Характеристика уравнения квадратичной регрессии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Пусть на основании опыта получены следующие частные значения переменных x и y.

х	1	2	3	4	5	6	7
y	8,78	10,63	12,48	16,33	22,18	23,03	31,88

Задание

С помощью метода наименьших квадратов постройте уравнение линейной и квадратичной регрессии и выберите лучшую из них.

Решение

1. Построим уравнение линейной регрессии.

y=a+bx

Решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

Расчеты представим в следующей таблице:

i	x	y		xy
1	1	8,78	1	8,78	77,0884	8,78	1	1
2	2	10,63	4	21,26	112,9969	42,52	8	16
3	3	12,48	9	37,44	155,7504	112,32	27	81
4	4	16,33	16	65,32	266,6689	261,28	64	256
5	5	22,18	25	110,9	491,9524	554,5	125	625
6	6	23,03	36	138,18	530,3809	829,08	216	1296
7	7	31,88	49	223,16	1016,334	1562,12	343	2401
	28	125,31	140	605,04	2651,172	3370,6	784	4676
Среднее	4	17,9014	20	86,4343	378,7389	481,5143	112	668

-уравнение линейной регрессии.

2. Построим уравнение квадратичной регрессии.

Решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:



- уравнение квадратичной регрессии.

3. Выберем лучшее из уравнений. Рассчитаем коэффициенты корреляции и детерминации.

Уравнение линейной регрессии .

Линейный коэффициент корреляции:

Связь сильная, прямая.

Коэффициент детерминации:

rxy2=0,97122=0,9433

Уравнение квадратичной регрессии

i	x	y
1	1	8,78	8,8	0,0004
2	2	10,63	10,49	0,0196
3	3	12,48	12,98	0,25
4	4	16,33	16,28	0,0025
5	5	22,18	20,4	3,1684
6	6	23,03	25,32	5,2441
7	7	31,88	31,05	0,6889
	28	125,31		9,3739
Среднее	4	17,9014		1,3391

Индекс корреляции:

Коэффициент детерминации:

rxy2=0,88742=0,977

Связь тесная.

Лучшее из уравнений - уравнение квадратичной регрессии

Задача 2

Зависимость паритета покупательной способности от ВВП на душу населения:

Х - ВВП, национальная денежная единица;

У - национальная денежная единица.

Номер	Х	У
1	2493	0,6
2	2314	0,7
3	1905	0,78
4	2783	1
5	574	2,71
6	332	3,82
7	88	3,95

Задание

1.Для характеристики зависимости у от х, рассчитайте параметры следующих функций:

а) линейной

б) степенной

2. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

а). Рассчитайте показатель дисперсии.

б). Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

в). С помощью F-критерия Фишера оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

г). Рассчитайте значение t- Критерия Стьюдента. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05.

д). Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы.

е). Постройте поле корреляции.

3.Оцените нелинейную модель по показателям:

а) коэффициент корреляции и детерминации

б) дисперсия

в) средняя ошибка аппроксимации

г) средний коэффициент эластичности

д) F-критерий Фишера

4. Сравните линейную и нелинейную модель, выводы оформить в виде таблицы.

Решение

1. Рассчитаем параметры уравнений линейной функции и степенной функции.

a). линейная функция.

y=a+bx

Расчеты представим в следующей таблице:

i	x	y	xy					Ai*100%
1	2493	0,6	1495,8	6215049	0,36	0,6	0	0
2	2314	0,7	1619,8	5354596	0,49	0,84	0,14	20
3	1905	0,78	1485,9	3629025	0,6084	1,37	0,59	75,641
4	2783	1	2783	7745089	1	0,23	0,77	77
5	574	2,71	1555,54	329476	7,3441	3,1	0,39	14,3911
6	332	3,82	1268,24	110224	14,5924	3,41	0,41	10,733
7	88	3,95	347,6	7744	15,6025	3,73	0,22	5,5696
Итого	10489	13,56	10555,88	23391203	39,9974			203,3348
Среднее значение	1498,4286	1,9371	1507,9829	3341600,429	5,7139			29,0478
	1047,0493	1,4005
	1096312,245	1,9614



-уравнение линейной функции.

