Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

управление дифференциальный алгоритм вязкий

В наши дни проблемы, связанные со здоровьем человека, становятся все популярнее. За последние 5-10 лет медицина сделала огромный рывок вперед: были освоены новые методы лечения, получены более действенные вакцины. То, что раньше казалось невероятным, сейчас становится вполне обычным. Но, не смотря на многочисленные медицинские открытия, многие задачи остаются неразрешенными.

Одной из актуальнейших тем является проблема человеческого иммунитета. Иммунитет - нечувствительность организма к разнообразным инфекциям и продуктам их жизнедеятельности. Самое выдающееся открытие в этой области было сделано в начале 20-го века русским ученым Ильей Мечниковым и немецким ученым Паулем Эрлихом. Изучая этот вопрос отдельно, они выдвинули различные теории, но оба оказались правы. Так было обнаружено, что иммунитет можно классифицировать как врожденный и приобретенный. Реакции иммунитета могут возникать как от действия инородных раздражителей, которые обладают антигенными свойствами, так и на клетки, принадлежащие организму, преобразованные в антигенном отношении, а нарушение и ослабление иммунной системы (иммунодефицит) может привести к различному ряду заболеваний.

Наиболее опасным из всех приобретенных иммунных заболеваний является синдром приобретенного иммунодефицита. Сейчас в мире официально зарегистрировано более 40 миллионов человек, инфицированных ВИЧ. Суммарное количество зарегистрированных людей с ВИЧ инфекцией в России приближается к 500000 [9]. ВИЧ-инфекция несет серьезнейшую угрозу, так как является одним из основных факторов, оказывающих влияние на численность человеческого населения. Поэтому быстротечный рост ВИЧ/СПИД инфицированных ставят данную проблему на одно из первых мест в современном обществе.

Повальное распространение инфекций, серьезность и опасность вызываемых ими последствий при воздействии на человека призывают к необходимости создания и, в дальнейшем, использования специализированных антивирусных программ и способов их применения для контроля по восстановлению иммунной системы человека с возможностью продолжить и улучшить качество жизни. В связи с этим вызывают интерес задачи оптимального управления иммунной системой, в которой управление рассматривается как функции от времени, показывающие всевозможные воздействия антивирусных препаратов на иммунитет, а так же конструирование математических моделей [1], которые в последствие можно применить в медицине. Однако, для класса нелинейных объектов с неконтролируемыми ограниченными возмущениями возникает проблема управления, которая будет формулироваться в ключе дифференциальных игр.

Наиболее распространенным подходом для изучения цельной картины протекания заболевания, является математическое моделирование. Созданная в представленной работе модель будет описывать многосложную динамику человеческой иммунной системы и воздействующих на нее вирусов, даст возможность представить протекание и последствия заболевания.

Количественным показателем ВИЧ-заболеваний служит плотность Т-клеток в крови. Исходя из этого, определяют три степени тяжести заболевания. Задача продления жизни инфицированного пациента заключается в том, чтобы иммунная система достигала значения нижней границы плотности Т-клеток как можно позднее, находясь при этом в состоянии долгосрочного непрогрессора. Из-за различий в поражении иммунной системы у разных пациентов особенно важна разработка математической модели применения лекарственных препаратов, которая поможет сохранять состояние больного в долгосрочном непрогрессе.

Построение управляющего воздействия и возмущающего воздействия, которое будет препятствовать нашему вмешательству и с которым наша модель должна будет справиться, основывается на теории гарантирующего управления [3], а именно, на теории дифференциальных игр. Дифференциальная игра - это игра, исход которой определяется поведением некоторой управляемой динамической системы. В нашей задаче интересы игроков (вирус - пациент) противоположны, а значит наш выигрыш означает проигрыш второго игрока. Таким образом, мы можем рассматривать нашу стратегию поддержания иммунитета у пациента как антагонистическую игру.



1. Постановка задачи и результаты решения задачи дифференциальной игры

1.1 Постановка задачи

Рассматривается детерминированная нелинейная система

(1.1.1)

в которой - состояние системы; , ? множество возможных начальных условий этой системы; управление; ? возмущение; ? выход системы; ? непрерывные матрицы-функции. Предполагаем, что для любых система (1.1.1) наблюдаема и управляема, . Так же будем полагать, что функции достаточно гладкие такие, что для любых проходило бы одно и только одно решение уравнения (1.1.1) и соответствующий выход системы был бы единственным [2].

