Использование "дерева" решений в многоэтапных задачах принятия решений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования республики Молдова

Экономическая Академия республики Молдова

Кафедра : “ Кибернетики и экономической информатики”.

Курсовой проект на тему:

Использование “дерева” решений в многоэтапных задачах принятия решений

Выполнил: студент VI курса Смелов А. В.

группы CIB-992

Проверил: Гамецкий А.Ф.

Кишинев, 2002

Введение

решение вероятность ожидание отклонение

Человек наделён сознанием, существо свободное и обречено на выбор решений, стараясь сделать всё наилучшим образом. В наиболее общем смысле теория принятия оптимальных решений представляет собой совокупность математических и численных методов, ориентированных на нахождение наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать их полного перебора. Ввиду того, что размерность практических задач, как правило, достаточно велика, а расчеты в соответствии с алгоритмами оптимизации требуют значительных затрат времени, то методы принятия оптимальных решений главным образом ориентированы на реализацию их с помощью ЭВМ.

Практическая потребность общества в научных основах принятия решений возникла с развитием науки и техники только в XVIII веке Началом науки “Теория принятия решений” следует считать работу Жозефа Луи Лагранжа, смысл которой заключался в следующем: сколько земли должен брать на лопату землекоп, чтобы его сменная производительность была наибольшей. Оказалось, что утверждение “бери больше, кидай дальше” неверен. Бурный рост технического прогресса, особенно во время и после второй мировой войны, ставил все новые и новые задачи, для решения которых привлекались и разрабатывались новые научные методы. Можно выделить следующие научно-технические предпосылки становления “Теории принятия решений”:

-удорожание “цены ошибки”. Чем сложнее, дороже, масштабнее планируемое мероприятие, тем менее допустимы в нем “волевые” решения и тем важнее становятся научные методы, позволяющие заранее оценить последствия каждого решения, заранее исключить недопустимые варианты и рекомендовать наиболее удачные;

-ускорение научно-технической революции техники и технологии. Жизненный цикл технического изделия сократился настолько, что “опыт” не успевал накапливаться и требовалось применение более развитого математического аппарата в проектировании;

-развитие ЭВМ. Размерность и сложность реальных инженерных задач не позволяло использовать аналитические метода.

Как часто это бывает, эта наука, с одной стороны, стала определенной ветвью других более общих наук (теория систем, системный анализ, кибернетика и т.д.), а с другой, стала синтезом определенных фундаментальных более частных наук (исследование операций, оптимизация и т.д.), создав при этом и собственную методологию.

Наиболее общий термин “теория систем” относится ко всевозможным аспектам исследования систем. Ее основными частями являются

-системный анализ, который понимается как исследование проблемы принятия решения в сложной системе,

-кибернетика, которая рассматривается как наука об управлении и преобразовании информации.

Здесь следует заметить, что понятие управления не совпадает с принятием решения. Условная граница между кибернетикой и системным анализом состоит в том, что первая изучает отдельные и строго формализованные процессы, а системный анализ - совокупность процессов и процедур.

Очень близкое к термину “системный анализ” понятие - “исследование операций”, которое традиционно обозначает математическую дисциплину, охватывающую исследование математических моделей для выбора величин, оптимизирующих заданную математическую конструкцию (критерий). Системный анализ может сводиться к решению ряда задач исследования операций, но обладает свойствами, не охватываемыми этой дисциплиной. Однако в зарубежной литературе термин “исследование операций” не является чисто математическим и приближается к термину “системный анализ”.

Общие понятия

Принятие правильного решения вовремя - главная задача управленческого персонала любой компании. Неправильное или просто глупое решение может дорого стоить компании, иметь фатальные, непоправимые последствия. Поэтому важно, чтобы те, кто вовлечен в процесс принятия решений, использовали все имеющиеся у них средства и приняли “наилучшее” решение.

Прежде всего определимся с приоритетами: “наилучшее” - для кого и для чего? Перед тем, как принимать решение, следует тщательно продумать его цель. Трудность состоит в том, что задачи различных подразделений предприятия очень противоречивы. Например, такой простой вопрос, как размер запасов на складе. Интересы производства требуют иметь большой запас сырья и материалов, что приводит к возникновению незавершенного производства и несоразмерно меньшему выпуску готовой продукции. Однако процесс производства не прекращается. В то же самое время отдел маркетинга требует больших запасов готовой продукции на складе и гибких производственных линий, которые можно переналадить для небольших заказов. А бухгалтерия настаивает на увеличение оборачиваемости капитала и соответственно минимизации запасов, чтобы освободившиеся деньги можно было использовать для других целей.

Как определить оптимальные для компании запасы? Рассчитывать ли эти цифры для компании в целом или выбрать приоритетные направления в ущерб остальным и осуществлять контроль запасов так, чтобы обеспечить оптимальные затраты для выполнения отдельных функций без учета других? Этот процесс называется субоптимизацией. Принятия решений - достаточно сложный и интересный процесс, который носит исключительно субъективный характер. Как организовать фирму: по принципу жесткой централизации или наоборот; какого стиля придерживаться в менеджменте: авторитарного или демократического.

Бухгалтеры часто сталкиваются с проблемами, которые приводят их к количественному подходу принятия решений. Поэтому перейдем к количественному анализу. Обычно решение является результатом применения как количественного, так и субъективного подходов.

Итак, чтобы найти хорошее решение, следует:

- определить, цель решения.

- определить возможные варианты решения проблемы.

- определить возможные исходы каждого решения.

- оценить каждый исход.

- выбрать оптимальное решение на основе поставленной цели.

Как видно, поиск решения начинается с перечисления возможных вариантов и их исходов, затем производится оценка каждого исхода. Такова схема рассуждений при проведении количественного анализа. Вышеперечисленные этапы важны как в очень сложных случаях, так и в очень простых. Рассмотрим примеры возможных целей принятия решений, но в любом случае выбор “лучшего варианта” зависит от обстоятельств и точки зрения того, кто принимает решение.

