Математическая модель системы управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

Глава 1. Общие понятия

1.1 Линейная динамическая система

1.1.1 Понятие динамической системы

1.1.2 Передаточная функция

1.1.3 Переходный процесс

1.1.4 Импульсная переходная функция

1.1.5 Связь импульсной переходной функции с переходным процессом

1.1.6 Реализуемость

1.2 Грубость системы

1.2.1 Устойчивость

1.2.2 Критерий устойчивости

1.2.3 Критерий устойчивости Гурвица

1.2.4 Критерий устойчивости Рауса - Гурвица

1.2.5 Критерий устойчивости Льенара - Шипара

1.3 Показатели качества системы управления

1.3.1 Интегральный критерий оценки качества системы управления

1.3.2 Вычисление оценки интегральных функций с использованием определителя Гурвица

1.3.3 Свойство оценки интегральной функции чувствительности. Формула Орландо

1.4 Задача оптимизации. Уравнение Виннера - Хопфа

1.4.1 Решение уравнения Виннера - Хопфа

Глава 2. Исследование устойчивости системы с объектом, корни передаточной функции которого лежат на мнимой оси

2.1 Постановка задачи

2.2 Предварительный анализ

2.3 Математическая модель ограничения на реализуемость в изопериметрической форме

2.4 Модель ограничения на компенсацию управляющим устройством правых нулей и полюсов передаточной функции объекта управления

2.5 Ограничения на компенсацию управляющим устройством лежащих на мнимой оси нулей и полюсов передаточной функции объекта управления в изопериметрической форме

2.6 Построение алгоритма решения

Глава 3. Анализ задачи в частном случае

3.1 Выбор программной среды

3.2 Анализ построенного алгоритма на примере

3.3 Построение модели в пакете Simulink

Заключение

Список литературы



Введение

На данный момент развитие универсальных средств для решения различных математических задач достигло такого уровня, что исчезает необходимость в самостоятельной реализации множества базовых методов и разнообразных алгоритмов.

Так как математические пакеты в большинстве своем не охватывают всех аспектов проблемы конструирования, необходимо концентрироваться на разработке особых средств, которые ориентированы на конкретную предметную область, а именно на теорию управления. Для исследования систем одними из самых важных факторов являются удобство решения задачи и разнообразие доступных методов.

В теории управления существует несколько методов описания изменений системы и конструирования оптимальных регуляторов, с использованием квадратичного критерия качества - методы вход-выходных соотношений и методы пространства состояний.

Методы пространства состояний удобны в использовании при решении множества задач по конструированию оптимальных регуляторов для линейных стационарных систем. Но есть ряд задач, которые удобнее решать, если использовать вход-выходные соотношения, а также для которых не существует на сегодняшний день обычных способов решения методами пространства состояний.

Построение систем управления представляет собой многовариантную задачу. На всех этапах конструирования происходит анализ множества систем, которые отличаются друг от друга по своим характеристикам. Среди множества альтернатив отбираются один или несколько вариантов, наиболее подходящих по заданным требованиям. В существующих системах автоматизированного конструирования систем управления не уделяется должного внимания проблеме синтеза управляющих устройств с различной конфигурацией структуры. Рассмотрение множества отличных по структуре управляющих устройств позволяет найти системы, имеющие более подходящие значение показателей качества. Причем количество элементов множества позволяет проводить анализ лишь автоматизировано.

На сегодняшний день актуальной задачей является разработка программного обеспечения для конструирования систем автоматического регулирования, причем многие стороны этой задачи остаются не изученными надлежащим образом.

В теории управления исследуются разнообразные системы из всех областей жизни человека. Конструирование оптимального регулятора широко используется в задачах из области технических систем. Одной из самых распространенных является так называемая задача слежения. В ней управляемая величина воспроизводит произвольно изменяющееся задающее воздействие. Простой пример следящей системы - радиолокационная станция, которая должна сопровождать цель с неизвестным заранее законом движения.

Задача слежения напрямую связана с важной характеристикой при анализе и синтезе систем управления с обратной связью - устойчивостью. В простейшем варианте динамическая система является устойчивой, если она обладает ограниченной реакцией на ограниченное воздействие. Поэтому свойство устойчивости является основным критерием оптимальности. Замкнутую систему всегда можно однозначно определить, как (абсолютно) устойчивую или неустойчивую.

Для конструирования устойчивой системы управления необходим базовый функционал качества, который в дальнейшем будет корректироваться. Одним из наиболее простых и изученных является квадратичный функционал. Задачу построения линейно-квадратично регулятора можно решить и в пространстве состояний, и в пространстве операторов.

Особым случаем при конструировании оптимального регулятора является ситуация, когда корни передаточной функции объекта находятся на мнимой оси, т.е. система находится на границе устойчивости. В связи с этим возникают некоторые сложности, требующие дополнительных корректировок функционала качества.

В настоящей работе исследуется проблема конструирования оптимального регулятора для объекта, корни передаточной функции которого находятся на мнимой оси, при условии придания системе свойства грубости и обеспечения приемлемой степени устойчивости. Решение будет искаться в пространстве вход-выходных соотношений.



Глава 1. Общие понятия

1.1 Линейная динамическая система

1.1.1 Понятие динамической системы

Рассмотрим систему, обладающую динамическими свойствами. Она будет представлять собой математическую модель некого объекта или процесса. В каждый момент времени динамическая система будет обладать некоторым состоянием, т.е. будет описывать изменения процесса во времени.

