Главная Коллекция "Revolution" Экономико-математическое моделирование Аппроксимация экспериментальных данных полиномиальным уравнением

Аппроксимация экспериментальных данных полиномиальным уравнением

Использование регрессионного анализа в физико-химических исследованиях. Обработка экспериментальных результатов методом наименьших квадратов. Определение коэффициентов уравнений регрессии при аппроксимации данных полиномами первой и второй степени.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 10.12.2015
Размер файла 417,9 K
рефераты на заказ со скидкой

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Цель работы: обработка экспериментальных результатов методом наименьших квадратов (МНК) и получение математического описания в виде уравнения регрессии.

регрессионный экспериментальный аппроксимация квадрат

Краткая теоретическая часть

Регрессионный анализ используется в физико-химических исследованиях, чтобы аппроксимировать экспериментальные данные полиномиальным уравнением, либо определить значения параметров математического описания модели.

3.1

Регрессионный анализ основан на аппроксимации зависимости у = f (х1, х2, ... , xn) полиномом вида:

Независимо от степени полинома он всегда может быть приведен к линейному виду

(3.2)

или, после ввода фиктивной переменной x0 = 1, к виду

(3.3)

Задачей регрессионного анализа является определение коэффициентов bj уравнения регрессии (3.2) по экспериментальным данным.

Коэффициенты уравнения регрессии (3.3) обычно рассчитывают методом наименьших квадратов (сокращенно МНК), который заключается в минимизации суммы квадратов отклонений экспериментальных значений функции у от рассчитанных по уравнению регрессии (3.3).

Выразим сумму квадратов отклонений экспериментальных значений у от рассчитанных по уравнению (3.3) в следующем виде:

(3.4)

где i ? номер опыта, j ? номер переменной xj.

Из условия существования минимума функции F следует, что неизвестные коэффициенты bj уравнения регрессии (3.3) можно найти, решив следующую систему нормальных уравнений

(3.5)

После подстановки уравнений (3.3) и (3.4) в уравнения (3.5), получают систему линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных коэффициентов bj.

Эту систему линейных уравнений обычно решают с помощью ЭВМ методом Гаусса.

Задание 1

На выходы бензина у1 (% мас.) и газа у2 (% мас.) при каталитическом крекинге влияют температура процесса х1 (t ? 440 °C), объемная скорость подачи сырья х2 (ч?1), кратность циркуляции катализатора х3 (кг/кг). Результаты экспериментов приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1 ? Результаты каталитического крекинга нефтяного сырья

№ опыта

x1=(t?440), ?C

x2, ч?1

х3, кг/кг

y1, % мас.

y2, % мас.

1

10,00

1,00

1,60

32,80

5,30

2

0,00

1,20

1,60

34,90

5,90

3

0,00

1,20

1,40

35,50

7,00

4

10,00

1,20

1,40

35,50

7,00

5

15,00

1,00

1,70

34,90

7,10

6

20,00

1,40

1,50

34,80

7,70

Используя инструмент «Регрессия» надстройки «Анализ данных» пакета Excel, определить:

а) коэффициенты уравнения регрессии y1= f (x1, x2, x3) и y2 = f (x1, x2, x3) 2?го порядка, не содержащего квадратичных членов;

б) коэффициенты уравнений регрессии 2?го порядка, например, y = f(x1, x2) и y1 = f(x2, x3). (Индивидуальные задания выдаются преподавателем).

в) определить относительную ошибку результатов расчета по полученному уравнению по сравнению с экспериментальными данными.

