Теория и практика планирования эксперимента

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по курсу «Теория и практика планирования эксперимента»

Введение

Теоретический анализ технологического объекта раскрывает физическую картину процесса, но далеко не всегда дает результаты, которые бы нас устраивали бы на практике. В этом случаю приходится прибегать к эксперименту, при этом возникает задача минимизации числа опытов. В этом случае наиболее подходящей стратегией является стратегия многофакторного планирования эксперимента позволяющая получать полиноминальные математические модели, которые затем могут быть использованы для определения оптимальных параметров работы технологического объекта.

С учетом выше сказанного, в рамках реализации активного эксперимента и обработки его результатов обосновываются выбор выходного параметра и факторов для многофакторного технологического эксперимента.

Задание к контрольной работе

Цели контрольной работы:

Изучить основные положения теории планирования экспериментов

Решить конкретную задачу планирования и обработки данных эксперимента, содержательно интерпретировать полученные результаты

Задание:

Был проведен полный факторный эксперимент по исследованию влияния входных факторов на отклик (реакцию) системы (вариант 05 задания). Необходимо построить математическую модель, описывающую зависимость отклика системы от набора входных факторов, оценить адекватность построенной модели исходным данным.

эксперимент многофакторный отклик модель

Описание системы

Компьютер задействован в управлении технологическим оборудованием. Для контроля состояния оборудования каждые 20 минут запускается одна из трех типов задач. Через каждый 5 минут работы процессора каждая задача выводит результаты работы в базу данных. При обращении двух и более задач в базе данных (БД) образуется очередь, которая обслуживается по правилу FIFO.

Компьютер работает в мультипрограммном режиме и во время выполнения операций вывода в БД процессор может выполнять другую задачу, если она загружена в память. После последнего вывода в БД задача выгружается из памяти и завершает свою работу. Количественные данные характеристик системы приведены в таблицах.

Входные факторы и их уровни варьирования приведены в таблице 1, где принято (вариант 5):

X1 - объем памяти, выделенный для решения задачи первого типа (Кб),

X2 - время обработки задачи первого типа (сек),

X3 - время вывода задачи первого типа в БД (сек),

X4 - общий объем памяти, выделенный для решения задач (Кб).

Таблица 1.

Факторы	Нижний уровень, -1	Верхний уровень, +1	Диапазон варьирования I
X1, Кбайт	100	300	100
X2, сек.	10	20	5
X3 сек.	2	4	1
X4, Кбайт	600	1000	200

Таблица 2.

№	X1	X2	X3	X4	Отклик Y
					Опыт 1	Опыт 2
1	100	10	2	600	0,83	0,85
2	100	10	2	1000	0,6	0,62
3	100	10	4	600	0,82	0,84
4	100	20	2	600	0,95	0,96
5	100	10	4	1000	0,63	0,64
6	100	20	2	1000	0,95	0,96
7	100	20	4	600	0,95	0,96
8	100	20	4	1000	0,96	0,97
9	300	10	2	600	0,89	0,9
10	300	10	2	1000	0,69	0,7
11	300	10	4	600	0,89	0,9
12	300	20	2	600	0,95	0,96
13	300	10	4	1000	0,72	0,73
14	300	20	2	1000	0,96	0,97
15	300	20	4	600	0,95	0,96
16	300	20	4	1000	0,95	0,96

В качестве выходного параметра, или отклика Y принят коэффициент загрузки памяти kз.

Получение многофакторной регрессионной модели.

Данные активного эксперимента (таблица 2, взята из варианта 05 задания) показывают, что эксперимент проводился по матрице полного факторного эксперимента ПФЭ 24 с четырьмя факторами. Соответственно, количество строк в матрице равно:

n = 2m(1)

где m - количество факторов, равное 4.

В нашем случае m = 16. В формуле (1) число 2 означает, что варьирование факторов производится на двух уровнях - нижнем и верхнем. Эти уровни для всех факторов сведены в таблицу 1. В результате кодирования (нормирования) факторов их уровни получают значения: -1 для нижнего уровня и +1 для верхнего.

