартості.

Якщо купонні виплати по облігації здійснюються разів на рік, то модифікована дюрація обчислюється за формулою:

(30)

де - поточна ринкова процентна ставка, - кількість виплат процентів за рік.

Для практичної оцінки дохідності фінансового інструменту корисною є формалізована залежність зміни ціни від зміни дохідності . Із (16) маємо:

.

Підставивши в дане співвідношення значення із (29), отримуємо наближену формулу зміни ціни як функцію зміни дохідності:

. (31)

Формула (31) застосовується на практиці для оцінювання коливань у ціні облігацій при незначних (до 1 %) змінах ринкової процентної ставки.

З формули (31) випливає, що за однакових рівнів дохідності фінансовий інструмент, що має більшу дюрацію, матиме більші зміни ціни, ніж інструмент із тією ж початковою вартістю і який має меншу дюрацію.

Приклад 4 Для облігації прикладу 3.4 оцінити вплив на її ціну очікуване підвищення ринкової процентної ставки з 17,49 % до 18 %.

Розв'язок. Для даної облігації було знайдено .

Звідки: , а , тобто при вказаному підвищенні ставки вартість облігації складе . При зміні ринкової процентної ставки на 1 % вартість облігації зміниться на величину , що відповідає значенню цінового ризику для даного інструменту (див. приклад 1).

Модифікована дюрація портфеля активів, як і його стандартна дюрація, розраховується аналогічно (26) як сума модифікованих дюрацій інструментів портфеля, зважених на поточну (ринкову) вартість кожного інструменту по відношенню до поточної (ринкової) вартості портфеля в цілому.

Ціновий ризик чутливий до рівня дохідності, за якого він був розрахований. Особливо чітко це проявляється у разі використання довгострокових фінансових інструментів. Оскільки залежність між зміною ціни фінансового інструменту і відповідною зміною процентної ставки є в загальному випадку нелінійною, для точнішої оцінки цієї залежності корисним є поняття швидкості зміни нахилу графіка ціни від дохідності, яке має назву "випуклість" (convexity). Показник випуклості вимірюється шляхом обчислення другої часткової похідної від функції ціни за дохідністю:

(32)

Випуклість завжди позитивна. Швидкість зміни ціни відносно дохідності знижується (стає "менш" від'ємною) зі зростанням дохідності. Якщо ціновий ризик - це швидкість зменшення ціни фінансового інструменту при зміні дохідності, то випуклість - прискорення цього зменшення. Випуклість зростає разом із дюрацією (за умови, що та - фіксовані).



Література

1. Вітлінський В.В. Моделювання економіки.

2. Вишняков Н.В. Экономико-математические модели оценки деятельности коммерческих банков. СПб-2009.

3. Конюховский П.В., "Микроэкономическое моделирование банковской деятельности", СПб., 2011.

4. Уотшем Т.Дж., Количественные методы в финансах. М., 2009.

5. Четыркин Е.М., "Финансовая математика", М., 2010.

6. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. Инфра-М. 2003.

Размещено на Allbest.ru

...