Размещено на http: //www. allbest. ru/

Министерство сельского хозяйства РФ

ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный сельскохозяйственный институт»

Кафедра «теоретической экономики, экономического моделирования и права»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

по дисциплине «Эконометрика»

Выполнил

студент 3 курса

Хворова А.Н

Шифр 4-13-1089

Кемерово 2016



Содержание

1. Оценка качества построенной модели с помощью коэффициента детерминации. Скорректированный коэффициент детерминации и его свойства

2. Задача



1. Оценка качества построенной модели с помощью коэффициента детерминации. Скорректированный коэффициент детерминации и его свойства

Для практического использования экономической модели большое значение имеет их адекватность, т.е. соответствие реальному процессу и тем статистическим данным, на основе которых построена модель. Анализ качества (верификация модели) включает статистическую и содержательную составляющую. Проверка статистического качества экономической модели обычно состоит из следующих шагов:

1. Проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии.

2. Проверка общего качества уравнения регрессии.

3. Проверка точности модели.

4. Проверка свойств данных, выполнение которых предполагалось при оценивании уравнения.

Под содержательной составляющей анализа качества понимается рассмотрение экономического смысла оцененного уравнения регрессии: действительно ли значимым оказались объясняющие факторы, важные с точки зрения теории; положительны или отрицательны коэффициенты, показывающие направление воздействия этих факторов; попали ли оценки коэффициентов регрессии в предполагаемые из теоретических соображений интервалы.

1. Коэффициент детерминации. Определение. Формула

Для анализа общего качества оцененной линейной регрессии используют обычно коэффициент детерминации , называемый также квадратом коэффициента множественной корреляции. Для случая парной регрессии это квадрат коэффициента корреляции переменных и .

Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:



где -

сумма квадратов остатков регрессии

, - фактические и расчетные значения объясняемой переменной.

- общая сумма квадратов.

Он характеризует долю вариации (разброса) зависимой переменой, объясненной с помощью данного уравнения. В качестве меры разброса зависимой переменной обычно используется ее дисперсия, а остаточная вариация может быть измерена как дисперсия отклонений вокруг линии регрессии. Если числитель и знаменатель вычитаемой из единицы дроби разделить на число наблюдений n, то получим, соответственно, выборочные оценки остаточной дисперсии и дисперсии зависимой переменной . Отношение остаточной и общей дисперсии представляют собой долю необъясненной дисперсии. Если же эту долю вычесть из единицы, то получим долю дисперсии зависимой переменной. Объясненной с помощью регрессии. Иногда при расчете коэффициента детерминации для получения несмещенных оценок дисперсии в числителе и знаменателе вычитаемой из единицы дроби делается поправка на число степеней свободы: тогда

Или, для парной регрессии, где число независимым переменных равно 1,



В числителе дроби, которая вычитается из единицы, стоит сумма квадратов отклонений наблюдений от линии регрессии, в знаменателе - от среднего значения переменной . Таким образом, дробь это мала (а коэффициент , очевидно, близок к единице), если разброс точек вокруг линии регрессии значительно меньше, чем вокруг среднего значения.

Метод наименьших квадратов (МНК) позволяет найти прямую, для которой сумма минимальна, а представляет собой одну из возможных линий, для которых выполняется условие . Поэтому величина в числителе вычитаемой из единицы дроби меньше, чем величина в ее знаменателе, - иначе выбираемой по МНК линией регрессии была бы прямая .

Таким образом, коэффициент детерминации является мерой, позволяющей определить, в какой степени найденная регрессионная прямая дает лучший результат для объяснения поведения зависимой переменной , чем просто горизонтальная прямая .

Смысл коэффициента детерминации может быть пояснен и немного иначе. Можно показать, что

где - отклонение -й точки на линии регрессии от .

В данной формуле величина в левой части может интерпретироваться как мера общего разброса (вариации) переменной , первое слагаемое в правой части - как мера остаточного, необъясненного разброса (разброса точек вокруг линии регрессии). Если разделить эту формулу на ее левую часть и перегруппировать члены, то



То есть коэффициент детерминации есть доля объясненной части разброса зависимой переменной (или доля объясненной дисперсии, если разделить числитель и знаменатель на и ().