Матрица планирования ПФЭ 24 с кодированными значениями факторов имеет следующий вид (табл.3):

Таблица 3

В этой матрице обозначено Y1 и Y2 - две повторности выходного параметра, полученные при проведении эксперимента, т.к. в каждой точке полного факторного эксперимента было проведено по два дублирующих опыта.

Первая задача при математической обработке эксперимента с дублирующими опытами - определение средних значений и дисперсий выходного параметра Y в каждой строчке матрицы планирования. Средние находим по формуле (2), а дисперсию - по формуле (3).

(2)

(3)

В этих формулах j означает номер строки, u - номер повторности.

Результаты расчетов средних значений и дисперсий выходного параметра Y даны в таблице 4.

Таблица 4

Следующей задачей при обработке результатов факторного эксперимента является проверка однородности дисперсий.

Так как в данном эксперименте применялось равномерное дублирование опытов в строках матрицы, то для проверки однородности дисперсий используем критерий Кохрена. Критерий Кохрена рассчитывается по формуле (4), где обозначено: S2max - максимальная дисперсия из всех строк матрицы.

(4)

В таблице 4 находим: S2max = 2•10-4;

сумма дисперсий равна: = 1,4

Расчетное значение критерия Кохрена по формуле (4) равно:

Gp = 2•10-4/1,4•10-3 = 0,143

Сравниваем Gp с табличным значением критерия Gт , которое ищем при доверительной вероятности 0,95, количестве сравниваемых дисперсий 16 и числе степеней свободы при расчете дисперсии в каждой строке f = n-1 = 2 - 1 = 1: Gт = 0,47.

Так как Gp < Gт , то дисперсии однородны и теперь можно получить среднюю дисперсию эксперимента, называемую дисперсией воспроизводимости (формула 5 ).

(5)

В нашем случае Sy 2 = 1,4•10-3/16 = 8,75•10-5 - это дисперсия воспроизводимости.

Следующий этап обработки результатов эксперимента - расчет коэффициентов регрессии. Все коэффициенты в данном случае делятся на 3 вида [ 1 ]:

b0 - свободный член, вычисляется по формуле (6);

bi - коэффициенты, характеризующие линейные эффекты, вычисляется по формуле (7);

bil - коэффициенты, характеризующие парные эффекты взаимодействия факторов, вычисляется по формуле (8).

(6)

(7)

(8)

Расчеты коэффициентов регрессии даются ниже (подставляем значение 1/N = 1/16 = 0,0625).

b0 = =0,0625•(0,84+0,61+0,83+0,955+0,635+0,955+0,955+0,965+0,895+0,695+0,895+0,955

+0,725+0,965+0,95+0,955) = 0,0625•13,78 = 0,861

b1 = 0,0625(?0,84?0,61?0,83?0,955?0,635?0,955?0,955?0,965+0,895+0,695+0,895+0,955+0,725+

+0,965+0,95+0,955) = 0,0625•0,29 = 0,018

b2 = 0,0625(?0,84?0,61?0,83+0,955?0,635+0,955+0,955+0,965?0,895?0,695?0,895+0,955?

? 0,725+0,965+0,95+0,955) = 0,0625•1,53 = 0,096

b3=0,0625•(?0,84?0,61+0,83?0,955+0,635?0,955+0,955+0,965?0,895?0,695+0,895?

?0,955+0,725?0,965+0,95+0,955) = 0,0625•0,04 = 2,5•10-3

b4 = 0,0625•(?0,84+0,61?0,83?0,955+0,635+0,955?0,955+0,965?0,895+0,695?0,895?0,955+

+0,725+0,965?0,95+0,955) = 0,0625•(- 0,77) = - 0,048

b12 =0,0625•(0,84+0,61+0,83?0,955+0,635?0,955?0,955?0,965?0,895?0,695?0,895+0,955?

?0,725+0,965+0,95+0,955) = 0,0625•(-0,3) = ? 0,019

b13 = 0,0625•(0,84+0,61?0,83+0,955?0,635+0,955?0,955?0,965?0,895?0,695+0,895?0,955+

+0,725?0,965+0,95+0,955) = 0,0625•(-10-2) = ?6,25•10-4

b14 = 0,0625•(0,84?0,61+0,83+0,955?0,6350,955+0,955?0,965?0,895+0,695?0,895?0,955 ?