В теории управления значительную роль играют линейные динамические системы. Состояния такой системы изменяются во времени по линейному дифференциальному закону (или линейному разностному - в случае дискретного времени) и описываются набором вещественных чисел или векторов, соответствующих определенному положению в пространстве состояний. Причем, через заданный интервал времени динамическая система принимает определенное состояние, которое зависит от текущего.

Математическая модель такой системы представляет собой совокупность 4 элементов:

· пространство состояний (множество всех возможных состояний системы);

· пространство входных сигналов;

· пространство выходных сигналов;

· соотношения, связывающие входные и выходные сигналы и переменные состояния.

Основной формой представления математической модели динамической системы служит линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, левая часть которого записана относительно реакции, а в правую часть входит внешнее воздействие. В случае, если система характеризуется нелинейным дифференциальным уравнением, то его линеаризация происходит на этапе решения этого уравнения.

В общей форме математическая модель системы описывается уравнением вида:

(1.1.1)

где постоянные величины, целые числа, есть реакция системы, а входной сигнал, т.е. возмущающая функция.

В дальнейшем будем рассматривать линейную непрерывную стационарную управляемую систему. Такая система описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для облегчения анализа переходных процессов и поведения непрерывной системы в установившемся режиме применяется преобразование Лапласа. Анализ импульсных систем также упрощается при использовании г-преобразования.

1.1.2 Передаточная функция

Для описания линейной стационарной системы, а конкретно объекта управления и управляющего устройства, и их исследования используется аппарат передаточных функций. Передаточная функция представляет собой отношение оператора воздействия к собственному оператору, т.е. зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

Передаточные функции могут быть получены различными способами, например, с использованием преобразований Лапласа от входа и выхода объекта управления, с использованием дифференциального уравнения объекта системы, или с использованием весовой функции.

Самое широкое использование на практике получила передаточная функция в форме изображений Лапласа, которая численно равна отношению преобразования Лапласа его выходной величины к преобразованию Лапласа от его входного воздействия при нулевых начальных условиях:

. (1.1.2)

Такая передаточная функция существует только для линейных стационарных (с постоянными параметрами) систем. В нестационарных системах один или несколько параметров зависят от времени, поэтому преобразованием Лапласа воспользоваться нельзя.

1.1.3 Переходный процесс

В теории управления переходный процесс представляет собой реакцию системы на приложенное к ней внешнее воздействие, начиная с момента приложения этого возмущения до некоторого установившегося значения. Изучение переходных процессов играет важную роль при анализе динамических свойств системы и качеств ее работы. Установившееся значение определяется соотношением:

,

где коэффициент задается, например можно взять его в интервале от 0.02 до 0.05.

Зачастую переходные процессы являются сложными функциями времени, поэтому в основном рассматривают при изучении систем управления реакции на такие входные воздействия как: единичная ступенчатая функция, импульсная и гармоническая функции.

Выделяют 3 вида переходных процессов:

· Апериодические

· Колебательные

· Монотонные

Вид и поведение переходных процессов полностью определяется корнями характеристического уравнения системы. Если полюсы передаточной функции только вещественные, то процесс является апериодическим. При таких процессах знак производной меняется не более одного раза (рис.1.1).

Рис.1.1

В случае, если корни характеристического полинома системы вещественные и комплексно-сопряженные и комплексных корней много больше, чем вещественных, то характер переходного процесса является колебательным. При этом знак производной периодически меняется. Колебательный или периодический процесс изображен на рис. 1.2.

Рис 1.2

Если же корни полинома вещественные и комплексно-сопряженные и количество комплексных корней меньше вещественных, то процесс называется монотонным. Знак производной не меняется (рис.1.3).

Рис 1.3

1.1.4 Импульсная переходная функция

Еще одной важной характеристикой автоматических систем являются переходная и импульсная переходная функция.

Переходная функция - это функция, которая описывает изменение выходной величины системы при подаче на нее единичного ступенчатого воздействия при нулевых начальных условиях. Ее обозначают .

Аналитически единичное ступенчатое воздействие можно задать следующей функцией:

.

Графиком переходной функции является кривая зависимости функции от времени (такой график называют переходной характеристикой).

Импульсная переходная или весовая функция - это функция системы, описывающая реакцию системы на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях. Ее обозначают . Графиком является импульсная переходная характеристика.

Дадим пояснение к определению единичного импульса. Физически его можно представить как очень узкий импульс, который ограничивает единичную площадь. Математически он описывается дельта-функцией и равен производной от единичной ступенчатой функции : (рис.1.4).

Рис 1.4

Эта обобщенная функция обладает следующими свойствами:

,

,

где произвольная функция.

Найдем изображение по Лапласу от функции. Само преобразование определим как предельное соотношение: . Получается, что:

Так же весовая функция связана с передаточной функцией:

,

,

т.е. передаточная функция - это изображение по Лапласу от импульсной переходной функции.

импульсный переходный функция гурвиц

1.1.5 Связь импульсной переходной с переходным процессом

Установим соответствие между импульсной переходной и переходной функциями. Так как , то уравнение системы вида: , которое следует из определения передаточной функции, можно переписать следующим образом, если на вход подать единичное ступенчатое воздействие:

.

Если учесть, что , то нетрудно заметить следующее:

.

Если при нулевых начальных условиях умножить изображение на , то получим дифференцирование оригинала. Т.е. получим:

.

