Самоподобие на фондовой бирже

Размещено на http://www.allbest.ru/

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение города Новосибирска «Информационно-экономический лицей»

Секция математики

Самоподобие на фондовой бирже

Выполнили: Палицина Елизавета Сергеевна,

Анисимова Екатерина Александровна

Руководитель: аспирант НГТУ

Прокопьева Татьяна Викторовна,

Новосибирск, 2014/2015



Содержание

Введение

Глава 1. Самоподобные структуры

1.1 Самоподобие как объект

1.2 Самоподобие на фондовой бирже

Глава 2. Применение фрактальных моделей

2.1 Шумы: белый, розовый, коричневый и черный

2.2 Самоподобные тенденции на фондовой бирже

2.3 Фрактальные модели и разливы Нила

Глава 3. Исследование тенденций на фондовой бирже с помощью различных математических моделей

Заключение

Список используемой литературы

Приложения



Введение

Понятие фрактал было впервые введено Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Слово образовано от латинского слова fractus - состоящий из фрагментов. С математической точки зрения фрактальный объект, прежде всего, обладает дробной (нецелой) размерностью. Известно, что точка имеет размерность, равную нулю. Отрезок прямой и окружность, характеризующиеся протяженностью (длиной), имеют размерность, равную единице. Круг и сфера, характеризующиеся площадью, имеют размерность два. Для описания множества с размерностью 1.5 требуется нечто среднее между длиной и площадью.

Важное свойство, которым обладают почти все фракталы - свойство самоподобия (масштабная инвариантность). Фрактал можно разбить на сколь угодно малые части так, что каждая часть окажется просто уменьшенной частью целого. Другими словами, если посмотреть на фрактал в микроскоп, то мы увидим ту же самую картинку, что и без микроскопа. Природа создавала фракталы на протяжении миллионов лет.

В математике, самоподобный объект в точности или приближённо совпадает с частью себя самого (т.е. целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). Многие объекты реального мира, например, береговые линии, обладают свойством статистического самоподобия: их части статистически однородны в разных шкалах измерения. Самоподобие есть характеристическое свойство фрактала.

Цель: Исследовать тенденции на фондовой бирже с помощью различных математических моделей, найти применение рассмотренных моделей в других областях.

Задачи:

• Изучить самоподобные структуры и «возмущения»; охарактеризовать cамоподобие как объект, самоподобие на фондовой бирже

• Дать общую характеристику белого, розового, коричневого и черного шумов, рассмотреть применение фрактальных моделей: самоподобные тенденции на фондовой бирже, фрактальные модели и разливы Нила.

• тенденции на фондовой бирже с помощью различных математических моделей, найти применение рассмотренных моделей в других областях



Глава 1. Самоподобные структуры

1.1 Самоподобие как объект

Самоподобный объект -- объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого (то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). Многие объекты реального мира, например, береговые линии, обладают свойством статистического самоподобия: их части статистически однородны в разных шкалах измерения. При статистическом самоподобии, масштабную инвариантность демонстрируют статистические законы, управляющие поведением объекта. Сам объект может изменяться под действием преобразования подобия, но его вероятностные аспекты остаются теми же.

Самоподобие есть характеристическое свойство фрактала. Инвариантность относительно изменения шкалы является одной из форм самоподобия, при которой при любом приближении найдётся по крайней мере одна часть основной фигуры, подобная целой фигуре.

Во многих ситуациях мы можем наблюдать лишь приближенное самоподобие: всегда возможны статистические или детерминированные «возмущения». Например, основанная на еще одном хорошо известном представлении в виде бесконечного произведения последовательность

где f_k определяется через рекурсию. Рекурсия (от лат. recursio - возвращение) - это такой способ организации вычислительного процесса, при котором процедура или функция в ходе выполнения составляющих ее операторов обращается сама к себе. Самоподобна только в пределе при n> ?. При n =1,2,3,4,… получаем s_n = 0, 070482; 0,01662; 0,004109; 0,0001024;…коэффициент подобия для членов этой последовательности стремится к 4.

