Моделирование тенденции временного ряда

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство сельского хозяйства РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Пермская государственная сельскохозяйственная академия

имени академика Д. Н. Прянишникова

Кафедра финансов, кредита, экономической теории

Контрольная работа

по дисциплине «Эконометрика»

Моделирование тенденции временного ряда

Выполнила: студентка 3 курса

факультета заочного обучения направления «Экономика»,

Шифр Эбк-13-4723

Утева Мария Владимировна

Проверил преподаватель:

Тупицына Ольга Владимировна

Пермь 2015



Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Пусть имеются следующие фактические уровни ряда:

у₁, у₂, . . ., у_n.

Характер изменения этих уровней, то есть движения динамического ряда, может быть различным. Нашей задачей является нахождение такой простой математической формулы, которая давала бы возможность вычислить теоретические уровни. Основное требование, предъявляемое к этой формуле, состоит в том, что уровни, исчисленные по ней, должны воспроизводить общую тенденцию фактических уровней.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

· линейный тренд:

y_t = a₀ + a₁t;

· гипербола:

y_t =a₀ + a₁/t;

· экспоненциальный тренд:

y_t = e ^{a + bt} ;

· тренд в форме степенной функции:

y_t = at^b;

· парабола второго и более порядков:

y_t = a₀ + a₁t + a₂ t ² + . . . +a_k t ^k .

Аналитическое выравнивание есть не что иное, как удобный способ описания эмпирических данных.

Общие соображения при выборе типа линии, по которой производится аналитическое выравнивание, могут быть сведены к следующим:

1) Если абсолютные приросты уровней ряда по своей величине колеблются около постоянной величины, то математической функцией, уравнение которой можно принять за основу аналитического выравнивания, следует считать прямую линию:

y_t = a₀ + a₁ t,

где y_t считается как у, выровненный по t.

2) Если приросты приростов уровней, то есть ускорения, колеблются около постоянной величины, то за основу аналитического выравнивания, следует принять параболу второго порядка:

y_t = a₀ + a₁ t + a₂ t ².

Показатели а₀, а₁ и а₂ представляют собой в каждом отдельном случае выравнивания постоянные величины, называемые параметрами: а₀ -начальный уровень; а₁ - начальная скорость ряда и а₂ - ускорение или вторая скорость.

3) Если уровни изменяются с приблизительно постоянным относительным приростом, то выравнивание производится по показательной (экспонентной функции):

y_t = a₀ a₁^t.

В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путём сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанным по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни y_t и y _t -₁ тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

При обработке информации на компьютере выбор вида уравнения тенденции обычно осуществляется экспериментальным методом , то есть путём сравнения величины остаточной дисперсии D_ост, рассчитанной при разных моделях. Имеют место отклонения фактических данных от теоретических (у - у_t). Величина этих отклонений и лежит в основе расчёта остаточной дисперсии:

Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем лучше данное уравнение подходит к исходным данным.

По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.

2. Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.

7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости б=0,05.

Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Таблица 1

	Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс. руб., у	Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб.,
Респ. Башкортостан	461	912
Удмуртская Респ.	524	809
Курганская обл.	298	748
Оренбургская обл.	351	847
Пермский край	624	1087
Свердловская обл.	584	1074
Челябинская обл.	425	1008
Респ. Алтай	277	682
Алтайский край	321	697
Кемеровская обл.	573	1251

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи

Сопоставив имеющиеся данные х и у, например, ранжировав их в порядке возрастания фактора х, можно наблюдать наличие прямой зависимости между признаками, когда увеличение среднедушевого прожиточного минимума увеличивает среднедневную заработную плату. Исходя из этого, можно сделать предположение, что связь между признаками прямая и её можно описать уравнением прямой. Этот же вывод подтверждается и на основе графического анализа.

Рис. 1.1 Поле корреляции по данным таблицы

Анализ поля корреляции показывает наличие близкой к прямолинейной зависимости, так как точки расположены практически по прямой линии.

2. Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии

а) Для расчёта параметров уравнения линейной регрессии

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу.