Пример 1. Отдел маркетинга компании “Singles plc” представил своему руководству данные об ожидаемом объеме сбыта программных продуктов при трех вариантах цены.

Таблица 1. Предполагаемые объемы продаж программных продуктов по разным ценам, ф. ст.

Постоянные затраты составляют 40000 ф. ст. в год, переменные - 4.00 ф. ст. на единицу.

Решение состоит в том, чтобы назначить оптимальную цену. Заметим, у нас имеется всего лишь три варианта цены, т.е. только три возможных решений, и, чтобы облегчить расчеты, для каждого из вариантов по три исхода - различные объемы продаж.

Решение:

Для каждого исхода рассчитаем доход. В данном случае доход - это годовая прибыль.

Таблица 2. Расчет прибыли за год, ф. ст.

Для того чтобы объяснить, какие трудности возникают в результате неопределенности, буду использовать данные из этой таблицы. Можно представить убедительные аргументы, которые приведут нас к одному из трех возможных решений. Наибольшая прибыль для наиболее вероятного объема продаж равна 57600 ф. ст. Эта цифра будет получена, если назначить цену 8.80 ф. ст. Однако цена 8.60 ф. ст. предпочтительнее для компании, так как наиболее вероятная прибыль составит примерно туже величину, в то же время как прибыль двух остальных исходов выше, чем для цены 8.80 ф. ст. Однако если мы примем во внимание постоянные расходы, то цена 8.00 ф. ст. - единственная при которой “Singles” не терпит убытков, так как низкая прибыль здесь не меньше, чем постоянные расходы - 40000 ф. ст.

Таким образом, для любого из трех решений существуют свои аргументы. Какое решение будет принято. Зависит от целей, которые он преследует, и от отношения к риску того, кто принимает решение. Осторожный менеджер предпочтет цену 8.00 ф. ст. двум другим: возможные прибыли меньше, но и потери сведены к минимуму. Поэтому в числе прочих должен решаться вопрос об отношению к риску. Сейчас рассмотрим, как правила принятия решений применяться в каждом конкретном случае.

Правила принятия решений

При принятии решения, следует руководствоваться соответствующими правилами. На первом этапе - определение цели. Принимающий решение сам выбирает, каким правилом ему воспользоваться, потому что для каждого случая применимо какое-то определенное правило.

Они делятся на две группы:

- правила принятия решений без использования численных значений вероятностей исходов;

- правила принятия решений с использованием численных значений вероятностей исходов.

Правила принятия решений без использования численных значений вероятностей исходов

Максимаксное решение - максимизация максимума доходов.

Максиминное решение - максимизация минимума доходов.

Минимаксное решение - минимизация максимума возможных потерь.

Пример 2. Владельцу кондитерской “Cake Box”, в начале каждого дня нужно решить вопрос, сколько пирожных следует иметь в запасе, чтобы удовлетворить спрос. Каждое пироженное обходится ему в 0.70 ф. ст., а продает его по 1.30 ф. ст. Продать не невостребованные пирожные на следующий день невозможно, поэтому остаток распродается в конце дня по 0.30 ф. ст. за штуку. В табл. 3 привержены данные по продажам в предыдущие периоды.

Таблица 3. спрос на пирожные

Нужно определить, сколько пирожных должно быть закуплено в начале каждого дня.

Решение:

Итак, в начале дня можно закупить для последующей продажи 1, 2, 3, 4 или 5 пирожных в день. В общем решение и его исходы примерно равны, но имея возможность принимать решения, нельзя контролировать исходы. Покупатели определяют их сами, поэтому исходы представляют также “фактор неопределенности”. Чтобы определить вероятность каждого исхода, составим список возможных решений и соответствующих им исходов. В табл. 4 рассчитаны доходы, иначе говоря, отдача в денежном выражении для любой комбинации решений и исходов.

Таблица 4. Доход (прибыль) в день, ф. ст.

Используя каждое из правил принятия решений, нужно ответить на вопрос: “Сколько пирожных должна закупить фирма “Cake Box” в начале каждого дня?”

Правило максимакса - максимизация максимума доходов. Каждому возможному решению в приведенной таблице соответствуют следующие максимальные доходы. По этому правилу вы закупите в начале дня пять пирожных. Это подход карточного игрока - игнорируя возможные потери, рассчитывать на максимально возможный доход.

Таблица 5.Максимальные доходы

Правило максимина - максимизация минимального дохода. Каждому возможному решению в табл. 4 соответствуют минимальные доходы табл. 6. По этому правилу закупается в начале дня одно пирожное, чтобы максимизировать минимальные доход. Это очень осторожный подход к принятию решений.

Таблица 6. Максимальный доход.

Правило минимакса - минимизация максимально возможных потерь. В данном случае больше внимания уделяется возможным потерям, чем доходам. Таблица возможных потерь дает представление о прибылях каждого исхода, потерянных в результате принятия неправильного решения. Например, если спрос составляет два пирожных и было закуплено два, то доход составит 1.20 ф. ст., если же приобрели три, то доход составил бы 0.80 ф. ст. и недополучили 0.40 ф. ст. Эти 0.40 ф. ст. - то что называется возможными потерями или упущенным доходом. Таблицу возможных потерь можно получить из таблицы доходов, находя наибольший доход для каждого исхода и сопоставляя его с другими доходами этого же исхода (см. табл. 7).

Как уже отмечалось, правило, которое используется для работы с таблицей упущенных доходов, - это правило минимакса. Оно также называется минимаксное правило возможных потерь. Состоит оно в том, что для каждого решения выбрать максимально возможные потери. Затем выбирается то решение, которое ведет к минимальному значению максимальных потерь (табл. 8).

Таблица 7. возможные потери в день, ф. ст.