Полученное уравнение регрессии показывает, что с увеличением ВВП на душу населения на 1д. ед. покупательная способность уменьшается в среднем на 0,0013 д. ед.

б) степенная функция.

y=a*хb

lg y = lg a + b* lg x

Y=C+bX, Y= lg y, C= lg a, X= lg x

i	x	y	X	Y	XY	X2
1	2493	0,6	3,3967	-0,2218	-0,7536	11,5377
2	2314	0,7	3,3644	-0,1549	-0,5211	11,3189
3	1905	0,78	3,2799	-0,1079	-0,3539	10,7577
4	2783	1	3,4445	0	0	11,8647
5	574	2,71	2,7589	0,433	1,1945	7,6116
6	332	3,82	2,5211	0,5821	1,4675	6,3561
7	88	3,95	1,9445	0,5966	1,1601	3,781
Итого			20,71	1,127	2,1934	63,2278
Среднее значение			2,9586	0,161	0,3134	9,0326
у			0,5286
у2			0,2794



Построим линейное уравнение

Выполним потенцирование.

- уравнение степенной функции.

2. Оценим тесноту связи линейной функции с помощью показателей корреляции и детерминации.

Дисперсия:

Линейный коэффициент корреляции:

Связь сильная, обратная.

Коэффициент детерминации:

rxy2=(-0,9511)2=0,9046

Оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения линейной функции.

Средняя ошибка аппроксимации:

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 29,0478%, что превышает допустимую норму.

С помощью F-критерия Фишера оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования для уравнения линейной функции.

б=0,05; k1=m-1=2-1=1; k2=n-2=7-2=5

Fтабл=6,61

Так как Fфакт > Fтабл, то уравнение регрессии в целом признается существенным.

Рассчитаем значение t-критерия Стьюдента.

x=1500

y=3,8434-0,0013*1500=1,89 - прогнозное значение результата для х=1500

б=0,05; n-2=7-2=5 tк=2,57

(1,89-2,57*0,17; 1,89+2,57*0,17)

(1,58;3,2)-доверительный интервал прогноза для уровня значимости б=0,05.

Средний коэффициент эластичности:

При изменении ВВП на 1% от среднего значения величина покупательная способность в среднем снизится (знак минус перед значением) на 1,0057% от своего среднего значения.

3. Оценим уравнение степенной функции.

i	x	y					Ai*100%
1	2493	0,6	0,8	-0,2	0,04	0,2	33,3333
2	2314	0,7	0,84	-0,14	0,0196	0,14	20
3	1905	0,78	0,94	-0,16	0,0256	0,16	20,5128
4	2783	1	0,75	0,25	0,0625	0,25	25
5	574	2,71	1,89	0,82	0,6724	0,82	30,2583
6	332	3,82	2,61	1,21	1,4641	1,21	31,6754
7	88	3,95	5,66	-1,71	2,9241	1,71	43,2911
Итого		13,56			5,2083		204,071
Среднее значение		1,9371			0,744		29,153

Индекс корреляции:

Коэффициент детерминации:

rxy2=0,78782=0,6207

Связь тесная.

Средняя ошибка аппроксимации:

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 29,153%, что превышает допустимую норму.

С помощью F-критерия Фишера оценим статистическую надежность уравнения степенной функции.

б=0,05; k1=m-1=2-1=1; k2=n-2=7-2=5

Fтабл=6,61

Так как Fфакт > Fтабл, то уравнение регрессии в целом признается существенным.

Средний коэффициент эластичности:

Построим поле корреляции.

Выводы

	Уравнение линейной функции	Уравнение степенной функции
Уравнение регрессии
Средняя ошибка аппроксимации
Коэффициенты корреляции и детерминации	r2=0,9046	r2=0,6207
F-критерий Фишера Fтабл=6,61 б=0,05	Fфакт > Fтабл Неслучайная природа зависимости	Fфакт > Fтабл Неслучайная природа зависимости
коэффициент эластичности
Вывод	Связь тесная	Связь тесная

Задача 3

По 30 территориям России имеются данные, представленные в табл.

Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Линейный коэффициент парной корреляции
Среднедушевые денежные доходы в месяц Y	36,6	919,34
Среднемесячная номинальная заработная плата X1	39,3	827,68	=0,9629
Инвестиции в основной капитал на душу X2	34,7	707,41	=0,9386 = 0,7368

Задание

1. Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованной и естественной форме; рассчитайте частные коэффициенты эластичности, сравните их с 1 и 2 и, поясните различия между ними.

2. Рассчитайте линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициенты множественной корреляции, сравните их с линейными коэффициентами парной корреляции, поясните различия между ними.

3. Рассчитайте общий и частные F-критерий Фишера.

Решение

Линейное уравнение множественной регрессии:

Применим метод стандартизации переменных. Построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе.

В результате получено уравнение в стандартизированном масштабе:

Построим уравнение в естественной форме

Средние коэффициенты эластичности:

С увеличением среднемесячной номинальной заработной платы x1 на 1% от её среднего уровня среднедушевой денежный доход в месяц у возрастает на

0, 708% от своего среднего уровня;

при повышении инвестиций в основной капитал на душу x2 на 1% от его среднего уровня среднедушевой денежный доход в месяц у возрастает на 0,6176% от своего среднего уровня.

Сила влияния среднемесячной номинальной заработной платы x1 на среднедушевой денежный доход в месяц у оказалась большей, чем сила влияния инвестиций в основной капитал на душу x2 на среднедушевой денежный доход в месяц у. регрессия корреляция детерминация переменный

Линейные коэффициенты частной корреляции:

Коэффициенты парной и частной корреляции отличаются незначительно: выводы о тесноте и направлении связи на основе коэффициентов парной и частной корреляции совпадают.

ryx1= 0,9629 ryx2= 0,9386 rx1x2= 0,7368

ryx1. x2=1,1632 ryx2. x1 =1,2559 rx1x2. y=-1,7935

Линейный коэффициент множественной корреляции:

R yx1x22=1

Зависимость у от x1 и x2 характеризуется как сильная, в которой 100 % вариации у определяются вариацией учтенных в модели факторов x1 и x2.

Общий F-критерий.

б=0,05

Fтабл=3,35

Так как Fфакт> Fтабл, то делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи R yx1x2, которые сформировались под неслучайным воздействием факторов x1 и x2.

Частные F-критерии.

б=0,05

Fтабл=4,21

Так как F x1факт> Fтабл, то приходим к выводу о целесообразности включения в модель фактора x1 после фактора x2.

б=0,05

Fтабл=4,21

Так как Fфакт >Fтабл, то приходим к выводу о целесообразности включения в модель фактора x2 после фактора x1.

Это означает, что множественная регрессионная модель зависимости среднедушевого денежного дохода от среднемесячной номинальной заработной платы и инвестиций в основной капитал является достаточно статистически значимой и надежной.

Задача 4

В таблице указан объем продаж за 11 кварталов.

№ квартала	товарооборот
1	47,8
2	52,8
3	55,8
4	67,9
5	76,3
6	77,8
7	80,6
8	84,7
9	88,4
10	90,3
11	95,7

Задание

1.Постройте аддитивную и мультипликативную модели временного ряда.

2. Оцените качество каждой модели через показатели средней ошибки аппроксимации и коэффициента детерминации.

3.Дайте прогноз продаж на следующие 2 квартала.

Решение

а) аддитивная модель.

Исключим влияние сезонной вариации.

Номер квартала	Товаро-оборот	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной вариации
1	47,8
2	52,8
3	55,8	56,075	59,6375	-3,8375
4	67,9	63,2	66,325	1,575
5	76,3	69,45	72,55	3,75
6	77,8	75,65	77,75	0,05
7	80,6	79,85	81,3625	-0,7625
8	84,7	82,875	84,4375	0,2625
9	88,4	86	87,8875	0,5125
10	90,3	89,775
11	95,7

	Номер квартала в году
	1	2	3	4
			-3,8375	1,575
	3,75	0,05	-0,7625	0,2625
	0,5125				сумма
Среднее	2,1312	0,05	-2,3	0,9188	0,8
Скорректированная сезонная вариация	1,9313	-0,15	-2,5	0,7188	0

Проводим десезонализацию данных.