?0,725+0,965?0,95+0,955) = 0,0625•0,06 = 3,75•10-3

b23 = =0,0625•(0,84+0,61?0,83?0,955?0,635?0,955+0,955+0,965+0,895+0,695?0,895?0,955 -

?0,725?0,965+0,95+0,955) = 0,0625•(- 0,05)= ?3,12•10-3

b24 = 0,0625•(0,84?0,61+0,83?0,955?0,635+0,955?0,955+0,965+0,895?0,695+0,895?0,955?

?0,725+0,965?0,95+0,955) = 0,0625•0,82 = 0,051

b34 = 0,0625•(0,84?0,61?0,83+0,955+0,635?0,955?0,955+0,965+0,895?0,695?0,895+0,955

+0,725?0,965?0,95+0,955) = 0,0625•0,07 = 4,38•10-3

Найденные коэффициенты регрессии необходимо проверить на значимость.

Для проверки значимости коэффициентов используется критерий Стьюдента [ 2 ]:

(9)

Где S{bj} - среднеквадратическое отклонение (корень из дисперсии) коэффициента bj.

Для расчета дисперсии коэффициентов регрессии ПФЭ используют формулу:

(10)

В нашем случае S2{bi} = 0,0625•0,5•8,75•10-5 = 2,734•10-6

S{bi} = 1,654•10-3

Соответственно, по формуле (9) получаем расчетные значения критерия Стьюдента для всех коэффициентов:

Далее, меняя в предыдущем выражении числитель, равный модулю соответствующего коэффициента, находим:

tp{b1} = 10,96

tp{b2} = 57,83

tp{b3} = 1,51

tp{b4} = 29,103

tp{b12} = 11,339

tp{b13} = 0,38

tp{b14} = 2,268

tp{b23} = 1,89

tp{b24} = 30,99

tp{b34} = 2,646

В таблицах [ ] находим табличное значение критерия Стьюдента при уровне значимости

б = 0,05 и числе степеней свободы f = N(m-1) = 16: tT = 2,12.

Те коэффициенты, для которых tp < tT являются незначимыми и их можно отбросить.

Незначимые коэффициенты: b3, b13, b23 .

Причинами незначимости может быть малый интервал варьирования фактора Х3 или его слабое влияние на исследуемый процесс.

Регрессионная модель со значимыми коэффициентами имеет следующий вид:

Yp = 0,861+ 0,018X1 + 0,096X2 - 0,048X4 - 0,019X12 +0,0038X14+ 0,051X24

+0,051X24+0,0044X34

Следующая операция - проверка адекватности модели. Для этого сначала найдем дисперсию адекватности [4]:

(11)

где kзн - количество значимых коэффициентов.

Для подсчета суммы в числителе формулы (11) составим таблицу 5.

Таблица 5

Подсчитывая сумму строк правого столбца, находим сумму квадратов отклонений расчетных значений Y от экспериментальных, и затем делим эту сумму на число степеней свободы (формула 11):

Для проверки адекватности регрессионной модели используем критерий Фишера:

(12)

Критерий Фишера равен:

Табличное значение критерия Фишера равно при доверительной вероятности РД = 0,95; числе степеней свободы большей дисперсии f ад = 10 и меньшей дисперсии воспроизводимости f = N(m-1)=16 [ 2 ]: FT = 2,591; Так как FР < FT , гипотеза об адекватности модели не отвергается.

Анализ полученных результатов.

Полученная в результате математической обработки эксперимента, проведенного по матрице ПФЭ 24 модель имеет вид:

Yp = 0,861+ 0,018X1 + 0,096X2 - 0,048X4 - 0,019X12 +0,0038X14+ 0,051X24

+0,051X24+0,0044X34

В этой модели учтены только значимые коэффициенты регрессии, модель - адекватная.

По абсолютной величине коэффициентов можно сказать, что наибольшее влияние на исследуемый процесс оказывает фактор Х2, то есть время обработки задачи первого типа.