Таблица 8. Максимальные возможные потери

Минимальная величина максимальных потерь возникает в результате закупки трех или четырех пирожных в день. Следовательно, по правилу минимакса руководитель выберет одно из этих решений.

Все рассмотренные критерии принятия решений приводят к различным результатам. Поэтому сначала выбирается тот критерий, который считается “лучшим”, и тогда руководитель получает “наилучшее” решения.

Критерий Гурвица - компромиссный способ принятия решений.

Этот способ принятия решений представляет собой компромисс между осторожным правилом максимина и оптимистичным правилом максимакса. В нем некоторым образом объединяются правила, не рассматривающие индивидуальные вероятности отдельных исходов, и те, в которых учитываются вероятности исходов.

При использование критерия Гурвица таблица доходов составляется как обычно. Для каждого решения рассматривается лучший и худший результаты, т.е. то, о чем раньше говорилось в правилах максимина и максимакса. Принимающий решение придает вес обоим результатам, и, умножив результаты на соответствующие веса и суммируя, получает общий результат. Выбирается решения с наибольшим результатом. Такое решение задачи предполагает, что имеется достаточно информации для определения весов.

Пример закупкой пирожных (пример 2) не очень приемлем для иллюстрации критерия Гурвица, так как высокие доходы встречаются более, чем в одном исходе. Например, если решили закупать три пирожных в день, наивысший доход в 1.80 ф. ст. существует для спроса 3, 4 и 5 пирожных.

Упростим таблицу доходов (табл. 4), чтобы про иллюстрировать вышесказанное, и рассмотрим низкие доходы для каждого решения и исходы с высокими доходами. Принимающий решения не располагает данными о спросе из табл. 3, по этому ему нужно самому вычислить веса для исходов с низкими и высокими доходами. В данном случае самый низкий доход из возможных - при одном пирожном в день, самый высокий - при пяти.

Допустим, принимающий решения определил вес для спроса одного пирожного в день, равным 0.4, а для спроса пяти пирожных - 0.6. Используя эти веса, составим таблицу.

Таблица 9. Критерий Гурвица

Если принимающий решения использует указанные веса, то его решение по правилу Гурвица, будет состоять в том, чтобы закупать пять пирожных в день.

Критерий Лапласа

Этот критерий опирается на известный принцип недостаточного обоснования. Поскольку вероятности состояний q₁, q₂, ..., q_n не известны, необходимая информация для вывода, что эти вероятности различны, отсутствует. В противном случае можно было бы определить эти вероятности и ситуацию уже не следовало рассматривать как принятие решения в условиях неопределенности. Так как принцип недостаточно обоснования утверждает противоположное, то состояния q₁, q₂, ..., q_n имеют равные вероятности. Если согласится с приведенными доводами, то исходную задачу можно рассматривать как задачу принятия решения в условиях риска, когда выбирается a_i, дающие наибольший ожидаемый выигрыш. Другими словами, находится действие , соответствующее

,

где - вероятности реализации состояния q_j(j=1, 2, ..., n)

Пример 3. Одно из предприятий должно определить уровень предложения услуг так, чтобы удовлетворить потребности клиентов в течении предстоящих праздников. Точное число клиентов не известно, но ожидается, что оно может принять одно из четырех значений: 200, 250, 300 или 350 клиентов. Для каждого из этих возможных значений существует наилучший уровень предложения (с точки зрения возможных затрат). Отклонение от этих уровней приводит к дополнительным затратам либо из-за превышения предложения на спросом, либо из-за не полного удовлетворения спроса.

Ниже приводится таблица, определяющая потери в тысячах ф. ст.

Принцип Лапласа предполагает, что q₁, q₂, q₃ и q₄ равновероятны. Следовательно,

P{q=q_j}=1/4, j=1,2,3,4, и ожидаемые потери при различных действиях a₁, a₂, a₃ и a₄ составляют.

E{a₁}=(1/4)(5+10+18+25)=14.5,

E{a₂}=(1/4)(8+7+8+23)=11.5,

E{a₃}=(1/4)(21+18+12+21)=18.0,

E{a₄}=(1/4)(50+22+19+15)=21.5 .

Таким образом, наилучшим уровнем предложения в соответствии с критерием Лапласа будет a₂.

Правила принятия решений с использованием численных значений вероятностей исходов

Выше не использовались данные о вероятностях исходов, далее будем использовать при решении эти данные.

Правило максимальной вероятности - максимизация наиболее вероятных доходов. Рассмотрим относительные частоты (вероятности) дневного спроса на пирожные.

Таблица 10. Относительные частоты (вероятности) дневного спроса на пирожные.

Наибольшая вероятность 0.3 соответствует спросу в 3 и 4 пирожных в день. Теперь рассмотрим доходы каждого из исходов и выберем наибольший.

Таблица 11. Максимальный доход для каждого из решений

По этому правилу фирма “Cake Box” должна закупить 4 пирожных в день.

Оптимизация математического ожидания. Наиболее распространенный способ использования вероятностей при принятии решений - это вычисление математического ожидания. Оно рассчитывается для каждого решения либо для доходов, либо для возможных потерь. Выбирается решение либо с наибольшим ожидаемым доходом, либо с наименьшими возможными потерями.

а) Максимизирует ожидаемый доход для решений:

E(доход от какого-либо решения)=?(вероятность Ч доход)(суммируем для всех исходов рассматриваемого решения).

В примере с “Cake Box” ожидаемый доход в случае, если решено закупать пять пирожных в начале каждого дня, равен:

E(доход, если закупается пять пирожных)=

(0.1Ч(-1.0))+(0.2Ч0.0)+(0.3Ч1.0)+(0.3Ч2.0)+(0.1Ч3.0)=1.1 ф. ст. (в день).

При большом временном промежутке это означает, что при закупки пяти пирожных в день средняя прибыль составляет 1.1 ф. ст. в день.

Ниже приведена таблица доходов фирмы “Cake Box”, дополненная вероятностями. Следом за ней - таблица ожидаемых доходов для каждого решения.