Возмущение неконтролируемое, может быть как детерминированным, так и стохастическим, поэтому оно характеризуется следующим соотношением:

, (1.1.2)

где , для всех . Запишем (1.1.2) в виде .

Данное возмущение в контексте нашей задачи будет являться возмущением некоторого игрока, противостоящего успешному выполнению управляющего воздействия . Цель заключается в построении оптимальной стратегии для игроков и . Так как рассматриваемая задача будет сгенерирована как антагонистическая игра, то ее структурные схемы можно представить следующим образом:

1) Учитываются самые неблагоприятные условия, стратегии и известны, управляющее воздействие «выигрывает».

2) При любых других возмущениях (не максимальных) управляющее воздействие тем более будет «выигрышным». Недостаток состоит в том, что в реальности возмущения минимальны, а значит, наша система будет работать нецелесообразно.

Построение управлений и будет производиться при использовании принципа обратной связи по состоянию [4], [5].

Введем функционал качества дифференциальной игры:

(1.1.3)

и пусть достаточно гладкие функции такие, что функция , определенная как

, (1.1.4)

дифференцируема при любых допустимых стратегиях игроков .

В этом функционале матрицы и ? положительно определенные, симметрическая матрица , по крайней мере, положительно полуопределенная. Таким образом, сразу учитываются ограничения на управления.

, .

Так как управление является антагонистичным к управлению , то необходимо найти такое управляющее воздействие, которое минимизирует функционал (1.1.4) на объекте (1.1.1) при соответствующем возмущении.

1.2 Синтез оптимального управления

Для рассматриваемой задачи (с неограниченным интервалом временем переходного процесса) , т.е. .

Оптимальные стратегии с обратной связью в дифференциальной игре для игроков и при , определяются выражениями:

, , (1.2.1)

где вектор будет определяться из решения уравнения Гамильтона-Якоби-Айзекса:

(1.2.2)

с граничным условием , и при управлениях (1.2.1), которые обеспечивают устойчивость системы, .

С учетом управлений (1.2.1) исходная система (1.1.1) имеет вид:

(1.2.3)



1.3 Существование решений дифференциальной игры

Пусть матрица

, (1.3.1)

по крайней мере, положительно полуопределенная матрица.

Тогда система (1.2.3) с учетом (1.3.1) имеет вид:

(1.3.2)

Система (1.3.2) равномерно асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда

где ? по крайней мере, положительно полуопределенная матрица.

Из уравнения Гамильтона-Якоби-Айзекса (1.2.2) вытекает:

.

Откуда, так как ,

. (1.3.3)

Определим требования к назначению матриц и , при которых матрица , по крайней мере, положительно полуопределенная.

В соответствии теоремой Ляпунова система (1.3.2) равномерно асимптотически устойчива, если выполнено условие

Здесь положительно полуопределенная матрица функционала качества (1.1.3). Тогда, принимая во внимание (1.3.2) и (1.3.3), получим

(1.3.4)

Учитывая (1.2.2), получаем , где , так как . Последнее будет выполняться, если матрица , по крайней мере, положительно полуопределенная.

Таким образом, при выполнении (1.1.4) система (1.1.1) с управлениям (1.2.1) равномерно асимптотически устойчива, т.е. .

Как видно из (1.2.4), свойство матрицы можно (при известных матрицах и ) обеспечить назначением матрицы с учетом границ возмущений , т.е. в виде , и соответствующим выбором матрицы .

Реализация управлений (1.2.1) наталкивается на проблему решения уравнения Гамильтона-Якоби-Айзекса, а именно нахождения вектора , удовлетворяющего скалярному уравнению в частных производных (1.2.2). Одной из возможностей нахождения необходимого управления с применением уравнения (1.2.2) является метод, построенный на аппроксимации этого уравнения рядом Тейлора вокруг точки равновесия. Но его минус состоит в том, что метод, сформировавшийся на представлении неравенства с частными производными с использованием аппроксимации возле точки равновесия, не дает возможности получить более общие решения.



2. Метод вязкого решения в задаче синтеза управлений

2.1 Состояние проблемы

Предложим, что метод поиска вектора , основанный на применении метода алгоритмического конструирования. Прежде всего, следует отметить, что уравнение Гамильтона-Якоби-Айзекса (1.2.2) определяет динамическое соответствие вектор-функции вектору состояния системы . Другими словами, это уравнение в каждый момент времени ставит в соответствие функцию , определяющую управление, состоянию системы .