Номер квартала, х	Товаро-оборот, А	Сезо нная вариация, S	Десезонали-зированный товаро-оборот, y, A-S=T+E	xy	x2	y2
1	47,8	1,9313	45,8687	45,8687	1	2284,84
2	52,8	-0,15	52,95	105,9	4	2787,84
3	55,8	-2,5	58,3	174,9	9	3113,64
4	67,9	0,7188	67,1812	268,725	16	4610,41
5	76,3	1,9313	74,3687	371,8438	25	5821,69
6	77,8	-0,15	77,95	467,7	36	6052,84
7	80,6	-2,5	83,1	581,7	49	6496,36
8	84,7	0,7188	83,9812	671,85	64	7174,09
9	88,4	1,9313	86,4687	778,2188	81	7814,56
10	90,3	-0,15	90,45	904,5	100	8154,09
11	95,7	-2,5	98,2	1080,2	121	9158,49
?	66		818,8188	5451,4063	506	63468,85
Сред-нее	6		74,4381	495,5824	46	5769,8955

Уравнение линии тренда T=a+bx

Трендовое значение товарооборота=45,0657+4,8954*(номер квартала)

Оценим качество модели.

Номер квартала	Товаро-оборот	Трендовое значение		Ai*100%
1	47,8	50	-4,1313	9,0067	17,0672
2	52,8	54,9	-1,95	3,6827	3,8025
3	55,8	59,8	-1,5	2,5729	2,25
4	67,9	64,6	2,5812	3,8422	6,6628
5	76,3	69,5	4,8687	6,5468	23,7047
6	77,8	74,4	3,55	4,5542	12,6025
7	80,6	79,3	3,8	4,5728	14,44
8	84,7	84,2	-0,2188	0,2605	0,0478
9	88,4	89,1	-2,6312	3,043	6,9235
10	90,3	94	-3,55	3,9248	12,6025
11	95,7	98,9	-0,7	0,7128	0,49
?				42,7194	100,5936
Среднее				3,8836	9,1449

Средняя ошибка аппроксимации:

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 3,8836%, что не превышает допустимой нормы.

Коэффициент детерминации:

Прогноз на следующие 2 квартала:

12 квартал: Товарооборот=45,0657+4,8954*12=103,8

13 квартал: Товарооборот=45,0657+4,8954*13=108,7

б) мультипликативная модель

Номер квартала	Товаро-оборот	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной вариации
1	47,8
2	52,8
3	55,8	59,6375	0,9357
4	67,9	66,325	1,0237
5	76,3	72,55	1,0517
6	77,8	77,75	1,0006
7	80,6	81,3625	0,9906
8	84,7	84,4375	1,0031
9	88,4	87,8875	1,0058
10	90,3
11	95,7

	Номер квартала в году
	1	2	3	4
			0,9357	1,0237
	1,0517	1,0006	0,9906	1,0031
	1,0058				сумма
Среднее	1,0288	1,0006	0,9631	1,0134	4,006
Скорректированная сезонная вариация	1,0272	0,9992	0,9617	1,0119	4

Исключим сезонную вариацию из фактических данных. Проводим десезонализацию данных.

Номер квартала, х	Товаро-оборот, А	Коэффциент сезонности, S	Десезонализированный товарооборот,y, A/S=T*E	xy	y2
1	47,8	1,0272	46,5331	46,5331	2165,3294
2	52,8	0,9992	52,8448	105,6896	2792,5729
3	55,8	0,9617	58,022	174,066	3366,5525
4	67,9	1,0119	67,1004	268,4016	4502,4637
5	76,3	1,0272	74,2777	371,3885	5517,1767
6	77,8	0,9992	77,8661	467,1966	6063,1295
7	80,6	0,9617	83,8095	586,6665	7024,0323
8	84,7	1,0119	83,7025	669,62	7006,1085
9	88,4	1,0272	86,057	774,513	7405,8072
10	90,3	0,9992	90,3767	903,767	8167,9479
11	95,7	0,9617	99,5108	1094,6188	9902,3993
?			820,1006	5462,4607	63913,52
Среднее			74,5546	496,5873	5810,32

Уравнение линии тренда T=a+bx



Трендовое значение товарооборота=44,9988+4,926*(номер квартала)

Оценим качество модели.

