1. Расчет параметров уравнений линейной и нелинейной парной регрессии

1.1 Расчет параметров линейной парной регрессии

Парная линейная регрессия имеет вид:

у_х = а + b*х,

где у_х - результативный признак, характеризующий теоретические расходы на железнодорожные перевозки;

х - фактор (пассажирооборот железной дороги);

а,b - параметры, подлежащие определению.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии используется метод наименьших квадратов. Он позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (доходы от железнодорожных перевозок) у от теоретических у_х будет минимальной. В этом случае для определения параметров а и b линейной регрессии необходимо решить следующую систему уравнений:

a*n + b?x = ?y

a?x + b?x² = ?y*x

На основании исходных данных выполнены расчеты сумм приведенной системы уравнений, теоретических значений функции регрессии, разности функции регрессии и опытных значений, а также ошибки аппроксимации, которые представлены в табл. 1.

Значения параметров линейной регрессии вычисляются по формулам:

Таблица 1

Тогда уравнение регрессии, являющееся линейной моделью доходов от железнодорожных перевозок в зависимости от пассажирооборота, примет вид:

у_х = 3029,2628 + 0,1634х.

1.2 Расчет параметров степенной парной регрессии

Степенная парная регрессия относится к нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам. Однако она считается внутренне линейной, так как логарифмирование ее приводит к линейному виду. Таким образом, построению степенной модели

предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация позволяет использовать для определения параметров функции регрессии метод наименьших квадратов. При этом оценки параметров будут вычислены по алгоритму, изложенному в 1.1.

Для этой цели проведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg y =lg a + b lg x.

Обозначим через У = lg y, X= lg x, C = lga.

Тогда уравнение примет вид:

Y = C+ bX.

Как отмечалось, для расчета параметров C и b использованы соотношения метода наименьших квадратов, поскольку в новых переменных Y и X соотношение стало линейным, а следовательно, оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными. Тогда

Таким образом, степенное уравнение регрессии с учетом логарифмических переменных будет иметь вид:

у = 1,324 + 0,592 Х.

Выполнив его потенцирование, получим:

у_х = 10^1,324 х^0,592 = 21,073 х^0,592

Введя обозначения переменных и констант

Y = lgy_x, С = lga, B = lgb,

получим линейное уравнение регрессии в новых переменных:

Y = C + Bx.

Для определения параметров все вычисления сведем в табл. 3.

Таблица 3

С учетом табличных данных значения параметров линейной регрессии составят:

Таким образом, получено уравнение

Y_x = 3,406 + 0,000019 х,

=?A_i / 16.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации линейной функции связи между расходами на железнодорожные перевозки и длиной дороги:

А = 10.454 100% / 16 = 65,35 %.

Аналогично получим среднюю ошибку аппроксимации для степенной А = 21,85 % и для показательной функции А = 60,34 %.

Их анализ показывает, что ошибка аппроксимации попадает в недопустимые для практического использования пределы, должен быть продолжен поиск более качественной функции регрессии.

5. Сравнительная оценка силы связи пассажирооборота дороги с доходом от железнодорожных перевозок с помощью среднего коэффициента элластичности

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится доход от железнодорожных перевозок у_х от своей средней величины при изменении пассажирооборота х на 1% от своего среднего значения. Он может быть вычислен по формуле:

= у_х'(х)• /.

С учетом приведенной формулы средний коэффициент эластичности Э для линейной функции регрессии

у_х = 3029,2628 + 0,1634х

примет вид:

= у_х'(х)• / = b/(a+b) = 0,1634•10622,5/(3029,26 + 0,1634•10622,5) = 0,364

Коэффициент эластичности для степенной функции регрессии

у_х = 21,073 х^0,592 вычисляется по соотношению:

= у_х'(х)• / = аbх^b-1(x/ax^b) = b = 0,592.