По переходной и импульсной переходной функциям можно как и по передаточной однозначно определить выход системы при произвольном входном воздействии.

1.1.6 Реализуемость

При конструировании систем важно помнить о жестких ограничениях, невыполнение которых приводит к тому, что по сконструированной математической модели реальное изделие на существующей элементной базе создано быть не может или реализованное изделие будет неработоспособным.

Применительно к системам ‹‹объект управления - управляющее устройство››: математическая модель объекта управления называется реализуемой, если по ней может быть сконструировано реальное изделие с характеристиками близкими к характеристикам модели, а также работоспособной, если сконструированное по математической модели управляющее устройство в совокупности с объектом управления обеспечивает устойчивость и грубость системы [1].

Передаточная функция считается физически реализуемой, если возможно создание устройства, которое позволит получить выход блока с такой передаточной функцией для реальных типовых входных сигналов и их комбинаций. На выходе систем не должно появляться стремящихся к бесконечности значений сигналов в конечные моменты времени при подаче на вход конечных сигналов. Передаточная функция считается физически нереализуемой, если порядок ее числителя больше или равен порядку знаменателя.

Любые физические системы характеризуются полосой пропускания. Полосой пропускания называется диапазон частот гармонических колебаний, в которых выход заметно изменяется.

Если гармонические колебания лежат вне полосы пропускания, то они почти через нее не проходят. Колебания выхода для этих частот не принимают во внимание и считают, что они отсутствуют, т.к. имеют малую амплитуду относительно амплитуды входных колебаний.

С полосой пропускания связаны инерционные свойства объекта. Если входные колебания имеют большую частоту, то в силу инерционности, выход не успевает начать однонаправленное движение, в то время как вход уже начинает обратное движение. Т.е. при действии входных колебаний высокой частоты, выход почти не меняется [2].

Полоса пропускания регулятора, как правило, значительно шире, чем у объекта управления. Полоса пропускания с системы определяется полосой объекта системы. При конструировании, практический интерес представляют модели, чья полоса пропускания управляющего устройства лежит в полосе пропускания объекта управления. Колебаниями вне полосы пропускания пренебрегают.

В практическом применении не имеет смысла конструировать систему, у которой регулятор имеет передаточную функцию со степенью числителя выше степени знаменателя. Но можно принять равенство степеней. Т.е. передаточная функция регулятора и звеньев коррекции может иметь порядок числителя не больше порядка знаменателя, а передаточная функция объекта управления - строго меньше.

1.2 Грубость системы

В реальном мире невозможно спроектировать идеальную систему, т.е. такую, чьи действительные параметры совпадали бы с расчетными и полученными при проектировании. На практике неизбежны отклонения. Это происходит обычно в связи с неточностью и неполнотой знаний об объекте и воздействий, которые влияют на систему, с ограниченностью возможностей реализации параметров управляющего устройства, так же система подвергается внешнему воздействию и стареет. Поэтому на практике важную роль при проектировании играет грубость системы.

1.2.1 Устойчивость

В теории управления выделяют множество понятий устойчивости, но в конкретном случае линейных стационарных систем, все определения совпадают и говорят просто об устойчивости [3].

В пространстве вход-выходных соотношений его суть сводится к представлению системы в виде элементов: , где -передаточная функция системы, - выход системы управления, - задающее воздействие.

Если при любом ограниченном входном сигнале выход системы так же ограничен, то система считается устойчивой.

1.2.2 Критерий устойчивости

В линейных системах требование устойчивости сводится к заданию положения полюсов передаточной функции замкнутой системы. Корневой критерий устойчивости замкнутой системы состоит в том, чтобы все полюсы передаточной функции системы имели отрицательную действительную часть. Если не все из них находятся в левой полуплоскости комплексного переменного, то систему считают неустойчивой. Если характеристическое уравнение имеет простые корни, расположенные на мнимой оси, а все остальные корни находятся в левой половине -плоскости, то реакция системы на ограниченный гармонический входной сигнал, частота которого равна модулю чисто мнимых корней, будет представлять собой неограниченно нарастающие колебания. Такую систему называют находящейся на границе устойчивости, т.к. только отдельные входные сигналы (гармонические сигналы, частота которых совпадает с полюсами системы) обуславливают неограниченное нарастание реакции системы. У неустойчивой системы по крайней мере один корень характеристического уравнения находится в правой половине -плоскости, или это уравнение имеет кратные корни на мнимой оси. В этом случае выходная переменная будет неограниченно нарастать при любом входном сигнале.

В настоящей работе выполнение условия грубости системы относительно свойства устойчивости будет проверяться непосредственным поиском корней характеристического полинома всей системы.

В теории управления используют также такое понятие, как относительная устойчивость, описывающее степень устойчивость системы. Это свойство имеет место только при наличии абсолютной устойчивости. Она вычисляется как величина равная действительной части самого ближнего к мнимой оси комплексного переменного корня характеристического полинома системы управления. Физическим смыслом относительной устойчивости является запас грубости системы управления относительно свойства устойчивости.

1.2.3 Критерий устойчивости Гурвица

Еще одним способом анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость является критерий Гурвица. Достоинством метода является принципиальная простота, недостатком - необходимость выполнения операции вычисления определителя, которая связана с определенными вычислительными тонкостями (например, для больших матриц может появиться значительная вычислительная ошибка).

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть передаточная функция системы, а характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином в виде:

,

где оператор Лапласа.