Номер квартала	Товаро-оборот	Трендовое значение		Ai*100%
1	47,8	49,9248	-0,6643	1,3899	0,4414
2	52,8	54,8508	0,1052	0,1992	0,0111
3	55,8	59,7768	0,278	0,4982	0,0773
4	67,9	64,7028	0,0809	0,1191	0,0065
5	76,3	69,6288	0,0911	0,1193	0,0083
6	77,8	74,5548	0,0839	0,1078	0,007
7	80,6	79,4808	-0,7095	0,8803	0,5034
8	84,7	84,4068	0,2788	0,3291	0,0777
9	88,4	89,3328	0,4118	0,4658	0,1695
10	90,3	94,2588	0,0733	0,0812	0,0054
11	95,7	99,1848	-1,3108	1,3697	1,7182
?				5,5596	3,0258
Среднее				0,5054	0,2751

Средняя ошибка аппроксимации:

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 0,5054%, что не превышает допустимой нормы.

Коэффициент детерминации:

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 0,9989%, что не превышает допустимой нормы.

Прогноз на следующие 2 квартала:

12 квартал: Товарооборот=44,9988+4,926*12=104,1

13 квартал: Товарооборот=44,9988+4,926*13=109,04

Мультипликативная модель лучше, чем аддитивная, описывает модель.

Задача 5

Дан ряд динамики ВВП за 7 лет в %.

t	1	2	3	4	5	6	7
y	0,6	0,8	1,5	2,4	3,9	5,1	4,4

Задание

1.Рассчитайте коэффициент n автокорреляции уровней временного ряда первого и второго порядка.

2. сделайте вывод о наличии или отсутствии зависимости между уровнями ВВП текущего и предшествующих годов.

Решение

Рассчитаем коэффициент автокорреляции первого порядка.

Составим для вычислений таблицу.

t	yt	yt-1
1	0,6
2	0,8	0,6	-2,2167	-1,7833	3,953	4,9138	3,1802
3	1,5	0,8	-1,5167	-1,5833	2,4014	2,3004	2,5069
4	2,4	1,5	-0,6167	-0,8833	0,5447	0,3803	0,7802
5	3,9	2,4	0,8833	0,0167	0,0148	0,7802	0,0003
6	5,1	3,9	2,0833	1,5167	3,1597	4,3401	2,3004
7	4,4	5,1	1,3833	2,7167	3,758	1,9135	7,3805
Сумма	18,7	14,3			13,8317	14,6283	16,1483

Рассчитаем коэффициент автокорреляции второго порядка.

Составим для вычислений таблицу.

t	yt	yt-2
1	0,6
2	0,8
3	1,5	0,6	-1,96	-1,24	2,4304	3,8416	1,5376
4	2,4	0,8	-1,06	-1,04	1,1024	1,1236	1,0816
5	3,9	1,5	0,44	-0,34	-0,1496	0,1936	0,1156
6	5,1	2,4	1,64	0,56	0,9184	2,6896	0,3136
7	4,4	3,9	0,94	2,06	1,9364	0,8836	4,2436
Сумма	18,7	9,2			6,238	8,732	7,292



Существует тенденция линейной зависимости между уровнями ВВП текущего и предшествующего периодов.

Задача 6

Дан ряд поступлений ВВП в бюджет 2000-2006 г.г. (трлн. руб)

t	1	2	3	4	5	6	7
y	15	17	21	26	28	32	35
x	17	20	23	28	32	36	43

Задание

1.По исходным данным рассчитайте критерий Дарбина- Уотсона.

2. Сделайте вывод о наличии или отсутствии автокорреляции в остатках.

