Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

В 60-е - 70-е годы ХХ столетия, после краха колониальной системы и появления нового политико-экономического полюса - «третьего мира», резко увеличились товарные потоки и расширилась география стран-экспортёров нефти. В результате того, что всё большее число стран интегрировались в мировую экономику, в рамках международного разделения труда сформировался новый тип национальных экономических систем - экономика с экспортно-сырьевой ориентацией. Отличительной особенностью данного типа экономики является преобладающая доля сырья и продукции «низкой степени передела» в общей структуре товарного экспорта при преобладающей доле последнего в ВВП страны.

Экспортно-сырьевая ориентация, особенно в части поставки углеводородов, является доминирующей у достаточно большого числа стран, в первую очередь - у государств, входящих в ОПЕК. В настоящее время (2015) в ОПЕК (The Organization of the Petroleum Exporting Countries) входят 12 стран: Иран, Ирак, Кувейт, Саудовская Аравия, Венесуэла, Катар, Ливия, Объединенные Арабские Эмираты, Алжир, Нигерия, Эквадор и Ангола. Причём, членами ОПЕК могут стать только страны, в значительных масштабах экспортирующие сырую нефть.

Россия занимает одно из ведущих мест в мире по экспорту нефти, а на долю топливно-энергетического комплекса приходится до 30% бюджетных поступлений и промышленного производства. Недаром из 27 крупнейших российских компаний, вошедших в глобальный ежегодный рейтинг 2000 крупнейших публичных компаний мира, составленный американским журналом Forbes, 6 - компании, связанные с добычей углеводородов: «Газпром», «Роснефть», «Лукойл», «Сургутнефтегаз», «Транснефть» и «Татнефть».

В задаче прогнозирования добычи и цены нефти нельзя игнорировать огромное влияние политических, макроэкономических и геологических факторов. Анализ динамики цены нефти на миром рынке в ХХ веке показывает, что все основные потрясения были вызваны в первую очередь политическими и макроэкономическими факторами [1]. Долгосрочные же прогнозы даже ведущих международных организаций, как показывают некоторые исследования, могут показывать отклонения до 140% при прогнозе на 10 и до 350% при прогнозе на 15 лет [2]. Помимо этого, многие эксперты сходятся во мнении, что в связи с уменьшением запасов «легкой» нефти ключевым фактором в ближайшем будущем станет геологический [3]. Для минимизации воздействия вышеперечисленных факторов, в данной работе прогноз будет строится на 12 месяцев.

В данной работе будет проведен анализ объемов добычи сырой нефти странами ОПЕК, Европейского союза и международного энергетического агентства в период с января 2007 по декабрь 2014 года по данным Energy Information Administration. Практическая часть работы выполнена при помощи программы STATISTICA 10.0

Провести статистический анализ объемов добычи и цены на нефть. Используя прикладную программу STATISTICA построить прогноз методами экспоненциального сглаживания и АРПСС, сравнить точность прогнозов. Проверить зависимость цены нефти марки Brent от объемов добычи.

Процесс прогнозирования временных рядов подразумевает использование той или иной модели прогнозирования для составления прогнозов, основывающихся на известных (предшествующих им) данных. Все наблюдения временного ряда упорядочены по времени и этот порядок имеет значение. Существует огромное количество различных моделей прогнозирования или стохастических моделей: от простых регрессионных до моделей на нейронных сетях и нечеткой логике, но в данной работе будут использованы модели экспоненциального сглаживания (Exponential Smoothing) и модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего (Autoregressive integrated moving average, ARIMA) или АРПСС.

1. Временные ряды

мультипликативный нефть прогнозирование спектральный

Набор упорядоченных по времени величин {x1, x2, …, xn}, отображающий значение параметра в моменты ,, …, называется временным рядом. В случае, если вероятностные характеристики ряда постоянны (не зависят от времени), ряд называется стационарным. Если хотя бы одна характеристика непостоянна, ряд называется нестационарным. Оценка изменения значения величины x в момент … называется прогнозированием. В случае, если одновременно фиксируются несколько значений параметров говорят о многомерных временных рядах, а если вместо дискретного используется непрерывное изменение времени - о случайных процессах.