Такие асимптотические самоподобия часто встречаются в рекурсивных вычислениях.

1.2 Самоподобие на фондовой бирже

Древние греки, игравшие на множестве струнных инструментов, обнаружили, что деление струны на две разные части дает приятный для слуха музыкальный интервал, ныне называемый октавой. Соответствующие отношение физических частот равно 2:1.

«Отсечение» одной трети струны дает другой приятно звучащий интервал, чистую квинту, с отношением частот 3:2.

Пифагорейцы задумались о том, можно ли получить целое число октав из одной лишь квинты путем повторного применения простого отношения частот 3/2. С математической точки зрения речь шла о решении уравнения в целых положительных числах n и m. В то же время из фундаментальной теоремы теории чисел известно, что никакая целая положительная степень числа 3 не может быть равна никакой целой положительной степени числа 2, т.е. уравнение 3ⁿ = 2^k не имеет решений ы целых числах при n>0.

Однако древних греков это не остановило, и они методом «проб и ошибок» нашли превосходное приближенное решение основанное на почти точном равенстве чисел 3^1/19 и 2^1/12 .

Cистематический подход к получению таких почти точных равенств сводится к записи отношения логарифмов двух целых оснований данного уравнения (в нашем случае, 2 и 3) в виде непрерывной дроби.

Непрерывные дроби обычно дают хорошие рациональные аппроксимации иррациональных чисел, например р ? 355/113. Это превосходное приближение к р, использующее не очень большие целые числа, было известно еще древним китайцам.

Обрывая вышеприведенную непрерывную дробь на пятом члене (как показано в примере), мы получаем дробь, дающую очень хорошее приближение для музыкальной квинты.



Глава 2. Применение фрактальных моделей

2.1 Шумы: белый, розовый, коричневый и черный

Среди многих областей, в которых используются самоподобные степенные законы, в такого рода моделях, как правило, используются статистические методы. В том числе простые однородные степенные законы вида f^-в применяются при определении спектров мощности (квадратов амплитуд преобразования Фурье), часто называемых шумами. Среди шумов широкой известностью пользуется белый шум со спектральным показателем в=0. Иначе говоря, спектр мощности белого шума не зависит от частоты. Белые спектры служат в высшей степени практической цели, позволяя моделировать бесчисленное множество процессов в широчайшем диапазоне научных дисциплин. К числу таких процессов принадлежат, в частности, инкременты Броуновского движения и разные другие инновационные процессы.

Проинтегрировав белый шум один раз по времени, мы получаем «коричневый» шум - нечто вроде проекции броуновского движения на одно пространственное измерение. Коричневый шум имеет спектр мощности, пропорциональный f^-2 , в довольно широком диапазоне частот.

Но белый и коричневый шумы далеко не исчерпывают все спектральные возможности: между ними располагается розовый шум со спектром f^-1 , а за коричневым спектром следует черный, пропорциональный f^-в , где в>2.

Оказывается, и розовый, и черный шумы распространены весьма широко. Розовые процессы возникают во многих физических ситуациях и находят удивительные эстетические применения в музыке и других видах искусств.

Черные спектры описывают развитие во времени многих естественных и противоестественных катастроф, таких как разливы рек, засухи, рынки с тенденцией к понижению курсов и различные аварийные ситуации - например, перебои в подаче электроэнергии.

2.2 Самоподобные тенденции на фондовой бирже

При покупке и продаже ценных бумаг и товаров в игру вступает самоподобие во многих масштабах. Лучшей иллюстрацией этому могут служить графики поминутных средних колебаний и графики ежедневных флуктуаций (см. приложения рис.1).

Разумеется, время от времени в данных колебаниях биржевого курса происходит нехарактерный скачок, такой, например, какой произошел в октябре 1987 г. (см. приложения рис.2), когда компьютеры, ведавшие торговыми операциями, вдруг впали в неистовство. Такие скачки цен, помимо прочего, называют «инновационными процессами».