Часто коэффициент детерминации иллюстрируют следующим образом (рис. 1)

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Рисунок 1 Иллюстрированный коэффициент детерминации

Здесь TSS (Total Sum of Squares) - общий разброс переменной , ESS (Explained Sum of Squares) - разброс, объясненный с помощью регрессии, USS (Unexplained Sum of Squares) - разброс, необъясненный с помощью регрессии. Из рисунка видно, что с увеличением объясненной доли разброса коэффициент приближается к единице. Кроме того, из рисунка видно, что с добавлением еще одной переменной обычно увеличивается, однако если объясняющие переменные и сильно коррелируют между собой, то они объясняют одну и ту же часть разброса переменной , и в этом случае трудно идентифицировать вклад каждой из переменных в объяснение поведения .

Если существует статистически значимая линейная связь величин и , то коэффициент близок к единице.

Однако он может быть близким к единице просто в силу того, что обе эти величины имеют выраженный временный тренд, не связанный с их причинно-следственной взаимозависимостью.

В экономике обычно объемные показатели (доход, потребление, инвестиции) имеют такой тренд, а темповые и относительные (производительности, темпы роста, доли, отношения) - не всегда. Поэтому при оценивании линейных регрессий по временным рядам объемных показателей (например, зависимости выпуска от затрат ресурсов или объема потребления от величины дохода) величина обычно очень близка к единице. Это говорит о том, что зависимую переменную нельзя описать просто как равную своему среднему значению, но это и заранее очевидно, раз она имеет временный тренд.

Если имеются не временные ряды, а перекрестная выборка, то есть данные об однотипных объектах в один и тот же момент времени, то для оцененного по ним уравнения линейной регрессии величина не превышает обычно уровня 0,6 - 0,7.

То же самое обычно имеет место и для регрессии по временных рядам, если они не имеют выраженного тренда. В макроэкономике примерами таких зависимостей являются связи относительных, удельных, темповых показателей: зависимость темпа инфляции от уровня безработицы, нормы накопления от величины процентной ставки, темпа прироста выпуска от темпов прироста затрат ресурсов.

Таким образом, при построении макроэкономических моделей, особенно - по временных рядам данных, нужно учитывать, являются входящие в них переменных объемными или относительными, имеют ли они временной тренд.

Точную границу приемлемости показателя указать сразу для всех случаев невозможно. Нужно принимать во внимание и число степеней свободы уравнения, и наличие трендов переменных, и содержательную интерпретацию уравнения. Показатель может оказаться даже отрицательным. Как правило, это случается в уравнении без свободного члена



.

Оценивание такого уравнения производится, как и в общем случае, по методу наименьших квадратов. Однако множество выбора при этом существенно сужается: рассматриваются не все возможные прямые или гиперплоскости, а только проходящие через начало координат. Величина получается отрицательной в том случае, если разброс значений зависимой переменной вокруг прямой (гиперплоскости) меньше, чем вокруг даже наилучшей прямой (гиперплоскости) из проходящих через начало координат. Отрицательная величина в уравнении говорит о целесообразности введения в него свободного члена. Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 2.

Рисунок 2 Иллюстрация введения свободного члена в уравнение

Линия 1 на нем- график уравнения регрессии без свободного члена (он проходит через начало координат), линия 2- со свободным членом (он равен ), линия 3 - . Горизонтальная линия 3 дает гораздо меньшую сумму квадратов отклонений , чем линия 1, и поэтому для последней коэффициент детерминации будет отрицательным.

Поправка на число степеней свободы всегда уменьшает значение , поскольку . В результате также может стать отрицательной. Но это означает, что она была близкой к нулю до такой поправки, и объясненная с помощью уравнения регрессии доля дисперсии зависимой переменной очень мала.

2. Свойства коэффициента детерминации

Таким образом можно выделить следующие свойства коэффициента детерминации:

1. ; в силу определения

2. =0;в этом случае RSS = 0, т. е. наша регрессия не объясняет, ничего не дает по сравнению с тривиальным прогнозом. Данные позволяют сделать вывод о независимости y и x, изменение в переменной x никак не влияет на изменение среднего значения переменной y. То есть увеличивается разброс точек на корреляционном поле относительно построенной линии регрессии(или статистическая зависимость очень слабая, или уравнение регрессии подобрано неверно).