Временные ряды постоянно встречаются в самых разных областях человеческой деятельности и требуют применения особых методов исследования, поэтому задача анализа временных рядов образует самостоятельную область статистики. Обилие методов анализа обусловлено тем, что возникающие в различных областях деятельности временные ряды имеют различную природу, а, следовательно, требуют различного подхода к анализу. В данной работе все временные ряды относятся к одномерным временным рядам с дискретным временем. Для анализа временных рядов воспользуемся книгой Г.И. Ивченко и Ю.И. Медведева «Математическая статистика» [6]

Целями анализа временных рядов являются:

· Описание особенностей ряда.

· Подбор статистической модели для анализа временного ряда.

· Прогнозирование значений ряда.



2. Тенденции временных рядов

Тренд - основная тенденция изменения временного ряда, т.е. это постепенный сдвиг вверх или вниз уровня ряда или тенденция значений ряда расти или уменьшаться со временем.

Тренды бывают двух типов: линейные и нелинейные.

Линейный тренд обычно представляется в виде функции вида:

Где:

t - это номер периода (например, номер года, месяца и т.п.),

y - Последовательность значений, подлежащая анализу,

- выборочный наклон,

- сдвиг.

Нелинейные тренды обычно представлены следующими моделями:

Полиномиальный тренд: ;

Логарифмический тренд: ;

Логистический тренд:

Аддитивная и мультипликативная сезонность.

Сезонный цикл - это структура временного ряда с многократными предсказуемыми повторами. Сезонные циклы привязаны к интервалу исследуемого временного ряда.

Большая часть временных рядов содержат сезонную составляющую, которая, в свою очередь, может быть аддитивной или мультипликативной. В случае аддитивной модели, временной ряд представляется в виде:



= , где:

- трендовая компонента ряда,

- сезонная компонента ряда,

- случайная ошибка.

В случае мультипликативной модели, временной ряд представляется в виде:

=

Описание методов.

При описании методов прогнозирование в программе STATISTICA воспользуемся книгой В.П. Боровикова «Искусство анализа данных на STATISTICA» [4] и книгой В.П. Боровикова и Г.И. Ивченко «Прогнозирование в системе STATISTICA в среде Windows».

Экспоненциальное сглаживание.

Методы экспоненциального сглаживания служат для сглаживания наблюдаемого ряда. В методах могут быть учтены различные виды трендов и сезонности.

Экспоненциальное сглаживание - метод прогнозирования временных рядов, разработанный в 60-х годах независимо Р. Брауном и Ч. Хольтом.

Как Браун, так и Хольт разрабатывали методы прогнозирования по заказам военных ведомств США. Работы обоих получили широкое распространение, начиная от алгоритмов наведения торпед и заканчивая прогнозированием потребностей тех или иных подразделений в запчастях и горючем.

Метод экспоненциального сглаживания является одним из наиболее простых и распространенных методов прогнозирования временных рядов и при этом может показывать хорошие результаты. Модель простейшего экспоненциального сглаживания может быть представлена в виде:

= , где

- сглаженный ряд;

- значение временного ряда в момент t;

- параметр сглаживания, отвечающий за сглаживание уровня ряда.

Каждое новое значение ряда (прогноз) вычисляется как взвешенное среднее сглаженного ряда и текущего наблюдения. Результат применения модели зависит от параметра б, меняющего значения от 0 до 1 (если б принимает значение 0, то игнорируются текущие наблюдения Xt, если 1, то предыдущие St-1). Таким образом учитывается устаревание данных наблюдений.

2. Типы моделей экспоненциального сглаживания

Рис. 1. Типы моделей экспоненциального сглаживания

1. Простая

Простейшая модель экспоненциального сглаживания, описанная выше. Применима к рядам, в которых отсутствует тренд и сезонность. В модель входит единственный параметр б, отвечающий за сглаживание уровня ряда. Данная модель экспоненциального сглаживания ближе всего к модели АРПСС с параметрами (0,1,1).

2. Простая с аддитивной сезонностью.

Более сложная модель, предназначенная для рядов без тренда и с аддитивной сезонностью. Параметры б и д отвечают за сглаживание уровня ряда и сезонной составляющей соответственно.