Результаты:

а) Уравнения регрессии y1= f (x1, x2, x3) и y2 = f (x1, x2, x3) 2?го порядка, не содержащего квадратичных членов:

y=b0 •x0+b1•x1+b2•x2+b3•x3+b4•x12+b5•x13

y1=-7,60+0,49•x1+18,58•x2-5,50•x3-1,03•x4+0,53•x5

y1=2,90+1,75•x1+30,60•x2-3,00•x3-1,76•x4+0,25•x5

Для y1

b0

-7,60

b1

0,49

b2

18,58

b3

-5,50

b4

-1,03

b5

0,53

Для y2:

b0

2,90

b1

1,75

b2

30,60

b3

-3,00

b4

-1,76

b5

0,25

№ опыта

x1=(t-440), ?C

x2, ч-1

х3, кг/кг

x1•x2

x1•x3

y1, % мас.

y2, % мас.

y1 расч

у2 расч

Погрешность у1,%

Погрешность у2,%

1

10,00

1,00

1,60

10

16

32,80

5,30

32,8

5,3

0

0

2

0,00

1,20

1,60

0

0

34,90

5,90

34,9

5,9

0

0

3

0,00

1,20

1,40

0

0

35,50

7,00

35,5

7,0

0

0

4

10,00

1,20

1,40

12

14

35,50

7,00

35,5

7,0

0

0

5

15,00

1,00

1,70

15

25,5

34,90

7,10

34,9

7,1

0

0

6

20,00

1,40

1,50

28

30

34,80

7,70

34,8

7,7

0

0

б) Уравнения регрессии 2?го порядка, например, y = f(x1, x2) и y1 = f(x2, x3).

Y1=b0• x0+b1•x1+b2•x2+b12•x1•x2+b11•x12+b22•x22

Y2=b0• x0+b2•x2+b3•x3+b23•x2•x3+b22•x22+b33•x32

Y1=12,07+2,68•x1+0•x2-2,18•x1•x2+0•x12+16,05•x222

Y2=-78,53+138,95•x1+0•x2+-75,16•x2•x3-7,14•x22+28,23•x32

Для Y1:

b0

12,07

b1

2,68

b2

0,00

b12

-2,18

b11

0,00

b22

16,05

№ опыта

x1=(t-440), ?C

x2, ч-1

x1•x2

х1•х1

х2•х2

y1, % мас.

У1расч

Погрешность, %

1

10,00

1,00

10

100

1,00

32,80

32,8

0,0

2

0,00

1,20

0

0

1,44

34,90

35,2

0,9

3

0,00

1,20

0

0

1,44

35,50

35,2

0,9

4

10,00

1,20

12

100

1,44

35,50

35,5

0,0

5

15,00

1,00

15

225

1,00

34,90

34,9

0,0

6

20,00

1,40

28

400

1,96

34,80

34,8

0,0

Для Y2:

b0

-78,53

b2

138,95

b3

0,00

b23

-75,16

b22

-7,14

b33

28,23

№ опыта

x2, ч-1

х3, кг/кг

х2•х3

х2•х2

х3•х3

y2, % мас.

У2расч

Погрешность, %

1

1,00

1,60

1,60

1,00

2,56

5,30

5,3

0

2

1,20

1,60

1,92

1,44

2,56

5,90

5,9

0

3

1,20

1,40

1,68

1,44

1,96

7,00

7,0

0

4

1,20

1,40

1,68

1,44

1,96

7,00

7,0

0

5

1,00

1,70

1,70

1,00

2,89

7,10

7,1

0

6

1,40

1,50

2,10

1,96

2,25

7,70

7,7

0

Задание 2

Экспериментальные данные зависимости молярной теплоемкости ацетилена от температуры при P=1 атм. приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2 ? Теплоемкость ацетилена в интервале температур от 300 до 1000 К .

T, K

300

400

500

600

700

800

900

1000

C°p, кал/моль•К

9,91

11,07

12,13

13,04

13,82

14,51

15,10

15,63

Используя инструмент «Регрессия» надстройки «Анализ данных» пакета Excel, определить:

а) определить коэффициенты уравнений регрессии при аппроксимации экспериментальных данных полиномами 1- й и 2?й степени;

б) построить в Excel зависимость Сор= f (T). На график нанести экспериментальные точки, а кривые провести в соответствии с полученными уравнениями регрессии. Сделать вывод о том, какой полином является наилучшим для аппроксимации экспериментальных данных.

