Математическое моделирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Построение математической модели

2. Математическая модель

Заключение

Введение

Математическое моделирование представляет собой способ исследования экологических явлений путем изучения процессов, имеющих различное физическое содержание, но описываемых одинаковыми математическими соотношениями. Важным моментом является составление математической модели на основании формализованной (содержательной) схемы изучаемого явления. При этом выделяются сведения, непосредственно характеризующие объект наблюдения, производится постановка цели и задач исследования с перечнем искомых величин и требований к ним, задаются начальные условия. Решение математических моделей может осуществляться аналитически, численными методами с помощью специально разработанных компьютерных программ. математический модель блок

Технологические процессы характеризуются значительной сложностью. Это проявляется в большом количестве информации, содержащейся в промышленных системах, и во взаимном влиянии их параметров. Модель такой системы представляет собой совокупность различных моделей из числа всех разновидностей. Система может быть представлена различными способами, которые значительно отличаются друг от друга по сложности и детализации. При этом обеспечение требований точности и адекватности модели приводит к увеличению объема и сложности моделирующей программы.

Сложные системы, как правило, состоят из большого числа элементов, выполняющих различные функции. Получение модели достаточно простого вида для таких систем чаще всего невозможно. Поэтому в этом случае модель системы строят по модульному принципу, т.е. систему представляют состоящей из элементов, блоков и подсистем. Каждая система может быть разделена на подсистемы, а подсистемы -- на блоки, а блоки - на элементы. Таким образом, модель функционально подразделяется на подмодели. Общая идея модели отображается в виде логической структурной схемы системы.

Основная цель разбиения системы -- это получение элементов, математическое описание которых может быть выполнено. Такой подход достаточно эффективен и может быть легко осуществлен. При этом можно строить и совершенствовать модель итерационным методом, добавляя к основной схеме блок за блоком. Построение модели из блоков дает возможность экспериментировать при ее реализации и в процессе машинной имитации.

1. Построение математической модели для сложных систем

Построение математической модели для сложных систем начинают с анализа отдельных «элементарных» процессов, протекающих в объекте моделирования, и выделения отдельных блоков, соответствующих какому-либо элементу или процессу системы. Для этого функции модели разделяют на логические подфункции с более высоким уровнем детализации. Если какой-либо первоначально выбранный блок оказывается чрезмерно сложным, его расчленяют (с сохранением связей) на конечное число более мелких блоков нижнего уровня, образующих подсистему, соответствующую разделенному блоку. Этот процесс деления на подсистемы и блоки продолжается до необходимого уровня детализации описания системы, т.е. до получения таких блоков, которые в условиях данной задачи будут признаны достаточно простыми и удобными для непосредственного математического описания. Блоки, не подлежащие дальнейшему расчленению на части, являются элементами сложной системы (при данном рассмотрении системы). Элементы могут накапливать, передавать, преобразовывать и рассеивать энергию или информацию. Точка, в которой соединяются элементы, называется узлом. В узлах не происходит никакого накопления, преобразования или рассеивания энергии; они похожи на абстрактные точки системы координат. Таким образом, в общем случае сложная система является многоуровневой, состоящей из взаимосвязанных элементов, объединяемых в блоки и подсистемы различных уровней. Используя современные языки программирования, можно получить модель, максимально приближенную к изучаемой системе (как в структурном, так и в терминологическом отношении).

При составлении модели, состоящей из отдельных блоков, возможны два подхода в зависимости от назначения модели:

1. Структурный подход -- моделирование внутреннего механизма блока. В этом случае математическая модель должна отражать механизм взаимодействия узлов, элементов и деталей рассматриваемого блока; должны моделироваться как внутренняя структура блока, так и функционирование его элементов. Этот подход должен применяться тогда, когда задачей моделирования является, например, проверка структуры блока, правильности взаимодействия его частей и общей логики работы модели. Критерием правильности структуры блока является выполнение блоком заданной в ходе моделирования функции.

2. Функциональный подход -- моделирование функции блока. В этом случае блок рассматривается как «черный ящик», его внутренний механизм может не моделироваться; задается лишь передаточная функция блока в целом. Этот подход применим к тем блокам, внутреннее содержание которых не описывается данной моделью. Такие блоки рассматриваются как неделимые элементы моделируемой системы.

Выбор того или иного подхода к моделированию функциональных блоков зависит от поставленной задачи. В ряде случаев моделирующий алгоритм бывает настолько сложным для реализации с помощью имеющихся в наличии вычислительных средств, что требуется измерить формулировку исходной задачи моделирования для упрощения математического описания. Это упрощение часто достигается за счет снижения точности математической модели путем сокращения полноты математического описания при исключении из модели части параметров или взаимодействий моделируемого объекта.

При декомпозиции блоков сложных промышленных систем удобно расчленять их на типовые элементы, в которых протекают сходные между собой технологические процессы. Для выделения типовых элементов (процессов) и определения их природы используют несколько основных критериев:

1. общность математического описания (модели) процессов, т. е. идентичность материальных и энергетических связей. Такая общность модели учитывает физико-химические особенности процессов;

2. общность аппаратурно-технологического оформления процессов, отражающая их целевое назначение и условия реализации.

Взаимодействие элементов в процессе функционирования сложной системы рассматривается как результат совокупности воздействий каждого элемента на другие элементы. Воздействие, представленное некоторым набором характеристик, называют сигналом. Каждый элемент системы в общем случае может принимать входные сигналы и выдавать выходные. Сигналы передаются по каналам связи, проложенным между элементами сложной системы. Совокупность элементов некоторой системы может рассматриваться как ее подсистема. Обычно подсистемы являются некоторыми самостоятельно функционирующими частями системы. Например, в производственном комплексе предприятия можно выделить подсистемы, соответствующие отдельным цехам или технологическим линиям. Правильное выделение подсистем сложной системы способствует упрощению расчетов при моделировании и более наглядной интерпретации его результатов. Модель подсистемы составляется в виде структуры из моделей блоков и элементов и целиком входит в полную модель системы. Поскольку подсистема -- это самая крупная, функционирующая отдельно от общих связей, структурная единица, важным этапом работы является ее декомпозиция, основанная на сборе фактов, выявлении и оценке различных воздействующих факторов. Как правило, в ходе моделирования приходится разделять систему на составные части, т. е. выполнять декомпозицию, а затем обследовать каждую часть в отдельности и объединять полученные сведения в единое целое. При математическом моделировании технологических процессов удобно составлять модели подсистем по фактически существующим отдельным установкам и аппаратам, что значительно облегчает проверку их реализации на ЭВМ. Использование понятия многоуровневой системы существенно расширяет возможности формального описания и моделирования объектов материального мира. Они могут быть подвергнуты (с помощью ЭВМ) различным количественным исследованиям. Представление исследуемого объекта в виде многоуровневой конструкции из элементов обычно называют структуризацией объекта. Структуризация -- первый шаг на пути формального описания сложной системы.

Последовательным наращиванием блоков и элементов моделей можно исследовать системы любой сложности, для которых достаточно полно известны функционирование и взаимосвязь относительно несложных исходных элементов. При этом переход на более высокий уровень моделирования звеньев системы связан с увеличением количества участвующих в модели элементов, что приводит к необходимости их упрощения или к представлению в виде обобщенных характеристик, полученных на предыдущем этапе имитации.

2. Математическая модель

Будем считать, что элемент s есть некоторый объект, обладающий определенными свойствами, внутреннее строение которого для целей исследования не играет роли, например, самолет для моделирования полета - не элемент, а для моделирования работы аэропорта - элемент.

Связь l между элементами есть процесс их взаимодействия, важный для целей исследования.

Система S - совокупность элементов со связями и целью функционирования F.

Сложная система - это система, состоящая из разнотипных элементов с разнотипными связями.

Большая система - это система, состоящая из большого числа однотипных элементов с однотипными связями.

В общем виде систему математически можно представить в виде:

Автоматизированная система SA есть сложная система с определяющей ролью элементов двух типов: технических средств Sт и действий человека SH:

здесь - остальные элементы системы.

Структура системы есть разбиение (декомпозиция) системы на элементы или группы элементов с указанием связей между ними, неизменными во время функционирования системы.

Практически все системы рассматриваются функционирующими во времени, поэтому определим их динамические характеристики.

Состояние - это множество характеристик элементов системы, изменяющихся во времени и важных для целей ее функционирования.

Процесс (динамика) - это множество значений состояний системы, изменяющихся во времени.

Цель функционирования есть задача получения желаемого состояния системы. Достижение цели обычно влечет целенаправленное вмешательство в процесс функционирования системы, которое называется управлением.

Задачи исследования систем:

1. Анализ - изучение свойств функционирования системы.

2. Синтез - выбор структуры и параметров по заданным свойствам системы.

Пусть T = [t0, t1] есть временной интервал моделирования системы S (интервал модельного времени).

Построение модели начинается с определения параметров и переменных, определяющих процесс функционирования системы.

Параметры системы - это характеристики системы, остающиеся постоянными на всем интервале T.

Переменные бывают зависимые и независимые.

Независимые переменные есть, как правило, входные воздействия (в том числе управляющие)

Последовательность изменения x(t) при

называется фазовой траекторией системы ,, где X - пространство состояний или фазовое пространство.

Последовательность изменения y(t) называется выходной траекторией системы.

Зависимые переменные есть выходные характеристики (сигналы)

Общая схема математической модели (ММ) функционирования системы может быть представлена в виде:

Множество переменных вместе с законами функционирования

называется математической моделью системы.

Если t непрерывно, то модель называется непрерывной, иначе - дискретной:

.

Если модель не содержит случайных элементов, то она называется детерминированной, в противном случае - вероятностной.

Если математическое описание модели слишком сложное и частично или полностью неопределенно, то в этом случае используются агрегативные модели.

Заключение

Базовые и локальные модели служат основой для построения более сложных глобальных моделей реальных систем. С использованием аналитических методов расчета этих моделей могут решаться задачи проектирования, связанные с формированием требований к структурным и функциональным параметрам, обеспечивающим заданное качество функционирования проектируемой системы, однако получаемые при этом результаты могут иметь значительную погрешность. Для повышения достоверности результатов следует применять комбинированный подход, основанный на сочетании аналитических и имитационных методов моделирования. При этом аналитические методы должны применяться на этапах анализа свойств и синтеза оптимальной системы. Имитационные методы, основанные на использовании специализированных языков моделирования, таких как GPSS , позволяют выполнять исследование систем практически любой сложности с любой степенью детализации и должны применяться на заключительном этапе детального анализа спроектированной системы.

Размещено на Allbest.ru