Оценка уровня значимости коэффициента линейной корреляции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание

Для анализа зависимости объема потребления Y (д.е.) домохозяйства от располагаемого дохода X (д.е.) отобрана выборка n=10

Таблица 1.

x	107	97	115	106	130	135	114	107	108	117
y	59	55	73	66	83	95	62	65	72	80

1. Оценка силы линейной зависимости между X и Y

Для оценки наличия линейной связи рассчитаем некоторые показатели, такие как: произведение количества потребления на доход, квадрат соответствующих значений X и Y суммы и средние значения этих величин. Данные занесем в таблицу 2.

Таблица 2.

Коэфициент линейной кореляции отражает меру линейной зависимости между двумя переменными.

Расситаем коэффициент корреляции по формуле:

r_xy==0,91

Коэффициент корреляции достаточно близок к единице и имеет положительное значение, что свидетельствуте о наличии прямой линейной связи (при увеличении X увеличивается Y).

Оценка уровня значимости коэффициента линейной корреляции при уровне значимости б_xy=10%

Выдвинем нулевую гипотезу Н₀ коэффициент корреляции с_xy=0, т. е. линейная связь отсутствует.

Выдвинем альтернативную гипотезу Н₁ с_xy? 0, т. е. Линейная связь присутствует.

В данном случае используется двустронний тест.

Для подтверждения нулевой гипотезы подбирается случайная величина с известным распределением, в нашем случае критерий Стьюдента.

Уровень значимости по условию задачи равен 10%, б_xy/2=5%

Количество величин n в выборке 10.

t_кр=1,860

Критическими точками вся область распределения разделена на три области: от ? до t_кр= - 1,860, от t_кр= - 1,860 до t_кр=1,860, от t_кр=1,860 до ?.

Определим, в какую из трех областей попадет Т_расч.

Т_расч. Попадает в область от t_кр=1,860 до ?, следовательно нулевая теория Н₀ отвергается, а теория Н₁ принимается. Из этого следует вывод, что линейный коэффициент корреляции значим и линейная связь присутствует.

2. Построение регрессионной модели

Предварительно расположим значения Y в порядке возрастания значений Х (таблица 3):

Таблица 3

Регрессионный анализ преназначен для исследованиязависимости исследуемой переменой от различных факторов и отображения их зависимости в форме регрессионной модели.

Предположим, что в нашем случае зависимость линейная, т.е переменная Y предположительно находится под влиянием переменной Х в следующей зависимости:



Метод наименьших квадратов (МНК) подразумевает, что сумма квадратов расстояний между точками была наименьшей.

МНК используется для нахождения параметров линейной зависимости.

Коэффициенты a и b находятся по формулам:

,

C учетом подсчитанных коэффициентов a и b линейная регрессионная модель имеет следующий вид:

Коэффициент b имеет следующий экономический смысл: при увеличении располагаемого дохода на 1 д.е. объем потребления увеличится на 0,8583 д.е.

3. График регрессионной модели и наблюдаемые (эмпирические) значения

Рисунок 1 -- График модели парной регрессии

4. Оценка качество уравнения регрессии

Найдем остаток e -- расхождение между фактическим и прогнозированным значением величины y. Данные внесем в таблицу 4.

Таблица 4

1. Средняя ошибка аппроксимации:

Вывод: полученное значение показывает, что расчетные значения в среднем отклоняются на 3,3254%. Качество модели по этому показателю можно оценить как относительно хорошее.

2. Стандартная ошибка регрессии.

В качестве меры точности применяют не смещеннцю оценку дисперсии остаточной компоненты.

Se -- среднее квадратичное отклонение (стандартная ошибка регрессии)

S²_e - дисперсия.

S²_e = == 24,9171

Se == 4,9917

Вывод: для исходных данных такая величина стандартной ошибки регрессии указывает на среднее качество модели.

3. Оценка общего качества уровня регрессии.

После того, как уравнение построено, выполняется проверка значимости построенного уравнения в целом. Суммарной мерой общего качества уравнения является коэффициент детерминации R²

- сумма квадратов общих отклонений (отклонение наблюдаемых значений от среднего)

- сумма остаточных отклонений (отклонение наблюдаемых значений от соответствующих значений на линии регрессии)

- факторное отклонение (отклонение соответствующих значений на линии регрессии от среднего).

Сумма кавдратов общих отклонений равна сумме квадратов остаточных и факторных отклонений.

Коэффициент детерминации R² показывает долю факторных отклонений в общей мере отклонений в целом.

R² = = 1-= 1-= 0,8328

R² = 0,8328 говорит о среднем качестве модели.

4. Проверка значимости коэффициента детерминации R²

Выдвинем нулевую гипотезу Н0 R² =0 (т. е. критерий не значим) и конкурирующую гипотезу Н1 R² ?0 (критерий значим)ю

Для проверки значимости R² используется F-критерий Фишера:

F= ,

где к -- количество факторных переменных, в нашем случае равное 1.