Таблица 12. Таблица доходов

Таблица 13. Расчет возможных доходов (вероятностьЧдоход из табл. 10)

Итак, максимальное значение ожидаемого дохода 1.40 ф. ст. в день, следовательно, используя критерий максимизации ожидаемого дохода фирма “Cake Box” должна закупить три или четыре пирожных в день. В примерах этого типа, где решение повторяется множество раз, использование критерия математического ожидания наиболее приемлемо.

б) Минимизация ожидаемых возможных потерь. В данном случае производится та же последовательность действий, только с использованием таблицы возможных потерь и вероятности каждого из исходов. Выбирается решение, ведущее к наименьшим ожидаемым возможным потерям, вместо максимума ожидаемых доходов.

Таблица 14. Возможные потери

Минимальные ожидаемые возможные потери равны 0.46 ф. ст. в день, т.е. наилучшее решение - закупать три или четыре пирожных в день. То же решение следует принять при использовании критерия максимизации ожидаемых доходов.

Таблица 15. Расчет ожидаемых возможных потерь (вероятностьЧвозможные потери)

Зависимость решения от изменений значения вероятности

Значения вероятности, которые используем, основаны либо на уже имеющейся информации, либо на расчетах. Однако эти значения не постоянны, и по этому полезно знать, на сколько велика зависимость выбора решения от изменения вероятности, т.е. какова чувствительность решений.

Суть анализа заключается в числовой оценки изменения вероятности, определяющий выбор решения. Для иллюстрации возьмем пример с максимизацией ожидаемых доходов. Ниже рассмотрена ситуация с одним основным и одним альтернативным вариантом решения, хотя, как правило, на практике альтернативных вариантов больше.

Таблица 16. Зависимость выбора решения от изменений значений вероятностей

Решение, дающее максимальный доход, - закупать три или четыре пирожных, не претерпело изменений, однако средняя прибыль в альтернативном варианте снизилась с 1.40 до 1.20 ф. ст. в день. В данном случае выбор решения нечувствителен к незначительным изменениям вероятности, т.е. не происходит замены выбранного варианта решений на новый.

Стоимость достоверной информации

Неопределенность при принятие решений может быть уменьшена путем сбора дополнительной информации, однако за нее нужно платить. Максимальная сумма денег, которую стоит заплатить, и является стоимостью достоверной информации. Если заранее известно, какой из исходов осуществится, то можно принять решение, ведущее к максимальному доходу, тем не менее этот означает, что мы можем контролировать исходы.

Например, фирма “Cake Box” принимает заказы на следующий день. Контролировать их количество нельзя, однако можно, корректируя количество закупаемых пирожных, максимизировать доход. На число закупаемых пирожных теперь влияет число поступающих заказов.

Ожидаемый доход равен:

E=?(доход на поступивший объем заказовЧвероятность данного объема заказов)

E=(0.60Ч0.10)+(1.20Ч0.20)+(1.80Ч0.30)+(2.40Ч0.3)+(3.00Ч0.10)=1.86 ф. ст.

Стоимость достоверной информации есть разница полученной цифры и максимального ожидаемого дохода без достоверной информации. Для “Cake Box” стоимость достоверной информации (ф. ст.): 1.86-1.40=0.46 (в день). Эта цифра равна минимальным ожидаемым возможным потерям.

Если известна стоимость достоверной информации, то известен максимум, который можно заплатить за дополнительную информацию о вероятностях исходов. Таким образом, фирма “Cake Box” может заплатить 0.46 ф. ст. в день, чтобы получать информацию о спросе, т.е. это плата за своего рода “маркетинговые данные”.

Использование математического ожидания и стандартного отклонения для оценки риска

В результате использования максимизация ожидаемых доходов (или минимизации ожидаемых возможных потерь) получаем оценку для каждого исхода в виде таблицы доходов, чтобы выбрать “наилучшее” решения. В ней приводится разброс доходов для каждого исхода, анализ которого дает возможность оценить риск каждого решения. Альтернативный подход к оценке риска заключается в вычисление стандартного отклонения доходов, как это делается для любого другого вида распределений. Именно таим образом в нижеприведенном примере сравниваются два варианта инвестиции. Несмотря на то, что в этом случае и в примере с закупкой пирожных арифметически два варианта решаются совершенно одинаково, между ними существует значительная разница. Решение, принятое для закупки пирожных, остается неизменным изо дня в день, и идея ожидаемых (средних) доходов проста для понимания, тогда как решение об инвестициях принимается лишь однажды, что затрудняет понимание значения ожидаемых доходов на практике.

Пример 4. Ниже приведены возможные чистые доходы и их вероятности для двух вариантов вложений.

Таблица 17. Вероятности возможной чистой прибыли.

Ожидаема прибыль:

Е(инвестиция 1)=?(доходЧвероятность).

Отсюда

Е(инвестиция 1)=(-3Ч0)+(-2Ч0)+(-1Ч0.1)+(0Ч0.2)+

+(1Ч0.2)+(3Ч0.2)+(4Ч0).

Следовательно,

Е(инвестиция 1)=1200 ф. ст.

Аналогично для инвестиции 2:

Е(инвестиция 2)=(-3Ч0.1)+(-2Ч0.1)+(-1Ч0.1)+(0Ч0.1)+(1Ч0.1)+

+(2Ч0.1)+(3Ч0.2)+(4Ч0.2).

Следовательно,

Е(инвестиция 2)=1100 ф. ст.

Если принимать во внимание только ожидаемую прибыль, то инвестиция 1 безусловно лучше. Если бы решение об инвестициях принималось много раз при одних и тех же условиях, то тогда прибыль в среднем составляла бы 1200 ф. ст. Однако правило принятия решений не учитывает риск, связанный с инвестициями, т.е. “разброс” возможных исходов. Этот риск может быть определен с помощью дисперсии и стандартного отклонения прибыли.