Таблица 2

	x	y	x2	y2	x * y
Респ. Башкортостан	461	912	212521	831744	420432
Удмуртская Респ.	524	809	274576	654481	423916
Курганская обл.	298	748	88804	559504	222904
Оренбургская обл.	351	847	123201	717409	297297
Пермский край	624	1087	389376	1181569	678288
Свердловская обл.	584	1074	341056	1153476	627216
Челябинская обл.	425	1008	180625	1016064	428400
Респ. Алтай	277	682	76729	465124	188914
Алтайский край	321	697	103041	485809	223737
Кемеровская обл.	573	1251	328329	1565001	716823
Среднее значение	4438	9115	2118258	8630181	4227927

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 4438 b = 9115

4438 a + 2118258 b = 4227927

Домножим уравнение (1) системы на (-443.8), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-4438a -1969584.4 b = -4045237

4438 a + 2118258 b = 4227927

Получаем:

148673.6 b = 182690

Откуда b = 1.2288

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

10a + 4438 b = 9115

10a + 4438 * 1.2288 = 9115

10a = 3661.59

a = 366.1589

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 1.2288, a = 366.1589

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 1.2288 x + 366.1589

б) Для расчёта параметров уравнения степенной регрессии. Построению степенной модели

предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

,

Где

Таблица 3

	ln(x)	ln(y)	ln(x)2	ln(y)2	ln(x) * ln(y)
Респ. Башкортостан	2.66	2.96	7.1	8.76	7.88
Удмуртская Респ.	2.72	2.91	7.39	8.46	7.91
Курганская обл.	2.47	2.87	6.12	8.26	7.11
Оренбургская обл.	2.55	2.93	6.48	8.57	7.45
Пермский край	2.8	3.04	7.81	9.22	8.49
Свердловская обл.	2.77	3.03	7.65	9.19	8.39
Челябинская обл.	2.63	3	6.91	9.02	7.89
Респ. Алтай	2.44	2.83	5.97	8.03	6.92
Алтайский край	2.51	2.84	6.28	8.08	7.13
Кемеровская обл.	2.76	3.1	7.61	9.59	8.54
Среднее значение	26.3	29.51	69.32	87.18	77.71

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 26.3 b = 29.51

26.3 a + 69.32 b = 77.71

Домножим уравнение (1) системы на (-2.63), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-26.3a -69.17 b = -77.62

26.3 a + 69.32 b = 77.71

Получаем:

0.15 b = 0.0884

Откуда b = 0.583

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

10a + 26.3 b = 29.51

10a + 26.3 * 0.583 = 29.51

10a = 14.18

a = 1.4183

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.583, a = 1.4183

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 10^1.41825383x^0.583 = 26.19714x^0.583

в) Рассчитаем параметры уравнений экспоненциальной парной регрессии. Построению экспоненциальной модели

предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

,

Где

Таблица 4

	x	ln(y)	x2	ln(y)2	x * ln(y)
Респ. Башкортостан	461	2.96	212521	8.76	1364.56
Удмуртская Респ.	524	2.91	274576	8.46	1523.77
Курганская обл.	298	2.87	88804	8.26	856.42
Оренбургская обл.	351	2.93	123201	8.57	1027.69
Пермский край	624	3.04	389376	9.22	1894.61
Свердловская обл.	584	3.03	341056	9.19	1770.11
Челябинская обл.	425	3	180625	9.02	1276.47
Респ. Алтай	277	2.83	76729	8.03	784.96
Алтайский край	321	2.84	103041	8.08	912.68
Кемеровская обл.	573	3.1	328329	9.59	1774.73
Среднее значение	4438	29.51	2118258	87.18	13185.98

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 4438 b = 29.51

4438 a + 2118258 b = 13185.98

Домножим уравнение (1) системы на (-443.8), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-4438a -1969584.4 b = -13098.62

4438 a + 2118258 b = 13185.98

Получаем:

148673.6 b = 87.36

Откуда b = 0.000588

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

10a + 4438 b = 29.51

10a + 4438 * 0.000588 = 29.51

10a = 26.91

a = 2.6907

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000588, a = 2.6907

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 10^2.69070171e^0.000588x = 490.57082e^0.000588x

г) Рассчитаем параметры уравнений полулогарифмической парной регрессии. Построению полулогарифмической модели

предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем замены:

,

Где

Таблица 5

	ln(x)	y	ln(x)2	y2	ln(x) * y
Респ. Башкортостан	2.66	912	7.1	831744	2429.3
Удмуртская Респ.	2.72	809	7.39	654481	2199.94
Курганская обл.	2.47	748	6.12	559504	1850.71
Оренбургская обл.	2.55	847	6.48	717409	2155.88
Пермский край	2.8	1087	7.81	1181569	3038.37
Свердловская обл.	2.77	1074	7.65	1153476	2971.13
Челябинская обл.	2.63	1008	6.91	1016064	2649.42
Респ. Алтай	2.44	682	5.97	465124	1665.77
Алтайский край	2.51	697	6.28	485809	1747.03
Кемеровская обл.	2.76	1251	7.61	1565001	3450.45
Среднее значение	26.3	9115	69.32	8630181	24157.99