Определим функцию (1.1.4) в виде

, (2.1.1)

где функция определяется решением уравнения

. (2.1.2)

Не трудно видеть, что .

Таким образом, исходная система (1.1.1) с управлениями

, , (2.1.3)

принимает вид

(2.1.4)

Благодаря прогрессированию выпуклого и негладкого анализа в 1970-е гг. стало возможным применение к исследованию обобщенных решений уравнений в частных производных новейших результатов и методов, опирающихся на обобщенные понятия дифференцируемости. В начале 1980-х гг. М. Крэндалл и П.Л. Лионс ввели понятие вязкостного решения (viscosity solution). Положим одно из равносильных определений вязкостного решения.

Определение. Верхним вязкостным решением уравнения

(2.1.5)

называют непрерывную функцию , удовлетворяющую следующему условию: если разность функций достигает локального минимума в точке и в этой точке функция дифференцируема, тогда должно быть выполнено неравенство

(2.1.6)

Нижним вязкостным решением уравнения (2.1.5) называют непрерывную функцию , удовлетворяющую следующему условию: если разность функций достигает локального максимума в точке и в этой точке функция дифференцируема, тогда должно быть выполнено неравенство

(2.1.7)



Вязкостным решением называют функцию, которая одновременно является верхним и нижним решением, т.е. при выполнении следующего условия (2.1.5) или

(2.1.8)

2.2 Алгоритм нахождения вязкого решения

Для построения алгоритма перевода системы из состояния (2.1.6) или (2.1.7) в состояние, при котором выполняется условие (2.1.5), введем функцию Ляпунова

(2.2.1)

Условие асимптотической устойчивости при таком назначении функции Ляпунова имеет вид

. (2.2.2)

Назначим как

(2.2.3)

Для поиска начальных условий алгоритма введем дополнительное предположение относительно правой части уравнения исходной системы (1.1.1).

Будем полагать, что условие есть точка равновесия системы при так, что и.

При этом используется метод «расширенной» линеаризации, исходная нелинейная система (1.1.1) может быть представлена в виде наблюдаемой и управляемой модели системы

(2.2.4)

Как известно, такое представление исходной системы в общем случае не является единственным, но в этой работе вопрос о выборе подходящей модели вида (2.2.4) не рассматривается. Предполагается лишь, что пары и управляемы, а пара ? наблюдаема при всех .

Определим вектор-функцию в виде

. (2.2.5)

Тогда, заменяя вектор-функцию в уравнении Гамильтона-Якоби-Айзекса (1.2.2) на , получим

,

откуда получаем уравнение Риккати с параметрами, зависящими от состояния [6], [7],

. (2.2.6)

Управления (1.2.1) и система (1.3.2) соответственно с учетом (2.2.5) имеют вид

, ,

Находя решение уравнения (2.2.6) при , т.е. алгебраического уравнения типа Риккати с матрицами , содержащими постоянные параметры и матрицами и , при которых матрица , по крайней мере, положительно полуопределенная, определяем начальные условия для как

, (2.2.7)

где положительно определенная матрица отыскивается при решении алгебраического уравнения Риккати с постоянными параметрами

. (2.2.8)

Для определения условия, при выполнении которых алгоритм обеспечит задачу управления, вернемся к рассмотрению условия (2.2.2). Подставляя (2.2.3) в (2.2.2), будем иметь

. (2.2.9)



Таким образом, алгоритм

в задаче стабилизации нелинейного неопределенного объекта может обеспечить эффективное действие управлений , если выполняется условие (2.2.9).

Компонуя полученные результаты, получим: управляемая система

представимая в виде

с управлениями , где есть решение уравнения

и положительно определенная матрица есть решение уравнения Риккати в котором матрица , по крайней мере, положительно полуопределенная, асимптотические устойчива, если выполняется условие

. (*)

Однако,

. (**)

Учитывая (*) и (**) получим

.

Отсюда следует, что назначая соответственным образом С можно обеспечить выполнение неравенства.

Метод вязкого решения основан на применении алгоритмического конструирования, т.е. на использовании конструкции алгоритмов оптимизации требующихся условий оптимальности. Метод может быть использован для решения задач, в которых встречаются нелинейные уравнения первого порядка в частных производных (уравнений Гамильтона - Якоби, Беллмана, Айзекса).