Дисперсия=? px²-(Е(x))²;

Е(х)=? рх,

где: х - прибыль на инвестиции;

у - вероятность получения данной прибыли.

Таблица 18. Расчет средней прибыли и дисперсии для инвестиций.

Инвестиция 1:

Дисперсия=3.0-1.2²=1.56² (млн. ф. ст.)

Следовательно,

Стандартное отклонение прибыли==1250 ф. ст.

Инвестиция 2:

Дисперсия=6.9-1.1²=5.69² (млн. ф. ст.)

Следовательно,

Стандартное отклонение прибыли==2385 ф. ст.

Риск по варианту для инвестиции 1 меньше, т.к. дисперсия прибыли намного меньше чем для инвестиции 2.

Таблица 19. Математическое ожидание и стандартное отклонение для двух вариантов инвестиций, ф. ст.

Анализируя данные таблицы, можно прейти к выводу, что как большая ожидаемая прибыль, так и меньшей “разброс” говорят в пользу инвестиции 1.

Использование понятия полезности при определении размеров риска

До сих рассматривали только правила принятия решений: кто - то выбирает правила, которое он предпочитает, и получает “лучшее” решение. Во внимание не принималось кто же делает выбор - миллионер или студент, предпочитает ли он риск или стабильность, хотя его предпочтения уже частично определены тем выбором, который он сделал. Теория полезности позволяет принимающему решение влиять на денежный результат исходов согласно своим оценкам и полезности. Одно и то же правило в данном случае приводит к разным решениям у разных людей, каждый может приспосабливать процесс принятие решений к своим запросам.

Для примера рассмотрим два варианта вложений 1000 ф. ст. По первому варианту без какого - либо риска получить 10% прибыли на вложенный капитал, т.е. через год сумма возрастет на 1100 ф. ст. По второму варианту можно либо потерять весь капитал, либо его удвоить через год.

И так таблица доходов такова:

Таблица 20. Доход за один год.

Доход в 1100 ф. ст. по 100 - бальной шкале - около 55, если точка отсчета - 0, а верхний придел - 2000 ф. ст. Рассмотрим какова полезность 1100 ф. ст. для двух разных людей, принимающих решение.

Например, для студента, у которого исходная сумма 1000 ф. ст. последние деньги, их потеря не восполнила, поэтому полезность 1000 ф. ст. высока. Чтобы выразить ее в цифрах попросим его оценить вероятность (Р) максимального дохода 2000 ф. ст. до того, как он примет решение и воспользуется вариантом 2. Если вероятность успеха варианта 2 мала, предложим, 0.1, то рисковать не стоит лучше воспользоваться безрисковым вариантом 1. Однако если вероятность успеха равна 1, тогда он воспользуется вариантом 2, как наиболее предпочтительным. Где - то в интервале значения вероятности Р={0.1;1} находится точка замены безрискового варианта 1 более прибыльным, но опасным вариантом 2. Значение вероятности, где происходит смена варианта решения, представляет собой оценку полезности 1100 ф. ст. Допустим, Р = 0.95; тогда полезность: 0.95Ч100=95. Таким образом, денежная шкала: 0 ф. ст. - 1100 ф. ст. - 2000 ф. ст. была заменена на шкалу полезности: 0 - 95 - 100.

Второй инвестор обладает капиталом в 500000 ф. ст. Потеря 1000 ф. ст. вряд ли серьезно ударит по его карману, и риск большой роли не играет. Поэтому в данном случае тоже устанавливается значение вероятности Р, когда 1 вариант решения может быть заменен на другой. Допустим, Р = 0.2; т.е. если вероятность успеха меньше 0.2, то стоит остановиться на варианте 1 и ограничиться доходом в 1100 ф. ст. Если же Р > 0.2, тогда выбирается вариант 2, т.е. полезность 1100 ф. ст. будет 0.2Ч100=20, и денежная шкала:

0 ф. ст. - 1100 ф. ст. - 2000 ф. ст. заменяются на шкалу полезности: 0 - 20 - 100 ф. ст.

Таким образом, одна и та же денежная шкала может быть заменена разными шкалами полезности в зависимости от возможности и критериев инвесторов.

Преимущества шкалы полезности

В примере 5, используя правило максимизации математических ожиданий, продемонстрируем плюсы оценок полезности по сравнению с денежными доходами. Сначала воспользуемся критерием максимизации дохода. Переоценим доходы с помощью оценок полезности, а затем применим правило максимизации ожидаемой полезности.

Пример 5. Допустим, вы накопили 5000 ф. ст., чтобы купить дом в следующем году. И вдруг знакомый предлагает вложить деньги в его бизнес. В случае неудачи вы теряете 5000 ф. ст. и возможность купить дом. В случае успеха через год вы получаете 30000 ф. ст. Специалист по маркетингу оценивает вероятность успеха 0.3. Альтернативный вариант положить деньги в банк под 9% годовых и никакого риска.

Таблица 21. Доходы.

По денежной шкале вложение денег в бизнес дает наибольший ожидаемый доход. Поэтому использование этого правила влечет за собой риск в расчете на большую прибыль. Однако этот выбор несколько опрометчив, т.к. в случае потери денег покупка дома останется лишь мечтой.

Шкала полезности для данного примера выглядит следующим образом.

0 - наименьший доход - 0 ф. ст.,

100 - наибольший доход - 30000 ф. ст., т.е.

U(0)=0 и U(30000)=100

На практике неважно, как будет градуирована шкала полезности - от 0 до 100 или от 0 до 1, имеет значение лишь соразмерность.

Для дохода 5450 ф. ст. не требуется оценка полезности, нужно только определить, какова должна быть вероятность Р дохода 5450 ф. ст., если посчитать его настолько же привлекательным, насколько и доход 30000 ф. ст. с вероятностью Р и 0 с вероятностью (1-Р).