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 26.3 b = 9115

26.3 a + 69.32 b = 24157.99

Домножим уравнение (1) системы на (-2.63), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-26.3a -69.17 b = -23972.45

26.3 a + 69.32 b = 24157.99

Получаем:

0.15 b = 185.54

Откуда b = 1212.2516

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

10a + 26.3 b = 9115

10a + 26.3 * 1212.2516 = 9115

10a = -22767.22

a = -2276.6832

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 1212.2516, a = -2276.6832

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 1212.2516 ln(x) -2276.6832

д) Рассчитаем параметры уравнений обратной парной регрессии. Для оценки параметров приведем обратную модель

к линейному виду, заменив

,

Тогда

Таблица 6

	x	ln(y)	x2	ln(y)2	x * ln(y)
Респ. Башкортостан	461	2.96	212521	8.76	1364.56
Удмуртская Респ.	524	2.91	274576	8.46	1523.77
Курганская обл.	298	2.87	88804	8.26	856.42
Оренбургская обл.	351	2.93	123201	8.57	1027.69
Пермский край	624	3.04	389376	9.22	1894.61
Свердловская обл.	584	3.03	341056	9.19	1770.11
Челябинская обл.	425	3	180625	9.02	1276.47
Респ. Алтай	277	2.83	76729	8.03	784.96
Алтайский край	321	2.84	103041	8.08	912.68
Кемеровская обл.	573	3.1	328329	9.59	1774.73
Среднее значение	4438	29.51	2118258	87.18	13185.98

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 4438 b = 29.51

4438 a + 2118258 b = 13185.98

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000588, a = 2.6907

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 10^2.6907*10^0.000588x = 490.57082*1.00135^x

е) Рассчитаем параметры уравнений равносторонней гиперболы парной регрессии. Для оценки параметров приведем модель равносторонней гиперболы

к линейному виду, заменив

,

Тогда

Таблица 7

	1/x	y	1/x2	y2	y/x
Респ. Башкортостан	0.00217	912	5.0E-6	831744	1.98
Удмуртская Респ.	0.00191	809	4.0E-6	654481	1.54
Курганская обл.	0.00336	748	1.1E-5	559504	2.51
Оренбургская обл.	0.00285	847	8.0E-6	717409	2.41
Пермский край	0.0016	1087	3.0E-6	1181569	1.74
Свердловская обл.	0.00171	1074	3.0E-6	1153476	1.84
Челябинская обл.	0.00235	1008	6.0E-6	1016064	2.37
Респ. Алтай	0.00361	682	1.3E-5	465124	2.46
Алтайский край	0.00312	697	1.0E-5	485809	2.17
Кемеровская обл.	0.00175	1251	3.0E-6	1565001	2.18
Среднее значение	0.0244	9115	6.5E-5	8630181	21.21

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 0.0244 b = 9115

0.0244 a + 6.5E-5 b = 21.21

Домножим уравнение (1) системы на (-0.00244), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-0.0244a -6.0E-5 b = -22.24

0.0244 a + 6.5E-5 b = 21.21

Получаем:

5.0E-6 b = -1.03

Откуда b = 17518.3948

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

10a + 0.0244 b = 9115

10a + 0.0244 * 17518.3948 = 9115

10a = 8687.55

a = 868.7188

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 17518.3948, a = 868.7188

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 17518.3948 / x + 868.7188

3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации

· Линейная модель. Был получен следующий коэффициент корреляции, что говорит о прямой средней связи фактора и результата. Коэффициент детерминации

rІ_xy=(0,835)І=0,6975.

Это означает, что 69,75% вариации результативного признака объясняется вариацией фактора х.

· Степенная модель. Был получен следующий индекс корреляции, что говорит о высокой связи, немного больше чем в линейной модели. Коэффициент детерминации rІ_xy=0,728. Это означает, что 72,79% вариации результативного признака объясняется вариацией фактора х.

· Экспоненциальная модель. Был получен следующий индекс корреляции, что говорит о том, что связь высокая. Коэффициент детерминации rІ=0,717. Это означает, что 71,72% вариации результативного признака объясняется вариацией фактора.