Показатель Херста рассчитывается с помощью R/S анализа, где R - нормированный размах вариации, а S - стандартное отклонение. Формула для расчета выглядит следующим образом:

R/S = c nH

где с - константа, n - количество элементов выборки. Эмпирически Херст рассчитал, что константа с равна приблизительно 0,5. Но это не более чем допущение. Ученые, использующие R/S анализ, берут разные значения с. Вообще, как это будет показа-но ниже, константу можно вывести как свободный член уравнения регрессии. Отметим важную особенность: - размах вариации изменяет свой масштаб в зависимости от числа наблюдений по степенному закону. Изменение масштаба по степенному закону - это признак самоподобия и, как следствие, фрактальности временного ряда. Бенуа Мандельброт занялся исследованием степенных законов задолго до открытия и описания фракталов. Он связал одно с другим и по нашему мнению степенные законы стали для Мандельброта одной из ступеней, которая подвела его к фрактальной геометрии. К сожалению, фрактальные модели финансовых рынков не были завершены им при жизни (Мандельброт скончался в 2010 году).

При рассмотрении биржевых курсов в первом приближении можно счесть, что их реальные уровни складываются под влиянием независимых превращений. Получившийся в результате «ценовой шум» обладает спектром мощности, обратно пропорциональным квадрату частоты. Такие случайные процессы часто называют броуновскими (или коричневыми) шумами из-за их сходства с броуновским движением - хаотическим мельтешением взвешенных в воде частиц цветочной пыльцы, открытым под микроскопом шотландским ботаником Броуном.

2.3 Фрактальные модели и разливы Нила

Чтобы охарактеризовать черные процессы, нам потребуется новая мера расходимости. И такая мера была предложена Харольдом Эдвином Херстом (1900-1978) и Бенуа Мандельбротом.

Величина, о которой идет речь, называется нормированным размахом R/S и по существу представляет собой размах R (Дt) данных на временном интервале Дt. Для белого гауссова шума отношение R/S при больших Дt стремится к постоянной. В некотором смысле и R, и S служат мерой размаха данных, но R «рассматривает» данные линейно, а S - после возведения в квадрат. Для некоторых процессов нормированный размах R/S не дает новой информации и асимптотически стремится к постоянной, т.е. пропорционален Дt⁰. Однако в случае многочисленных геофизических записей, относящихся к разливам рек, и множества других, столь же мрачных, данных отношение R/S ведет себя иначе. самоподобие биржа фрактал математический

Степенные законы активно применяются в исследованиях природных социальных процессов.

Одним из пионеров исследования степенных законов стал британский гидролог Гарольд Эдвин Херст. Начиная с 1906 года, он работал над новым статистическим методом анализа временных рядов. Перед Херстом стояла задача изучения разливов Нила с целью строительства водохранилища такого объема, чтобы в засушливые годы население не нуждалась в воде. Для этого ему следовало изучить динамику приливов и отливов Нила за долгие годы и обнаружить в ней какую-либо периодичность.

Расход воды Нила изменялся в очень широких пределах, при этом могло быть несколько засушливых и несколько дождливых периодов подряд.

Существующие на тот момент методы статистического анализа основывались на том, что временной ряд с большим количеством периодом является случайным и подчиняется гауссовскому закону нормального распределения. Исследуемые события должны быть независимыми друг от друга и иметь одинаковую вероятность. Если временной ряд не подчиняется нормальному закону, то существуют различные методы внесения в него корректировок, чтобы с некоторыми оговорками назвать его случайным и идентично распределенным. Проблема, которую рассматривал Херст, не допускала такой возможности с целью выявления какой-либо закономерности он исследовал данные о разливах Нила за 847 лет (древние египтяне вели такие записи).