Предположим, достаточна вероятность по меньшей мере 60% успеха, т.е. Р=0.6, тогда полезность 5450 ф. ст.: U(5450)=pЧ100=0.6Ч100=60

Таблица оценок полезности для данного примера следующая.

Таблица 22. Таблица полезности.

Вложение денег в банк - решение с наибольшей ожидаемой полезностью, однако это - прямо противоположно выбору, сделанному на основе критерия ожидаемого дохода, из-за учета риска, связанного с возможным исходом бизнеса. Для того чтобы оценить этот риск, начертим график, учитывающий оценки полезности и дохода. Сделать это можно проставив значения U(0) и U(100) и соединив их прямой линией. Если оценка полезности 5450 ф. ст. находится выше этой линии, то принимающий решение принадлежит к числу тех, кто избегает риска, если ниже то наоборот.

Рис 1. График полезности.

Как видно из графика, принимающий такого рода решение относится к нерискующим. Идею полезности можно использовать для решения задач несколькими возможными решениями.

“Дерево” решений

До этого рассмотренные примеры, включали в себя единственное решение. Однако на практике результат одного решения заставляет принимать следующее решение и т.д. Эту последовательность нельзя выразить таблицей доходов, поэтому нужно использовать какой-то другой процесс принятия решений.

Схема “дерево” решений очень похожа на схему “дерево” вероятностей. Ее используют, когда нужно принять несколько решений в условиях неопределенности, когда каждое решение зависит от исхода предыдущего или исхода испытаний. Составляя “дерево” решений нужна нарисовать “ствол” и “ветви”, отражающие структуру проблемы. Располагаются “деревья” слева направо. “Ветви” обозначают возможные альтернативные решения, которые могут быть приняты, и возможные исходы, возникающие в результате этих решений.

Квадратные “узлы” обозначают места, где принимаются решение, круглые “узлы” - появление исходов. Так как принимающий решение не может влиять на появление исходов, ему остается лишь вычислять вероятность их появления.

Когда все решения и их исходы указаны на “дереве”, просчитывается каждый из вариантов, и в конце проставляется его денежный доход. Все расходы, вызванные решением, проставляются на соответствующей “ветви”.

Пример 6. Для финансирования проекта бизнесмену нужно занять сроком на один год 15000 ф. ст. Банк может одолжить ему эти деньги под 15% годовых или вложить в дело со 100% возвратом суммы, но под 9% годовых. Из прошлого опыта банкиру известно, что 4% таких клиентов ссуду не возвращают. Что делать? Давать ему заем или нет? При решении задачи можно воспользоваться как таблицей доходов, так и “деревом”. Рассмотрим оба варианта.

Решение 1 (по таблице доходов).

Максимизируем ожидаемый в конце года чистый доход, который представляет собой разность суммы, полученной в конце года, и инвестированной в его начале. Таким образом, если заем был выдан и возвращен, то чистый доход составит:

Чистый доход = ((15000+15% от 15000)-15000)= 2250 ф. ст.

Таблица 23. Чистый доход в конце года, ф. ст.

Если банк решает выдать заем, то максимальный ожидаемый чистый доход равен 1560 ф. ст.

Решение 2 (по “дереву” решений).

В данном случае также используется критерий максимизация ожидаемого в конце года чистого дохода.

Далее расчет ведется аналогично расчетом по таблице доходов. Ожидаемый чистый доход в кружках А и В вычисляется следующим образом:

В кружке А:

Е(давать заем)=(17250Ч0.96+0Ч0.04)-15000=1560 ф. ст.

В кружке В:

Е(не давать заем)=(16350Ч1.0-15000)=1350 ф. ст.

Поскольку ожидаемый чистый доход больше в кружке А, то принимается решение выдавать заем.

Расчет двухуровневого “дерева” решений

Пример 7. Банк решает вопрос, проверять ли конкурентоспособность клиента перед тем, как выдавать заем. Аудиторская фирма берет с банка 80 ф. ст. за каждую проверку. В результате этого перед банком встают две проблемы: первое - проводить или нет проверку, вторая - выдавать после этого заем или нет.

Решая первую проблему, банк проверяет правильность выдаваемых аудиторской фирмой сведений. Для этого выбираются 1000 человек, которые были проверены и которым в последствии выдавались ссуды:

Таблица 24. Рекомендация аудиторской фирмы и возврат ссуды.

Какое решение должен принять банк?

Решение:

Этап 1. Построим “дерево”, рис .3. Вероятности проставляются по данным этапа 2.

Этап 2. Используя данные табл. 24, вычислим вероятность каждого исхода:

Р(клиент ссуду вернет; фирма рекомендовала) = 7.35 / 750 = 0.98;

Р(клиент ссуду не вернет; фирма рекомендовала) = 15 / 750 = 0.02;

Р(клиент ссуду вернет; фирма не рекомендовала) = 225 / 250 = 0.9;

Р(клиент ссуду не вернет; фирма не рекомендовала) = 25 / 250 = 0.1.

Этап 3. На данном этапе слева направо проставляем денежные исходы каждого из “узлов”, используя конечные результаты, вычисленные ранее. Любые встречающиеся расходы вычитаются из ожидаемых доходов. Таким образом подсчитывается все “дерево”, опираясь на ранее полученные результаты. После того, как пройдены квадраты “решений”, выбирается “ветвь”, ведущая к наибольшему из возможных при данном решении ожидаемому доходу. Другая “ветвь” зачеркивается, а ожидаемый доход проставляется над квадратом решения.

Рассмотрим кружки исходов В и С, являющиеся следствием квадрата 2 (выдавать ли заем клиенту?)

Доход, ожидаемый от исхода В:

Е(В)=17250 ф. ст.Ч0.98+0Ч0.02=16905 ф. ст.,

Чистый ожидаемый доход:

NЕ(В)=16905-15000=1905 ф. ст.

