Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Фирма выпускает два вида мороженого: сливочное и шоколадное. Для изготовления мороженого используются два исходных продукта: молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг мороженного, суточные запасы исходных продуктов и отпускные цены на 1 кг продукции даны в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное мороженое не более чем на 100 кг. Кроме того, установлено, что спрос на шоколадное мороженое не превышает 350 кг в сутки.

Определить, сколько мороженого каждого вида нужно производить фирме, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Решение.

1. Составим математическую модель задачи.

Пусть х₁ - количество сливочного мороженого, которое выпускает фирма в сутки, х₂ - количество шоколадного мороженого.

Так как запасы ресурсов на производство мороженого ограничены, то можно составить систему ограничений по ресурсам:

запас молока составляет 400 кг;

запас наполнителей составляет 365 кг

До множим составленные неравенства на числа, чтобы получить наименьшие целые коэффициенты при х (первое на 10, второе на 2,5):

В то же время выпуск сливочного мороженого не должен превышать выпуск шоколадного мороженого более чем на 100 кг, то есть:

(кг)

А выпуск шоколадного мороженого не должен превышать 350 кг в сутки, то есть:

(кг)

Также должно соблюдаться условие не отрицательности количества выпущенного мороженого каждого вида:

Доход от реализации сливочного мороженого составит 16х₁ ден.ед., а шоколадного - 14х₂ ден.ед. Тогда общий доход суточного производства мороженого составит

(16х₁ + 14х₂) ден.ед. Доход от реализации - целевая функция, которая должна быть максимальной, то есть:

Тогда математическая модель задачи запишется в виде:

2. Найдем графическим методом, сколько сливочного и шоколадного мороженого должна выпускать фирма в сутки, чтобы обеспечить максимальный доход от реализации выпускаемой продукции.

Для этого построим область допустимых решений, соответствующую заданным ограничениям:

- прямая (I) проходит через точки (0;800) и (500;0);

- прямая (II) проходит через точки (0;456,25) и (912,5;0);

- прямая (III) проходит через точки (0;-100) и (100;0);

- прямая (IV) проходит через точки (0;350) и (100;350).

Получили ОДР - многоугольник ОМ₁М₂М₃М₄ М₅. Строим для целевой функции градиент C = и фиксированную линию уровня - прямую .

Параллельным перемещением прямой в направлении вектора найдем последнюю точку «встречи» прямой с областью. Это - точка максимума целевой функции f. Значение функции является наибольшим значением функции в ОДР.

Найдем оптимальное решение - координаты точки пересечения прямых (I) и (II) :

Таким образом, оптимальным решением является Х^опт = (х₁ = 312,5, х₂=300).

3. Полученное решение означает, что предприятие должно выпускать 312,5 кг сливочного мороженого и 300 кг шоколадного мороженого в сутки, чтобы обеспечить максимальный доход от реализации выпускаемой продукции.

(ден.ед.)

При этом молоко будут использованы полностью (дефицитные ресурсы) молоко и наполнители:

По спросу ограничения удовлетворены:

Задача 2

На заводах А₁, A₂ производится однородная продукция в количестве 200, 250 единиц.

Трем потребителям В₁, В₂, В₃ требуется соответственно 100, 200, 250 единиц готовой продукции. Известны расходы с_ij ден. ед. по перевозке единицы готовой продукции с завода А_i потребителю В_j:

с₁₁ = 5; с₁₂ = 10; с₁₃ = 4; с₂₁ = 7; с₂₂ = 8; с₂₃ = 10.

Необходимо найти план перевозок, минимизирующий общие затраты по изготовлению продукции на заводах А₁, A₂ и ее доставке потребителям В₁, В₂, В₃.

Задание.

1. Внести числовые данные транспортной задачи в распределительную таблицу.

2. Составить математическую модель задачи.

3. Если транспортная задача открытого типа, то привести ее к закрытой.