Следует отметить, что проблемой периодичности разливов Нила озадачивался еще Геродот в 450 году до н.э. Согласно Геродоту, ни жрецы, ни ученые не могли объяснить эту периодичность. Херстом были обнаружены следующие циклы: за разливами выше среднего в следующем периоде следовали еще большие разливы. Когда направление менялось и наступал засушливый период, за ним следовали еще более засушливые. Мандельброт назвал подобное явление «эффект Иосифа», вспомнив библейскую притчу о семи благодатных и о семи засушливых годах. Согласно Мандельброту, данный эффект имеет место на финансовых рынках.

Помимо статистики разливов Нила Херст изучил еще 51 природное явление. Например, илистые отложения на дне озера, годовые кольца на деревьях.

И во всех этих явлениях он исследовал размах, то есть разницу между максимальным и минимальным значением.Для броуновской функции (спектр мощности которой пропорционален f^-2) величина R/S пропорциональна Дt^0,5 , что отражает кроющуюся за коричневыми процессами долговременную зависимость, называемую устойчивостью. Статистика колебаний уровня воды в Рейне вот уже на протяжении весьма долгого срока демонстрирует тенденцию к аналогичному поведению (см. приложения рис. 3)

Однако есть и другие реки, не такие смирные и ручные, как Рейн. Например, минимальные уровни воды в Ниле по записям за период с 622 по 1469 г. Образуют зависимость R/S~ Дt^0,9; показатель 0,9 отражает высокую степень устойчивости.



Глава 3. Исследование тенденций на фондовой бирже с помощью различных математических моделей

Частота -- физическая величина, характеристика периодического процесса, равна количеству повторений или возникновения событий (процессов) в единицу времени. Рассчитывается, как отношение количества повторений или возникновения событий (процессов) к промежутку времени, за которое они совершены.

Для данного исследования будем использовать формулу (2).

Примем следующие обозначения:

r - частота полутонов в октаве

12 - число частот или полутонов в октаве, где, m = ; n = k

Всегда существует некоторое значение k (формула 1), при котором решение данного уравнения имеет вид k?r/7?7r mod 12. Это означает, что треть октавы, например, или 2^1/3 (r=4, отношение частот ? 1,260), эквивалентна (по модулю октавы) k=4 квинтам (отношение частот ? 1,266).



Заключение

В процессе работы над проектом мы изучили самоподобные структуры и «возмущения»; охарактеризовали cамоподобие как объект, самоподобиена фондовой бирже, дали общую характеристику белого, розового, коричневого и черного шумов, рассмотрели применение фрактальных моделей: самоподобные тенденции на фондовой бирже, фрактальные модели и разливы Нила; исследовали фрагмент музыкального произведения И.С. Баха с помощью математической модели.

В результате, мы пришли к следующим выводам: чтобы на музыкальных инструментах с фиксированным набором тонов (например, фортепиано) можно было играть в различных тональностях, частоты этих тональностей должны выбираться из одного и того же основного набора частот, что подвигло И.С. Баха на разработку темперированного строя, основанного на полутоне с отношением частот 2^1/12. Музыкальный инструмент, настроенный в соответствии с темперированной гаммой, имеет, таким образом, частоты, близкие к следующим кратным самого низкого тона:

1,2^1/12,2^2/12,2^3/12,2^4/12,2^5/12,… и т.д.

Таким образом, можно видеть, что частоты хорошо темперированного инструмента образуют самоподобную последовательность с коэффициентом подобия 2^2/12.