3. Простая с мультипликативной сезонностью.

Аналогична предыдущей модели, за исключением мультипликативного характера сезонности.

4. Линейный тренд Хольта.

Модель, предназначенная для рядов с трендом линейного типа и без сезонности. В модель входят параметры б и г, отвечающие за сглаживание уровня ряда и тренда соответственно. Модель ближе всего к модели АРПСС с параметрами (0,2,2).

5. Аддитивная Винтера.

Модель предназначена для рядов с линейным трендом и аддитивной сезонностью. Параметры б, г, д отвечают за сглаживание уровня ряда, тренда и сезонности соответственно.

6. Мультипликативная Винтера.

Используется для рядов с линейным трендом и мультипликативной сезонностью. Параметры аналогичны предыдущей модели.

7. Экспоненциальная.

Модель применяется для рядов с экспоненциальным трендом без сезонности. Параметры аналогичны модели Хольта.

8. Экспоненциальная с аддитивной сезонностью.

Модель для рядов с экспоненциальным трендом и аддитивной сезонностью. Параметры аналогичны аддитивной модели Винтера

9. Экспоненциальная с мультипликативной сезонностью.

Модель для рядов с экспоненциальным трендом и мультипликативной сезонность. Параметры аналогичны мультипликативной модели Винтера

10. Демпфированный тренд. Модель, предназначенная для рядов с затухающим трендом и без сезонности. Параметры б, г и ц отвечают за сглаживание уровня ряда, тренда и скорости затухания ряда соответственно. Модель ближе всего к модели АРПСС с параметрами (1,1,2).

11. Демпфированный тренд с аддитивной сезонностью.

Модель для рядов с затухающим трендом и аддитивной сезонностью. Параметры б, д, ц отвечают за сглаживание уровня ряда, сезонности и скорости затухания.

12. Демпфированный тренд с мультипликативной сезонностью.

Модель для рядов с затухающим трендом и мультипликативной сезонностью. Параметры аналогичны предыдущей модели.

Выбор значения параметров

Оптимальным вариантом выбора параметров является определение лучшего значения по данным. Чаще всего параметр сглаживания ищется с помощью поиска по сетке. Для этого используется сетка значений от 0,1 до 0,9 с шагом 0,1 Лучшим значением параметра называется то, для которого минимальна та или иная мера ошибок, в зависимости от особенностей ряда и предпочтений аналитика.

Оценка прогноза

Самой простой мерой оценки точности прогноза является визуальная проверка, то есть построение графика наблюдений и прогнозов. Помимо этого, существует несколько различных мер ошибок, которые можно использовать для нахождения значения параметров:

· Средняя ошибка (ME - Mean Error).

· Средняя абсолютная ошибка (MAE - Mean Absolute Error).



· Сумма квадратов ошибок (SSE).

· Среднеквадратическая ошибка (MSE - Mean Squared Error).

· Относительная ошибка (ОО).

· Средняя относительная ошибка (СОО).

· Средняя абсолютная относительная ошибка (САОО).

В данной работе для оценки точности прогноза будет использоваться средняя абсолютная относительная ошибка.

Спектральный анализ.

Основным методом моделирования сезонных колебаний является спектральный анализ (Фурье-анализ). С помощью спектрального анализа определяется максимальное отклонение от тренда временного ряда, что и позволяет найти сезонный лаг.

Смысл спектрального анализа заключается в том, что временной ряд представляется в виде совокупности различных по частоте и амплитуде синусоид и косинусоид. Каждая синусоида (или косинусоида), полученная в результате разложения Фурье, называется спектральной составляющей или гармоникой. Спектральные составляющие образуют спектр Фурье. Длина волны чаще всего выражается количеством циклов в единицу времени, то есть частотой.

Для достижения цели спектрального анализа - разложения ряда на синусоиды и косинусоиды - нужно решить задачу множественной регрессии, в которой независимыми переменными будут функции всех возможных частот, а зависимой - исходный временной ряд. Данная модель может быть записана следующим образом:

где и случайные величины, а длина волны функции синуса или косинуса.

Анализ периодограммы.