· Полулогарифмическая модель. Был получен следующий индекс корреляции с_xy=0,23 что говорит о том, что связь средняя, но немного меньше чем в предыдущих моделях. Коэффициент детерминации rІ_xy=0,7. Это означает, что 69,99% вариации результативного признака объясняется вариацией фактора х.

· Гиперболическая модель. Коэффициент детерминации rІ_xy=-0,118. связь слабая. Это означает, что -11,84% вариации результативного признака объясняется вариацией фактора х.

· Обратная модель. Был получен следующий индекс корреляции с_xy=0,831, что говорит о том, что связь средняя. Коэффициент детерминации rІ_xy=0,691. Это означает, что 69,06% вариации результативного признака объясняется вариацией фактора х.

Вывод: по степенному уравнению получена наибольшая оценка тесноты связи: с_xy=0,85 (по сравнению с линейной, степенной, экспоненциальной, гиперболической, обратной регрессиями). Все уравнения регрессии показывают, что между факторами существует очень высокая связь.

4. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом

· Для линейной:

Коэффициент эластичности находится по формуле:

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

· Для степенной:

Коэффициент эластичности находится по формуле:

E = b = 0.58

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

· Для экспоненциальной:

Коэффициент эластичности находится по формуле:

E = 443.8(0.000588) = 0.26

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

· Для логарифмической:

Коэффициент эластичности находится по формуле:

В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами - Х существенно влияет на Y.

· Для обратной:

Коэффициент эластичности находится по формуле:

E = b = 0.000588

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

· Для равносторонней гиперболической:

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении t на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние t на Y не существенно.

Известно, что коэффициент эластичности показывает связь между фактором и результатом, т.е. на сколько % изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения. В данном примере получилось, что самая большая сила связи между фактором и результатом в логарифмической модели, слабая сила связи в равносторонней гиперболической модели.

5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений

Для линейной:

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 7.92%. Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

Для степенной:

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 1.1%. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Для экспоненциальной:

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 1.16%. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Для логарифмической:

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 7.5%. Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

Для обратной:

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 1.16%. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Для раносторонней гиперболической:

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда.

6. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование

Для линейной:

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=8, F_табл = 5.32

Для степенной:

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=8, F_табл = 5.32

Для экспоненциальной:

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=8, F_табл = 5.32

Для логарифмической:

аналитический выравнивание моделирование статистический

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=8, F_табл = 5.32

Для обратной:

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=8, F_табл = 5.32

Для равносторонней гиперболической:

Находим из таблицы Fkp(1;8;0.05) = 5.32

где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1).

Поскольку F < Fkp, то коэффициент детерминации (и в целом уравнение тренда) статистически не значим

	Е	А	Fфакт
Линейная модель	7,92	0,6	18,44
Степенная модель	0,58	1,1	21,4
Полулогарифмическая модель	3,5	7,5	18,66
Экспоненциальная модель	0,26	1,16	20,29
Равносторонняя гипербола	-1	18,53	0,85
Обратная гипербола	0,000588	1,16	20,29

7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости б=0,05

Для линейной:

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S² = 12171.147 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

S = 110.32

- стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X_p = 0.05

t_крит (n-m-1;б/2) = (8;0.025) = 2.306

y(0.05) = 1.229*0.05 + 366.159 = 366.22

Вычислим ошибку прогноза для уравнения

y = bx + a

или

366.22 ± 303.635

(62.59;669.86)

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Вычислим ошибку прогноза для уравнения

y = bx + a + е

(-29.91;762.35)

Выводы: Линейный коэффициент парной корреляции равен 0,835, следовательно, связь изучаемых явлений является заметной, прямой.

Коэффициент детерминации равен 0,6975, т.е. вариация результата на 69,75% объясняется вариацией фактора х.

С увеличением средняя заработная плата и выплаты социального характера на 0,6%, то потребительские расходы в расчете на душу населения возрастает в среднем на 6%.

Средняя ошибка аппроксимации равна 7,92%, что попадает в допустимый предел значений 8-10% и говорит о том, что расчетные значения отклоняются от фактических примерно на 3%.

Полученное значение F-критерия превышает табличное, следовательно, параметры уравнения и показателя тесноты статистически незначимы.

И гипотеза Hо о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Интервал от -29,91 до 762,35 тыс. руб. ожидаемой величины среднего размера назначенных ежемесячных пенсий довольно широкий. Значительная неопределенность прогноза линии регрессии, связана, прежде всего, с малым объемом выборки (n =10), а также тем, что по мере удаления x_p от ширина доверительного интервала увеличивается.

Размещено на Allbest.ru

...