Причем с увеличением данного фактора увеличивается выходной параметр Y - коэффициент загрузки памяти kз.

На втором месте по степени влияния на Y стоит фактор Х4, или общий объем памяти, выделенный для решения задач. С увеличением этого фактора коэффициент загрузки памяти kз уменьшается, т.к. коэффициент при Х4 имеет отрицательный знак.

Фактор Х1 (объем памяти, выделенный для решения задачи первого типа) - на третьем месте по степени влияния на Y, причем эта степень влияния заметно меньше, чем у факторов Х4 и особенно, чем у Х2.

Фактор Х3 почти не влияет на выходной параметр (линейный коэффициент при Х3 - незначимый), хотя некоторое влияние он оказывает через эффект парного взаимодействия X34.

Данный анализ показывает, что для управления исследуемым процессом с целью изменения коэффициента загрузки памяти kз следует искать оптимальные значения фактора Х2, то есть времени обработки задачи первого типа и фактора Х4 (общий объем памяти). Управление процессом посредством фактора Х1 (объема памяти, выделенной для решения задачи первого типа) - менее эффективно. Фактор Х3 (время вывода задачи первого типа в БД) учитывать нецелесообразно.

Для числового анализа рассмотрим трехмерные графики Y(X1,X2) - рис. 1 и Y(X2,X4) - рис. 2.

Рис.1

Рис.2

На рис.1 изображен график поверхности Y(X1,X2) при X3 = X4 =0. Из рисунка видно, что максимальное значение Y достигается при X1 = X2 = 1, то есть при объеме памяти, выделенный для решения задачи первого типа, равном 300 кБ, а времени обработки задачи первого типа 20 сек. При этом kз = 0,956. Если же при верхнем значении X1 уменьшить X2 до нижнего уровня (время решения 10 сек), то Y немного уменьшится до kз = 0,8.

Рисунок 2 иллюстрирует влияние на Y факторов X2 и X4 при X1 = X3 =0. Максимальное значение Y получается при значениях X2 и X4 на верхних уровнях, т.к. при этом kз = 0,96.

Заключение

Проведение активных экспериментов с использованием теории планирования эксперимента - эффективный метод исследования различных процессов. Поскольку варьирование всеми факторами осуществляется одновременно в соответствии с матрицей планирования ПФЭ24, в регрессионной модели получаются, кроме линейных эффектов, также и эффекты парного взаимодействия.

Получаемая в результате математической обработки регрессионная модель позволяет не только прогнозировать поведение объекта исследования при различных сочетаниях значений факторов, но и находить оптимальные значения факторов.

Полученная в данной работе модель является адекватной, что доказывается с помощью критерия Фишера.

Полученная модель позволяет найти наилучшие значения факторов, соответствующие максимальному значению коэффициента загрузки памяти kз = 0,967. Эти наилучшие значения факторов находятся на верхних уровнях, или:

объем памяти, выделенный для решения задачи первого типа 300 кБайт,

время обработки задачи первого типа 20 сек,

общий объем памяти 1000 Кбайт,

Время вывода задачи первого типа в БД практически не влияет на kз.

Список литературы

1. Порсев Е. Г. Организация и планирование экспериментов : учебное пособие / Е. Г. Порсев ; Новосиб. гос. техн. ун-т. - Новосибирск, 2010. - 152, [2] с. : ил., табл.

2. Сидняев Н. И. Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных : учебное пособие [для вузов по специальности "Прикладная математика"] / Н. И. Сидняев. - М., 2011. - 399 с. : ил., табл., схемы - Рекомендовано УМО.

3. Ермаков С. М. Математическая теория оптимального эксперимента : учебное пособие для вузов по специальности "Прикладная математика" / С. М. Ермаков, А. А. Жиглявский; предисл. Г. И. Марчука. - М., 1987. - 318, [1] с. : ил. - Рекомендовано МО.

4. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. - М.: «Финансы и статистика», 1983. - 471 с.

5. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. Классика CS . 3-е изд. - СПб.: Питер; Киев: 2004. - 847 с.

Размещено на Allbest.ru

...