Коэффициент эластичности для показательной функции регрессии у_х = 10^3,406 10^0,000019х = 2546,51(1,000044)^х равен

 = у_х'(х)• / = аb^хlnb(x/ab^x) = lnb•x = 0,472

Таким образом, анализ разработанных математических моделей показывает, что изменение на 1% пассажирооборота дороги, приводит к увеличению на 0,364 ... 0,592 % доходов от перевозки грузов. При этом по линейной модели это увеличение составляет 0,364%, по степенной функции регрессии - 0,592 %, по показательной функции регрессии - 0,472 %.

6. Оценка статистической надежности результатов линейного регрессионного моделирования

железнодорожный пассажирооборот корреляция эластичность

Оценку статистической надежности уравнения регрессии в целом будем производить с помощью F-критерия Фишера. При этом примем нулевую гипотезу Н₀, что коэффициент регрессии b равен нулю. В таком случае фактор х не оказывает влияния на результат у, то есть пассажирооборот железной дороги не оказывает влияния на доходы от перевозки грузов. Альтернативная гипотеза Н₁ будет состоять в статистической надежности линейного регрессионного моделирования. Для установления истинной значимости линейной модели необходимо выполнить сравнение факторного F_факт и критического (табличного) F_табл значений F-критерия Фишера. Факторный F-критерий Фишера вычисляется по формуле:

F_факт = S_факт²/S_ост²,

где S_факт² - факторная выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

S_факт² = ?

S_ост² - остаточная выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

S_ост² = ?/ n - 2.

Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная выборочные дисперсии не отличаются друг от друга. Для опровержения нулевой гипотезы Н₀ необходимо, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную дисперсию в несколько раз. Табличное F_табл значение F- критерия Фишера - это максимальная величина критерия (отношения дисперсий) под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости б, который примем равным 0,05.

Если F_табл < F_факт, то нулевая гипотеза о случайной природе коэффициента регрессии, а следовательно, и оцениваемой модели отвергается и признается их статическая значимость и надежность. Если F_табл > F_факт то нулевая гипотеза не отклоняется и признается статическая незначимость и ненадежность уравнения регрессии.

По таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости б = 0,05 и степенях свободы К₁ = 1, К₂ = 14 получаем F_табл = 4,60.

Выполнив расчет для линейной модели, получим F_табл = 16,667.

Полученные значения F-критерия Фишера указывают, что F_табл < F_факт, поэтому необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициента регрессии, а следовательно, и оцениваемой модели и принять альтернативную гипотезу.

7. Расчет прогнозного значения доходов от железнодорожных перевозок по линейной модели при увеличении пассажирооборота

Полученное уравнение линейной регрессии позволяет использовать его для прогноза. Согласно заданию на курсовую работу, следует рассчитать прогнозное значение доходов от перевозки грузов, если прогнозное значение пассажирооборота железной дороги увеличится на 10% от среднего значения всех дорог. При этом установить доверительный интервал прогноза для уровня значимости, равного 0,05.

Если прогнозное значение пассажирооборота составит

Х_р = 1,1 * Х= 1,1 * 10622,5 = 11684,75,

то прогнозное точечное значение доходов от перевозки грузов можно вычислить по соотношению:

у_р = 3029,2628 + 0,1634х_р = 3029,2628 + 0,1634•11684,75 = 4938,57.

Для определения доверительного интервала прогноза расходов необходимо вычислить ошибку прогноза по формуле:

m_yp = S_ост(1+1/n + (x-)²/?(x-)²))^1/2 = 1407,65(1 + 1/16 + (11684,75 - 10622,5)²/1236898756)^1/2 = 1451,59

Предельная ошибка прогноза, которая с вероятностью 0,95 не будет превышена, составит:

Д_ур = t_табл • m_р = 2,1448 • 1451,59 = 3113,36.

Здесь t_табл - табличное значение t-статистки Стьюдента для числа степеней свободы n - 2 = 14 и уровне значимости 0,05.

Тогда предельные значения доверительного интервала прогноза доходов от перевозок железнодорожным транспортом при прогнозируемом увеличении пассажирооборота дороги на 10% можно вычислить по формулам:

у_{хр min} = у_хр - Д_ур = 4938,57 - 3113,36 = 1825,213; у_{хр max} = у_xp + Д_ур = 4938,57 + 3113,36 = 8051,93.

Выполненный прогнозный расчет по линейной регрессионной модели показал, что при достаточной надежности (вероятность 0,95) она недостаточно точна, так как отношение значений верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 4,41.

8. Реализация решенных задач на компьютере

Определение линейной функции регрессии выполним с помощью ППП Excel. Реализацию осуществим на компьютере с применением встроенной статистической функции ЛИНЕЙН. Она позволяет вычислить параметры линейной регрессии:

у_х = а + b * х.

Вся регрессионная статистика будет выводиться по схеме:

Алгоритм вычисления регрессионной статистики включает следующие этапы:

1) подготовку исходных данных;

2) выделение области пустых ячеек 5 х 2 для вывода результатов регрессионной статистики;

3) активизацию Мастера Функций одним из способов:

а) в главном меню выбрать ВСТАВКА - ФУНКЦИЯ;

б) на панели СТАНДАРТНАЯ щелкнуть кнопку ВСТАВКА ФУНКЦИИ;

4) в окне КАТЕГОРИЯ выбрать СТАТИСТИЧЕСКИЕ, в окне ФУНКЦИЯ - ЛИНЕЙН; затем щёлкнуть по кнопке ОК;

5) заполнить аргументы функции;

6) в левой верхней ячейке выделенной области появится первый
элемент итоговой таблицы. Для раскрытия всей таблицы необходимо нажать на клавишу F2, затем нажать комбинацию клавиш CTRL + SHIFT + ENTER.

Ниже приводятся результаты выполнения расчетов с помощью описанной функции:

Сравнение результатов расчетов, выполненных на основе пакета
прикладных программ Ехсе1 и согласно разработанным в курсовой работе
алгоритмам (в соответствии с изученными методами в дисциплине «Эконометрика»), показало высокую степень их совпадения.

Выводы

1. В настоящей курсовой работе решена задача разработки математической модели доходов от железнодорожных перевозок в зависимости от пассажирооборота. Исходными данными для ее расчета явились реальные значения доходов от железнодорожных перевозок и пассажирооборот 16 дорог, расположенных на территории РФ. Для обоснования и выбора модели в курсовой работе рассмотрены линейная, степенная и показательная математические модели.

2. Выполнена оценка тесноты связи доходов от железнодорожных перевозок и пассажирооборота с помощью показателей корреляции и детерминации. Сравнение показателей степени связи между доходами от железнодорожных перевозок и пассажирооборотом показывают, что степенная модель несколько лучше линейной и показательной моделей.

3. Проведена оценка с помощью ошибки аппроксимации качества уравнений регрессии между доходами от железнодорожных перевозок и пассажирооборотом. Их анализ говорит, что ошибка аппроксимации находится в недопустимых для практического использования пределах, и должен быть продолжен поиск более качественной функции регрессии или увеличено количество данных для анализа.

4. Осуществлена сравнительная оценка силы связи фактора (пассажирооборот) с результатом (доходы от железнодорожных перевозок) с помощью среднего коэффициента эластичности. Из анализа разработанных математических моделей следует, что изменение на 1% пассажирооборота приводит к увеличению на 0,364 ... 0,592% доходов от железнодорожных перевозок. При этом по линейной модели это увеличение составляет 0.364% по степенной функции регрессии - 0,592%, по показательной функции регрессии - 0,472%.

5. Полученные значения F-критерия Фишера при анализе качества линейного уравнения регрессии указывают, что F_табл < F_крит, значит необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициента регрессии, а следовательно, и оцениваемой модели и принять альтернативную гипотезу.

6. Выполненный прогнозный расчет по линейной регрессионной модели показал, что при достаточной надежности (вероятность 0,95) она недостаточно точна, так как отношение значений верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 4,41.

7. Сравнение результатов расчетов, выполненных на основе пакета прикладных программ Excel, согласно разработанным в курсовой работе алгоритмам (в соответствии с изученными методами в дисциплине «Экометрика»), показало полное их совпадение.

Размещено на Allbest.ru