По коэффициентам характеристического уравнения системы построим определитель Гурвица по следующему алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо необходимо выставить все коэффициенты характеристического уравнения от до ;

2) затем, каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими номерами слева направо;

3) в случае отсутствия коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше , на его место ставятся нули.

Матрица имеет вид:

.

Тогда согласно критерию Гурвица:

для устойчивости динамической системы была необходимо и достаточно, чтобы все диагональных миноров матрицы Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

Диагональные миноры определяются формулами:

. (1.2.1)

1.2.4 Критерий Рауса - Гурвица

Приведем еще один критерий, который используется для исследования устойчивости систем управления. При анализе характеристического полинома системы видно, что для расположения всех корней полинома в левой полуплоскости, все коэффициенты должны иметь один и тот же знак (необходимое условие устойчивости). Так же нужно, чтобы все коэффициенты были отличны от нуля (если системы устойчива). Это условие является необходимым, но не достаточным. Это означает, что если данное условие не выполняется, то можно сразу сказать, что система неустойчива. Но если даже оно выполняется, то для утверждении об устойчивости системы необходимы дальнейшие исследования.

Критерий Рауса - Гурвица дает необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем. В основе метода лежит упорядочивание коэффициентов характеристического уравнения в виде следующей таблицы [4]:

.

Следующие строки таблицы образуются по приведенному ниже правилу:

,

где ,

,

,

и т.д. Алгоритм вычисления элементов таблицы можно построить на основе определителей или на основе выражения для .

Критерий Рауса - Гурвица утверждает, что число корней характеристического полинома с положительной действительной частью равно числу изменений знака в первом столбце таблицы Рауса.

Этот критерий требует, чтобы для устойчивости системы в первом столбце таблицы не должно быть изменений знака.

1.2.5 Критерий устойчивости Льенара - Шипара

При исследовании устойчивости систем автоматического регулирования высоких порядков () удобно использовать одну из модификаций алгебраического критерия устойчивости Гурвица.

П. Льенаром и Р. Шепардом было доказано, что когда все коэффициенты характеристического уравнения положительны и из того факта, что положительны все определители (1.2.1) с нечетными индексами, следует положительность определителей Гурвица с четными индексами, и наоборот.

Поэтому, когда выполнены необходимые условия устойчивости, т.е. , необходимые и достаточные условия сводятся к тому, чтобы среди определителей Гурвица были положительны все определители с четными (или же все определители с нечетными) номерами.

Таким образом, для устойчивости системы автоматического регулирования необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:

,

.

Такая формулировка критерия устойчивости, называемая критерием устойчивости Льенара - Шипара [5], требует вычисления меньшего числа определителей, чем обычный критерий Гурвица, а поэтому особенно удобна при работе с системами управления высоких порядков.

1.3 Показатели качества системы управления

Качество системы управления характеризуется совокупностью свойств, обеспечивающих функционирование системы управления. Свойства, которые в совокупности составляют эти свойства и имеют количественные измерители, называют показателями качества системы управления.

В теории управления, как правило, рассматривают только статические и динамические свойства системы. Эти свойства предопределяют точность поддержания управляемой величины (выходного сигнала объекта) на заданном уровне в установившихся и переходных режимах, т.е. обеспечивает эффективность процесса регулирования.

Выделяют прямые и косвенные показатели. Прямые определяют по графику переходных процессов, возникающих при подаче на вход ступенчатого воздействия. Косвенные показатели качества определяются по расположению корней характеристического уравнения, а также по частотным характеристикам системы. К особой категории показателей качества системы управления относят интегральные оценки. Их вычисляют либо по переходным функциям системы, либо по коэффициентам передаточной функции.

1.3.1 Интегральный критерий оценки качества системы управления

Каждый из показателей качества характеризует лишь одно какое-либо свойство системы, лишь один признак переходного процесса или частотной характеристики. Причем, все показатели связаны с параметрами регулятора: сложными зависимостями между составляющими, т.к. изменение параметра приводит к улучшению одних показателей качества и к ухудшению других. Это осложняет выбор параметров управляющего устройства. Поэтому в инженерной практике часто используют интегральные критерии или оценки качества.

Интегральные оценки представляют собой определенные интегралы по времени от некоторой функции регулируемой переменной [или сигнала ошибки ]:

.

Необходимо выбирать подынтегральную функцию таким образом, чтобы сам интеграл как можно лучше характеризовал качество системы управления, а также по возможности просто выражался через коэффициенты передаточной функции системы. Для сходимости интеграла в вводят не абсолютные, а отклонения от установившихся значений. Величина интеграла должны быть минимальной, т.к. чем меньше оценка, тем лучше качество процесса управления.

При анализе и синтезе систем управления с колебательными свойствами используются квадратичные оценки качества, т.к. с их помощью в теории управления удобнее и легче аналитически решать задачи:

.

Она так же, как и линейная оценка, учитывает величину и длительность отклонений.

Составим функционал качества [1], в его состав будут входить оценки системы, связанные с различного рода ограничениями. Он будет являться обобщенным критерием оценки качества работы системы.

Для множества с достаточным числом звеньев коррекции:

, (1.3.1)

. (1.3.2)

Здесь весовые коэффициенты, которые отражают важность соответствующих частных показателей; ; множители Лагранжа; полюсы и нули передаточной функции объекта управления, находящиеся в правой полуплоскости.