Результаты:

А) Cpo=b0•x0+b1•x1=7,88+0,008•T

x0=1

x1=T

b0 =7,88

b1 =0,008

1-я степень

Т, К

С?р, калл/моль•К, эксп.

С?р, калл/моль•К, расч.

Погрешность, %

300

9,91

10,3

-4,07

400

11,07

11,1

-0,49

500

12,13

11,9

1,61

600

13,04

12,7

2,26

700

13,82

13,6

1,91

800

14,51

14,4

0,98

900

15,1

15,2

-0,52

1000

15,63

16,0

-2,30

Б) Cpo=b0•x0+b1•x1+ b2•x2=5,84+0,02•T+0•T2

x0=1

x1=T

x2=T2

b0 =5,84

b1 =0,02

b2 = 0,00

2-я степень

Т, К

Т2, К

С?р, калл/моль•К, эксп.

С?р, калл/моль•К, расч

Погрешность, %

300

90000

9,91

9,93

-0,17

400

160000

11,07

11,07

0,01

500

250000

12,13

12,10

0,24

600

360000

13,04

13,02

0,14

700

490000

13,82

13,83

-0,09

800

640000

14,51

14,53

-0,16

900

810000

15,10

15,12

-0,15

1000

1000000

15,63

15,60

0,17

Задание 3

Зависимость степени превращения (в % масс.) н? бутана в н?бутены и бутадиен?1,3 от температуры при давлении 0,17 атм представлена в таблице 3.3.

Таблица 3.3 ? Зависимость степени превращения н?бутана в н?бутены и бутадиен?1,3 от температуры.

Степень превращения, % масс.

t, °C

550

600

650

700

750

в н?бутены

68,5

64,5

49,5

31,0

17,5

в бутадиен

11,5

27,5

48,5

68,0

82,0

Используя инструмент «Регрессия» надстройки «Анализ данных» пакета Excel, определить:

а) коэффициенты уравнений регрессии 1?й, 2?й и 3?ей степени;

б) построить в Excel графики зависимости степени превращения бутана в н?бутены и в бутадиен: точки нанести в соответствии с экспериментом, кривые провести в соответствии с полученными уравнениями. Сделать вывод об адекватности уравнений.

в) рассчитать относительное отклонение расчетных данных от экспериментальных.

Результаты:

Y1=b0•x0+b1•x1=222,35-0,27•T

x0=1

x1=T

b0 =222,35

b1 =-2,27

1-я степень

Т, ?С

Степень превращения, % масс.

в н-бутены

в н-бутены

Погрешность, %

x1

y1 эксп.

y1 расч.

550

68,50

73,30

-7,01

600

64,50

59,75

7,36

650

49,50

46,20

6,67

700

31,00

32,65

-5,32

750

17,50

19,10

-9,14

Y1=b0•x0+b1•x1+ b2•x2=-46,04+0,56•T+0•T2

x0=1

x1=T

x2=T2

b0 =-46,04

b1 =0,56

b2 = 0,00

2-я степень

Т, ?С

Т, ?С

Степень превращения, % масс.

в н-бутены

в н-бутены

Погрешность, %

x1

x2=x12

y1 эксп.

y1 расч.

550

302500

68,50

70,09

-2,31

600

360000

64,50

61,36

4,87

650

422500

49,50

49,41

0,17

700

490000

31,00

34,26

-10,51

750

562500

17,50

15,89

9,22

Y1=b0•x0+b1•x1+ b2•x2+ b3•x3=-2916,44+13,99•T-0,02•T2+0•T3

x0=1

x1=T

x2=T2

x3=T3

b0 =-2916,44

b1 =13,99

b2 = -0,02

b3 = 0,00

3-я степень

Т, ?С

Т, ?С

Т, ?С

Степень превращения, % масс.

в н-бутены

в н-бутены

Погрешность, %

x1

x2=x12

x3=x13

y1 эксп.

y1 расч.