4. Построить исходные планы перевозок по методу «северо-западного угла» (Х_с-з) и по методу «минимального элемента» (X_мэ). Вычислить значения общих затрат для построенных планов f(Х_с-з) и f(Х_мэ) и выявить, какой из планов лучше.

5. Методом потенциалов проверить, будет ли план перевозок, построенный по методу «северо-западного угла», оптимальным.

6. Последовательно улучшая план перевозок с помощью циклов пересчета в распределительной таблице, найти оптимальный план перевозок Х^опт.

7. Определить по оптимальному плану перевозок Х^опт:

1) количество продукции, отправляемое из каждого завода каждому потребителю;

2) наименьшие общие затраты на доставку продукции ее потребителям;

3) заводы_i, в которых остается нераспределенная продукция, и указать ее объем;

4) пункты потребления, которые недополучают продукцию, и указать ее количество.

Решение.

1. Внесем числовые данные транспортной задачи в распределительную таблицу:

Таблица 2.1

2. Так как запасы груза меньше, чем потребности в грузе, то имеем транспортную модель открытого типа.

Запишем математическую модель ТЗ. Обозначим через количество перевезенного груза из () в (), при этом :

Оптимальными являются чистые стратегии , образующие седловую точку, цена игры равна .

Решением игры считается тройка .

Найдем нижнюю и верхнюю цены игры для заданной матрицы.

Таблица 3.2

Для заданной матрицы видно, что . Седловая точка , значит, цена игры равна .

В нашем случае решение игры: .

При выборе стратегии 1 игрок А выиграет не менее 1.

При выборе стратегии 2 игрок В проиграет не более 1.

Задача 4

Экономисты предприятия разработали несколько вариантов продажи товаров с учетом неясной конъюнктуры рынка и представили их в виде платежной матрицы (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Задание.

1. Определить оптимальный план продажи, используя:

1) максиминный критерий Вальда;

2) критерий Лапласа;

3) критерий Байеса - принять вероятности возможных состояний конъюнктуры рынка р₁= 0,2; p₂ = 0,3; p₃ = 0,4 ; p₄ = 0,1.

2. Сравнить между собой рекомендации критериев.

Решение.

1. Определим оптимальный план продажи, используя максиминный критерий Вальда:

Максиминный критерий Вальда рекомендует руководству принять план продажи П₁.

Определим оптимальный план продажи, используя критерий Лапласа (найдем математические ожидания для каждого плана продаж):

Критерий Лапласа рекомендует руководству принять план продажи П₁, так по данному плану ожидаемая прибыль при равновероятных состояниях конъюнктуры рынка имеет наибольшее значение.

Определим оптимальный план продажи, используя критерий Байеса (найдем математические ожидания для каждого плана продаж, если вероятности возможных состояний конъюнктуры рынка равны p₁ = 0,2; p₂ = 0,3; p₃ = 0,4 ; p₄ = 0,1):

Критерий Байеса рекомендует руководству принять план продажи П₄.

2. Критерий Вальда показывает, что при наихудших условиях конъюнктуры рынка продажи П₁ гарантирует максимальную прибыль

Критерий Лапласа показывает, что по плану продажи П₁ ожидаемая прибыль при равновероятных состояниях конъюнктуры рынка имеет наибольшее значение.

Критерий Байеса показывает, что по плану продажи П₄ ожидаемая прибыль при заданных вероятностях состояний конъюнктуры рынка имеет наибольшее значение.

Значит, два против одного, что план продажи П₁ лучший, то есть его считаем оптимальным.

Список литературы

Грызина Н.Ю., Мастяева И.Н., Семенихина О.Н. Математические методы исследования операций в экономике. М.: ЕАОИ, 2008.

Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2008.

Математика в экономике: учебник. Ч. 2 / А. С. Солодовников.- М.: Финансы и статистика, 2009.

Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В. Экономико-математические методы и прикладные модели. Учебник для бакалавров, изд.3. М: Юрайт, 2012.

Размещено на Allbest.ru