В своем исследовании мы использовали проект ученицы 11класса ИЭЛ Старовойтовой Анны Петровны «Самоподобие и математические модели гармонии И.С.Баха»



Список используемой литературы

http://www.pascaler.ru/pascal/underprog/recursia/1/

http://school.xvatit.com/index

http://nvpminsk1.narod.ru/Doponitelnye_faily_I_K/Uchebn_programma/garmoni ja_v_muzike/garmonija_v_muzike.htm

http://www.musicfancy.net/ru/music-theory/harmony/88

http://gorstorehov.com/index.php?id=razdel2-oboznacheniya-tonika-subdominanta-i-dominanta

http://www.7not.ru/theory/05.phtml

http://www.minfin.gov.by/print/budgetary_policy/analytical_reports/2001/ac0ae6369a458846.html

Шредер М., Фракталы, хаос, степные законы. Ижевск: НИЦ «Регулярна и хаотическая динамика», 2001, 528 с.

Иоганн Себастьян Бах. Маленькие прелюдии и фуги / Гл. ред. В. Григоренко. Издательство «Кифара». М., 2002



Приложение 1

Рис.1 Кривая поминутных средних колебаний биржевого курса очень похожа на кривую ежедневных колебаний, поскольку процесс биржевого курса является самоаффинным.



Приложение 2

Рис. 2 «Обвал» рынка ценных бумаг в октябре 1987 г.



Приложение 3

Рис. 3 (А) Гидрологическая статистика по Рейну

(Б) Колебания минимального уровня воды в Ниле



Приложение 4

Основные индексы акций Московской Биржи

Последние данные 18:50:00

Краткое описание. Основные индексы Московской Биржи (Индекс ММВБ и Индекс РТС) представляют собой ценовые, взвешенные по рыночной капитализации (free-float) композитные индексы российского фондового рынка, включающие 50 наиболее ликвидных акций крупнейших и динамично развивающихся российских эмитентов, виды экономической деятельности которых относятся к основным секторам экономики, представленных в ЗАО "Фондовая биржа ММВБ".

Методикой расчета Индексов Московской Биржи предусмотрен четкий и прозрачный механизм формирования базы расчета индексов, в том числе включающий ежеквартальный пересмотр значений индексов. Отбор акций для включения в Индексы Московской Биржи осуществляется при участии Индексного комитета ЗАО "Фондовая биржа ММВБ" - совещательного органа, в состав которого входят ведущие аналитики российского финансового рынка и представители профессионального сообщества. Расчет Индекса ММВБ осуществляется на основе цен акций, выраженных в рублях Российской Федерации, а расчет Индекса РТС - на основе цен акций, выраженных в долларах США.

Индекс ММВБ является фондовым индексом, используемым в целях приостановления торгов акциями на Бирже в порядке, установленном Правилами проведения торгов по ценным бумагам в ЗАО "Фондовая биржа ММВБ", в случаях, предусмотренных Положением о деятельности по организации торговли на рынке ценных бумаг, утвержденным приказом ФСФР России от 28 декабря 2010 года N 10-78/пз-н (с изменениями и дополнениями).

ММВБ 10 - пожалуй, самый простой фондовый индекс России. Расчет происходит на основе цен десяти самых ликвидных акций, вращающихся на Московской межбанковской валютной бирже, а также восьми отраслевых и трех капитализационных индекса. Неофициальное название ММВБ 10 - «индекс голубых фишек». Является аналогом американского индекса Dow Jones Industrial Average, поскольку, также как и он, включает в себя только самые ликвидные акции, имеющие высокий уровень капитализации. Подходит, как опытным, так и начинающим инвесторам. Рассчитывается по рублевым ценам

Московская межбанковская валютная биржа -- российская универсальная биржа, существовавшая в период 1992--2011 годов, в декабре 2011 года объединилась с РТС в ММВБ-РТС (с 2012 года -- «Московская биржа»)

ММВБ: 5 ЛЕТ И 2 ГОДА

РТС: 1 МЕСЯЦ И 1 ГОД

РТС: 5 ЛЕТ И ВСЕ ВРЕМЯ

В процессе исследования мы обнаружили, что графические изображение имеет одинаковую форму, как при анализе показателей РТС за: 1 месяц и 1год; 5 лет и все время, так и при анализе ММВБ за: 2 года и 5 лет.

Размещено на Allbest.ru

...