F=

Уровень значимости по заданию равен 10%, используем односторонний тест, следовательно, б=5%.

Степени свободы:

y₁=k=1

y₂=(n-1-1) = 10-1-1=8

По таблице значений критерий Фишера Fкрит (0,1; 1,8)=3,46

F расч.= =39,8469

Вывод: поскольку F расч. > Fкрит, критерий значим.

5. Точечный прогноз потребления при доходе 100 д.е

Уравнение регрессии в нашем случае имеет вид:

y =52,6607+0,8583x

При прогнозируемом доходе Х_{прогноз} = 100 д.е. прогнозируемый объем потребления Y_{прогноз} будет равен:

Y_{прогноз} =52,6607+0,8583*100 = 138,4907 д.е.

6. Определить 95% доверительный интервал для получения прогноза

Для значимого уравнения регрессии представяет интерес построение интегральных оценок для параметра:

Таблица 5

t_кр определим по таблице распределения Стьюдента.

Уровень значимости по условию задачи равен 10%, б_xy/2=5%

Количество величин n в выборке 10.

t_кр=1,860

Se - стандартная ошибка регрессии.

Вывод: с вероятностью 95% истинный прогноз Y_{прогноз} при доходе 100 д.е. будет находиться в интервале [113,3117;163,6697]

7. Расчет коэффициента эластичности

Коэффициент эластичности показывает относительное изменение исследуемого экономического показателя под действием единичного относительного изменения экономического фактора, от которого он зависит, при неизменных остальных влияющих на него факторах. Коэфициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%.

Э=

Обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности.

= 0,8583*=0,5364

Вывод: при росте располагаемого дохода на 1% объем потребления в среднем увеличится на 0,5364%.

8. Построение степенной модели

Имеем нелинейную по параметрам регрессии внутренне линейную степенную функцю, отражающую зависимость спроса от дохода: где у -- спрашиваемое количество; х -- доход. Ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию е приводит его к линейному виду Заменив переменные и параметры, получим линейную регрессию: y'=A+Bx'

Для оценки наличия нелинейной связи рассчитаем некоторые значения и представим их в таблице 6.

Таблица 6.

= =0,5327

= 4,7282-0,53279*4,2498=2,4639

Уравнение регресии будет иметь вид: y'=2,4639+0,5327x'

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

A=2,4639=ln a =>a=e^2,4639=11,7510,

получим уравнение степенной регрессии:

y =11,7510x^0,5327

Оценка качества модели

Найдем остаток (y - y) -- расхождение между фактическим и прогнозированным значением величины y.

Таблица 7

Определим среднюю ошибку аппроксимации:

Вывод: полученное значение показывает, что расчетные значения в среднем отклоняются на 0,041%. Качество модели по этому показателю можно оценить как хорошее.

Определим стандартную ошибку регрессии:

S_e = =5,1

Полученное значение указывает на среднее качество модели.

Определим индекс корреляции:

r_xy===0,9085

Связь между показателем y и фактором x можно считать сильной. Коэфициент корреляции значим.

Коэффициент детерминации R²= r_xy² = 0,8253 свидетельствует о среднем качестве модели в целом.

Проверим значимость коэффициента детерминации с помощью критерия Фишера:

F_расч= =

По таблице значений критерий Фишера Fкрит (0,1; 1,8)=3,46

Вывод: поскольку F расч. > Fкрит, критерий значим.

доход регрессионный аппроксимация детерминация

Выводы

1. Полученный коэффициент линейной корреляции r_xy= 0,91 указывает на сильную прямую связь между доходами (Х) и объемом потребления (Y). Коэфициент корреляции значим.

2. Искомое уравнение линейной регрессии имеет вид:

3. Расчетные значение отличаются от фактических в среднем на 3,3254%.

4. Значение коэффициента детерминации говорит о том, что изменение объема потребления на 83% происходит за счет изменения уровня дохода. Это значение коэффициента свидетельствует об относительно хорошем качестве модели.

5. Согласно точечному прогнозу при доходе 100 д.е. объем потребления будет составлять 138,4907 д.е.

6. С вероятностью 95% истинный прогноз Y_{прогноз} при доходе 100 д.е. будет находиться в интервале [113,3117;163,6697]

7. Полученное значение коэффициента эластичности показывает, что при росте располагаемого дохода на 1% объем потребления в среднем увеличится на 0,5364%.

8. Искомое уравнение степенной регрессии имеет вид: y =11,7510x^0,5327 Коэфициент корреляции r_xy=0,9085 значим, и указывает на прямую связь между доходами (Х) и объемом потребления (Y).

9. Качество модели определяется степенью близости коэффициента детерминации R² к 1. Согласно данному коэффициенту ближе к 1 коэффициент детерминации линейной регрессии, поэтому будем считать более качественной линейную модель зависимости объемов потребления от доходов.

Размещено на Allbest.ru

...