Периодограмма - главный инструмент исследования сезонности временного ряда. Периодограмма анализирует временной ряд и ищет циклические зависимости. Таким образом периодограмма представляет собой график зависимости амплитуды спектра от периода или частоты. Низкая частота колебаний характерна для гладких рядов. Равномерное распределение отклонений по всем частотам будет означать «белый шум».

АРПСС (Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего, ARIMA).

Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего

Модель была разработана в 70-х годах Д. Боксом и Г. Дженкинсом, но, несмотря на то, что вначале модель была принята с энтузиазмом, она на тот момент не получила широкого распространения в мире бизнеса. Причиной этому послужило как то, что сама процедура прогнозирования была достаточно сложной и длительной, так и то, что по данным нескольких независимых исследований экспоненциальное сглаживание показывало лучшие результаты в 55% случаев. Это, однако, не означает, что модель АРПСС плоха, ведь в 45% случаев она все же оказывалась более точной, что показывает предпочтительность использования разных методов для разных задач.

Общая модель, предложенная Боксом и Дженкинсом, как понятно из названия, включает в себя как параметры авторегрессии, так и параметры скользящего среднего. Существует три типа параметров: p - параметр авторегрессии, d - параметр разности, q - параметр скользящего среднего.

Процесс авторегрессии. Большая часть временных рядов содержат элементы, последовательно зависящие друг от друга. Такую зависимость можно выразить следующим уравнением:

Где:

о - константа,

- параметры авторегрессии,

е - случайное воздействие.

Каждое наблюдение представляет собой сумму случайной компоненты (е) и линейной комбинации предыдущих наблюдений.

Процесс скользящего среднего. В отличие от процесса авторегрессии, в процессе скользящего среднего каждый последующий элемент ряда подвержен суммарному воздействию предыдущих ошибок. В общем виде это можно записать следующим образом:

Где:

м - константа,

- параметры скользящего среднего

- случайное воздействие.

Таким образом, текущее наблюдение ряда представляет собой сумму линейной комбинации случайных воздействий в предыдущие моменты времени и случайной компоненты () в данный момент.

Идентификация. Для использования модели АРПСС необходимым условием является стационарность ряда. В случае, если ряд не удовлетворяет этому условию, необходимо брать разности ряда до тех пор, пока он не станет стационарным. Число разностей, необходимое для достижения стационарности, определяется параметром d. Число параметров авторегрессии и скользящего среднего определяются значениями p и q.

Оценивание и прогнозирование. Во время оценивания порядка модели используется так называемый квазиньютоновский алгоритм максимизации правдоподобия наблюдения значений ряда по значениям параметров. Для этого требуется вычислить суммы квадратов остатков модели. Полученные оценки параметров используются на последнем этапе (Прогнозирование) для того, чтобы вычислить новые значения ряда и построить доверительный интервал для прогноза.

Сезонные модели. Мультипликативная сезонная АРПСС представляет собой развитие обычной модели АРПСС, необходимое для прогнозирования рядов, в которых имеется периодическая сезонная компонента. Помимо стандартных для модели АРПСС несезонных параметров p, d, q, в модель вводятся сезонные параметры ps, ds, qs: сезонная авторегрессия, сезонная разность и сезонное скользящее среднее соответственно. Таким образом, полный набор параметров АРПСС может быть записан как (p, d, q) (ps, ds, qs).

3. Макрос перебора моделей АРПСС

Для построения хорошей АРПСС приходится вручную перебрать несколько наиболее перспективных моделей. Логично автоматизировать эту процедуру, воспользовавшись макросом, перебирающим модели и выделяющим подходящие на основе выбранной оценки качества.

Для каждой перебираемой модели макрос проводит следующие действия:

1. резервирует под тестовое множество, указанное пользователем количество наблюдений (тестовое множество используется исключительно для оценки качества прогноза, который даёт исследуемая модель);

2. оценивает коэффициенты модели;

3. строит прогноз вперёд на выбранное пользователем число наблюдений;

4. сравнивает значения, полученные в результате прогноза, с наблюдаемыми значениями, используя тестовое множество. Выводится два вида ошибок:

§ средняя абсолютная: ;

§ средняя относительная: .