Доход, ожидаемый от исхода С:

Е(С)=16350 ф. ст.Ч1.0=16350 ф. ст.,

Чистый ожидаемый доход:

NЕ(В)=16350-15000=1350 ф. ст.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3. “Дерево” решений для банка с учетом аудиторской проверки.

Находясь в квадрате 2. Максимальный ожидаемый доход 1905 ф. ст. в кружке В, поэтому принимаем решение выдавать заем.

Приняв решение, корректируем “дерево”, проставив чистый ожидаемый доход 1905 ф. ст. над квадратом 2. “Ветвь” - не давать заем - зачеркивается, как это показано на рис. 4.

Тоже самое с кружками исходов D и Е результатами решения 3.

Доход, ожидаемый от исхода D:

Е(D)=(17250 ф. ст.Ч0.9)+(0Ч0.1)=15525 ф. ст.,

Чистый ожидаемый доход:

NЕ(D)=15525-15000=525 ф. ст.

Доход, ожидаемый от исхода Е:

Е(Е)=16350 ф. ст.Ч1.0=16350 ф. ст.,

Чистый ожидаемый доход:

NЕ(В)=16350-15000=1350 ф. ст.

Находясь в квадрате 3, максимальный ожидаемый доход равен 1350 ф. ст. и можно было бы принимать решение выдавать заем. Далее скорректируем эту часть схемы: над квадратом 3 впишем чистый ожидаемый доход и принимаем решение выдавать заем.

Рассчитаем кружки исходов F и G, которые являются результатами решения 4.

Е(F)=17250 ф. ст.Ч0.96+0Ч0.04=16560 ф. ст.;

NE(F)=16560-15000=1560 ф. ст.;

Е(G)=16350Ч1.0=16350 ф. ст.;

NE(G)=16350-15000=1350 ф. ст.

В квадрате 4 максимальный ожидаемый чистый доход составляет 1560 ф. ст., и поэтому принимаем решение выдать клиенту ссуда. Сумма 1560 ф. ст. вписывается над квадратом 4, а альтернативная “ветвь” перечеркивается.

В “узлах” А и 1 используя ожидаемые чистые доходы над квадратами 2 и 3, рассчитываем математическое ожидание для кружка А:

Е(А)=(1905 ф. ст.Ч0.75)+(1350 ф. ст.Ч0.25)=1766 ф. ст.

Так как аудиторская проверка стоит 80 ф. ст., ожидаемый чистый доход:

NE(А)=1766-80=1686 ф. ст.

Проставляем значение первого решения квадрата 1. Должен ли банк воспользоваться аудиторской проверкой? В этом “узле” максимальное математическое ожидание - 1686 ф. ст., поэтому перечеркиваем альтернативную “ветвь”.

На рис. 4. Стрелками показана последовательность решений, ведущая к максимальному чистому доходу: в квадрате 1воспользуемся аудиторской проверкой. Если выдача займа рекомендуется фирмой, тогда в квадрате 2 - выдать ссуду, если не рекомендуется, то в квадрате 3 - не выдавать ссуду, а инвестировать эти деньги под стабильные 9% годовых. “Дерево” окончательных решений для примера 7 приведено на рис. 4.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4. Окончательное “дерево” решений для примера 7.

Пример 8. Фирма “Tranda plc”, занимающаяся исследованием рынка, рассчитывает расширить свою деятельность, снабдив персональными компьютерами персонал, занимающийся сбором данных. Проблема состоит в том, покупать ли компьютеры или арендовать. Предсказать рост масштабов деятельности фирму в ближайшие четыре года нельзя, но возможно разделить его на значительный, средний и незначительный. Вероятность значительного роста масштаба деятельности в первый год после установки компьютеров составляет 0.6; среднего и незначительного - 0.3 и 0.1 соответственно. В последующие три года рост может оцениваться как значительный и незначительный. Подсчитано, что если рост значительный в первый год, то вероятность того, что он останется таким же в последующие три года, равен 0.75. Средний рост первого года изменится на незначительный последующие годы с вероятностью 0.5. А незначительный таким же и останется с вероятностью 0.9. Чистый наличные доходы, вызванные этими изменениями, приведены в табл. 25.

Таблица 25. Доходы наличности.

Стоимость компьютеров - 35000 ф. ст. Условия аренды: первоначальный взнос - 15000 ф. ст. плюс 25% чистой наличной выручки на конец года. Компания рассчитывает получать 12% годовой прибыли на вложенный капитал.

Для того, чтобы решить, должна ли фирма покупать или арендовывать компьютеры, воспользуемся “деревом”. Критерием принятия решения является максимизация ожидаемой чистой выручки с учетом 12% приращения капитала в год.

Решение:

Этап 1. Составляем “дерево” для покупки-аренды компьютеров. Обе половины

“дерева” - покупка и аренда - не зависит от начальных затрат, а зависит только от сумм предполагаемого дохода, которые рассчитываются на конечном этапе.

Этап 2. Подсчитываем суммы, получаемые за 1 - 4 годы работы. Значение доходов, проставленные в крайней правой части “дерева” - это доходы за 2 - 4 годы, соответствующие сегодняшнему уровню доходов (табл. 25) с учетом годовой 12% надбавки, которую предусматривает фирма.

Если в конце года компания получает А ф. ст. и рассчитывает на 12% годового прироста, то тогда сегодняшнее (текущее) значение А ф. ст. для 2 - 4 года работы будет равно:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5. “Дерево” решений для покупки или аренды.

Текущие значение

По этому в “узле” I, где А (доход за год) должно быть равно 20000 ф. ст., текущие значение дохода за 2 - 4 годы с учетом 12% годовых:

PV_I=20000 ф. ст. Ч2.1445=42890 ф. ст.

Аналогично цифра для J:

PV_J=11000 ф. ст. Ч2.1445=23590 ф. ст.

Чередуясь, эти два значения повторяются от К до Т.