3. =1; в этом случае все точки () лежат на одной прямой (ESS = 0). Тогда на основании имеющихся данных можно сделать вывод о наличии функциональной, а именно, линейной, зависимости между переменными y и x. Изменение переменной y полностью объясняется изменением переменной x.Для парной линей регрессии коэффициент детерминации точно равен квадрату коэффициента корреляции:

Вообще говоря, значение коэффициента детерминации не говорит о том, есть ли между факторами зависимость и насколько она тесная. Оно говорит только о качестве того уравнения, которое мы построили.

Удобно сравнивать коэффициенты детерминации для нескольких разных уравнений регрессии построенных по одним и тем же данным наблюдений. Из нескольких уравнений лучше то, у которого больше коэффициент детерминации.

3. Скорректированный коэффициент детерминации

Одним из свойств коэффициента детерминации является то, что это не убывающая функция от числа факторов, входящих в модель. Это следует из определения детерминации. Действительно в равенстве

Числитель не зависит, а знаменатель зависит от числа факторов модели. Следовательно, с увеличением числа независимых переменных в модели, коэффициент детерминации никогда не уменьшается. Тогда, если сравнить две регрессионные модели с одной и тоже зависимой переменной, но разным числом факторов, то более высокий коэффициент детерминации будет получен в модели с большим числом факторов. Поэтому необходимо скорректировать коэффициент детерминации с учетом количества факторов, входящих в модель.

Скорректированный (исправленный или оцененный) коэффициент детерминации определяют следующим образом:

Свойства скорректированного коэффициента детерминации:

1. Несложно заметить что при >1 исправленный коэффициент детерминации меньше коэффициента детерминации ().

2. , но может принимать отрицательные значения. При этом, если скорректированный принимает отрицательное значение, то принимает значение близкое к нулю ().

Таким образом скорректированный коэффициент детерминации является попыткой устранить эффект, связанный с ростом R² при увеличении числа регрессоров. - "штраф" за увеличение числа независимых переменных.

2. Задача

Для выполнения сравнительной характеристики между двумя конкурирующими фирмами производителей колготок (Pompea и Filodoro) были собраны данные о колготах по количеству ден, по содержанию эластана, полиамида, хлопка и лайкры (табл.). Все данные, представленные в таблице взяты в одном из магазинов города, где имеется большой выбор колгот.

Таблица 1

№ п/п	Фирма	Den	Эластан, %	Полиамид, %	Хлопок, %	Лайкра, %	Шерсть, %	Цена, руб
1	filodoro	20	20	75	4	21		83
2	filodoro	20		89		11		43
3	filodoro	20		67	2	31		80
4	filodoro	20		68	2	30		78
5	filodoro	30	13	81	3			72
6	filodoro	30	13	84				70
7	filodoro	40	14	84	2			90
8	filodoro	40	21	87	3			85
9	filodoro	40	21	79				95
10	filodoro	40		75	4			95
11	filodoro	50	10	87	3			107
12	filodoro	50	14	83				75
13	filodoro	70	17	82	1			94
14	filodoro	70		75	3			100
15	filodoro	100	21	79		10		187
16	filodoro	100	10	10	60		30	238
17	filodoro	100	10	10	60		20	230
18	filodoro	100	11	10	60		30	200
19	filodoro	100	11	29	60		60	230
20	filodoro	160	5	29	66			228
21	filodoro	160			35		30	238
22	filodoro	160	5	40	80		25	250
23	filodoro	160	5	28	67			245
24	filodoro	160	14	25	67			245
25	filodoro	190	14	80				140
26	Pompea	20	8	92				62
27	Pompea	20	31	69				80
28	Pompea	20	12	88				45
29	Pompea	20	11	89				55
30	Pompea	20	12	88				44
31	Pompea	40	14	86				65
32	Pompea	40	12	88				95
33	Pompea	40	15	85				80
34	Pompea	40	18	65				64
35	Pompea	40	14	86				225
36	Pompea	40	16	84				96
37	Pompea	60	18	82				67
38	Pompea	60	31	69				103
39	Pompea	60	18	84			20	90
40	Pompea	60	11	89				73
41	Pompea	90	7	14	65			190
42	Pompea	90			69		10	190
43	Pompea	90	4	11	54			165
44	Pompea	100	6	36	38			130
45	Pompea	100	6	35				147
46	Pompea	100	8	92				100
47	Pompea	100	10	37	35		9	142
48	Pompea	120	15	9	41			245
49	Pompea	120	15	9	4		35	250
50	Pompea	120	15	63	24			225



Задание:

1. Вычислите описательные статистики.

2. Сгенерируйте фиктивную переменную, характеризующую фирму производителя.

3. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции.

4. Постройте уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены колгот от всех факторов.

5. Оцените значимость полученного уравнения регрессии. Какие факторы значимо воздействуют на формирование цены колгот в этой модели?

6. Переплачиваем ли мы за фирму производителя?

Решение

obs	FIRM	DEN	ELASTENE	POLYAMIDE	COTTON	LYCRA	WOOL	PRICE
1	1	20	20	20	20	75	4	1
2	1	20		20		89		2
3	1	20		20		67	2	3
4	1	20		20		68	2	4
5	1	30	13	30	13	81	3	5
6	1	30	13	30	13	84		6
7	1	40	14	40	14	84	2	7
8	1	40	21	40	21	87	3	8
9	1	40	21	75	4	21		9
10	1	40		89		11		10
11	1	50	10	67	2	31		11
12	1	50	14	68	2	30		12
13	1	70	17	81	3			13
14	1	70		84				14
15	1	100	21	84	2			15
16	1	100	10	87	3			16
17	1	100	10	79				17
18	1	100	11	75	4			18
19	1	100	11	87	3			19
20	1	160	5	83				20
21	1	160		82	1			21
22	1	160	5	75	3			22
23	1	160	5	79		10		23
24	1	160	14	10	60		30	24
25	1	190	14	10	60		20	25
26	2	20	8	10	60		30	26
27	2	20	31	29	60		60	27
28	2	20	12	29	66			28
29	2	20	11		35		30	29
30	2	20	12	40	80		25	30
31	2	40	14	28	67			31
32	2	40	12	25	67			32
33	2	40	15	80				33
34	2	40	18	92				34
35	2	40	14	86				35
36	2	40	16	84				36
37	2	60	18	82				37
38	2	60	31	69				38
39	2	60	18	84				39
40	2	60	11	89				40
41	2	90	7	14				41
42	2	90						42
43	2	90	4	11	54			165
44	2	100	6	36	38			130
45	2	100	6	35				147
46	2	100	8	92				100
47	2	100	10	37	35		9	142
48	2	120	15	9	41			245
49	2	120	15	9	4		35	250
50	2	120	15	63	24			225

1- filodoro

2- Pompea

Значение описательных статистик

	FIRM	DEN	ELASTENE	POLYAMIDE	COTTON	LYCRA	WOOL	PRICE
Mean	1.500000	72.80000	13.39535	53.50000	28.63333	56.76923	18.21429	46.14000
Median	1.500000	60.00000	13.00000	65.00000	20.50000	68.00000	14.50000	25.50000
Maximum	2.000000	190.0000	31.00000	92.00000	80.00000	89.00000	60.00000	250.0000
Minimum	1.000000	20.00000	4.000000	9.000000	1.000000	10.00000	2.000000	1.000000
Std.Dev.	0.505076	46.77519	6.008484	30.10549	26.31177	30.99504	17.61197	61.97235
Skewness	0.000000	0.719210	0.964681	-0.173014	0.465360	-0.454328	0.868461	2.191876
Kurtosis	1.000000	2.552413	4.457887	1.363762	1.686812	1.492716	3.057136	6.775949
Jarque-Bera	8.333333	4.727887	10.47743	5.594017	3.238376	1.677845	1.761763	69.73975
Probability	0.015504	0.094049	0.005307	0.060992	0.198060	0.432176	0.414417	0.000000
Observations	50	50	43	48	30	13	14	50

Рис. 3 Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции

FIRM	DEN	ELASTENE	POLYAMIDE	COTTON	LYCRA	WOOL	PRICE
filodoro	NA	NA	NA	NA	NA	NA	NA
filodoro	1.000000	-0.170561	1.000000	-0.170561	0.968330	-0.852803	0.984063
filodoro	-0.170561	1.000000	-0.170561	1.000000	-0.047809	0.600000	-0.158251
filodoro	1.000000	-0.170561	1.000000	-0.170561	0.968330	-0.852803	0.984063
Pompea	-0.170561	1.000000	-0.170561	1.000000	-0.047809	0.600000	-0.158251
Pompea	0.968330	-0.047809	0.968330	-0.047809	1.000000	-0.717137	0.993019
Pompea	-0.852803	0.600000	-0.852803	0.600000	-0.717137	1.000000	-0.791257
Pompea	0.984063	-0.158251	0.984063	-0.158251	0.993019	-0.791257	1.000000

В данном обследовании можно увидеть, что таблица статистическая

Прямая положительная средняя корреляция

При рассмотрении фирмы filodoro и Pompea разница в цене второй фирмы от первой примерно на 1% Среднеквадратичное отклонение составляет -0,97

При меньшем уровне характеристики колготок

Цена уменьшается к примеру зависит качества и кол-во DEN

Коэффициент асимметрии S= 2.19

Коэффициент эксцесса 6.77

Коэффициент вариации равен 8.96

Постройте уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены колгот от всех факторов.

Dependent Variable: PRICE
Method: Least Squares
Date: 02/15/16 Time: 01:50
Sample: 1 50
Included observations: 42
Excluded observations: 8
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
DEN	0.704944	0.168153	4.192263	0.0002
ELASTENE	1.780795	1.130811	1.574794	0.1234
POLYAMIDE	-0.543474	0.299258	-1.816075	0.0771
R-squared	0.170879	Mean dependent var	51.95238
Adjusted R-squared	0.128360	S.D. dependent var	65.87162
S.E. of regression	61.49885	Akaike info criterion	11.14466
Sum squared resid	147502.2	Schwarz criterion	11.26878
Log likelihood	-231.0379	F-statistic	4.018882
Durbin-Watson stat	0.296690	Prob(F-statistic)	0.025885

Estimation Command:

LS PRICE с DEN ELASTENE POLYAMIDE

Estimation Equation:

PRICE = C(1)*DEN + C(2)*ELASTENE + C(3)*POLYAMIDE

Substituted Coefficients:

PRICE = 0.7049435214*DEN + 1.7807949*ELASTENE - 0.5434742442*POLYAMIDE

Dependent Variable: PRICE
Method: Least Squares
Date: 02/15/16 Time: 01:52
Sample(adjusted): 1 8
Included observations: 4
Excluded observations: 4 after adjusting endpoints
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
COTTON	0.251076	0.362059	0.693468	0.6140
LYCRA	0.133296	0.055314	2.409810	0.2504
WOOL	-3.297105	1.610541	-2.047203	0.2893
R-squared	0.872258	Mean dependent var	5.250000
Adjusted R-squared	0.616773	S.D. dependent var	3.095696
S.E. of regression	1.916401	Akaike info criterion	4.252480
Sum squared resid	3.672591	Schwarz criterion	3.792201
Log likelihood	-5.504960	F-statistic	3.414130
Durbin-Watson stat	2.493196	Prob(F-statistic)	0.357411

Estimation Command:

LS PRICE с COTTON LYCRA WOOL

Estimation Equation:

PRICE = C(1)*COTTON + C(2)*LYCRA + C(3)*WOOL

Substituted Coefficients:

PRICE = 0.25107609*COTTON + 0.1332963066*LYCRA - 3.297104971*WOOL

экономический детерминация регрессия производитель

Вывод: Коэффициент дитерминации в первом равен 0.17, во втором 0.87 это показывает что во втором коэффициент дитерминации лучше.

Это значит, что мы переплачиваем за фирму filodoro 0.70% по сравнению с Pompea.

Размещено на Allbest.ru

...