550

302500

166375000

68,50

68,49

0,02

600

360000

216000000

64,50

64,56

-0,09

650

422500

274625000

49,50

49,41

0,17

700

490000

343000000

31,00

31,06

-0,18

750

562500

421875000

17,50

17,49

0,08

Выводы

1) Чем больше экспериментальных данных, тем точнее можно определить коэффициенты уравнения регрессии и тем точнее будут данные полученные в ходе решения полученного уравнения.

2) Чем выше порядок уравнения, тем точнее данные полученные в ходе решения полученного уравнения (наглядно показано на графиках).

3) Если экспериментальных данных мало - увеличение степени уравнения увеличивает точность.

4) Чем больше коэффициент bn при переменных xn, тем сильнее зависимость Y от данного параметра.

Литература

В. А. Любименко, А. П. Семенов, В. М. Виноградов, В. А. Винокуров./Моделирование химико-технологических процессов: Методические указания к лабораторным работам по курсу «Моделирование химико-технологических процессов»/ М.: РИЦ РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, 2013. ? 67 c.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Уравнения линейной регрессии

    Параметры уравнения и экономическое толкование коэффициента линейной регрессии. Расчет коэффициентов детерминации и средних относительных ошибок аппроксимации. Построение структурной формы модели с использованием косвенного метода наименьших квадратов.

    контрольная работа [99,2 K], добавлен 27.04.2011

  • Статическая обработка результатов пластометрических исследований

    Приведение логарифмированием уравнения к линейному виду. Расчет средних значений арифметических переменных и коэффициентов регрессии. Определение средних квадратичных отклонений. Корреляционный анализ экспериментальных данных с помощью критерия Стьюдента.

    контрольная работа [312,7 K], добавлен 10.03.2015

  • Парный регрессионный и корреляционный анализ

    Построение поля рассеяния, его визуальный анализ. Определение точечных оценок параметров методом наименьших квадратов. Расчет относительной ошибки аппроксимации. Построение доверительных полос для уравнения регрессии при доверительной вероятности У.

    контрольная работа [304,0 K], добавлен 21.12.2013

  • Классический метод наименьших квадратов

    Оценка коэффициентов парной линейной регрессии, авторегрессионное преобразование. Трехшаговый и двухшаговый метод наименьших квадратов, его гипотеза и предпосылки. Системы одновременных уравнений в статистическом моделировании экономических ситуаций.

    курсовая работа [477,2 K], добавлен 05.12.2009

  • Классический метод наименьших квадратов

    Метод наименьших квадратов; регрессионный анализ для оценки неизвестных величин по результатам измерений. Приближённое представление заданной функции другими; обработка количественных результатов естественнонаучных опытов, технических данных, наблюдений.

    контрольная работа [382,4 K], добавлен 16.03.2011

  • Основы регрессионного анализа. Парная линейная регрессия

    Основные методы анализа линейной модели парной регрессии. Оценки неизвестных параметров для записанных уравнений парной регрессии по методу наименьших квадратов. Проверка значимости всех параметров модели (уравнения регрессии) по критерию Стьюдента.

    лабораторная работа [67,8 K], добавлен 26.12.2010

  • Эконометрическая модель для данных Вога

    Понятие модели множественной регрессии. Сущность метода наименьших квадратов, который используется для определения параметров уравнения множественной линейной регрессии. Оценка качества подгонки регрессионного уравнения к данным. Коэффициент детерминации.

    курсовая работа [449,1 K], добавлен 22.01.2015

  • Сглаживание экспериментальных данных методом скользящего среднего

    Разработка алгоритма на одном из алгоритмических языков для сглаживания экспериментальных данных с помощью маски простого скользящего среднего и маски взвешенного скользящего среднего. Масштабные коэффициенты для вывода графика. Результаты программы.

    лабораторная работа [268,7 K], добавлен 19.02.2014

  • Построение математических моделей экономических процессов методами регрессионного анализа

    Построение математической модели выбранного экономического явления методами регрессионного анализа. Линейная регрессионная модель. Выборочный коэффициент корреляции. Метод наименьших квадратов для модели множественной регрессии, статистические гипотезы.