Напомним обозначения: желаемая передаточная функция системы относительно случайной составляющей задающего воздействия; действительная передаточная функция системы относительно задающего воздействия; желаемая передаточная функция относительно регулярной составляющей задающего воздействия; базовая передаточная функция; передаточная функция объекта управления; желаемые передаточные функции относительно помех.

В самих функционалах первые составляющие характеризуют качество системы в установившемся режиме относительно случайных воздействий. Все другие - качество системы в переходном режиме относительно регулярных воздействий.

Функционал включает в себя ограничения на реализуемость в изопериметрической форме, ограничения на астатизм и ограничения на компенсацию правых нулей и полюсов объекта управления в изопериметрической форме.

1.3.2 Вычисление оценки интегральных функций с использованием определителя Гурвица [1]

С помощью определителя , возможно вычислить интеграл вида:



Разложив подынтегральное выражение, получим формулу для вычисления оценки через коэффициенты дробно-рациональной функции.

Функция имеет полюсы только в левой части -плоскости. определитель Гурвица, определитель, полученный из путем замены первого столбца коэффициентами

1.3.3 Свойство оценки интегральной функции чувствительности. Формула Орландо

Рассмотрим случай, когда некоторые из определителей Гурвица равны нулю. Воспользуемся формулой Орландо, которая выражает определитель через старший коэффициент и корни полинома знаменателя в[4]:

определитель, полученный из определителя Гурвица путем вычеркивания -ой строки и -го столбца.

. Если , то многочлен знаменателя в имеет нулевой корень, т.е. интеграл расходится. Получается, что если хотя бы один полюс находится на мнимой оси, то интеграл расходится.

1.4 Задача оптимизации. Уравнение Виннера - Хопфа

Главная задача оптимизации заключается в том, чтобы найти такую передаточную функцию, которая обеспечила бы минимум функционала качества и которая имела бы полюсы только в левой полуплоскости комплексного переменного.

Интегралы вида (1.3.1) и (1.3.2) вместе с аналогичным интегралом для множества с недостаточным числом звеньев коррекции перепишутся в виде [1]:

,

где оптимальная передаточная функция, т.е. доставляет оптимум величине

Решить задачу поиска оптимальной передаточной функции возможно при помощи уравнения Виннера - Хопфа:

, (1.4.1)

где имеют полюсы только в левой и только правой полуплоскости комплексного переменного соответственно.

1.4.1 Решение уравнения Виннера - Хопфа

Приведем алгоритм решения уравнения (1.4.1) [1].

Представим функцию в виде произведения двух функций:

где функция, которая имеет все нули и полюсы только в левой полуплоскости комплексного переменного, а в правой.

Преобразуем уравнение (1.4.1), заменив на произведение двух функций и поделив на , к виду :

(1.4.2)

Далее, необходимо представить дробь в виде слагаемых:

, (1.4.3)

где содержит в себе все простые дроби с полюсами в левой части плоскости комплексного переменного, в правой, целая часть функции . Получается,

(1.4.4)

Функция не имеет целой части и степень числителя этой функции меньше степени знаменателя [1]. Если , то ее должны содержать либо , либо , либо обе функции.

Далее, из (1.4.4) получаются два уравнения:

,

.

Имеем,

или

, (1.4.5)

т.е. дробь с полюсами только из левой полуплоскости комплексного переменного с добавлением целой части. Причем степень числителя этой дробно-рациональной функции меньше степень знаменателя.

Получили, что оптимальное значение передаточной функции вычисляется по формуле (1.4.5). Это выражение и есть решение уравнения Виннера - Хопфа.

Причем, решение уравнения (1.4.1) не всегда может существовать. Т.е. не найдется такой величины, которая обеспечивала бы конечность и оптимальность функционала качества. Для того, чтобы проверить наличие решения, исходные данные должны удовлетворять неравенству:

.

Этот интеграл сходится, если степень числителя меньше степени знаменателя и отсутствуют полюсы на мнимой оси. Данное свойство не обеспечивает конечность функционала, а лишь проверяет совместимость исходных данных.



Глава 2. Исследование устойчивости системы с объектом, корни передаточной функции которого лежат на мнимой оси

Сформулируем задачу исследования свойств оптимальной системы с объектом, находящимся на границе устойчивости: дан объект с реальной передаточной функцией Необходимо, имея математическую модель объекта, т.е. , найти расчетные значения параметров передаточных функций регулятора так, чтобы сконструированное по найденной математической модели управляющее устройство обеспечивало в реальной системе управления, т.е системе с реальным объектом, передаточная функция которого приближеенно равна , характеристики, близкие к расчётным. В настоящей работе рассматриваются свойства системы с объектом, корни передаточной функции которого находятся на мнимой оси, а так же методика констуирования передаточной функции регулятора.

Приведем порядок конструирования управляющего устройства [1]:

· исходя из заданных передаточных функций системы или желаемых операторов воспроизведения воздействий и оптимума критерия качества определяются передаточные функции системы относительно задающего воздействия и помехи, наложенной на управляющее воздействие;

· по найденным передаточным функциям системы определяются передаточные функции управляющего устройства;

· по передаточным функциям управляющего устройства отыскиваются передаточные функции звеньев коррекции.

2.1 Постановка задачи

На рис. 2.1 приведена схема системы управления одномерным объектом с передаточной функцией

Рис. 2.1

На схеме штриховой линией выделено управляющее устройство, имеющее два входа и один выход. На один вход подается задающее воздействие , на другой - замеряемый выход объекта управления. В системе: регулярная функция; случайная составляющая, с наложенной на него помехой ; управление; выход; регулярная и случайная составляющая, которыe приложены ко входу объекта управления.

Необходимо найти реализуемое управляющее устройство, которое бы обеспечивало минимизацию ошибки воспроизведения задающего воздействия и выхода.

Так как математическая модель реального объекта управления известна лишь приближенно, то оптимальное управляющее устройство конструируется для модели, а функционировать должно с реальным объектом с точностью до модели объекта.

2.2 Предварительный анализ

Напомним, что необходимо провести анализ и оценку методов конструирования оптимальных регуляторов, обеспечивающих свойство грубости системы для класса объектов с нулями и полюсами, расположенными на мнимой оси плоскости комплексного переменного.

Рассмотрим систему с одномерным объектом, которая изображена на рис.2.1. Управляющее устройство имеет два входа и один выход и будет строиться на базе коректирующих звеньев . Объект управления имеет передаточную функцию .

Для построения алгоритма решения задачи, необходимо ввести обозначения: передаточные функции управляющего устройства относительно задающего воздействия и сигнала . - действительная передаточная функция системы относительно задающего воздействия , действительная передаточная функция системы относительно помехи . За обозначим базовую передаточную функцию, причем:

,

(2.2.1)

Так же представим в виде соотношений:

(2.2.2)

Используем базовые передаточные функции для построения схемы системы (рис.2.2), эквивалентной исходной, показанной на рис.2.1.



Рис. 2.2.

Учитывая (2.2.1) и (2.2.2) получим соотношения для передаточных функций управляющего устройства:

,

= (2.2.3)

Так же замишем обобщенный критерий оценивающий качество работы для системы, показанной на рис.2.2:

, (2.2.4)

. (2.2.5)

Описание функционала приведено в разделе 1.3.1.

Для построения алгоритма конструирования оптимального регулятора, необходимо предварительно привести ряд ограничений, которые мы будем использовать в дальнейшем при анализе и корректировке функционала качества.

2.3 Математическая модель ограничения на реализуемость в изопериметрической форме

Приведем ограничения, которые будем использовать при построении функционала для решения оптимизационной задачи [1].

,

, (2.3.1)

Где , , высшая степень полинома , полинома .

Эти интегралы расходятся, если:

· степень числителя дробно-рациональной функции больше или равна степени знаменателя;

· имеются полюсы на мнимой оси функции комплексного переменного.

Из сходимости интегралов следует, что:

, .

И

, .

Интегралы (2.3.1) являются самыми распростарненными среди всех ограничений на реализуемость. Эти выражения необходимо включить в функционал качетсва.

Для удобства эти ограничения можно переписать в виде:

. (2.3.2)

2.4 Модель ограничения на компенсацию управляющим устройством правых нулей и полюсов передаточной функции объекта управления [1]

Рассмотрим соотношения (2.2.3). Из конфигураций видно, что происходит компенсация передаточной функцией регулятора нулей и полюсов объекта управления. Т.е. эти соотношения могут быть использованы только для устойчивых объектов, чьи корни лежат строго в левой полуплоскости комплексного переменного. Необходимо внести ограничения, чтоб избавиться от этого недостатка.

Для этого введем дополнительные соотношения для передаточных функций из (2.2.3):

,

,

(2.4.1)

Кроме того, ,

Полиномы , содержат в себе все правые корни полиномов , , соответственно. А , - все левые корни полиномов , , соответственно.

Переписав соотношения (2.2.3) с учетом (2.4.1) и сократив входящие в числитель и знаменатель полиномы ,, получим:

(2.4.2)

Компенсация правых корней уже не происходит. Т.е. (2.4.1) можно использовать как ограничения на компенсацию управляющим устройством правых нулей и полюсов передаточной функции объекта управления [1].

Чтобы использовать ограничение как один из критериев при решении оптимизационной задачи, т.е. для включения их в функционал качества системы, необходимо ввести изопериметрическую форму этих ограничений.

Используя равенство Парсеваля, запишем [1]:

где корень полинома

Учитывая, что получим соотношения для ограничения:

, (2.4.3)

где правый полюс дробно-рациональной функции , нуль.

Аналогично, можем записать соотношения для где полюс, а нуль полинома

. (2.4.4)

2.5 Ограничения на компенсацию управляющим устройством лежащих на мнимой оси нулей и полюсов передаточной функции объекта управления в изопериметрической форме

Из раздела 1.3.3 известно, что если полюсы подынтегральной функции под знаком модуля находятся на мнимой оси, то интеграл расходится. Для сходимости интеграла необходимо, чтоб у дробно-рациональной функции происходила компнсация близких корней.

Рассмотрим равенство Парсеваля:

, (2.5.1)

где .

Так же запишем ограничения на реализуемость для соотношений (2.2.3):

. (2.5.2)

Если эти интегралы сходятся, то передаточные дробно-рациональные функции и из (2.2.3) имеют степень числителя меньше степени знаменятеля.

Испольузуя выражения вида (2.2.2) перепишем эти интегралы:

,

. (2.5.3)

Если объект управления имеет корни на мнимой оси плоскости комплексного переменного, то интегралы расходятся. Для исправления этого недостатка, необходимо, чтобы полиномы и содержали в себе все корни полинома , находящиеся на мнимой оси.

Эти ограничения необходимо внести в основной функционал в виде основных его частей для решения задачи оптимизации, тогда найденные передаточные функции и будут обладать вышеперечисленными свойствами и интегралы будут конечными.

Для ограничений на астатизм:

. (2.5.4)

Так же необходимо, чтобы полином содержал в своем составе все корни полинома , которые находятся на мнимой оси, иначе интеграл расходится.

Таким образом в основной функционал качества системы управления при решении оптимизационной задачи, необходимо включить соотношения (2.5.3) и (2.5.4).

Если разложить полиномы передаточной функции объекта управления и на составляющие, которые содержат в своем составе отдельно только корни, лежащие на мнимой оси, и на все остальные, получим упрощенный вид ограничений на компенсацию:

,

(2.5.5)

2.6 Построение алгоритма решения

Итак, напомним, из (2.2.3) следует, что звенья коррекции компенсируют передаточную функцию объекта управления. Если происходит компенсаци правых корней, то система управления становится неустойчивой, а если корней, которые лежат на мнимой оси копмлексной плоскости, то система будет находиться на границе устойчивости. Так же помним, что при разговоре о компенсации, речь идет о близких корнях, а не о тождественных.

В итоге получается, что спроектированная система управления не является грубой относительно свойства устойчивости, когда у передаточной функии объекта управления имеются нули и полюсы, лежащие на мнимой оси или в правой части плоскости комплексного переменного. Для исправления этого неудобства, необходимо ввести корректировки, которые были описаны в разделах 2.4 и 2.5. Т.е. необходимо исключить возможность компенсации передаточной функцией регулятора полюсов и нулей, которые находятся на мнимой оси и в правой части комплексной плоскости, передаточной функции объекта управления.

Приведем полный алгоритм конструирования оптимального регулятора для системы с достаточным числом звеньев коррекции.

Передаточная функция реального объекта - , математической модели объекта - . Разложим их на составляющие:

, (2.6.1)

где полиномы имеют корни только слева от мнимой оси плоскости комплексного переменного, а полиномы - только справа от нее и на самой мнимой оси.

Передаточные функции управляющего устройства имеют вид:

,



=

Так же наложим ограничения на передаточные функции . Согласно разделу 2.4, полиномы, входящие в состав этих функций, должны удовлетворять соотношениям:

,

,

.

Корни полинома должны лежать только в левой полуплоскости комплексного переменного.

Учитывая вышесказанные ограничения, передаточные функции управлябщего устройства перепишутся в виде:

,

= (2.6.2)

Из соотношения (2.6.2) видно, что компенсация корней уже не происходит.

Так же заметим, что: , т.е его корни находятся в левой полуплоскости комплексного переменного. Это свойство распространется и на реальный объект управления.

Согласно разделу 2.5:

,



,

. (2.6.3)

Эти интегралы сходятся, если степень числителя дробгл-рациональной функции под знаком интеграла строго меньше степени знаменателя, а так же отсутствуют корни на мнимой оси.

Необходимо добавить эти соотношения в функционал качества системы управления с некоторым множителем(весом). Далее, чтобы решить задачу, необходимо минимизировать функционал и найти искомые передаточные функции регулятора.



Глава 3. Разбор задачи в частном случае

В настоящей главе будет выполнен анализ алгоритма решения задачи на конкретном примере, также будут получены практические результаты, на которые мы ссылались в предыдущей главе и на которые опирались при составлении функционала качества при решении поставленной задачи. Математические расчеты и результаты будут также подкреплены компьютерным моделированием сконструированных систем.

3.1 Выбор программной среды

В качестве дополнительной программной среды при решении задачи были выбраны пакеты Simulink и Derive. Simulink - это интерактивный инструмент для моделирования и анализа динамических систем. Этот пакет содержит возможности постройки графических блок-диаграмм, так же имитации динамических систем и исследования их работоспособности. Он наиболее популярен для проектирования систем управления и коммуникации, цифровой обработки и других приложений моделирования. Derive - многофункциональная система, которая позволяет решать разнообразные прикладные задачи, прежде всего, задачи математического моделирования, т.к. имеет очень большой спектр разнообразных методов.

3.2 Анализ построенного алгоритма на примере

Рассмотрим методику конструирования оптимальных систем в пространстве вход - выход на примере управляющего устройства с одним звеном коррекции.

Модель объекта задана передаточной функцией . Желаемая передаточная функция относительно задающего воздействия . Звено коррекции расположено в прямой цепи (рис.3.1).

Рис.3.1

Запишем критерий близости передаточной функции системы относительно задающего воздействия к желаемой .

. (3.2.1)

Для того, что бы найти оптимальное значение передаточной функции звена коррекции , необходимо минимизировать этот функционал.

Из вида критерия следует, что подходящим решением может быть . Передаточная функция звена коррекции имеет вид:

. (3.2.2)

Учитывая равенства: , , получим:

. (3.2.3)

На рис. 3.2.а и 3.2.б изображены схемы реального объекта и спроектированного управляющего устройства в общем виде и для конкретной передаточной функции. На схеме видно, что регулятор компенсирует близкие корни передаточной функции объекта управления. Т.е., как было показано в разделе 2.6, правые корни не должны компенсироваться, т.к. это приведет к неустойчивости системы. Или будет находится на грани устойчивости, в случае компенсации чисто мнимых корней. Такая ситуация неприемлема при конструировании регулятора.

Рис. 3.2.а

Рис. 3.2.б

На схеме полиномы передаточной функции реального объекта управления.