Где - i-ое наблюдаемое значение (из тестового множества),

- i-ое предсказанное значение,

- количество наблюдений в тестовом множестве.

В результирующей таблице каждый столбец соответствует некоторой модели. По строкам отложены следующие величины:

§ количество оцениваемых параметров в АРПСС модели;

§ использованные преобразования временного ряда;

§ величины средней абсолютной и относительной ошибок;

§ прогнозируемые значения.

Практическая часть.

Анализ и прогнозирование объемов добычи нефти.

Исходные данные (Приложение 1) представляют собой четыре временных ряда, три из которых состоят из значений среднесуточных объемов добычи нефти в странах, входящих в соответствующую организацию, а четвертый - среднюю цену сырой нефти марки brent в соответствующий момент времени. Первые наблюдения соответствует январю 2007 года, последние - декабрю 2014.

Построим графики значений анализируемых рядов, это поможет выбрать модель экспоненциального сглаживания.

Рис. 2. График значений EU-27



Рис. 3. График значений IEA

Рис. 4. График значений OPEC

Проведем спектральный анализ анализируемых рядов для выявления сезонного лага.



Рис. 5. Результаты спектрального анализа EU-27

Отчетливо видна ярко выраженная сезонность с частотой 12.

Рис. 6. Результаты спектрального анализа IEA

Сезонность с частотой 12 менее ярко выражена, но присутствует и в ряде IEA.

Рис. 7. Результаты спектрального анализа OPEC

Присутствуют сезонности с частотами 48, 24, 16, 12. Несмотря на то, что лучше всего приближают ряд частоты 48 и 24, мы не можем ими воспользоваться из-за недостаточного количества данных для анализа (для проверки сезонности необходимо, чтобы исследуемый ряд содержал наблюдений не менее чем на пять сезонных циклов), поэтому принимаем сезонность 16.

Приступим к процессу экспоненциального сглаживания. Воспользуемся поиском по сетке для определения параметров модели.

Таблица 1. Подбор параметров по сетке



В качестве критерия выберем среднюю абсолютную относительную ошибку (последний столбец). Лучшая модель обладает параметрами б=0,2; д=0,1; г=0,1.

Построим график полученных результатов.

Рис. 8. Результат экспоненциального сглаживания

На результирующем графике хорошо видна сезонность ряда. Прогноз на 12 наблюдений построен. Остатки не превышают 12% значений ряда.

Аналогично проведем исследование ряда IEA.

Экспоненциальное сглаживание IEA.



Таблица 2. Подбор параметров по сетке

Лучшая модель обладает параметрами б=0,5; д=0,1; г=0,1.

Рис. 8. Результат экспоненциального сглаживания.

Прогноз на 12 наблюдений построен. Остатки не превышают 8% значений ряда.

Аналогично проведем исследование ряда OPEC.

Экспоненциальное сглаживание OPEC.



Таблица 3. Подбор параметров по сетке

Лучшая модель обладает параметрами б=0,9; д=0,1.

Рис. 10 Результат экспоненциального сглаживания OPEC

Прогноз на 12 наблюдений построен. Остатки не превышают 6% значений ряда.

Воспользуемся макросом для перебора моделей АРПСС и найдем лучшие модели для каждого ряда.

Параметры наилучшей модели для ряда EU-27: (0; 1; 0) (2; 1; 1). Сезонный лаг 12.



Рис. 11. Результат применения модели АРПСС EU-27

Параметры наилучшей модели для ряда IEA: (0; 1; 0) (0; 1; 2). Сезонный лаг 12.

Рис. 12. Результат применения модели АРПСС IEA



Параметры наилучшей модели для ряда OPEC: (0; 1; 0) (2; 1; 2). Сезонный лаг 16.

Рис. 13. Результат применения модели АРПСС OPEC

В качестве критерия точности прогноза возьмем среднюю абсолютную относительную ошибку на тестовом периоде (наблюдения 85-96).