3. Использование метода вязкого решения в задаче поддержания иммунитета

3.1 Математическая модель иммунитета

Постановка математической задачи требует отыскания количественных характеристик для состояния здоровья, которые дадут возможность сформулировать эту задачу в качестве количественного выражения. В случае заражения иммунитета (ВИЧ) таким количественным показателем служит содержание Т-клеток в крови. Задача поддержания жизни зараженного пациента состоит в том, чтобы держать количество Т-клеток в определенных рамках, при которых иммунная система может продолжать бороться с вирусом.

Рассматривается нижеуказанная математическая модель динамики иммунной системы ВИЧ-инфицированного человека:

(3.1.1)

(3.1.2)

(3.1.3)

(3.1.4)

(3.1.6)

в которой - плотность незараженных CD4 T-клеток (Т-helper), - плотность зараженных CD4 Т-клеток (Т-helper), - совокупность хелпер-независимых Т-клеток (Т-killers), - совокупность клеток-предшественников (потомков), - совокупность хелпер-зависимых Т-клеток (Т-killers) [11].

В уравнении (3.1.1) - собственная скорость незараженных CD4 Т-клеток, время жизни которых . Когда вирус поступает в кровь, CD4 Т-клетки подвергаются инфицированию со скоростью . Реакция иммунной системы т.е. ответ организма на введение вирусов, классифицируется на первичную и вторичную (3.1.1-3.1.4).

Первичная реакция, не зависит от помощи Т-helper клеток и провоцирует рост и развитие Т-killer клеток (), которые способны вычислять и убивать зараженные вирусом клетки. Хелпер-независимые Т-клетки не в состоянии осуществлять контроль над инфекцией в долгосрочной перспективе и не эффективны в противодействие, так как не могут формировать клеток-памяти. Они поддерживаются исключительно посредством антигенных стимуляций. Хелпер-зависимые Т-клетки () наоборот, способны воздействовать на инфекцию и дифференцироваться в клетки-памяти, которые, в свою очередь, могут быть многократно активированы при последующем воздействии антигена. Численность хелпер-зависимых Т-клеток стимулируется CD4 Т-клетками при вторичном иммунном ответе организма. Плотность клеток-предшественников () при взаимодействии с антигеном стремительно возрастает со скоростью и преобразуется в Т-killers со скоростью . При отсутствии антигенной активности клетки предшественники умирают со скоростью .

Зараженные клетки (в уравнении (3.1.2)) умирают естественным образом со скоростью , либо клетки-киллеры убивают их со скоростями и , соответствующие хелпер-независимым и хелпер-зависимым Т-клеткам. Существование хелпер-зависимых Т-клеток способствует вымиранию хелпер-независимых, так как они могут уменьшать вирусную нагрузку до низкого уровня, но обратное не верно.

Хелпер-независимые Т-клетки () из уравнения (3.1.3) приумножаются в ответ на антигенное воздействие со скоростью и погибают в его отсутствии со скоростью , а хелпер-зависимые Т-клетки - со скоростью .



Значение параметров для уравнений (3.1.1-3.1.5)

Параметры	Значение, мин-1	Параметры	Значение, мин-1
	1		0,03
	0,1		0,06
	1		0,5
	0,2		0,1
	1		0,01
	1		0,1

Функция лечения показывает влияние на систему медикаментозных препаратов , где - предельное воздействие препарата (в данной задаче ), а - порция вводимого препарата. Задача управления заключается в увеличении жизни пациента с помощью подачи в его организм оптимального количества препарата для уничтожения вирусов.

Для достижения выбранной цели, то есть для построения управляющих воздействий (лечение) при возмущающих воздействиях (вирус) будем использовать теорию гарантирующего управления [8]. Разбираемая задача является антагонистической игрой Т-клеток и вирусов. Ее структурная схема будет выглядеть следующим образом:



3.2 Синтез управления

Приведем математическую модель (3.1.1-3.1.5) к виду системы с параметрами, зависящими от состояния:

(3.2.1)

для которой

Так как управляющее воздействие и возмущение записаны в виде

, ,

матрица будет определяться решением алгебраического уравнения Рикатти (2.2.8) с заданными весовыми матрицами:



Производя вычисления в пакете MatLab получаем:

Используя встроенный оператор lqr, вычислим матрицы и . Матрица такая, что .

Для существования решения дифференциальной игры, матрица

должна быть, по крайней мере, положительно полуопределена: .

Получив матрицу , находим начальные условия для :

.