Рассмотрим также характеристический полином системы: реальный объект имеет передаточную функцию , где - малое число. Характеристический полином имеет вид:

(3.2.4)

Из вида полинома видно, что сконструированная система не обладает грубостью относительно устойчивости, поэтому скорректируем функционал следующим образом:

(3.2.5)

Минимальное значение достигается, если удовлетворяет уравнению Виннера-Хопфа:

, (3.2.6)

где множитель Лагранжа.

Для решения уравнения (3.2.6) воспользуемся алгоритмом из пункта 1.4.1. Получим:

И

,

.

Отсюда:

, . (3.2.7)

Т.е. при передаточная функция системы совпадает с желаемой передаточной функцией.

Заменим передаточную функцию системы в интеграле на полученную в результате решения уравнения (3.2.6):

(3.2.8)

Используя алгоритм из пункта 1.3.2 вычислим интеграл:

,

, .

На рисунке 3.3 представлена зависимость первой составляющей в функционале от :

Рис. 3.3

Найдем передаточную функцию регулятора:

,

,

,

.

На рис. 3.4 представлены графики зависимости :

Рис. 3.4

Причем, , , .

Проанализировав полученные результаты, необходимо выбрать величину коэффициента следующим образом: значение должно быть выше нуля, величина - близка к нулю. Например, подходящим можно считать

Сконструированная оптимальная система для объекта на грани устойчивости не обладает свойством устойчивости. Для исправления этого момента, как было показано, необходима корректировка функционала качества.

3.3 Построение модели в пакете Simulink

На практике проектирования довольно часто о случайных воздействиях, приложенных к системе, имеется более детальная информация. Эту информацию можно использовать для получения желаемых значений передаточных функций относительно задающих воздействий. Желаемые функции задаются при решении оптимизационной задачи. Это упрощает решение задачи и несущественно ухудшает численное значение критериев качества оптимальной системы.

Спроектируем систему управления в пакете Simulink. На вход подадим дельта-функцию. Управляющее устройство в совокупности с объектом управления имеют передаточную функцию и импульсную переходную функцию . Желаемая импульсная переходная функция .

Покажем, что , при , как показано в разделе 3.2. На рис 3.5 изображена модель системы.



Рис 3.5

На рис.3.6. показан выход Output. Бирюзовым и зеленым цветом выделены графики весовой функции ) желаемого оператора и импульсной переходной функции регулятора . Т.к. они совпадают, их разность будет равна нулю (на рис.3.5 график выделен розовым). Получается, что значение интеграла является оптимальным, но из схемы видно, что регулятор компенсирует полюс объекта управления, находящийся на мнимой оси, что недопустимо.



Рис. 3.6

Поэтому, скорректируем значение передаточной функции регулятора, как показано в разделе 3.2.

В соотношении для передаточной функции системы (3.2.7) положим . Значение коэффициента выбирается на основе рис. 3.3 и 3.4. Тогда:

.

Регулятор больше не компенсирует объект управления. В силу ограничений, изложенных в разделе 2.6, корни на мнимой оси были сокращены в математической модели регулятора.

Рис. 3.7

На рис. 3.8 зеленый график - импульсная переходная функция желаемого оператора , розовый - весовая функция системы , бирюзовый - разность этих функций, т.е. значение подынтегрального выражения:

.



Рис. 3.8

Проверим равенство значений интеграла (3.2.8) и полученного значения при построении модели системы. На рис. 3.9. представлена модель, вычисляющая интеграл следующего вида:

.

Так же соотношение (3.2.8) вычислим численно в пакете Derive, получим:

,

при . Полученное значение совпадает с выводом спроектированной модели, а значит наши расчеты были верны.



Рис. 3.9.



Заключение

В данной работе была изучена проблема устойчивости системы с объектом, некоторые корни передаточной функции которого находятся на мнимой оси, был построен алгоритм конструирования функционала качества, который решает задачу воспроизведения задающего воздействия и придает системе управления свойство устойчивости.

Было показано, что если передаточная функция объекта управления имеет корни на мнимой оси или в правой полуплоскости комплексного переменного, то регулятор не должен компенсировать эти корни, т.к. это приведет к неустойчивости системы управления. Для устранения этого недостатка, необходимо ввести ограничения, а конкретно, чтобы математическая модель регулятора системы компенсировала в себе эти полюсы и нули, в таком случае передаточная функция объекта управления сохранит в себе корни на мнимой оси и при этом система не станет неустойчивой.

Так же было проведено моделирование сконструированной системы в пакете Simulink, представлены графики, характеризующие качество системы.

Адекватность построенного алгоритма подкреплена практическим решением задачи, обосновывающим теоретические выводы. Анализ хода решения и его результатов в пространстве вход-выходных соотношений позволяет утверждать, что задачу можно решить только с помощью корректировки функционала качества получаемого управляющего устройства, что в свою очередь может ухудшить качество системы, так как в функционале появляется добавка, не имеющая практической ценности.



Список литературы

1) Зотов М.Г. Многокритериальное конструирование систем автоматического управления. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. - 375 с., ил.

2) Основы математического управления / Под ред. В.С.Пугачева - М.: Физмат-гиз, 1963

3) Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 202. - 303 с

4) Дорф. Р, Бишоп Р. Пер. с англ. Копылова Б.И. Современные системы управления. - М.: БИНОМ. Лаборатория Базовых Знаний, 2002. - 832 с.:ил.

5) А.А. Воронов Теория автоматического управления, Ч.1, Теория линейных систем атематического управления- М.: Высшая школа, 1976

Размещено на Allbest.ru

...