Таблица 4. Ошибки (Средние абсолютные относительные) на тестовом периоде

	EU-27 ЭС	EU-27 АРПСС	IEA ЭС	IEA АРПСС	OPEC ЭС	OPEC АРПСС
ошибка	0,029861	0,035167	0,008492	0,031597	0,005868	0,009536

Во всех случаях метод экспоненциального сглаживания показал большую точность, чем метод АРПСС.

Анализ и прогнозирование цен на нефть марки Brent.

По аналогии с анализом объемов добычи проведем анализ цен на сырую нефть марки Brent. Построим график значений временного ряда и воспользуемся функцией множественной регрессии для поиска корреляций между всеми доступными нам временными рядами.



Рис. 14. График значений Brent

Таблица 5. Множественная Регрессия. Поиск корреляций

	Средние	Ст.откл.	EU-27	IEA	OPEC	Brent-price
EU-27	2287,75	376,099	1,000000	-0,725362	-0,601735	-0,580109
IEA	19289,72	1693,626	-0,725362	1,000000	0,369482	0,332322
OPEC	36006,07	940,642	-0,601735	0,369482	1,000000	0,707444
Brent-price	92,61	22,492	-0,580109	0,332322	0,707444	1,000000

Анализ корреляций показывает, что не существует прямой корреляции между объемами добычи и ценой нефти, что может объяснятся в первую очередь тем, что на цену нефти сильное влияние оказывают политические причины, такие как информация о нефтяных запасах США, нестабильная ситуация на Ближнем Востоке и прочее. Из-за отсутствия достаточного уровня корреляции, для прогнозирования цен может быть использован только временной ряд brent-price.



Рис. 15 Результат спектрального анализа Brent

Периодограмма показывает сезонности с частотами 48, 32, 16, 12, однако, как и в случае с рядом OPEC, для выбора сезонностей 48 и 32 ряд содержит недостаточное число наблюдений. Выбираем сезонность 16.

Таблица 6. Поиск параметров экспоненциального сглаживания по сетке



Лучшая модель обладает параметрами б=0,9; д=0,1.

Рис. 15 Результат экспоненциального сглаживания Brent

Прогноз на 12 наблюдений построен. Остатки не превышают 8% значений ряда.

Проведем исследование ряда Brent методом АРПСС. Параметры наилучшей модели: (2; 1; 1) (1; 1; 2). Сезонный лаг 16.

Рис. 16. Результат применения АРПСС Brent



Очевидно, что построенная модель АРПСС не смогла спрогнозировать резкий спад, начинающийся с 90 го наблюдения.

Таблица 7. Ошибки на тестовом множестве Brent

	Brent ЭС	Brent АРПСС
ошибка	0,029861	0,035167



Заключение

Работа была выполнена по данным из открытых источников агентства Energy Information Administration. Целью работы было провести статистическое исследование, составить прогноз объемов добычи и цены нефти методами экспоненциального сглаживания и АРПСС и сравнить точность прогнозов. В ходе решения поставленной задачи был проведен анализ временных рядов с использованием методов спектрального анализа, экспоненциального сглаживания и авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего, установлено, что на данных временных рядах метод скользящего среднего стабильно показывает лучшие результаты, так как во всех прогнозах средние абсолютные относительные ошибки экспоненциального сглаживания были меньше, чем ошибки модели АРПСС. При помощи метода множественной регрессии было доказано отсутствие прямой связи между ценой нефти марки Brent и объемами добычи нефти, что объясняется тем, что на цену нефти влияет множество политических факторов, которые затрудняют процесс прогнозирования.



Список использованных источников

1. К.М. Рылова. Моделирование процесса ценообразования на мировом нефтяном рынке. 2014.

2. М.М. Козеняшева. Особенности прогнозирования цен на нефть в современных условиях. Мировая экономика и международное право. 2010.

3. А.Н. Соколов. Прогноз цены на нефть до 2020 года. // Электронный научный журнал Нефтегазовое дело №4, 2012.

4. В.П. Боровиков. Искусство анализа данных на STATISTICA. СПб: Питер, 2005.

5. В.П. Боровиков, Г.И. Ивченко. Прогнозирование в системе STATISTICA в среде Windows. Финансы и Статистика. Второе издание. CПб: Питер, 2003.

6. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М: Высшая школа, 1984.

Размещено на Allbest.ru

...