Рассмотрим «больного» на первой стадии, когда концентрация вируса очень высока, он размножается и разносится по всему организму, а количество CD4 T клеток резко уменьшается. Начальные условия для этого случая будут следующими:

Как видно на графике, количество зараженных клеток быстро увеличилось, однако через некоторое время процесс стабилизируется. Иммунная система возьмет под контроль заболевание и начнет активно вырабатывать CD4 T клетки, которые будут бороться с вирусом. Но, несмотря на это, вирусные клетки все равно будут доминировать, это приведет к снижению иммунитета и, как следствие, смертельному исходу.

Если начать лечение, то можно заметно уменьшить численность вирусных клеток и привести систему в условие длительного непрогрессора.



На графике показано постепенное увеличение, а в последствие преобладание CD4 T клеток и снижение клеток вируса. При продолжении лечения система переходит в хроническое состояние, при котором CD4 T-клетки преобладают и не дают вирусу «нападать» на иммунную систему, а сдерживают его на низком уровне.

Поскольку данная задача поддержания жизни ВИЧ-инфицированных больных представлена в виде антагонистической игры «CD4 T-клетки - вирус» и для ее решения применяется стратегия гарантированного управления, необходимо смоделировать поведение динамической модели. Предложенное управление должно выводить систему из критического состояния [10]. Для этого установим следующие начальные условия:

Данный график демонстрирует состояние пациента, иммунная система которого сильно истощена. Система пытается сопротивляться вирусами самостоятельно, однако их плотность слишком велика т.к. наша модель является прообразом ВИЧ-положительного больного, находящегося в кризисном положении.

Теперь рассмотрим поведение данной модели при существовании управляющих воздействий. В данном случае гарантированное управление должно быть способно не только выводить систему из кризисного состояния, но и своевременно справляться с поступающими на нее противодействующими возмущениями.

График показывает, что при наличии активных управляющих воздействий система благополучно справляется с критичными начальными условиями и переводит систему в непрогрессирующее состояние.

Таким образом, математическое моделирование динамики ВИЧ-инфекции от времени с управлениями, полученные при использовании метода, описанного в Главе 2, подтверждают продуктивность гарантированных управлений для разнообразных состояний иммунной системы.



4. Математическое моделирование



Заключение

Принимая по внимания предыдущие модели исследования, была построена собственная модель, демонстрирующая нелинейную динамику CD4 T-клеток и вирусов в крови инфицированного человека. Для поиска гарантирующих управлений был предложен метод вязкостного решения, в основе которого лежит алгоритмическое конструирование. Полученные с помощью данного метода математические модели, показали свою эффективность в решении конкретной задачи управления иммунной системой человека, а именно управлением концентрации инфицированных и неинфицированных клеток.



Список литературы

1. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. - М.: Высшая школа, 2003. - 616 с.

2. Афанасьев В.Н. Управление неопределенными динамическими объектами. - М.: Наука, 2008. 208 с.

3. Афанасьев В.Н. Концепция гарантированного управления в задачах управления неопределенным объектом // Изв. РАН. ТиСУ. 2010. №1. С. 24-31.

4. Афанасьев В.Н. Управление нелинейными объектами с параметрами, зависящими от состояния. // АиТ. 2011. №4. С. 43-56.

5. Афанасьев В.Н. Управление нелинейными объектами с параметрами, зависящими от состояния. // АиТ. 2011. №4. С. 43-56.

6. Mracek C.P. and J.R. Cloutier. Full envelope missile longitudinal autopilot design using the state-dependent Riccati equation method. In: Proc. of the AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, New Orleans LA, 1997. 1697-1705 P.

7. Mrasek C.P., Clouter J.R. Control design for the nonlinear benchmark problem via sdre method // Int. J. of Robust and Nonlinear Control. 1998. 8. 401-433 P.

8. Величенко В.В., Притыкин Д.А. Нелинейные процессы динамики СПИДа. Математические методы оптимизации стратегий лечения // Тр. второй междунар. конф. «Устойчивость и управление для нелинейных трансформирующихся систем» / М., 2000. - С. 88-107.

9. Величенко В.В., Притыкин Д.А. Социология, информатика и динамика ВИЧ-инфицированной системы человека и оптимальные стратегии лечения // Тр. XII Байкальской междунар. конф. - Иркутск., 2001.- Том 6. С. 110-117.

10. H. Chang and A. Astolfi. Immune response's enhancement via controlled drug scheduling // Proc. of Conference on Decision and Control. - 2007.- Р.3919-3924.

Размещено на Allbest.ru

...