Этап 3. Используя текущие значения доходов (present value), можно вычислить математическое ожидание исходов от С до Н. В исходе С несмещенная величина ожидаемого текущего дохода за годы 2 - 4 равна:

ЕРV_C(годы 2 - 4)=(42890 ф. ст. Ч 0.75)+(23590 ф. ст. Ч 0.25)=38065 ф. ст.

На первом году работы этой величине соответствует доход в 20000 ф. ст., текущая величина этой суммы равна:

20000/1.12=17857 ф. ст.

Следовательно, ожидаемая текущая стоимость “узла” С за 1 - 4 годы:

ЕРV_C(годы 1 - 4)=38065+17857=55922 ф. ст.

Исход “узла” Е, ожидаемая текущая стоимость доходов за 1 - 4 годы:

ЕРV_Е=((42890Ч0.1)+(23590Ч0.9))+11000/1.12=35341 ф. ст.

В результате симметрии ожидаемые текущие величины доходов в кружках F, G, H составляют 55922 ф. ст., 45740 ф. ст. и 35341 ф. ст. соответственно. На этом расчеты по правой стороне “дерева” заканчиваются, далее вычисляются ожидаемые текущие доходы в “узлах” А и В. Для обоих “узлов” значение доходов одинаковые.

EPV_A= EPV_В=55922Ч0.6+45740Ч03+35341Ч0.1=50809 ф. ст.

Чистый ожидаемый текущий доход по А (если компьютеры будут куплены) составит:

EPV_A=ожидаемая текущая стоимость - стоимость покупи=50809 - 35000=15809 ф. ст.

Для расчета низко ожидаемой текущий стоимости по “узлу” В вычисляем стоимость аренды - 15000 ф. ст., которые выплачиваются сразу, плюс 25% чистого годового дохода наличности. Ожидаемая текущая величина дохода наличности составляет 50809 ф. ст. Следовательно, ожидаемая текущая величина стоимости аренды равна:

15000 ф. ст.+25% от 50809 ф. ст.=15000+12702=27702 ф. ст.

Отсюда чистая ожидаемая текущая стоимость по исходу В (если компьютеры будут взяты в аренду) составит:

50809 ф. ст. - 27702 ф. ст. = 23107 ф. ст.

Теперь рассмотрим квадрат 1. максимизируя ожидаемую текущую величину чистых доходов, сравним значение исходов кружка А (15809 ф. ст. при покупке) со значением в кружке В (23107 ф. ст. при аренде). Из чего следует, что компания должна арендовать компьютеры. Окончательная схема для примера 8 приведена на рис. 6.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 6. Окончательное “дерево” решений для примера 8.

“Дерево” и анализ чувствительности решений

Решения, принимаемые при помощи “дерева”, зависят от вероятности исходов. Чувствительность решения определяется размером изменений вероятности. Выбирая решение, должны знать, насколько оно зависит от изменений вероятностей, и, следовательно, насколько можно полагаться на этот выбор.

Пример 9. Компанией “Cacus Chemical Company” был разработан новый товар. Вполне вероятно, что для него существует рынок сбыта на ближайший год. Наличие в производственном процессе высокотемпературных реакции повышает его стоимость до 2.5 млн. ф. ст. Для организации производственного процесса потребуется один год, однако, существует лишь 55% вероятности, что будет обеспечена должная технологическая безопасность процесса. В связи с этим перед компанией встал вопрос о разработки компьютерной контролирующей системы (ККС), которая будет обеспечивать безопасность высокотемпературных реакций. Исследования по ККС продолжаются год и будут стоить 1 млн. ф. ст. Вероятность получение требуемой ККС - 0.75.

Разработку ККС можно начать либо немедленно, либо продолжать год до выяснения технологической безопасности процесса. Если разработку начать немедленно, а производственный процесс окажется безопасным, ККС окажется бесполезной (убыток - 1 млн. ф. ст.). С другой стороны если отложить разработку ККС, а процесс производства не будет соответствовать стандартам, то выпуск нового товара отодвигается на год до окончания исследований. И наконец, если не возможно создать безопасный процесс и работа над ККС окажется безуспешной, а альтернативного пути выпуска товара не существует, и работы по этому процессу необходимо прекратить. В случае если продажа нового товара начинается в течении года, то прибыль составит 10 млн. ф. ст., если не принимать в расчет амортизацию по производственному процессу, или ККС. Если отложить выпуск товара на 1 год, прибыль упадет до 8.5 млн. ф. ст. из-за возможного появления конкурентов на рынке. Для облегчения расчетов не будем учитывать расходы на создание ККС.

Составляем “дерево” охватывающее все возможные варианты развития событий

Как поступить руководству компании?

Как должна измениться вероятность успешной разработки производственного процесса (на сегодняшний день определенная в 0.55), чтобы руководство не изменило свой предположения в вопросе 2? Имеет ли решение этого вопроса некоторый запас прочности (чувствительность) при изменении вероятности?

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 7. “Дерево” решений для примера 9.

Решение:

“Дерево” решений для этой задачи представлено но рис. 7.

Для того чтобы оформить “дерево”, учитываем ожидаемый чистый доход по “узлам”. Ожидаемый доход в кружке D:

8.5Ч0.75+0Ч0.25=6.375 млн. ф. ст.

Ожидаемый чистый доход:

6.375 млн. ф. ст.-1 млн. ф. ст.=5.375 млн. ф. ст.

В кружке Е ожидаемый чистый доход равен 0. Следовательно, если в квадрате 2 компания решит разработать ККС, то получим чистый доход 5.375 млн. ф. ст.

В “узле” исхода А ожидаемый чистый доход:

(10Ч0.55+5.375Ч0.45)-2.5=5.419 млн. ф. ст.

В “узле” В ожидаемый чистый доход:

(10Ч0.55+(10Ч0.75+0Ч0.25)Ч0.45)-3.5=5.375 млн. ф. ст.

Поэтому в “узле” 1 компания выбирает разработку только производственного процесса. Если через год окажется, что он не безопасен, то приступят к разработке ККС.

...