Решение

№	у	уt	оt	оt-1	оt-оt-1	(оt-оt-1)2	оt2
1	15	17	-2				4
2	17	20	-3	-2	-1	1	9
3	21	23	-2	-3	1	1	4
4	26	28	-2	-2	0	0	4
5	28	32	-4	-2	-2	4	16
6	32	36	-4	-4	0	0	16
7	35	43	-8	-4	-4	16	64
?						22	113

Критерий Дарбина - Уотсона:

d=?(оt-оt-1)2 /?оt2=22/113=0,19

5% n=7 лет

m=2 (число факторов)

Нижнее значение d' 1,05

Верхнее значение d' 1,53

4-d=4-0,25=3,81

Наличие в остатках автокорреляции. Автокорреляция положительная.

Уравнение регрессии не может быть использовано для прогноза, так как в нем не устранена автокорреляция в остатках, которая может иметь разные причины.

Задача 7

В таблице приведены данные о среднегодовом уровне цен мирового рынка на сахар за 1968-2006 гг., у.е. за метрическую тонну.

Годы	Yт фактич	Годы	Yт фактич	Годы	Yт фактич
1968	454	1981	344	1994	353
1969	234	1982	634	1995	232
1970	234	1983	224	1996	425
1971	424	1984	227	1997	643
1972	343	1985	256	1998	234
1973	543	1986	258	1999	454
1974	234	1987	264	2000	314
1975	234	1988	287	2001	453
1976	543	1989	288	2002	343
1977	324	1990	291	2003	134
1978	546	1991	224	2004	523
1979	134	1992	227	2005	132
1980	743	1993	256	2006	133

Задание

1. По предложенным данным установите лаговые переменные

2. Выберите наиболее информативную лаговую переменную и постройте с ней линейное уравнение парной регрессии (уравнение авторегрессии)

3. По уравнению авторегрессии выполните прогноз на 4 года

4. Проанализируйте полученные результаты

Решение

Информативные лаговые переменные 23 и 24, так как для них коэффициенты автокорреляции оказались больше, чем критические значения.

Наиболее информативная 23-ая лаговая переменная Y t-T= Y t-23, для которой

ryt yt-T=0,7802.

Уровни исходного ряда смещаем относительно первого уровня на 23 года, то есть до 1991 года.

Год	Y t (Y)	Y t-23 (X)	XY	X2
1991	224	454	101696	206116
1992	227	234	53118	54756
1993	256	234	59904	54756
1994	353	424	149672	179776
1995	232	343	79576	117649
1996	425	543	230775	294849
1997	643	234	150462	54756
1998	234	234	54756	54756
1999	454	543	246522	294849
2000	314	324	101736	104976
2001	453	546	247338	298116
2002	343	134	45962	17956
2003	134	743	99562	552049
2004	523	344	179912	118336
2005	132	634	83688	401956
2006	133	224	29792	50176
	5080	6192	1914471	2855828

?=n?X2-(?X) 2=16*2855828-61922=7352384

?a=?Y ?X2-?XY?X =5080*2855828-1914471*6192=2653201808

?b= n ?XY-?X?Y =16*1914471-6192*5080=-823824

a=?a/?=2653201808/7352384=360,8628

b=?b/?=-823824/7352384=-0,112

y=a+bx

Y t=360,8628-0,112Y t-23

Цены мирового рынка на сахар зависит от цены, бывшей 23 года назад, и составляет 0,112 часть от её уровня. Прочие факторы также влияют на Y t и определяют её величину на уровне 360,8628. Знак «-» перед 0,112 указывает на то, что в современной цене реализована тенденция спада по сравнению с прошлым периодом. Выполним прогноз на 4 года.

Y 2007=360,8628-0,112Y1984=360,8628-0,112*227=335

Y 2008=360,8628-0,112Y1985=360,8628-0,112*256=332

Y 2009=360,8628-0,112Y1986=360,8628-0,112*258=332

Y 2010=360,8628-0,112Y1987=360,8628-0,112*264=331

Размещено на Allbest.ru

...