    курсовая работа [1,1 M], добавлен 22.05.2015

  • Эконометрика

    Задачи на выявление зависимости между объемом продаж и расходами на рекламу методом парного корреляционно-регрессионного анализа. Построение поля корреляции. Использование для аппроксимации прямолинейной, параболической и логарифмической зависимости.

    контрольная работа [118,6 K], добавлен 11.12.2009

  • Коэффициент детерминации. Значимость уравнения регрессии

    Экономическая интерпретация коэффициента регрессии. Нахождение статочной суммы квадратов и оценка дисперсии остатков. Проверка значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. Расчет средней относительной ошибки аппроксимации.

    контрольная работа [261,1 K], добавлен 23.03.2010

  • Регрессионный анализ

    Анализ метода наименьших квадратов для парной регрессии, как метода оценивания параметров линейной регрессии. Рассмотрение линейного уравнения парной регрессии. Исследование множественной линейной регрессии. Изучение ошибок коэффициентов регрессии.

    контрольная работа [108,5 K], добавлен 28.03.2018

  • Планирование и организация эксперимента

    Проведение регрессионного анализа опытных данных в среде Excel. Построение графиков полиномиальной зависимости и обобщенной функции желательности Харрингтона. Определение дисперсии коэффициентов регрессии. Оценка частных откликов по шкале желательности.

    контрольная работа [375,6 K], добавлен 21.01.2014

  • Нелинейные регрессии

    Аппроксимация данных с учетом их статистических параметров. Математическая постановка задачи регрессии, ее принципы. Виды регрессии: линейная и нелинейная, полиномиальная. Сглаживание данных и предсказание зависимостей. Реализация задач в Mathcad.

    реферат [167,8 K], добавлен 12.04.2009

  • Определение коэффициентов корреляции и оценка адекватности регрессионной модели

    Определение методом регрессионного и корреляционного анализа линейных и нелинейных связей между показателями макроэкономического развития. Расчет среднего арифметического по столбцам таблицы. Определение коэффициента корреляции и уравнения регрессии.

    контрольная работа [4,2 M], добавлен 14.06.2014

  • Корреляционно-регрессионный анализ однофакторной стохастической связи

    Понятие корреляционной связи. Связь между качественными признаками на основе таблиц сопряженности. Показатели тесноты связи между двумя количественными признаками. Определение коэффициентов уравнения линейной регрессии методом наименьших квадратов.

    контрольная работа [418,7 K], добавлен 22.09.2010

  • Влияние площади торгового зала на товарооборот

    Расчет зависимости товарооборота за месяц. Параметры уравнения множественной регрессии, их оценка методом наименьших квадратов. Получение системы нормальных уравнений, ее решение по методу Крамера. Экономическая интерпретация параметров уравнения.

    контрольная работа [45,6 K], добавлен 13.04.2014

  • Множественная линейная регрессия

    Построение уравнения множественной регрессии в линейной форме, расчет интервальных оценок его коэффициентов. Создание поля корреляции, определение средней ошибки аппроксимации. Анализ статистической надежности показателей регрессионного моделирования.

    контрольная работа [179,4 K], добавлен 25.03.2014

  • Предпосылки метода наименьших квадратов, методы проверки

    Эффективная оценка по методу наименьших квадратов. Корелляционно-регрессионный анализ в эконометрическом моделировании. Временные ряды в эконометрических исследованиях. Моделирование тенденции временного ряда. Расчет коэффициента автокорреляции.

    контрольная работа [163,7 K], добавлен 19.06.2015

  • Построение эконометрических моделей

    Исследование зависимости сменной добычи угля на одного рабочего от мощности пласта путем построения уравнения парной линейной регрессии. Построение поля корреляции. Определение интервальных оценок заданных коэффициентов. Средняя ошибка аппроксимации.

    контрольная работа [2,1 M], добавлен 09.08.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены