Определение параметров обобщенной динамической модели методом статистического оценивания

Размещено на http://allbest.ru

Определение параметров обобщенной динамической модели методом статистического оценивания

1. Цель работы

Оценить параметры динамической модели по входным и выходным данным методом наименьшего квадрата, сравнить оценки параметров модели.

моделирование математический параметрический динамический

2. Общие сведения

Модель - условный образ объекта исследования, получаемый для того, чтобы отобразить характеристики объекта, существенные для исследователя. Модели могут быть физическими (например, модель самолета для продувки в аэродинамической трубе) и математическими, которые описывают свойства и явления системы на языке математических выражений. В дальнейшем речь будет идти о математических моделях. По своему виду математические модели могут быть:

- символьные (в виде математических формул);

- графические;

- операционно-описательные (заданные, например, в виде алгоритмов);

- топологические или иконографические (задаются в виде графа или некоторой схемы).

Моделирование - метод исследования процессов или явлений на их моделях (математических или физических). Иногда под моделированием также подразумевают процесс построения модели.

Математическое моделирование - метод исследования процессов или явлений путем построения их математических моделей и исследования этих моделей с помощью вычислительной техники.

Имитационное моделирование - метод математического моделирования, при котором используют прямую подстановку чисел, имитирующих внешние воздействия (часто случайные), параметры и переменные процессов, в математические модели объектов.

Идентификация модели - определение параметров и структуры математической модели, обеспечивающей наилучшее совпадение выходных координат объекта и модели при одинаковых входных воздействиях. Приведём более простое определение: идентификация - процедура построения модели объекта по результатам измерения и обработки входных и выходных сигналов объекта. Подход к построению модели на основе идентификации называют также экспериментальным подходом, в отличие от аналитического, когда модель выводится на основании основных законов физики, химии, электротехники, материального или энергетического баланса.

«Черный ящик» - система, у которой при неизвестной внутренней организации, структуре и поведении элементов имеется возможность наблюдать реакцию выходных величин на изменение входных воздействий. Если структура объекта известна, то используют термин «серый ящик».

Параметрическая идентификация - определение параметров модели при заданной ее структуре.

Процедурой параметрической идентификации или оценивания параметров является определение значений параметров, характеризующих динамику поведения объекта, с помощью определенных способов обработки экспериментальных данных в предположении, что структура модели исследуемого объекта известна. В качестве параметров модели рассматриваются коэффициенты дифференциальных или разностных уравнений, передаточных функций, частотных характеристик или нелинейных уравнений и т.д. На этапе параметрической идентификации может быть подтверждена или опровергнута предполагаемая структура объекта.

Общие требования к методам идентификации заключаются в том, что определяемые оценки параметров модели должны быть точными и достигаться достаточно быстро. В соответствии с этим, методы оценивания параметров должны быть:

- формализуемыми в достаточно общем виде;

- легко реализуемыми и обеспечивающими приемлемую скорость сходимости;

- обеспечивающими получение оптимальных оценок искомых параметров.

На практике задача оценивания параметров модели объекта решается в условиях действия различных помех. Входной сигнал может быть наблюдаем точно, наблюдаем в смеси с шумом или не наблюдаем, а выходной во всех случаях искажен шумом. Процедуры оценивания в значительной степени зависят от наблюдаемости сигналов и наличия априорной информации о вероятностных характеристиках сигналов.

Математическая модель функциональной связи между входными и выходными переменными задается в виде уравнения регрессии , где - некоторая аналитическая зависимость, в качестве которой наиболее часто применяются степенные полиномы:

Задача идентификации ставится как нахождение таких оценок неизвестных параметров , i = 0,1,...m, при которых заданная уравнением аналитическая зависимость будет наилучшим образом аппроксимировать экспериментальные данные.

В качестве критерия близости используется минимум квадратичной невязки J значений фактических переменных и модельных, рассчитанных по уравнению регрессии

где - экспериментальное значение выходной переменной, полученное в j-ый момент времени; - модельное (расчётное) значение в тот же момент времени.

Для нахождения коэффициентов регрессии составляют уравнения наличия экстремума по каждому параметру

, i=0,1,…m

Совокупность соотношений образует систему уравнений относительно оценок m+1 коэффициентов уравнения регрессии, решение которой определяет искомые коэффициенты.

3. Задание

Необходимо выполнить идентификацию статического объекта регрессионным методом наименьших квадратов (МНК) в случае аппроксимации опытных данных квадратичным полиномом . Исходными данными для задачи идентификации является конечный ряд экспериментальных значений входных величин объекта и соответствующие значения выходных переменных . Коэффициенты регрессии заданы в таблице 1.

Таблица 1

4. Рекомендации по выполнению

Проиллюстрируем применение метода для решения задачи идентификации в случае аппроксимации опытных данных квадратичным полиномом при заданных коэффициентах регрессии =2,5, =-1,75, =5,06

Критерий минимума среднеквадратичной ошибки в этом случае определяется функционалом:

Система уравнений для нахождения коэффициентов принимает вид:

;

Представим систему в матричном виде:

Решением системы являются искомые выражения для коэффициентов уравнения регрессии :

В дальнейшем, для удобства использования примем следующие обозначения:

, , , , , ,

В соответствии с принятыми обозначениями, вектор оценок коэффициентов регрессии определяется как решение следующей системы:

Приведем программную реализацию рассмотренного метода.

a0=2.5; % точные коэффициенты регрессии

a1=-1.75;

a2=5.06;

N=40;% размер выборки

x=10*normrnd(8, 2, [N 1]); % моделирование входного воздействия

v=0.1*randn(N,1);% моделирование помехи в виде белого шума

y=[a0+a1*x(1:N)+a2*x(1:N).^2+v(1:N)];

% моделирование выходного сигнала с учетом помехи

% формирование по исходным данным суммирующих коэффициентов

s1=sum(x(1:N));

s2=sum(x(1:N).^2);

s3=sum(x(1:N).^3);

s4=sum(x(1:N).^4);

s5=sum(y(1:N));

s6=sum(y(1:N).*x(1:N));

s7=sum(y(1:N).*x(1:N).^2);

R=[N s1 s2; s1 s2 s3; s2 s3 s4]; %формирование квадратной матрицы данных

Y=[s5; s6; s7]; %формирование вектора данных

betta=inv(R)*Y; % расчет оценок по МНК

% рассчитанные оценки параметров

betta =

2.5237

-1.7510

5.0600.

По результатам расчетов видно, что оценки параметров, полученные в условиях зашумленности исходных данных, обладают достаточно удовлетворительной точностью. Погрешность полученных оценок может быть уменьшена путем увеличения размера выборки, расширения диапазона входного сигнала и применением сглаживающих процедур.

Размещено на Allbest.ru